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文檔簡介
福建省泉州市永春縣華僑中學2024屆高三數(shù)學第一學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A.7 B.14 C.28 D.842.已知點P不在直線l、m上,則“過點P可以作無數(shù)個平面,使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知集合,則集合的非空子集個數(shù)是()A.2 B.3 C.7 D.84.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為,圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為,則在此圓柱側面上,從到的路徑中,最短路徑的長度為()A. B. C. D.25.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.6.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)是偶函數(shù),則實數(shù)的最小值是()A. B. C. D.7.甲在微信群中發(fā)了一個6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領到整數(shù)元,且每人至少領到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領到的錢數(shù)多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.8.已知當,,時,,則以下判斷正確的是A. B.C. D.與的大小關系不確定9.設a,b都是不等于1的正數(shù),則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件10.用1,2,3,4,5組成不含重復數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.12011.的內角的對邊分別為,若,則內角()A. B. C. D.12.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的最長棱的長為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足,則________.14.已知等差數(shù)列的前n項和為,,,則=_______.15.已知,則______,______.16.若,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數(shù),,其中,為正實數(shù).(1)若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方,求實數(shù)的取值范圍;(2)設,證明:對任意,都有.18.(12分)已知函數(shù)是減函數(shù).(1)試確定a的值;(2)已知數(shù)列,求證:.19.(12分)為了檢測某種零件的一條生產線的生產過程,從生產線上隨機抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標準差,計算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大小;(2)若一個零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.20.(12分)為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況,假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同,現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員,并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù),整理如下:甲公司員工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350乙公司員工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下:甲公司規(guī)定每件0.65元,乙公司規(guī)定每天350件以內(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù);(2)為了解乙公司員工每天所得勞務費的情況,從這10天中隨機抽取1天,他所得的勞務費記為(單位:元),求的分布列和數(shù)學期望;(3)根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務費.21.(12分)某生物硏究小組準備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律,據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)蜻蜓有兩種,且這兩種的個體數(shù)量大致相等,記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(單位:)分別為隨機變量,其中服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布.(Ⅰ)從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉一只,求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率;(Ⅱ)記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機變量,若用正態(tài)分布來近似描述的分布,請你根據(jù)(Ⅰ)中的結果,求參數(shù)和的值(精確到0.1);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉3只,記這3只中翼長在區(qū)間的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望(分布列寫出計算表達式即可).注:若,則,,.22.(10分)如圖,四邊形是邊長為3的菱形,平面.(1)求證:平面;(2)若與平面所成角為,求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
利用等差數(shù)列的通項公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項的性質,即得解【詳解】,解得..故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式和等差中項,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.2、C【解析】
根據(jù)直線和平面平行的性質,結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】點不在直線、上,若直線、互相平行,則過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行,即必要性成立,若過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行,則直線、互相平行成立,反證法證明如下:若直線、互相不平行,則,異面或相交,則過點只能作一個平面同時和兩條直線平行,則與條件矛盾,即充分性成立則“過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件,故選:.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結合空間直線和平面平行的性質是解決本題的關鍵.3、C【解析】
先確定集合中元素,可得非空子集個數(shù).【詳解】由題意,共3個元素,其子集個數(shù)為,非空子集有7個.故選:C.【點睛】本題考查集合的概念,考查子集的概念,含有個元素的集合其子集個數(shù)為,非空子集有個.4、B【解析】
首先根據(jù)題中所給的三視圖,得到點M和點N在圓柱上所處的位置,將圓柱的側面展開圖平鋪,點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點處,根據(jù)平面上兩點間直線段最短,利用勾股定理,求得結果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征,將圓柱的側面展開圖平鋪,可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬,圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處,所以所求的最短路徑的長度為,故選B.點睛:該題考查的是有關幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題,在解題的過程中,需要明確兩個點在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點間直線段最短,所以處理方法就是將面切開平鋪,利用平面圖形的相關特征求得結果.5、D【解析】
討論的取值范圍,然后對函數(shù)進行求導,利用導數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當時,,則,所以函數(shù)在上單調遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質,當時,,故切線的斜率變小,當時,,故切線的斜率變大,可排除A、B;當時,,則,所以函數(shù)在上單調遞增,令,,當時,,故切線的斜率變大,當時,,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D【點睛】本題考查了識別函數(shù)的圖像,考查了導數(shù)與函數(shù)單調性的關系以及導數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.6、A【解析】
先求出的解析式,再求出的解析式,根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性可求實數(shù)滿足的等式,從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)解析式為,故.令,,解得,.因為為偶函數(shù),故直線為其圖象的對稱軸,令,,故,,因為,故,當時,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質,注意平移變換是對自變量做加減,比如把的圖象向右平移1個單位后,得到的圖象對應的解析式為,另外,如果為正弦型函數(shù)圖象的對稱軸,則有,本題屬于中檔題.7、B【解析】
將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設乙,丙,丁分別領到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個,其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個,故所求概率為,故選:B.【點睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎題型.8、C【解析】
由函數(shù)的增減性及導數(shù)的應用得:設,求得可得為增函數(shù),又,,時,根據(jù)條件得,即可得結果.【詳解】解:設,則,即為增函數(shù),又,,,,即,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導數(shù)的應用,屬中檔題.9、C【解析】
根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質求解a,b的范圍,再利用充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分條件,故選C.【點睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法,考查指數(shù),對數(shù)不等式的解法,是基礎題.10、A【解析】
對數(shù)字分類討論,結合數(shù)字中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,利用分類計數(shù)原理,即可得到結論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,同理也有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個故滿足條件的不同的五位數(shù)的個數(shù)是個故選【點睛】本題主要考查了排列,組合及簡單計數(shù)問題,解題的關鍵是對數(shù)字分類討論,屬于基礎題。11、C【解析】
由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【點睛】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關鍵.12、D【解析】
先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐,根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),計算各棱的長度.【詳解】根據(jù)三視圖可知,幾何體是一個四棱錐,如圖所示:由三視圖知:,所以,所以,所以該幾何體的最長棱的長為故選:D【點睛】本題主要考查三視圖的應用,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
項和轉化可得,討論是否滿足,分段表示即得解【詳解】當時,由已知,可得,∵,①故,②由①-②得,∴.顯然當時不滿足上式,∴故答案為:【點睛】本題考查了利用求,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算,分類討論的能力,屬于中檔題.14、【解析】
利用求出公差,結合等差數(shù)列的通項公式可求.【詳解】設公差為,因為,所以,即.所以.故答案為:【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式的求解,利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問題的通性通法,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).15、【解析】
利用兩角和的正切公式結合可得出的方程,即可求出的值,然后利用二倍角的正、余弦公式結合弦化切思想求出和的值,進而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】,,,.故答案為:;.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)值的計算,考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應用,難度不大.16、8【解析】
根據(jù),利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】,,當且僅當且,即時,等號成立.時,取得最小值.故答案為:【點睛】本題考查基本不等式,構造基本不等式的形式是解題關鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)據(jù)題意可得在區(qū)間上恒成立,利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性,從而求出滿足不等式的的取值范圍;(2)不等式整理為,由(1)可知當時,,利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性從而證明在區(qū)間上成立,從而證明對任意,都有.【詳解】(1)解:因為函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方,所以在區(qū)間上恒成立.設,其中,所以,其中,.①當,即時,,所以函數(shù)在上單調遞增,,故成立,滿足題意.②當,即時,設,則圖象的對稱軸,,,所以在上存在唯一實根,設為,則,,,所以在上單調遞減,此時,不合題意.綜上可得,實數(shù)的取值范圍是.(2)證明:由題意得,因為當時,,,所以.令,則,所以在上單調遞增,,即,所以,從而.由(1)知當時,在上恒成立,整理得.令,則要證,只需證.因為,所以在上單調遞增,所以,即在上恒成立.綜上可得,對任意,都有成立.【點睛】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的作用,利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性與求函數(shù)最值,利用導數(shù)證明不等式,屬于難題.18、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】
(Ⅰ)求導得,由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立,構造函數(shù),通過求導判斷它的單調性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當時,,則,即,兩邊同除以得,,即,從而,兩邊取對數(shù),然后再證明恒成立即可,構造函數(shù),,通過求導證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)的定義域為,.由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立.設.∵,由知,∴當時,;當時,,∴在上單調遞增,在上單調遞減,∴在時取得最大值.又∵,∴對任意的,恒成立,即的最大值為.∴,解得.(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當時,,∴,即.兩邊同除以得,,即.從而,所以①.下面證;記,.∴,∵在上單調遞增,∴在上單調遞減,而,∴當時,恒成立,∴在上單調遞減,即時,,∴當時,.∵,∴當時,,即②.綜上①②可得,.【點睛】本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系,考查了函數(shù)的最值,考查了構造函數(shù)的能力,考查了邏輯推理能力與計算求解能力,屬于難題.,19、(1)66.5(2)屬于【解析】
(1)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解;(2)求出,即可判斷得解.【詳解】(1)(2)所以該零件屬于“不合格”的零件【點睛】本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計算和應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20、(1)平均數(shù)為360,眾數(shù)為330;(2)見詳解;(3)甲公司:7020(元),乙公司:7281(元)【解析】
(1)將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加,再除以總的天數(shù)10,即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù).從中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多,故為眾數(shù);(2)由題意能求出的可能取值為340,360,370,420,440,分別求出相對應的概率,由此能求出的分布列和數(shù)學期望;(3)利用(1)(2)的結果,可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費.【詳解】解:(1)由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為.眾數(shù)為330.(2)設乙公司員工1天的投遞件數(shù)為隨機變量,則當時,當時,當時,當時,當時,的分布列為204219228273291(元);(3)由(1)估計甲公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元)由(2)估計乙公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元).【點睛】本題考查頻率分布表的應用,考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法,是中檔
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