第1章一元二次方程（壓軸必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）（原卷版）

第1章一元二次方程（壓軸必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）一．一元二次方程的解（共1小題）1．（2020秋?句容市月考）閱讀下列材料：（1）關(guān)于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程兩邊同時(shí)乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），則＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．二．解一元二次方程-配方法（共1小題）2．（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）小明在解一元二次方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可變形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接開平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法”．（1）下面是小明用“平均數(shù)法”解方程（x+3）（x+7）＝5時(shí)寫的解題過程．解：原方程可變形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接開平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為，，，．（2）請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．三．根的判別式（共4小題）3．（2021秋?盱眙縣校級(jí)月考）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)．（1）如果x＝1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．4．（2021秋?張家港市校級(jí)月考）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求證：這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a＝4，另兩邊長(zhǎng)b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長(zhǎng)．5．（2021秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）＝0（k≠0）．（1）求證：無論k取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）要使得方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求整數(shù)k可能取值．6．（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0與x2+mx﹣1＝0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值．四．根與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）7．（2021春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的一元二次方程，（1）求證：不論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)x1、x2是方程的兩個(gè)根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，求k的值．五．一元二次方程的應(yīng)用（共21小題）8．（2020?赫山區(qū)校級(jí)自主招生）等腰△ABC的直角邊AB＝BC＝10cm，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度做直線運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△PCQ的面積為S．（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否改變？證明你的結(jié)論．9．（2012?黔西南州）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程x2+x﹣1＝0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為y，則y＝2x所以x＝．把x＝代入已知方程，得（）2+﹣1＝0化簡(jiǎn)，得y2+2y﹣4＝0故所求方程為y2+2y﹣4＝0．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；（2）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．10．（2021秋?江都區(qū)校級(jí)月考）已知：?ABCD的兩邊AB，AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；（2）若AB的長(zhǎng)為2，那么?ABCD的周長(zhǎng)是多少？11．（2020秋?南京月考）某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購進(jìn)800件T恤，第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售，售出了200件；第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購進(jìn)的價(jià)格；第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉時(shí)單價(jià)為40元，設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低x元．（1）填表：（不需化簡(jiǎn)）時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉時(shí)單價(jià)（元）8040銷售量（件）200（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元？12．（2021秋?吳江區(qū)月考）某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？13．（2023?東明縣一模）畢業(yè)在即，某商店抓住商機(jī)，準(zhǔn)備購進(jìn)一批紀(jì)念品，若商店花440元可以購進(jìn)50本學(xué)生紀(jì)念品和10本教師紀(jì)念品，其中教師紀(jì)念品的成本比學(xué)生紀(jì)念品的成本多8元．（1）請(qǐng)問這兩種不同紀(jì)念品的成本分別是多少？（2）如果商店購進(jìn)1200個(gè)學(xué)生紀(jì)念品，第一周以每個(gè)10元的價(jià)格售出400個(gè)，第二周若按每個(gè)10元的價(jià)格仍可售出400個(gè)，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價(jià)銷售（根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出100個(gè)，但售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)），單價(jià)降低x元銷售一周后，商店對(duì)剩余學(xué)生紀(jì)念品清倉處理，以每個(gè)4元的價(jià)格全部售出，如果這批紀(jì)念品共獲利2500元，問第二周每個(gè)紀(jì)念品的銷售價(jià)格為多少元？14．（2022秋?東臺(tái)市期中）如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)．（1）幾秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm2？（2）△PBQ的面積可能等于10cm2嗎？為什么？15．（2022秋?宜興市月考）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說明理由．（2）若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？16．（2021秋?天寧區(qū)校級(jí)月考）網(wǎng)絡(luò)購物無疑已被越來越多的人所接受，對(duì)人們生活的影響不斷加深．李先生是淘寶店主之一，進(jìn)了一批服裝，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件．如果每件提價(jià)1元出售，其銷售量將減少20件．如果李先生的網(wǎng)店銷售這批服裝要獲利12000元，并且投入盡量少，那么這種服裝售價(jià)應(yīng)為多少元？該網(wǎng)店進(jìn)多少件這種服裝？17．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）某化工材料經(jīng)售公司購進(jìn)了一種化工原料，進(jìn)貨價(jià)格為每千克30元．物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不得高于每千克70元，也不得低于30元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)蝺r(jià)每千克70元時(shí)日均銷售60kg；單價(jià)每千克降低一元，日均多售2kg．在銷售過程中，每天還要支出其他費(fèi)用500元（天數(shù)不足一天時(shí)，按一天計(jì)算）．如果日均獲利1950元，求銷售單價(jià)．18．（2021秋?錫山區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒，使△PBQ的面積等于8cm2？（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說明理由．（3）若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？19．（2021秋?沭陽縣校級(jí)月考）閱讀材料：各類方程的解法求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x＝a的形式．求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想﹣﹣轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）問題：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝；（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程＝x的解；（3）應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長(zhǎng)AD＝8m，寬AB＝3m，小華把一根長(zhǎng)為10m的繩子的一端固定在點(diǎn)B，沿草坪邊沿BA，AD走到點(diǎn)P處，把長(zhǎng)繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點(diǎn)C處，把長(zhǎng)繩剩下的一段拉直，長(zhǎng)繩的另一端恰好落在點(diǎn)C．求AP的長(zhǎng)．20．（2021秋?灌南縣校級(jí)月考）“黃橋燒餅全國聞名”，國慶節(jié)期間，黃橋某燒餅店平均每天可賣出300個(gè)燒餅，賣出1個(gè)燒餅的利潤(rùn)是1元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價(jià)每降0.1元，平均每天可多賣出100個(gè)，為了使每天獲取的利潤(rùn)更多，該店決定把零售單價(jià)下降m（0＜m＜1）元（1）零售單價(jià)下降m元后，每個(gè)燒餅的利潤(rùn)為元，該店平均每天可賣出個(gè)燒餅（用含m的代數(shù)式表示，需化簡(jiǎn)）；（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)m定為多少時(shí)，才能使該店每天獲取的利潤(rùn)是420元并且賣出的燒餅更多？21．（2020秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）如圖，某市近郊有一塊長(zhǎng)為60米，寬為50米的矩形荒地，地方政府準(zhǔn)備在此建一個(gè)綜合性休閑廣場(chǎng)，其中陰影部分為通道，通道的寬度均相等，中間的三個(gè)矩形（其中三個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)均為a米）區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地．（1）設(shè)通道的寬度為x米，則a＝（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地總占地面積為2430平方米．請(qǐng)問通道的寬度為多少米？22．（2020秋?宜興市月考）某大型水果超市銷售無錫水蜜桃，根據(jù)前段時(shí)間的銷售經(jīng)驗(yàn)，每天的售價(jià)x（元/箱）與銷售量y（箱）有如表關(guān)系：每箱售價(jià)x（元）68676665…40每天銷量y（箱）40455055…180已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)．（1）求y與x的函數(shù)解析式；（2）水蜜桃的進(jìn)價(jià)是40元/箱，若該超市每天銷售水蜜桃盈利1600元，要使顧客獲得實(shí)惠，每箱售價(jià)是多少元？（3）七月份連續(xù)陰雨，銷售量減少，超市決定采取降價(jià)銷售，所以從7月17號(hào)開始水蜜桃銷售價(jià)格在（2）的條件下，下降了m%，同時(shí)水蜜桃的進(jìn)貨成本下降了10%，銷售量也因此比原來每天獲得1600元盈利時(shí)上漲了2m%（m＜100），7月份（按31天計(jì)算）降價(jià)銷售后的水蜜桃銷售總盈利比7月份降價(jià)銷售前的銷售總盈利少7120元，求m的值．23．（2020秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請(qǐng)觀察圖形，并探究和解答下列問題：（1）設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為y，請(qǐng)寫出y與n（表示第n個(gè)圖形）的關(guān)系式；（2）上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的長(zhǎng)方形地面共用了506塊瓷磚，求此時(shí)n的值；（3）黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題（2）中，共需要花多少錢購買瓷磚？（4）否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形？請(qǐng)通過計(jì)算加以說明．24．（2021秋?常熟市校級(jí)月考）小麗為校合唱隊(duì)購買某種服裝時(shí)，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價(jià)為80元：如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價(jià)降低2元，但單價(jià)不得低于50元．按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買了這種服裝x件．（1）當(dāng)x＝時(shí)，小麗購買的這種服裝的單價(jià)為76元；（2）小麗一次性購買這種服裝付了1200元．請(qǐng)問她購買了多少件這種服裝？25．（2022秋?句容市月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度向D移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，問：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q距離是3cm？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P、Q、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．26．（2022秋?新北區(qū)校級(jí)月考）某工廠設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件成本40元，為了合理定價(jià)，現(xiàn)投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)是80元時(shí)，每天的銷售量是50件，若銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于65元．如果降價(jià)后銷售這款工藝品每天能盈利3000元，那么此時(shí)銷售單價(jià)為多少元？27．（2022秋?句容市月考）如圖，某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長(zhǎng)30m，寬20m的長(zhǎng)方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向