攻克高中數(shù)學中幾種易錯代數(shù)運算

【摘

要】代數(shù)運算是高中數(shù)學的拉墻筋，滲透高中數(shù)學的每一個章節(jié)，更強調(diào)基礎運算的應用。針對學生運算能力較差的現(xiàn)實情況，教師需要弄清各種基礎運算的作用，分析學生運算出錯的原因，幫助學生攻克運算難關，提高學生解題能力?！娟P鍵詞】高中;數(shù)學;代數(shù)運算初中數(shù)學在小學整式運算基礎上，增加了代數(shù)式的運算，從了解到強化這些運算，為高中數(shù)學夯實基礎。高中數(shù)學主要應用到哪些代數(shù)運算呢？整式乘法及合并同類項、通分因式分解、配方、通分逆運算及繁分式的化簡是整個高中數(shù)學應用較廣、出錯率較高的基本代數(shù)運算。下面就來看看這些基本運算在各章節(jié)中的應用，它們的作用和出錯情況，抓住運算的作用和目的，用“細心”“耐心”和“信心”攻克這些運算難關。一、整式乘法及合并同類項整式乘法及合并同類項的作用：將整式化簡整合，適用于各種含參量運算。例1：已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，設過點F2的直線l被橢圓C截得的線段為MN，當l⊥x軸時，|MN|=3。（1）求橢圓C的標準方程;（2）在x軸上是否存在一點P，使得當l變化時，總有PM與PN所在的直線關于x軸對稱？若存在，請求出點P的坐標;若不存在，請說明理由。解析：（1）略;（2）當直線l垂直于x軸時，x軸上任意一點都滿足PM與PN所在直線關于x軸對稱，當直線l不垂直于x軸時，假設存在p（t，0）滿足條件，設l的方程為y=k（x-1），M（x2，y1），N（x2，y2），聯(lián)立y=k（x-1）3x+4y=12，當直線l垂直于x軸時，x軸上任意一點P都滿足PM與PN所在直線關于x軸對稱;當直線l不垂直于x軸時，假設存在p（t，0）滿足條件，設l的方程為y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立y=k（x-1）3x+4y=12得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0;可得x+x=，xx=①∵PM與PN所在的直線關于x軸對稱∴+=0②∵MN兩點在直線y=k（x-1）上，∴y1=k（x1-1），y2=k（x2-1）代入②得，==0，∴2x1x2-（t+1）（x1+x2）+2t=0③，將①代入③得，==0，要使上式與k的取值無關，則t=4。綜上所述，存在p（4，0），使得當l變化時，總有PM與PN所在直線關于x軸對稱。整式乘法及合并同類項比較典型的是應用于“直線與圓錐曲線”交點問題中，解方程組時代入消元，通過整式乘法及合并同類項，解出方程或設而不解。學生往往在這個過程中出錯，導致本大題一分不得。在此類問題中，我們應耐心、細心地降次排列好，關注系數(shù)有沒有遺漏錯誤，及時糾正再往下寫。二、通分、因式分解通分的主要作用是將幾個異分母分式（數(shù)）化為一個分式，通過分析分子與分母兩個式子的因式求根或判號。因式分解的作用：將整式分解成幾個因式的乘積，便于求根或判號。判號在高中數(shù)學中主要用于兩個方面。（一）比較大小“作差”例2：已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f（x）=x+-4。（1）求函數(shù)f（x）在R上的解析式;（2）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（，+∞）上是增函數(shù)。解析：（1）略;（2）證明：設<x1<x2，則f（x1）-<p="">f（x2）=x1+-x2-=（x1-x2）+=（x1-x2）（1-）=（x1-x2），∵<x1<x2，x1-x2<0，x1x2>3，∴f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（，+∞）上是增函數(shù)，得證。<p="">本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，很多學生往往在“作差”之后，沒有變形到位就開始討論判號，沒有充分的依據(jù)判號。這題的變形就需要通分、因式分解，這樣通過各個因式的符號判定最后的符號，就解決問題了。只有弄清通分、因式分解的作用是判號，為什么要進行這樣的變形，才能應用運算。（二）判斷導函數(shù)的符號，研究單調(diào)性例3：已知函數(shù)f（x）=alnx+x2-ax（a∈R）。（1）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）的單調(diào)區(qū)間;（2）求g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[1，e]上的最小值h（a）。解：（1）f'（x）=+2x-a（x>0），∵x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點，∴f'（3）=+6-a=0，解得a=9，∴f'（x）=，∴0<x<或x>3時，f'（x）>0，<x<3時，f'（x）<0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），（3，+∞）;f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，3）。<p="">（2）g（x）=alnx+x2-ax-2x，x∈[1，e]，g'（x）=，①≤1即a≤2時，g（x）在[1，e]遞增，g（x）min=g（1）=-a-1;②1<<e即2<<2e時，g（x）在[1，]遞減，在（，e]遞增，故g（x）min=g（）=aln--a;③≥e即a≥2e時，g（x）在[1，e]遞減，故g（x）min=g（e）=a（1-e）+e（e-2）;<p="">綜上h（a）=-a-1，a≤2aln--a，2<a<2e<p="">a（1-e）+e（e-2），a≥2e。討論函數(shù)的單調(diào)性，本題抓住導函數(shù)通分、因式分解，通過判定導函數(shù)的正負符號，研究函數(shù)的單調(diào)性。同學們在學習導數(shù)時，對導函數(shù)與原函數(shù)關系的理解，需要轉(zhuǎn)換到導函數(shù)正負符號與原函數(shù)單調(diào)性的關系上，將原函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)判號問題。三、配方法配方法就是將整式化成完全平方的形式，把二次多項式化為一個一次多項式的平方與一個常數(shù)的和。配方常用于“判號”，廣泛應用于“二次函數(shù)問題”，主要作用是找到二次函數(shù)的頂點、對稱軸和最值。（一）判號例4：已知函數(shù)f（x）=x3+3x，（1）求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù);（2）求證：函數(shù)f（x）為增函數(shù)。解析：（1）略;（2）證明：設x1<x2，f（x1）-f（x2）=（x13+3x1）-（x23+3x2）<p="">=（x13-x23）+3（x1-x2）=（x1-x2）（x12+x22+x1x2+3）=（x1-x2）[（x1+x2）2+x22+3）]，又由x1<x2，則（x1-x2）<0，[（x1+x2）2+x22+3）]>0，即f（x1）-f（x2）<0，則函數(shù)為增函數(shù)。本題中x12+x22+x1x2+3=（x1+x2）2+x22+3，運用配方再判號。（二）解決二次函數(shù)問題例5：已知向量=（-3，2），=（2，1），=（3，-1），t∈R.（1）求|+t|的最小值及相應的t值;若-t與共線，求實數(shù)t.解析：因為=（-3，2），=（2，1），所以+t=（-3，2）+t（2，1）=（-3+2t，2+t），所以|+t|===≥=。當且僅當t=時取等號，即|+t|的最小值為，此時t=。（2）略。本題中=，這樣通過配方解決了二次函數(shù)問題，而二次函數(shù)是高中數(shù)學中最廣泛的函數(shù)之一。配方時可先將二次項和一次項組合并提取二次項系數(shù)，再配出一次項系數(shù)的一半，最后考慮常數(shù)項。如ax2+bx+c=a（x2+x）+c=a（x+）2+c-，這里“”和“c-”是出錯率較高的地方，運算時我們應及時驗算是否有誤。四、通分的逆運算通分的逆運算則是將一個分式用除法的分配律，分成幾個整式或分式的和。比較典型的有分離常數(shù)，可以降低分子的次數(shù)。例6：求下列函數(shù)的值域：（1）y=;（2）y=;（3）y=。分析：（1）y===3-，將分子分母一次型轉(zhuǎn)換為反比例函數(shù)模型。（2）y==2x+-2，化為雙勾函數(shù)。分子二次分母一次的，也可用此法轉(zhuǎn)換為其他函數(shù)解決。當然，函數(shù)y==2x--2，可以直接利用函數(shù)單調(diào)遞增來研究。（3）y===2-，這種分離常數(shù)的做法，將分子分母二次型轉(zhuǎn)換為分子一次型考慮，令3x+1=t，即可轉(zhuǎn)換為上一類題型。這類問題，很多學生的困惑在于不知道這種運算能降低分子的次數(shù)，從而將復雜的函數(shù)轉(zhuǎn)換為我們熟悉的基本函數(shù)。當我們熟練掌握這一技巧，遇到這樣的分式函數(shù)，就有信心順利地解決。五、攻克運算難關方法以上是筆者對高中數(shù)學中幾種易錯代數(shù)運算應用的理解，在教學過程中，我們又該如何攻克這些運算難關呢？（一）專題例談各種基本運算通過上述舉例，學生對這些基本運算的作用有了初步了解，懂得恰當運用這些運算是成功解決數(shù)學問題的首要步驟。高一、高二應根據(jù)教學內(nèi)容局部舉例，高三可采取專題例談各種高中易錯基本運算。（二）設計專項訓練對高一、高二學生而言，新學