第2章函數(shù)專練8-對數(shù)函數(shù)-2021屆高三數(shù)學一輪復習

第一章函數(shù)專練8—對數(shù)函數(shù)一、選擇題1．設(shè)a＝0.32.1，b＝2.10.3，c＝log0.32.1，d＝log2.10.3，則a，b，c，d的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c2．已知實數(shù)x，y滿足log2x+e﹣y＜log2y+e﹣x，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．x＞y B．ln|x﹣y|＜0 C．ln|x﹣y+1|＞0 D．ln|y﹣x+1|＞03．已知函數(shù)f（x）＝log3（x+2），若a＞b＞c＞0，則的大小關(guān)系（）A． B． C． D．4．設(shè)0＜a＜1，則（）A． B． C． D．5．若，則（）A． B．C． D．6．已知b＞0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是（）A．d＝ac B．a(chǎn)＝cd C．c＝ad D．d＝a+c7．若函數(shù)f（x）＝ln（ax2﹣2x+3）的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[0，] B．（，+∞） C．（﹣∞，] D．（0，]8．已知函數(shù)y＝f（x）（x∈R）滿足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]時，f（x）＝﹣|x|+1，則當x∈[﹣10，10]時，y＝f（x）與g（x）＝log4|x|的圖象的交點個數(shù)為（）A．13 B．12 C．11 D．109．已知函數(shù)f（x）＝ln（|x|+1）+，則使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范圍是（）A． B． C．（1，+∞） D．10．若函數(shù)f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在區(qū)間（1，3）內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．[，1） B．（0，] C．（1，） D．[）11．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax2（a＞0），若存在實數(shù)m，n∈[1，3]，且m﹣n≥1時有f（m）＝f（n）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，] B．[] C．（] D．（）12．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，若函數(shù)f（x）滿足條件：存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，則稱f（x）為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)f（x）＝log2（2x+t）為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是（）A．（0，） B．（﹣∞，） C．（0，] D．（﹣∞，]填空題13．若函數(shù)f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是]．14．如圖所示，正方形ABCD的四個頂點在函數(shù)y1＝logax，y2＝2logax，y3＝logax+3（a＞1）的圖象上，則a＝．15．若方程log2（ax2﹣2x+2）＝2在區(qū)間有解，則實數(shù)a∈．16．設(shè)函數(shù)f（x）＝|logax|（0＜a＜1）的定義域為[m，n]（m＜n），值域為[0，1]，若n﹣m的最小值為，則實數(shù)a＝．解答題17．已知a∈R，函數(shù)f（x）＝log2（+a）．（1）當a＝﹣5時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；（2）設(shè)a＞0，若對任意t∈[，1]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值與最小值的差都不超過1，求實數(shù)a的取值范圍．18．已知函數(shù)f（x）＝logax（a＞1），若b＞a，且f（b）+＝，ab＝ba．（1）求a與b的值；（2）當x∈[0，1]時，函數(shù)g（x）＝m2x2﹣2mx+1的圖象與h（x）＝f（x+1）+m的圖象僅有一個交點，求正實數(shù)m的取值范圍．19．設(shè)為奇函數(shù)，a為常數(shù)．（1）確定a的值（2）求證：f（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)（3）若對于區(qū)間[3，4]上的每一個x值，不等式恒成立，求實數(shù)m取值范圍．20．已知函數(shù)（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并說明理由；（Ⅱ）當0＜a＜1時，判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使得當f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[1+logan，1+logam]？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．第一章函數(shù)專練8—對數(shù)函數(shù)答案1．解：∵0＜0.32.1＜0.30＝1，2.10.3＞2.10＝1，，，∴b＞a＞c＞d．故選：C．2．解：∵實數(shù)x，y滿足log2x+e﹣y＜log2y+e﹣x，則log2x﹣e﹣x＜log2y﹣e﹣y，再根據(jù)f（x）＝log2x﹣e﹣x為（0，+∞）上的增函數(shù)，∴x＜y，∴y﹣x+1＞1，∴l(xiāng)n|y﹣x+1|＞0，故選：D．3．解：∵函數(shù)f（x）＝log3（x+2），則可分別看作（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））與原點連線的斜率，如圖：當a＞b＞c＞0時，有＜＜，故選：A．4．解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜＜1，∴在A中，，故A錯誤；在B中，＞，故B正確；在C中，，故C錯誤；在D中，，故D錯誤．故選：B．5．解：由函數(shù)，，可知，x∈（0，e），f'（x）＞0，x∈（e，+∞），f'（x）＜0，又，，所以．故選：A．6．解：由5d＝10，可得，∴cd＝lgb＝log5b＝a．故選：B．7．解：若函數(shù)f（x）＝ln（ax2﹣2x+3）的值域為R，即有t＝ax2﹣2x+3取得一切的正數(shù)，當a＝0時，t＝3﹣2x取得一切的正數(shù)，成立；當a＜0不成立；當a＞0，△≥0即4﹣12a≥0，解得0＜a≤，綜上可得0≤a≤．故選：A．8．解：由題意，函數(shù)f（x）滿足：定義域為R，且f（x+2）＝2f（x），當x∈[﹣1，1]時，f（x）＝﹣|x|+1；在同一坐標系中畫出滿足條件的函數(shù)f（x）與函數(shù)y＝log4|x|的圖象，如圖：由圖象知，兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間[﹣10，10]內(nèi)共有11個交點；故選：C．9．解：∵函數(shù)f（x）＝ln（|x|+1）+為定義域R上的偶函數(shù)，且在x≥0時，函數(shù)單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等價為f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，兩邊平方得x2＞（2x﹣1）2，即3x2﹣4x+1＜0，解得＜x＜1；∴使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范圍是（，1）．故選：A．10．解：令y＝logat，t＝2﹣ax，∵a＞0∴t＝2﹣ax在（1，3）上單調(diào)遞減∵f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在區(qū)間（1，3）內(nèi)單調(diào)遞增∴函數(shù)y＝logat是減函數(shù)，且t（x）＞0在（1，3）上成立∴∴0＜a≤故選：B．11．解：依題意得n∈[1，2]，m∈[2，3]，而f′（x）＝＝，由a＞0，m﹣n≥1時有f（m）＝f（n）成立，則f（x）須在（1，）上單調(diào)遞增，在（，3）上單調(diào)遞減，∵f（1）＝﹣a，f（2）＝ln2﹣4a，f（3）＝ln3﹣9a，當f（3）≥f（1）時，只需f（2）≥f（3），此時ln2﹣4a≥ln3﹣9a，解得a；當f（3）＜f（1）時，只需f（2）≥f（1），此時ln2﹣4a≥﹣a，解得a．∴a的取值范圍為：≤a≤．故選：B．12．解：∵函數(shù)f（x）＝f（x）＝log2（2x+t）為“倍縮函數(shù)”，且滿足存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t＝0的兩個根，設(shè)m＝＝，則m＞0，此時方程為m2﹣m+t＝0即方程有兩個不等的實根，且兩根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴滿足條件t的范圍是（0，），故選：A．13．解：由于函數(shù)f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故當x≤2時，滿足f（x）＝6﹣x≥4．①若a＞1，f（x）＝3+logax在它的定義域上單調(diào)遞增，當x＞2時，由f（x）＝3+logax≥4，∴l(xiāng)ogax≥1，∴l(xiāng)oga2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）＝3+logax在它的定義域上單調(diào)遞減，f（x）＝3+logax＜3+loga2＜3，不滿足f（x）的值域是[4，+∞）．綜上可得，1＜a≤2，故答案為：（1，2]．14．解：設(shè)B（x1，2logax1），C（x1，logax1+3），A（x2，logax2），D（x2，2logax2），則logax2＝2logax1，∴，又2logax2＝logax1+3，，即x1＝a，，∵ABCD為正方形，∴|AB|＝|BC|；可得a2﹣a＝2，解得a＝2．故答案為：2．15．解：方程log2（ax2﹣2x+2）＝2在內(nèi)有解，則ax2﹣2x﹣2＝0在內(nèi)有解，即在內(nèi)有值使成立，設(shè)，當時，，∴，∴a的取值范圍是．故答案為：16．解：①若1≤m＜n，則f（x）＝﹣logax，∵f（x）的值域為[0，1]，∴f（m）＝0，f（n）＝1，解得m＝1，n＝，又∵n﹣m的最小值為，∴﹣1≥以及0＜a＜1，當“＝”成立時，解得a＝，符合題意；②若0＜m＜n≤1，則f（x）＝logax，∵f（x）的值域為[0，1]，∴f（m）＝1，f（n）＝0，解得m＝a，n＝1，又∵n﹣m的最小值為，∴1﹣a＝，解得a＝，符合題意；③若0＜m＜1＜n時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得不滿足題意．故答案為：或．解答題17．解：（1）a＝﹣5時，f（x）＝log2（﹣5），令f（x）＞0，即﹣5＞1，0＜x＜，故不等式的解集是（0，）；（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，由題意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣＝，設(shè)1﹣t＝r，則0≤r≤，＝＝，當r＝0時，＝0，當0＜r≤時，＝，∵y＝r+在（0，）上遞減，∴r+≥+4＝，∴＝≤＝，∴實數(shù)a的取值范圍是a≥．18．解：（1）函數(shù)f（x）＝logax（a＞1），若b＞a，且f（b）+＝，ab＝ba，可得logab+logba＝，即為（logab）2﹣logab+1＝0，解得logab＝2或，由于b＞a＞1，可得logab＝2，即b＝a2，又＝a2a，即a2＝2a，解得a＝2，b＝4；（2）根據(jù)題意，由于m為正數(shù)，y＝g（x）＝（mx﹣1）2為二次函數(shù)，在區(qū)間（0，）為減函數(shù)，（，+∞）為增函數(shù)，函數(shù)y＝log2（x+1）+m為增函數(shù)，分2種情況討論：①當0＜m≤1時，有≥1，在區(qū)間[0，1]上，y＝（mx﹣1）2為減函數(shù)，且其值域為[（m﹣1）2，1]，函數(shù)y＝log2（x+1）+m為增函數(shù)，其值域為[m，1+m]，此時兩個函數(shù)的圖象有1個交點，符合題意；②當m＞1時，有＜1，y＝（mx﹣1）2在區(qū)間（0，）為減函數(shù)，（，1）為增函數(shù)，函數(shù)y＝log2（x+1）+m為增函數(shù)，其值域為[m，1+m]，若兩個函數(shù)的圖象有1個交點，則有（m﹣1）2＞1+m，解可得m＜0或m＞3，又由m為正數(shù)，則m＞3；綜合可得m的取值范圍是（0，1]∪（3，+∞）．19．解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴定義域關(guān)于原點對稱，由＞0，得（x﹣1）（1﹣ax）＞0．令（x﹣1）（1﹣ax）＝0，得x1＝1，x2＝，∴＝﹣1，解得a＝﹣1．（2）由（1）f（x）＝，令u（x）＝＝1+，設(shè)任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），則u（x1）﹣u（x2）＝，∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，∴u（x1）﹣u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．∴u（x）＝1+（x＞1）是減函數(shù)，又y＝u為減函數(shù)，∴f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．（3）由題意知﹣（）x＞m，x∈（3，4）時恒成立，令g（x）＝﹣（）x，x∈（3，4），由（2）知在[3，4]上為增函數(shù)，又﹣（）x在（3，4）上也是增函數(shù)，故g（x）在（3，4）上為增函數(shù)，∴g（x）的最小值為g（3）＝﹣，∴m＜﹣，故實數(shù)m的范圍是（﹣∞，﹣）．20．解：（1）由1﹣＞0，可得x＜﹣1或x＞1，∴f（x）的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∵f（x）＝loga（1﹣）＝loga（），且f（﹣x）＝loga（）＝loga（）＝﹣loga（）＝﹣f（x）；∴f（x）在定義域上為奇函數(shù)．（2）當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，任取x1，x2且1＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝loga（）；由（x1﹣1）（x2+1）﹣（x1+1）（x2﹣1）＝2（x1﹣x2）＜0，∴0＜＜1，又0＜a＜1，∴l(xiāng)oga（）＞0則f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減；（3）假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，使得當f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[1+logan，1+