概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

邊緣分佈(一)邊緣分佈函數(shù)

二維隨機(jī)向量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分佈函數(shù)F(x,y).

其分量X和Y也都是隨機(jī)變數(shù),也有自己的分佈函數(shù),將其分別記為FX(x),FY(y).依次稱為X和Y的邊緣分佈函數(shù).

而把F(x,y)稱為X和Y的聯(lián)合分佈函數(shù).FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)

X和Y的邊緣分佈函數(shù),本質(zhì)上就是一維隨機(jī)變數(shù)X和Y的分佈函數(shù).之所以稱其為邊緣分佈是相對(duì)於(X,Y)的聯(lián)合分佈而言的.

同樣地,聯(lián)合分佈函數(shù)F(x,y)就是二維隨機(jī)向量(X,Y)的分佈函數(shù),之所以稱其為聯(lián)合分佈是相對(duì)於其分量X或Y的分佈而言的.注意求法一般，對(duì)離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)於X的邊緣概率函數(shù)為(X,Y)關(guān)於Y的邊緣概率函數(shù)為X和Y的聯(lián)合概率函數(shù)為(二)二維離散型隨機(jī)向量的邊緣分佈解:例1

求:例3.2.1（P62）中(X,Y)的分量X和Y的邊緣分佈.把這些數(shù)據(jù)補(bǔ)充到前面表上:解:例2(舊書P63,新書P60)轉(zhuǎn)下頁求:例3.2.2中(X,Y)的分量X和Y的邊緣分佈.

P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.00013+0.19987=0.20000P{X=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.00004+0.79996=0.80000P{Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}=0.00013+0.00004=0.00017P{Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0.19987+0.79996=0.99983把這些數(shù)據(jù)補(bǔ)充到例3.2.2的計(jì)算結(jié)果上:

（三）、對(duì)連續(xù)型隨機(jī)向量

(X,Y)X和Y的聯(lián)合概率密度為則(X,Y)關(guān)於X的邊緣概率函數(shù)為(X,Y)關(guān)於Y的邊緣概率函數(shù)為例3

若(X,Y)服從矩形區(qū)域a≤x≤b.c≤y≤d上均勻分佈,兩個(gè)邊緣概率密度分別為:

注

上題中X和Y都是服從均勻分佈的隨機(jī)變數(shù).但對(duì)於其他(不是矩形)區(qū)域上的均勻分佈,不一定有上述結(jié)論.例4

設(shè)(X,Y)服從單位圓域x2+y2≤1上的均勻分佈,求:X和Y的邊緣概率密度.解:當(dāng)x<-1或x>1時(shí)當(dāng)-1≤x≤1時(shí)（注意積分限的確定方法）

由X和Y在問題中地位的對(duì)稱性,將上式中的x改為y,就得到Y(jié)的邊緣概率密度:例5

設(shè)(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度。=5c/24=1,c=24/5解：(1)由確定Cxy01y=x例5

設(shè)(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)

c的值;(2)兩個(gè)邊緣密度.注意積分限注意取值範(fàn)圍xy01y=x例5

設(shè)(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)

c的值;(2)兩個(gè)邊緣密度.注意積分限注意取值範(fàn)圍xy01y=x即即解:例6

設(shè):(X,Y)～N(

1,2,,)求:X,Y的邊緣概率密度.這說明X～同理得Y～

說明對(duì)於確定的

1,2,1,2,當(dāng)

不同時(shí)，對(duì)應(yīng)了不同的二維正態(tài)分佈。對(duì)這個(gè)現(xiàn)象的解釋是:邊緣概率密度只考慮了單個(gè)分量的情況,而未涉及X與Y之間的關(guān)係.(X1,X2)～N(

1,2,,)

X1～X2～(與參數(shù)

無關(guān))

X與Y之間的關(guān)係這個(gè)資訊是包含在(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)之內(nèi)的.

在下一章將指出,對(duì)於二維正態(tài)分佈而言,參數(shù)

正好刻畫了X和Y之間關(guān)係的密切程度.

因此,僅由X和Y的邊緣概率密度(或邊緣分佈),一般不能確定(X,Y)的概率密度函數(shù)(或概率分佈)

參數(shù)估計(jì)

總體是由總體分佈來刻畫的.

總體分佈類型的判斷──在實(shí)際問題中,我們根據(jù)問題本身的專業(yè)知識(shí)或以往的經(jīng)驗(yàn)或適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法,有時(shí)可以判斷總體分佈的類型.

總體分佈的未知參數(shù)的估計(jì)──總體分佈的參數(shù)往往是未知的,需要通過樣本來估計(jì).通過樣本來估計(jì)總體的參數(shù),稱為參數(shù)估計(jì),它是統(tǒng)計(jì)推斷的一種重要形式.

本章討論:

參數(shù)估計(jì)的常用方法.

估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則.

若干重要總體的參數(shù)估計(jì)問題.例如

(1)為了研究人們的市場(chǎng)消費(fèi)行為,我們要先搞清楚人們的收入狀況.

假設(shè)某城市人均年收入X～N(,2).但參數(shù)

和

2的具體值並不知道,需要通過樣本來估計(jì).(2)假定某城市在單位時(shí)間(譬如一個(gè)月)內(nèi)交通事故發(fā)生次數(shù)X～P(

).

參數(shù)

未知,需要從樣本來估計(jì).這類問題稱為參數(shù)估計(jì).參數(shù)估計(jì)問題的一般提法X1,X2,…,Xn要依據(jù)該樣本對(duì)參數(shù)作出估計(jì)，或估計(jì)的某個(gè)已知函數(shù).現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體，總體的分佈函數(shù)向量).為F(x,)，其中為未知參數(shù)(可以是參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)（假定身高服從正態(tài)分佈）設(shè)這5個(gè)數(shù)是:1.651.671.681.781.69估計(jì)為1.68，這是點(diǎn)估計(jì).這是區(qū)間估計(jì).估計(jì)在區(qū)間[1.57,1.84]內(nèi)，假如我們要估計(jì)某隊(duì)男生的平均身高.

現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣本，我們的任務(wù)是要根據(jù)選出的樣本（5個(gè)數(shù)）求出總體均值的估計(jì).而全部資訊就由這5個(gè)數(shù)組成.一、點(diǎn)估計(jì)概念及討論的問題例1

已知某地區(qū)新生嬰兒的體重X~隨機(jī)抽查100個(gè)嬰兒…得100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)9,7,6,6.5,5,5.2,

…呢?據(jù)此,我們應(yīng)如何估計(jì)和而全部資訊就由這100個(gè)數(shù)組成.

為估計(jì),我們需要構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臉颖镜暮瘮?shù)T(X1,X2,…,Xn)，每當(dāng)有了樣本，就代入該函數(shù)中算出一個(gè)值,用來作為的估計(jì)值.把樣本值代入T(X1,X2,…,Xn)

中，得到

的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值.T(X1,X2,…Xn)稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量，

二、尋求估計(jì)量的方法1.矩估計(jì)法2.極大似然法3.最小二乘法4.貝葉斯方法……這裏我們主要介紹前面兩種方法.

第七章第一節(jié)矩估計(jì)其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩.

理論依據(jù):

矩是基於一種簡(jiǎn)單的“替換”思想建立起來的一種估計(jì)方法.是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出的.大數(shù)定律記總體k階矩為樣本k階矩為用相應(yīng)的樣本矩去估計(jì)總體矩的估計(jì)方法就稱為矩估計(jì)法.記總體k階中心矩為樣本k階中心矩為

設(shè)總體X的分佈函數(shù)中含有k個(gè)未知參數(shù)

步驟一、我們把總體X的m階原點(diǎn)矩E(Xm)記為am,m=1,2,

,k

一般地,am(m=1,2,

,k)是總體分佈中的參數(shù)

1,2,,k的函數(shù).

故應(yīng)該把a(bǔ)m

(m=1,2,

,k)記之為:am(

1,2,,k)(m=1,2,

,k)方法步驟二、

算出m階樣本原點(diǎn)矩:步驟三、令am(

1,2,,k)=Am

(m=1,2,

,k)得關(guān)於

1,2,,k的方程組步驟四、解這個(gè)方程組,其解記為

它們就可以做為

1,2,,k的估計(jì).這樣求出的估計(jì)叫做矩估計(jì).

∵X1,X2,

,Xn是獨(dú)立同分佈的.∴X1m,X2m,

,Xnm也是獨(dú)立同分佈的.於是有:E(X1m)=E(X2m)=

=E(Xnm)=E(Xm)=am.根據(jù)大數(shù)定律,樣本原點(diǎn)矩Am作為X1m,X2m,

,Xnm的算術(shù)平均值依概率收斂到均值am=E(Xm).即:原理解釋解:由矩法,樣本矩總體矩從中解得的矩估計(jì).即為數(shù)學(xué)期望是一階原點(diǎn)矩

例1

設(shè)總體X的概率密度為是未知參數(shù),其中X1,X2,…,Xn是取自X的樣本,求參數(shù)的矩估計(jì).解:由密度函數(shù)知

例2

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本其中>0,求的矩估計(jì).具有均值為的指數(shù)分佈故E(X-)=

Var(X-)=即

E(X)=Var(X)=解得令用樣本矩估計(jì)總體矩即

E(X)=Var(X)=

設(shè)總體的均值為,方差為

2,於是由此列出方程組:例3

均值,方差

2的矩估計(jì)∴均值,方差

2的矩估計(jì)是:

例如

求正態(tài)總體N(,2)兩個(gè)未知參數(shù)

和

2的矩估計(jì)為總體均勻分佈

X～U(a,b).求:兩個(gè)參數(shù)a,b的矩估計(jì)解:又如

但是由方程組求解出a,b的矩估計(jì):

矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,並不需要事先知道總體是什麼分佈.

缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒有充分利用分佈提供的資訊.一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)量不具有唯一性.

其主要原因在於建立矩法方程時(shí)，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性.

大數(shù)定律

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重複試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來.也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常採用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:

與大數(shù)定律中心極限定理下麵我們先介紹大數(shù)定律

大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率……幾個(gè)常見的大數(shù)定律定理1（切比雪夫大數(shù)定律）

設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)序列，它們都有有限的方差，並且方差有共同的上界，即Var(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫則對(duì)任意的ε>0，

切比雪夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立隨機(jī)變數(shù)序列{Xn}，如果方差有共同的上界，則與其數(shù)學(xué)期望

偏差很小的

概率接近於1.隨機(jī)的了，取值接近於其數(shù)學(xué)期望的概率接近於1.即當(dāng)n充分大時(shí)，差不多不再是切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述

證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.

設(shè)隨機(jī)變數(shù)X有期望E(X)和方差，則對(duì)於任給>0,

作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下麵的定理.定理2（獨(dú)立同分佈下的大數(shù)定律）

設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分佈的隨機(jī)變數(shù)序列，且E(Xi)=，Var(Xi)=，i=1,2,…,則對(duì)任給

>0,

下麵給出的貝努裏大數(shù)定律，是定理2的一種特例.貝努裏

設(shè)Sn是n重貝努裏試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，引入i=1,2,…,n則是事件A發(fā)生的頻率

於是有下麵的定理：

設(shè)Sn是n重貝努裏試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的ε>0，定理3（貝努裏大數(shù)定律）或貝努裏

貝努裏大數(shù)定律表明，當(dāng)重複試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率Sn/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.

貝努裏大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法.任給ε>0，貝努裏大數(shù)定律請(qǐng)看演示下麵給出的獨(dú)立同分佈下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變數(shù)的方差存在.

設(shè)隨機(jī)變數(shù)序列X1,X2,…獨(dú)立同分佈，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)任給ε>0，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽大數(shù)定律辛欽請(qǐng)看演示

例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n塊.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n

較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).這一講我們介紹了大數(shù)定律

大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.平均結(jié)果的穩(wěn)定性

二維離散型隨機(jī)向量

如果二維隨機(jī)向量(X,Y)的每個(gè)分量都是離散型隨機(jī)變數(shù),則稱(X,Y)是二維離散型隨機(jī)向量.

二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)所有可能取的值也是有限個(gè)或可列無窮個(gè).

二維隨機(jī)變數(shù)（X,Y）聯(lián)合分佈離散型i,j=1,2,…X和Y的聯(lián)合概率分佈k=1,2,…離散型一維隨機(jī)變數(shù)Xk=1,2,…X的概率分佈概率分佈也可以用表格表示.

表3.2.1.(II)二維分佈律與二維分佈函數(shù)設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的分佈律為

piji=1,2,;j=1,2,

.

於是

(X,Y)的分佈函數(shù)解:例1

設(shè)有10件產(chǎn)品,其中7件正品,3件次品.現(xiàn)從中任取兩次,每次取一件產(chǎn)品,取後不放回.令:X=1：若第一次取到的產(chǎn)品是次品.X=0：若第一次取到的產(chǎn)品是正品.Y=1：若第二次取到的產(chǎn)品是次品.Y=0：若第二次取到的產(chǎn)品是正品.求:二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率分佈.(X,Y)所有可能取的值是(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).P{X=0,Y=0}=P{第一次取到正品且第二次也取到正品},

利用古典概型,得:P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15

同理求得:P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30P{X=1,Y=0}=(37)/(109)=7/30P{X=1,Y=1}=(32)/(109)=1/15例2

為了進(jìn)行吸煙與肺癌關(guān)係的研究，隨機(jī)調(diào)查了23000個(gè)40歲以上的人，其結(jié)果列在下表之中.X=1若被調(diào)查者不吸煙,X=0若被調(diào)查者吸煙,Y=1若被調(diào)查者未患肺癌,Y=0若被調(diào)查者患肺癌.令:從表中的每一種情況出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算出它們的頻率,就產(chǎn)生了二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率分佈:P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013,P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004,P{X=0,Y=1}≈4597/23000=0.19987,P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996.(I)概率密度函數(shù)

設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的分佈函數(shù)為F(x,y).如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)f(x,y),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,總有則稱(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱概率密度.

二維連續(xù)型隨機(jī)向量

連續(xù)型一維隨機(jī)變數(shù)XX的密度函數(shù)二維隨機(jī)變數(shù)（X,Y）連續(xù)型X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)

對(duì)連續(xù)型r.v(X,Y)，其概率密度與分佈函數(shù)的關(guān)係如下：在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)解:(1)例1

設(shè)(X,Y)的概率密度函數(shù)為其中A是常數(shù).(1)求常數(shù)A.(2)求(X,Y)的分佈函數(shù)；(3)計(jì)算P{0<X<4,0<Y<5}.(3)P{0<X<4,0<Y<5}(二)均勻分佈定義

設(shè)D是平面上的有界區(qū)域,其面積為d,若二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為:則(X,Y)稱

服從D上的均勻分佈.(X,Y)落在D中某一區(qū)域A內(nèi)的概率P{(X,Y)

A},與A的面積成正比而與A的位置和形狀無關(guān).P{(X,Y)

A}=A的面積/d解:例2

設(shè)(X,Y)服從圓域x2+y2≤4上的均勻分佈.

計(jì)算P{(X,Y)

A},

這裏A是圖中陰影部分的區(qū)域

圓域x2+y2≤4的面積d=4

區(qū)域A是x=0,y=0和x+y=1三條直線所圍成的三角區(qū)域,並且包含在圓域x2+y2≤4之內(nèi),面積=0.5

∴P{(X,Y)

A}=0.5/4=1/8

若二維隨機(jī)變數(shù)（X,Y）具有概率密度記作（X,Y）～N()則稱（X,Y）服從參數(shù)為

的二維正態(tài)分佈.其中均為常數(shù),且(三)二維正態(tài)分佈二維正態(tài)分佈(X,Y)的概率密度函數(shù)

f(x,y)滿足:

性質(zhì)證明見黑板(1)(2)二維正態(tài)分佈

這一講我們介紹了二維連續(xù)型隨機(jī)向量的概率密度函數(shù),深入瞭解其概念及性質(zhì)是十分重要的.

另外,還介紹的二維均勻分佈,二維正態(tài)分佈.

方差

例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用座標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：

若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？乙儀器測(cè)量結(jié)果

甲儀器測(cè)量結(jié)果較好測(cè)量結(jié)果的均值都是a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙較好因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近.

中心中心

為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特徵,用它來度量隨機(jī)變數(shù)取值在其中心附近的離散程度.這個(gè)數(shù)字特徵就是我們這一講要介紹的方差一、方差的定義

採用平方是為了保證一切差值X-E(X)都起正面的作用

由於它與X具有相同的度量單位，在實(shí)際問題中經(jīng)常使用.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)，若E{[X-E(X)]2}<∞，則稱Var(X)=E{[X-E(X)]2}(1)為X的方差.注：有的書上記作D(X)若X的取值比較分散，則方差較大.若方差Var(X)=0,則r.v.X

以概率1取常數(shù)值.

方差刻劃了隨機(jī)變數(shù)的取值對(duì)於其數(shù)學(xué)期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差較??；Var(X)=E[X-E(X)]2X為離散型，P{X=xk}=pk

由定義知，方差是隨機(jī)變數(shù)X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.X為連續(xù)型，X~f(x)二、計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式

Var(X)=E(X2)-[E(X)]2

展開證：Var(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性質(zhì)請(qǐng)自己用此公式計(jì)算常見分佈的方差.例1

設(shè)r.v.

X服從幾何分佈，概率函數(shù)為P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，n其中0<p<1,求Var(X)解：記q=1-p求和與求導(dǎo)交換次序無窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式

Var(X)=E(X2)-[E(X)]2

+E(X)求:Var(X)解:例2

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)X的密度函數(shù)f(x)為:例3設(shè)隨機(jī)變數(shù)X的期望和方差為E(X)和Var(X),且Var(X)>0,求:解:

設(shè):X為某加油站在一天開始時(shí)貯存的油量,Y為一天中賣出的油量,(當(dāng)然Y≤X).設(shè)(X,Y)具有概率密度函數(shù):

這裏1表明1個(gè)容積單位.

求:每日賣出的油量Y的期望與方差.例4解:

當(dāng)y<0或y>1時(shí)當(dāng)0≤y≤1時(shí)三、方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),則Var(C)=0;2.若C是常數(shù),則Var(CX)=C2

D(X);3.若X1與X2

獨(dú)立，則

Var(X1+X2)=Var(X1)+Var(X2);可推廣為：若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,則X1與X2不一定獨(dú)立時(shí)，Var(X1+X2

)=？請(qǐng)思考

4.

Var(X)=0P(X=C)=1，這裏C=E(X)P(X=x)下麵我們用一例說明方差性質(zhì)的應(yīng)用.

兩點(diǎn)分佈

X～B(1,p),Var(X)=p(1-p)四、常見隨機(jī)變數(shù)的方差

二項(xiàng)分佈

X～B(n,p),(其中0<p<1)Var(X)=np(1-p)泊松分佈

X～P(

)其中

>0,Var(X)=泊松分佈

X～P(

)其中

>0∴Var(X)=E(X2)-[E(X)]2=

2+-2=

均勻分佈

X～U(a,b)

指數(shù)分佈

正態(tài)分佈X～N(,2)

由第一節(jié)E(X)=

小結(jié)：這一講,我們介紹了隨機(jī)變數(shù)的方差.它是刻劃隨機(jī)變數(shù)取值在其中心附近離散程度的一個(gè)數(shù)字特徵.通過方差,可以判斷均值相同的隨機(jī)變數(shù)的取值情況.下麵,我們將介紹刻劃兩r.v.間線性相關(guān)程度的兩個(gè)重要的數(shù)字特徵：協(xié)方差與相關(guān)係數(shù)

古典概率模型

I.什麼是古典概率模型如果試驗(yàn)E滿足

(1)試驗(yàn)結(jié)果只有有限種，

(2)每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同。則稱這樣的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榈瓤赡芨怕誓Ｐ突蚬诺涓怕誓Ｐ停?jiǎn)稱為等可能概型或古典概型。II.古典概率模型中事件概率求法

因試驗(yàn)E的結(jié)果只有有限種,即樣本點(diǎn)是有限個(gè):

1,

2,…,

n

，其中

Ω={1}∪{

2}∪…∪{

n}，{

i}是基本事件，且它們發(fā)生的概率都相等。

於是，有

1=P(Ω)=P({1}∪{

2}∪…∪{

n})=P({1})+P({

2})+…+P({

n})=nP({

i}),i=1,2,…n。從而，P({

i})=1/n，i=1,2,…n。因此，若事件A包含k個(gè)基本事件，有

P(A)=k(1/n)=k/n。III.古典概模型的例例1：擲一顆均勻骰子，設(shè):A表示所擲結(jié)果為“四點(diǎn)或五點(diǎn)”；

B表示所擲結(jié)果為“偶數(shù)點(diǎn)”。求:P(A)和P(B)。解：由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3；再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。例2：解:

貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來自產(chǎn)地甲,3件來自地乙?，F(xiàn)從15件商品中隨機(jī)地抽取兩件,求這兩件商品來自一同產(chǎn)地的概率。

從15件商品中取出2商品,共有C215=105種取法,且每種取法都是等可能的，故n=105。令A(yù)={兩件商品都來自產(chǎn)地甲},kA=C212=66,B={兩件商品都來自產(chǎn)地乙},kB=C23=3，而事件:{兩件商品來自同一產(chǎn)地}=A∪B,且A與B互斥,A∪B包含基本事件數(shù)66+3=69。故，所求概率=69/105=23/35。例3

：有外觀相同的三極管6只,按其電流放大係數(shù)分類,4只屬甲類,2只屬乙類。按下列兩種方案抽取三極管兩只,(1).每次抽取一個(gè)只,測(cè)試後放回,然後再抽取下一只(放回抽樣);(2).每次抽取一只,測(cè)試後不放回,然後在剩下的三極管中再抽取下一只(不放回抽樣)。設(shè)A={抽到兩只甲類三極管},B={抽到兩只同類三極管},C={至少抽到一只甲類三極管},D={抽到兩只不同類三極管}。求：P(A),P(B),P(C),P(D)。解:(1).由於每次抽測(cè)後放回,因此,每次都是在6只三極管中抽取。因第一次從6只中取一只,共有6種可能取法；第二次還是從6只中取一只,還是有6種可能取法。故,取兩只三極管共有6

6=36種可能的取法。從而,n=36。注意:這種分析方法使用的是中學(xué)學(xué)過的

乘法原理

因每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同,第一次取一只甲類三極管共有4種可能取法,第二次再取一只甲類三極管還是有4種可能取法。所以,取兩只甲類三極管共有4

4=16種可能的取法,即kA=16。故

P(A)=16/36=4/9；令E={抽到兩只乙類三極管},kE=2

2=4。故

P(E)=4/36=1/9;因C是E的對(duì)立事件，故

P(C)=1-P(E)=8/9；因B=A∪E,且A與E互斥,得

P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的對(duì)立事件,得P(D)=1-P(B)=4/9。(2).由於第一次抽測(cè)後不放回,因此,第一次從6只中取一只,共有6種可能的取法；第二次是從剩餘的5只中取一只,有5種可能的取法。由乘法原理，知取兩只三極管共有n=6

5=30種可能的取法。由乘法原理,得kA=43=12,P(A)=12/30=2/5;kE=2

1=2，P(E)=2/30=1/15;由C是E的對(duì)立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15；由B=A∪E,且A與E互斥,得

P(B)=P(A)+P(E)=7/15；由D是B的對(duì)立事件,得P(D)=1-P(B)=8/15。解:例4：n個(gè)球隨機(jī)地放入N(N≥n)個(gè)盒子中,若盒子的容量無限制。求“每個(gè)盒子中至多有一球”的概率。

因每個(gè)球都可以放入N個(gè)盒子中的任何一個(gè),故每個(gè)球有N種放法。由乘法原理,將n個(gè)球放入N個(gè)盒子中共有Nn種不同的放法。每個(gè)盒子中至多有一個(gè)球的放法(由乘法原理得):N(N-1)…(N-n+1)=ANn種。故，

P(A)=ANn/Nn。

設(shè)每個(gè)人在一年(按365天計(jì))內(nèi)每天出生的可能性都相同,現(xiàn)隨機(jī)地選取n(n≤365)個(gè)人,則他們生日各不相同的概率為

A365n/365n。於是,n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為1-A365n/365n。(請(qǐng)打開P14表1.3.1)

許多問題和上例有相同的數(shù)學(xué)模型。例如(生日問題):

某人群有n個(gè)人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？

把n個(gè)物品分成k組,使第一組有n1個(gè),第二組有n2個(gè),…,第k組有nk個(gè),且n=n1+n2+…+nk

。則:不同的分組方法有公式種。解:例5:

某公司生產(chǎn)的15件品中,有12件是正品,3件是次品?，F(xiàn)將它們隨機(jī)地分裝在3個(gè)箱中,每箱裝5件，設(shè):A={每箱中恰有一件次品},B={三件次品都在同一箱中}。求:P(A)和P(B)。15件產(chǎn)品裝入3個(gè)箱中,每箱裝5件,共有種等可能的裝法。故,基本事件總數(shù)有個(gè)。續(xù):

把三件次品分別裝入三個(gè)箱中,共有3!種裝法。這樣的每一種裝法取定以後,把其餘12件正品再平均裝入3個(gè)箱中,每箱裝4件,有個(gè)基本事件。再由乘法原理,可知裝箱總方法數(shù)有即A包含從而，續(xù):

把三件次品裝入同一箱中,共有3種裝法.這樣的每一種裝法取定以後,再把其餘12件正品裝入3個(gè)箱中(一箱再裝2件,另兩箱各裝5件)又有個(gè)基本事件。故，由乘法原理，知裝箱方法共有即B包含解:例6：設(shè)N件產(chǎn)品中有K件是次品,N-K件是正品,K<N?，F(xiàn)從N件中每次任意抽取1件產(chǎn)品,在檢查過它是正品或是次品後再放回,這樣共抽取了n次。求:事件A={所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品}的概率,k=0,1,2,…,n。

假定N件產(chǎn)品是有編號(hào)的,從中任意取出一件,每次都有N種取法.由乘法原理,n次共有Nn種取法,故,基本事件總數(shù)為Nn。

當(dāng)所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品時(shí),由於取到這k件次品的次序的不同,因此從次序考慮共有Cnk種情況。續(xù):

這Cnk種情況確定以後,從K件次品中取出k件,共有Kk種取法。從N-K件正品中取n-k件,共有(N-K)n-k種取法。由乘法原理,共有CnkKk(N-K)n-k種取法,∴A中基本事件個(gè)數(shù)為CnkKk(N-K)n-k。小結(jié)

本節(jié)首先給出古典概型的定義；然後討論了古典概型中事件概率求法：若事件A包含k個(gè)基本事件，有

P(A)=k(1/n)=k/n；最後，給出了幾個(gè)古典概型中求隨機(jī)事件概率的應(yīng)用實(shí)例。

基本概念

一、隨機(jī)試驗(yàn)與事件I.隨機(jī)試驗(yàn)

1.隨機(jī)試驗(yàn)

把對(duì)某種隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察、觀測(cè)或測(cè)量等稱為一個(gè)試驗(yàn)。如果這個(gè)試驗(yàn)在相同的條件下可以重複進(jìn)行，且每次試驗(yàn)的結(jié)果事前不可預(yù)知，則稱此試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，也簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，記為E。注：以後所提到的試驗(yàn)均指隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)舉例：

E1:擲一顆骰子，觀察所擲的點(diǎn)數(shù)是幾；

E2:觀察某城市某個(gè)月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù)；

E3:對(duì)某只燈泡做試驗(yàn),觀察其使用壽命；

E4:對(duì)某只燈泡做試驗(yàn),觀察其使用壽命是否小於200小時(shí)。

對(duì)於隨機(jī)試驗(yàn),僅管在每次試驗(yàn)之前不能預(yù)知其試驗(yàn)結(jié)果，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合卻是已知的。

若以Ωi表示試驗(yàn)Ei的樣本空間,i=1,2,3,4,則

◆E1:擲一顆骰子，觀察所擲的點(diǎn)數(shù)是幾，

Ω1={1,2,3,4,5,6}；

稱試驗(yàn)所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間,記為Ω。2.樣本空間

樣本空間的元素,即隨機(jī)試驗(yàn)的單個(gè)結(jié)果稱為樣本點(diǎn)。E2:觀察某城市某個(gè)月內(nèi)交通事故發(fā)生次數(shù)，

Ω2={0,1,2,…}；E3:對(duì)某只燈泡實(shí)驗(yàn)，觀察其使用壽命，

Ω3={t,t≥0}；E4:對(duì)某只燈泡做實(shí)驗(yàn),觀察其使用壽命是否小於200小時(shí)，

Ω4={壽命小於200小時(shí)，壽命不小於200小時(shí)}。II.隨機(jī)事件

把樣本空間的任意一個(gè)子集稱為一個(gè)隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件。常用大寫字母A,B,C,…表示。

特別地,如果事件只含一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果(即樣本空間的一個(gè)元素),則稱該事件為基本事件。

寫出試驗(yàn)E1的樣本空間

Ω1={1,2,3,4,5,6}的下述子集合表示什麼事件？指出哪些是基本事件。

A1={1},A2={2},…,A6={6}

━━分別表示擲的結(jié)果為“一點(diǎn)”至“六點(diǎn)”,都是基本事件；

B={2,4,6}

━━

表示擲的結(jié)果為“偶數(shù)點(diǎn)”，非基本事件；

C={1,3,5,}

━━

表示“擲的結(jié)果為奇數(shù)點(diǎn)”，非基本事件；

D={4,5,6}

━━

表示“擲的結(jié)果為四點(diǎn)或四點(diǎn)以上”，非基本事件。例1：

當(dāng)結(jié)果A時(shí),稱事件A發(fā)生。

注意：

(1).由於樣本空間Ω包含了所有的樣本點(diǎn),且是

Ω自身的一個(gè)子集。故,在每次試驗(yàn)中Ω總是發(fā)生。因此,稱Ω必然事件。

(2).空集

不包含任何樣本點(diǎn)，但它也是樣本空間Ω的一個(gè)子集,由於它在每次試驗(yàn)中肯定不發(fā)生，所以稱

為不可能事件。注意:

只要做試驗(yàn),就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)結(jié)果,即樣本空間Ω中就會(huì)有一個(gè)點(diǎn)(樣本點(diǎn)

)出現(xiàn)。二、事件的關(guān)係與運(yùn)算I.集合與事件回憶:做試驗(yàn)E時(shí),若A,則稱事件A發(fā)生。集合A包含於集合B：若對(duì)A,總有B，則稱集合A包含於集合B，記成AB。事件A包含於事件B:若事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，則稱事件A包含於事件B,記成AB。集合A與B的並或和：若

C,當(dāng)且僅當(dāng)A或B,則稱集合C為集合A與B的並或和,記成A∪B或A+B。事件A與B的並或和：若事件C發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A或C發(fā)生，則稱事件C為事件A與B的並或和，記成A∪B或A+B。若A

B,且B

A，則稱事件A與B相等，記成A=B。無窮多個(gè)事件A1,A2,…的和n個(gè)事件A1,A2,…,An的和C發(fā)生就是A1,A2,…，An中至少一個(gè)事件發(fā)生。C發(fā)生就是A1,A2…中至少一個(gè)發(fā)生。集合A與集合B的交或積：若

C，當(dāng)且僅當(dāng)A且B,則稱集合C為集合A與B的交或積,記成A∩B或AB。事件A與B的積或交：若事件C發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生，則稱事件C為事件A與B的積或交,記成A∩B或AB。特別地,當(dāng)AB=?時(shí),稱A與B為互斥事件(或互不相容事件),簡(jiǎn)稱A與B互斥。也就是說事件A與B不能同時(shí)發(fā)生。例1(續(xù))

A1={1},A2={2},於是A1A2=?。故A1與B2互斥；

B={2,4,6},C={1,3,5},於是BC=?,故B與C也互斥。無窮多個(gè)事件A1,A2,…的積n個(gè)事件A1,A2,…,An的積C發(fā)生就是A1,A2,…，An都發(fā)生。C發(fā)生就是A1,A2,…，都發(fā)生。.集合A與集合B的差：若

C當(dāng)且僅當(dāng)A且B

，則稱集合C為集合A與B的差，記成A-B。事件A與B的差：若事件C發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生,則稱事件C為事件A與B的差,記成A-B。特別地，稱Ω-A為A的對(duì)立事件(或A的逆事件、補(bǔ)事件)等,記成A。例1(續(xù))A1={1},B={2,4,6},於是A就是A不發(fā)生。交換律:A∪B=B∪AAB=BA結(jié)合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)=(AB)C分配律:A(B∪C)=AB∪ACA∪(BC)=(A∪B)(A∪C)對(duì)偶律:II.事件的運(yùn)算法則

(與集合運(yùn)算法則相同)還有常用不是A,B中至少有一個(gè)發(fā)生A,B都不發(fā)生對(duì)於多個(gè)隨機(jī)事件,上述運(yùn)算規(guī)則也成立A(A1∪A2∪…∪An)=(AA1)∪(AA2)∪…∪(AAn)

基本概念

假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)這類問題稱作假設(shè)檢驗(yàn)問題.總體分佈已知，檢驗(yàn)關(guān)於未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè)總體分佈未知時(shí)的假設(shè)檢驗(yàn)問題

在本講中，我們將討論不同於參數(shù)估計(jì)的另一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問題.這就是根據(jù)樣本的資訊檢驗(yàn)關(guān)於總體的某個(gè)假設(shè)是否正確.讓我們先看一個(gè)例子.這一講我們討論對(duì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn).

某工廠生產(chǎn)10歐姆的電阻.根據(jù)以往生產(chǎn)的電阻實(shí)際情況,可以認(rèn)為其電阻值X～N(,2),標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.1.現(xiàn)在隨機(jī)抽取10個(gè)電阻,測(cè)得它們的電阻值為:9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10,10.5,10.1,10.2.

試問:從這些樣本,我們能否認(rèn)為該廠生產(chǎn)的電阻的平均值

為10歐姆?例1(一)一個(gè)例子

確定總體:記X為該廠生產(chǎn)的電阻的測(cè)量值.根據(jù)假設(shè),X～

N(,2),這裏

=0.1.

明確任務(wù):

通過樣本推斷X的均值μ是否等於10歐姆.

Hypothesis:上面的任務(wù)就是要通過樣本去檢驗(yàn)“X的均值μ=10”這樣一個(gè)假設(shè)是否成立.(在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中把“X的均值μ=10”這樣一個(gè)待檢驗(yàn)的假設(shè)記作“H0:μ=10”稱為“原假設(shè)”或“零假設(shè)”問題怎麼建立:

原假設(shè)的對(duì)立面是“X的均值μ≠10”記作“H1:μ≠10”稱為“對(duì)立假設(shè)”或“備擇假設(shè)”.把它們合寫在一起就是:

H0:μ=10

H1:μ≠10解決問題的思路分析:

∵樣本均值是μ的一個(gè)良好估計(jì).∴如果μ=10,即原假設(shè)成立時(shí),那麼:

應(yīng)該比較小.反之,如果它過於大,那麼想必是原假設(shè)不成立.

的大小可以用來檢驗(yàn)原假設(shè)是否成立.這裏的問題是,我們?nèi)绾未_定常數(shù)c呢

合理的思路是找出一個(gè)界限c,

細(xì)緻的分析:根據(jù)定理6.4.1,

∵n=10

=0.1時(shí),我們就接受原假設(shè)H0,當(dāng)而當(dāng)時(shí),我們就拒絕原假設(shè)H0.

於是,當(dāng)原假設(shè)H0:μ=10成立時(shí),有:

為確定常數(shù)c,現(xiàn)在我們考慮一個(gè)相當(dāng)小的正數(shù)(理由下麵講).例如=0.05.

於是,當(dāng)原假設(shè)H0:μ=10成立時(shí),有:我們就拒絕原假設(shè)H0:μ=10.我們就接受原假設(shè)H0:μ=10.

現(xiàn)在我們就得到檢驗(yàn)準(zhǔn)則如下:

用以上檢驗(yàn)準(zhǔn)則處理我們的問題.∴接受原假設(shè)H0:μ=10.

我們的原假設(shè)是H0:μ=10由上面分析,當(dāng)H0成立時(shí),有:

∵

相當(dāng)小.這就是說:如果H0這個(gè)假設(shè)是正確的話,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域就是一個(gè)發(fā)生的概率很小的事件.

過去我們提到過,通常認(rèn)為:小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上是不會(huì)發(fā)生的.(我們把它稱做實(shí)際推斷原理.)(II)道理

那麼如果小概率事件發(fā)生了,即:

我們就拒絕,這時(shí)我們說:“H0不成立.”

下麵我們指出這很符合人們的邏輯,實(shí)際上這種思維也叫:

帶概率性質(zhì)的反證法

通常的反證法設(shè)定一個(gè)假設(shè)以後,如果出現(xiàn)的事實(shí)與之矛盾,(即如果這個(gè)假設(shè)是正確的話,出現(xiàn)一個(gè)概率等於0的事件)則絕對(duì)地否定假設(shè).

帶概率性質(zhì)的反證法的邏輯是:

即如果假設(shè)H0是正確的話,出現(xiàn)一個(gè)概率很小的事件,則以很大的把握否定假設(shè)H0.

∵檢驗(yàn)一個(gè)H0時(shí)是根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來判決是否接受H0的,而檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)的,這就有可能判決錯(cuò)誤.這種錯(cuò)誤有以下兩類:H0事實(shí)上是正確的,但被我們拒絕了,稱犯了“棄真”的(或稱第一類)錯(cuò)誤.H0事實(shí)上是不正確的,但被我們接受了,稱犯了“采偽”的(或稱第二類)錯(cuò)誤.(III)兩類錯(cuò)誤與顯著性水準(zhǔn)

假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤H0為真實(shí)際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯(cuò)誤正確正確第二類錯(cuò)誤P{拒絕H0|H0為真}=,P{接受H0|H0不真}=.

犯兩類錯(cuò)誤的概率:顯著性水準(zhǔn)為犯第一類錯(cuò)誤的概率.

由於檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)性,所以無論犯以上哪類錯(cuò)誤都是隨機(jī)事件,從而都有一定的概率.當(dāng)樣本容量n固定,犯兩類錯(cuò)誤的概率就不能同時(shí)被控制.

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,通?？刂品傅谝活愬e(cuò)誤的概率.一般事先選定一個(gè)數(shù),(0<<1),要求犯第一類錯(cuò)誤的概率≤.

稱

為假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水準(zhǔn),簡(jiǎn)稱水準(zhǔn).

由於犯第二類錯(cuò)誤的概率的研究與計(jì)算超出了本書的範(fàn)圍,因此不作討論.

說明例1(續(xù))

分析該例的顯著性水準(zhǔn)我們就拒絕原假設(shè)H0:μ=10.

現(xiàn)在讓我們分析一下:

取上述c後,如果假設(shè)H0是正確的,卻被我們拒絕了,即犯第一類錯(cuò)誤的概率是多少.

可見此例我們用的檢驗(yàn)方法犯第一類錯(cuò)誤的概率等於.∴顯著性水準(zhǔn)等於.∵當(dāng)原假設(shè)H0:μ=10成立時(shí),有:分析:

一般我們把顯著性水準(zhǔn)限定在一個(gè)比較小的值,通常

=0.05或0.01.

這樣,如果H0是正確的

這就是說:如果H0是正確的話,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域就是一個(gè)小概率事件.

說明

如果根據(jù)舊經(jīng)驗(yàn)我們很相信H0是對(duì)的.要使人樂意放棄這個(gè)信念就要有十分過硬的依據(jù),此時(shí)

應(yīng)取得很小.

注

如果根據(jù)舊經(jīng)驗(yàn)我們很相信H0是對(duì)的.要使人樂意放棄這個(gè)信念就要有十分過硬的依據(jù),此時(shí)

應(yīng)取得很小.

極大似然估計(jì)極大似然法

是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法.

它首先是由德國數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的,GaussFisher然而，這個(gè)方法常歸功於英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇.

費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，並首先研究了這種方法的一些性質(zhì).

極大似然法的基本思想

先看一個(gè)簡(jiǎn)單例子：一只野兔從前方竄過.是誰打中的呢？某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵.如果要你推測(cè)，你會(huì)如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下.

你就會(huì)想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大於這位同學(xué)命中的概率.看來這一槍是獵人射中的.

這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想.極大似然估計(jì)原理：

當(dāng)給定樣本X1,X2,…Xn時(shí)，定義似然函數(shù)為：

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本，樣本的聯(lián)合密度(連續(xù)型）或聯(lián)合概率函數(shù)(離散型)為f(X1,X2,…Xn;).f(X1,X2,…Xn;)

似然函數(shù)：

極大似然估計(jì)法就是用使達(dá)到最大值的去估計(jì).稱為的極大似然估計(jì)（MLE）.

看作參數(shù)的函數(shù)，它可作為將以多大可能產(chǎn)生樣本值X1,X2,…Xn的一種度量.f(X1,X2,…Xn;)(4)在最大值點(diǎn)的運(yùn)算式中,用樣本值代入就得參數(shù)的極大似然估計(jì)值.求極大似然估計(jì)(MLE)的一般步驟是：(1)由總體分佈導(dǎo)出樣本的聯(lián)合概率函數(shù)

(或聯(lián)合密度);(2)把樣本聯(lián)合概率函數(shù)(或聯(lián)合密度)中自變量看成已知常數(shù),而把參數(shù)看作引數(shù),

得到似然函數(shù)L();(3)求似然函數(shù)L()的最大值點(diǎn)(常常轉(zhuǎn)化為求lnL()的最大值點(diǎn))，即

的MLE;兩點(diǎn)說明：1、求似然函數(shù)L()的最大值點(diǎn)，可以應(yīng)用微積分中的技巧。由於ln(x)是x的增函數(shù)，lnL()與L()在的同一值處達(dá)到它的最大值，假定是一實(shí)數(shù)，且lnL()是的一個(gè)可微函數(shù)。通過求解所謂“似然方程”：可以得到的MLE.

若是向量，上述方程必須用似然方程組代替.2、用上述求導(dǎo)方法求參數(shù)的MLE有時(shí)行不通，這時(shí)要用極大似然原則來求.兩點(diǎn)說明：

下麵舉例說明如何求極大似然估計(jì)L(p)=f(X1,X2,…Xn;p)

例1設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X~B(1,p)的一個(gè)樣本，求參數(shù)p的極大似然估計(jì).解：似然函數(shù)為:對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：對(duì)p求導(dǎo)並令其為0，=0得即為p

的MLE.

正態(tài)總體

N(,2)兩個(gè)未知參數(shù)

和

2的極大似然估計(jì).(注:我們把

2看作一個(gè)參數(shù))解:例2

似然方程組為根據(jù)第一式,就得到:代入第二式,就得到:

由上,似然方程組的解唯一.下麵驗(yàn)證它是極大值點(diǎn).是L(,2)的最大值點(diǎn).∴和

2的極大似然估計(jì)量是

總體泊松分佈X～P(

).

求:參數(shù)

的極大似然估計(jì).解:例3似然方程為

是logL(

)的最大值點(diǎn).∴的極大似然估計(jì)量是

總體均勻分佈X～U(a,b).

求:兩個(gè)參數(shù)a,b的極大似然估計(jì)

解:例4

我們由上看到,L(a,b)作為a和b的二元函數(shù)是不連續(xù)的.所以我們不能用似然方程組來求極大似然估計(jì),而必須從極大似然估計(jì)的定義出發(fā),求L(a,b)的最大值.

為使L(a,b)達(dá)到最大,b－a應(yīng)該儘量地小.但b又不能小於max{x1,x2,

,xn}.否則,L(a,b)=0.類似地a不能大過min{x1,x2,

,xn}.

因此,a和b的極大似然估計(jì)為解：似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為例5設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本求的極大似然估計(jì).其中

>0,求導(dǎo)並令其為0=0從中解得即為的MLE.對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解：似然函數(shù)為

例6

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本其中>0,求的極大似然估計(jì).i=1,2,…,n對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解：似然函數(shù)為i=1,2,…,n=0(2)由(1)得=0(1)對(duì)分別求偏導(dǎo)並令其為0,對(duì)數(shù)似然函數(shù)為用求導(dǎo)方法無法最終確定用極大似然原則來求.是對(duì)故使達(dá)到最大的即的MLE，於是

取其他值時(shí)，即為的MLE.且是的增函數(shù)由於

矩、協(xié)方差矩陣簡(jiǎn)介協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.稱它為X和Y的k+L階混合（原點(diǎn)）矩.若存在，稱它為X和Y的k+L階混合中心矩.設(shè)X和Y是隨機(jī)變數(shù)，若k,L=1,2,…存在，可見，協(xié)方差矩陣的定義

將二維隨機(jī)變數(shù)（X1,X2）的四個(gè)二階中心矩排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.這是一個(gè)對(duì)稱矩陣類似定義n維隨機(jī)變數(shù)(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.下麵給出n元正態(tài)分佈的概率密度的定義.為(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣稱矩陣都存在,i,j=1,2,…,n若f(x1,x2,…,xn)則稱X服從n元正態(tài)分佈.其中C是(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.|C|是它的行列式，表示C的逆矩陣，X和是n維列向量，表示X的轉(zhuǎn)置.

設(shè)=(X1,X2,…,Xn)是一個(gè)n維隨機(jī)向量,若它的概率密度為n元正態(tài)分佈的幾條重要性質(zhì)1.X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分佈a(bǔ)1X1+a2

X2+…+anXn均服從正態(tài)分佈.對(duì)一切不全為0的實(shí)數(shù)a1,a2,…,an，n元正態(tài)分佈的幾條重要性質(zhì)2.若

X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分佈，

Y1,Y2,…，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的線性函數(shù)，則(Y1,Y2,…，Yk)也服從多元正態(tài)分佈.這一性質(zhì)稱為正態(tài)變數(shù)的線性變換不變性.n元正態(tài)分佈的幾條重要性質(zhì)

3.設(shè)(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分佈，則“X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立”等價(jià)於“X1,X2,…,Xn兩兩不相關(guān)”例2

設(shè)隨機(jī)變數(shù)X和Y相互獨(dú)立且X~N(1,2),Y~N(0,1).試求Z=2X-Y+3的概率密度.

故X和Y的聯(lián)合分佈為正態(tài)分佈，X和Y的任意線性組合是正態(tài)分佈.解:X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X與Y獨(dú)立,Var(Z)=4Var(X)+Var(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5即Z~N(E(Z),Var(Z))Z~N(5,32)故Z的概率密度是Z~N(5,32)這一講我們介紹了協(xié)方差和相關(guān)係數(shù)相關(guān)係數(shù)是刻劃兩個(gè)變數(shù)間線性相關(guān)程度的一個(gè)重要的數(shù)字特徵.注意獨(dú)立與不相關(guān)並不是等價(jià)的.當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分佈時(shí)，有X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)

設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變數(shù)，它可能取的值是x1,x2,….

為了描述隨機(jī)變數(shù)X

，我們不僅需要知道隨機(jī)變數(shù)X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率.

離散型隨機(jī)變數(shù)

這樣，我們就掌握了X這個(gè)隨機(jī)變數(shù)取值的概率規(guī)律.從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)X可能取的值是0,1,2取每個(gè)值的概率為例1且其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）

定義1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變數(shù)X所取的一切可能值，稱

k=1,2,……

為離散型隨機(jī)變數(shù)X的概率分佈或分佈律，有的書上也稱概率函數(shù).用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是概率分佈一、離散型隨機(jī)變數(shù)概率分佈的定義解:依據(jù)概率分佈的性質(zhì):P(X=k)≥0,

a≥0從中解得欲使上述函數(shù)為概率分佈應(yīng)有這裏用到了常見的冪級(jí)數(shù)展開式例2.設(shè)隨機(jī)變數(shù)X的概率分佈為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.二、表示方法（1）列表法：（2）公式法X~再看例1任取3個(gè)球X為取到的白球數(shù)X可能取的值是0,1,2三、舉例例3.

某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分佈.解：X可取0、1、2為值

P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01

P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18

P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1常常表示為：這就是X的概率分佈.例4

如上圖所示.電子線路中裝有兩個(gè)並聯(lián)的繼電器.假設(shè)這兩個(gè)繼電器是否接通具有隨機(jī)性,且彼此獨(dú)立.已知每個(gè)電器接通的概率為0.8,記X為線路中接通的繼電器的個(gè)數(shù).

求:(1)X的分佈律.(2)線路接通的概率.解:

(1).記Ai={第i個(gè)繼電器接通},i=1,2.∵兩個(gè)繼電器是否接通是相互獨(dú)立的,∴A1和A2相互獨(dú)立,另外P(A1)=P(A2)=0.8.下麵求X的分佈律.

首先:X可能取0,1,2,三個(gè)值.P{X=0}=P{表示兩個(gè)繼電器都沒接通}轉(zhuǎn)下頁P(yáng){X=1}=P{恰有一個(gè)繼電器接通}P{X=2}=P{兩個(gè)繼電器都接通},,∴X的分佈律為2)∵是並聯(lián)電路

∴P(線路接通)=P(只要一個(gè)繼電器接通)=P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96.(二)常見的離散型隨機(jī)變數(shù)的概率分佈(I)兩點(diǎn)分佈(

設(shè)E是一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用Ω={

1,

2}表示其樣本空間.P({

1})=p,P({

2})=1-p來源X(

)=1,=

10,=

2

200件產(chǎn)品中,有196件是正品,4件是次品,今從中隨機(jī)地抽取一件,若規(guī)定例5X(

)=1,取到合格品0,取到不合格品

則P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02

故X服從參數(shù)為0.98的兩點(diǎn)分佈.

即X～B(1,0.98).例6

設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù).貝努裏概型和二項(xiàng)分佈(II)我們來求X的概率分佈.X的概率分佈是：男女X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.例7

將一枚均勻骰子拋擲3次，令X表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)X的概率分佈是：不難求得，

擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”

一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A或，或者形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”.

新生兒：“是男孩”，“是女孩”

抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”再設(shè)我們重複地進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)(“重複”是指這次試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同)

這樣的n次獨(dú)立重複試驗(yàn)稱作n重貝努裏試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努裏試驗(yàn)或貝努裏概型.

每次試驗(yàn)成功的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p.

用X表示n重貝努裏試驗(yàn)中事件A（成