約束條件的檢驗

約束條件的檢驗回歸方程約束條件的檢驗

(受約束的回歸)

在建立回歸模型時，有時根據(jù)經(jīng)濟理論需對模型中變量的參數(shù)施加一定的約束條件。

模型施加約束條件后進行回歸，稱為受約束回歸;

不加任何約束的回歸稱為無約束回歸。例如：——需求函數(shù)的0階齊次性條件城鎮(zhèn)居民食品消費需求函數(shù)模型。

根據(jù)需求理論，居民對食品的消費需求函數(shù)大致為:

Q:居民對食品的需求量，X：消費者的消費支出總額P1：食品價格指數(shù)，P0：居民消費價格總指數(shù)。

根據(jù)恩格爾定律，居民對食品的消費支出與居民的總支出間呈冪函數(shù)的變化關(guān)系:

對數(shù)變換:

(***)

零階齊次性，當所有商品和消費者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保持不變

考慮到零階齊次性時表

中國城鎮(zhèn)居民消費支出（元）及價格指數(shù)

X

(當年價)

X1

(當年價)

GP

(上年=100)

FP

(上年=100)

XC

(1990年價)

Q

(1990年價)

P0

(1990=100)

P1

(1990=100)

1981

456.8

420.4

102.5

102.7

646.1

318.3

70.7

132.1

1982

471.0

432.1

102.0

102.1

659.1

325.0

71.5

132.9

1983

505.9

464.0

102.0

103.7

672.2

337.0

75.3

137.7

1984

559.4

514.3

102.7

104.0

690.4

350.5

81.0

146.7

1985

673.2

351.4

111.9

116.5

772.6

408.4

87.1

86.1

1986

799.0

418.9

107.0

107.2

826.6

437.8

96.7

95.7

1987

884.4

472.9

108.8

112.0

899.4

490.3

98.3

96.5

1988

1104.0

567.0

120.7

125.2

1085.5

613.8

101.7

92.4

1989

1211.0

660.0

116.3

114.4

1262.5

702.2

95.9

94.0

1990

1278.9

693.8

101.3

98.8

1278.9

693.8

100.0

100.0

1991

1453.8

782.5

105.1

105.4

1344.1

731.3

108.2

107.0

1992

1671.7

884.8

108.6

110.7

1459.7

809.5

114.5

109.3

1993

2110.8

1058.2

116.1

116.5

1694.7

943.1

124.6

112.2

1994

2851.3

1422.5

125.0

134.2

2118.4

1265.6

134.6

112.4

1995

3537.6

1766.0

116.8

123.6

2474.3

1564.3

143.0

112.9

1996

3919.5

1904.7

108.8

107.9

2692.0

1687.9

145.6

112.8

1997

4185.6

1942.6

103.1

100.1

2775.5

1689.6

150.8

115.0

1998

4331.6

1926.9

99.4

96.9

2758.9

1637.2

157.0

117.7

1999

4615.9

1932.1

98.7

95.7

2723.0

1566.8

169.5

123.3

2000

4998.0

1958.3

100.8

97.6

2744.8

1529.2

182.1

128.1

2001

5309.0

2014.0

100.7

100.7

2764.0

1539.9

192.1

130.8

X：人均消費X1：人均食品消費GP：居民消費價格指數(shù)FP：居民食品消費價格指數(shù)XC：人均消費（90年價）Q：人均食品消費（90年價）P0：居民消費價格縮減指數(shù)（1990=100）P：居民食品消費價格縮減指數(shù)（1990=100（一）模型參數(shù)的線性約束例如對模型:施加約束:得:或:(*)(**)如果對（**）式回歸得出:則由約束條件可得：

然而，對所考查的具體問題能否施加約束？需進一步進行相應的檢驗。常用的檢驗有：F檢驗、x2檢驗與t檢驗。F檢驗

在同一樣本下，記無約束樣本回歸模型為:受約束樣本回歸模型為:于是:

受約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSR于是e’e為無約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSU(*)受約束與無約束模型都有相同的TSS

這意味著，通常情況下，對模型施加約束條件會降低模型的解釋能力。但是，如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無約束回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR

與RSSU的差異變小。由（*）式RSSR

≥

RSSU從而ESSR≤

ESSU可用RSSR-RSSU的大小來檢驗約束的真實性

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學的知識：于是：

討論：如果約束條件無效，RSSR

與RSSU的差異較大，計算的F值也較大。

于是，可用計算的F統(tǒng)計量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條件的真實性進行檢驗。注意，kU-kR恰為約束條件的個數(shù)。

例城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求實例中，對零階齊次性檢驗：

無約束回歸:RSSU=0.00324，kU=3

受約束回歸:RSSR=0.00332，KR=2

樣本容量n=14，約束條件個數(shù)kU-kR=3-2=1取

=5%，查得臨界值F0.05(1,10)=4.96結(jié)論：不能拒絕中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設。這里的F檢驗適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗（二）對回歸模型增加或減少解釋變量考慮如下兩個回歸模型(*)(**)(*)式可看成是（**）式的受約束回歸：H0：相應的Ｆ統(tǒng)計量為：

Ｆ統(tǒng)計量的另一個等價式

如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1,…,Xk+q對Ｙ沒有解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計量較小；否則，約束條件為假，意味著額外的變量對Ｙ有較強的解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計量較大。因此，可通過F的計算值與臨界值的比較，來判斷額外變量是否應包括在模型中。討論：約束條件的檢驗21222324年份實際總產(chǎn)值勞動日實際資本投入Tyx2x3198916607.7275.517803.7199017511.3274.418096.8199120171.2269.718271.8199220932.926719167.3199320406267.819647.6199420831.627520803.5199524806.328322076.6199626465.8300.723445.