2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)一元二次方程的概念的五種常見應(yīng)用

一元二次方程相關(guān)概念的五種常見應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念．教學(xué)目標(biāo)了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡(jiǎn)單\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題目．1．通過設(shè)置問\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義．2．一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念．3．解決一些概念性的\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題目．4．態(tài)度、情感、價(jià)值觀5．通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．重難點(diǎn)關(guān)鍵1．重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題．2．難點(diǎn)突破：通過提出問\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：列方程．問\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題（1）《九章算術(shù)》“勾股”章有一\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對(duì)角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個(gè)門的寬為_______尺，根據(jù)\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題意，得________．整理、化簡(jiǎn)，得：__________．問\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題（2）如圖，如果，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．如果假設(shè)AB=1，AC=x，那么BC=________，根據(jù)\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題意，得：________．整理得：_________．問\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題（3）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的邊長是多少？如果假設(shè)剪后的正方形邊長為xm，那么原來長方形的長是________，寬是_____，根據(jù)\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題意，得：_______．整理，得：________．點(diǎn)評(píng)并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理．二、探索新知學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)口答下面問\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題．（1）上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？（2）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們的最高次數(shù)是幾次？（3）有等號(hào)嗎？還是與以前多項(xiàng)式一樣只有式子？點(diǎn)評(píng)：（1）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次；（3）都有等號(hào)，是方程．因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．例1．將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等．解：去括號(hào)，得：40-16x-10x+4x2=18，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：4x2-26x+22=0.其中二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為-26，常數(shù)項(xiàng)為22．例2．（學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)二至三位同學(xué)上臺(tái)演練）將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)．分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括號(hào)，得：x2+2x+1+x2-4=1，移項(xiàng)、合并得：2x2+2x-4=0.其中二次項(xiàng)為2x2，二次項(xiàng)系數(shù)為2；一次項(xiàng)為2x，一次項(xiàng)系數(shù)為2；常數(shù)項(xiàng)為-4．三、鞏固練習(xí)四、應(yīng)用拓展例3．求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17≠0即可．證明：m2-8m+17=（m-4）2+1.∵（m-4）2≥0,∴（m-4）2+10，即（m-4）2+1≠0.∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．五、歸納小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，點(diǎn)評(píng)）本節(jié)課要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用．六、布置作業(yè)作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題1．在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是（）．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．方程2x2=3（x-6）化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（）．A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）．A．p=1B．p0C．p≠0D．p為任意實(shí)數(shù)二、填空\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題1．方程3x2-3=2x+1的二次項(xiàng)系數(shù)為________，一次項(xiàng)系數(shù)為_________，常數(shù)項(xiàng)為_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．關(guān)于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是________．三、綜合提高\(yùn)o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題1．a(chǎn)滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？2．關(guān)于x的方程（2m2+m）xm+13．一塊矩形鐵片，面積為1m2，長比寬多3m小明在做這道\o"歡迎登陸全品中考網(wǎng)"題時(shí)，是這樣做的：設(shè)鐵片的長為xm，列出的方程為x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道鐵片的長到底是多少，下面是他的探索過程：第一步：x1234x2-3x-1-3-3所以，________x__________.第二步：x3.4x2-3x-1-0.96-0.36所以，________x__________（1）請(qǐng)你幫小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通過以上探索，估計(jì)出矩形鐵片的整數(shù)部分為_______，十分位為______．答案:一、1．A