2023年重慶市鐵路高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)函數(shù)/⑴是奇函數(shù)/(X)(XGR)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)Inx<--/(%),則使得，一1)/(b>0成立

x

的X的取值范圍是()

A.(-l,0)U(0,l)B.(7,-1川(1,小)

c.(-1,0)?(i,?)D.y,-i)u(o,i)

2.已知定義在R上的函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，且y=/(x—1)的圖象關(guān)于％=1對(duì)稱，若實(shí)數(shù)“滿足

/\

flog,?</(-2),則“的取值范圍是()

k2>

A.B.(卜勺C.1,4)D.(4收)

3.函數(shù)g(x)=Asin?x+°)(A>0,0<e<2;r)的部分圖象如圖所示，已知g(0)=g—=73,函數(shù)y=/(x)

I6/

的圖象可由y=g(x)圖象向右平移(個(gè)單位長(zhǎng)度而得到，則函數(shù)/(%)的解析式為()

A./(x)=2sin2xB./(無(wú))=2si:

C./(x)=-2sinxD./(x)=2sinf2x-y

4.已知函數(shù)『W是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=e”+x,則。=/(_25，〃=，c=/(、6)的

大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.h>a>cD.h>c>a

5.已知函數(shù)/(x)=2sin(<yx+o)+Z?(3>0),/(—+%)=/(--x),且/(二)=5,貝!)。=()

888

A.3B.3或7C.5D.5或8

6.五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶，每個(gè)單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為()

213319

A.B.C.-D.—

525525

0<2x+y<6

7.若X，)'滿足約束條件?則z=x+2y的最大值為()

3<x-y<6,

A.10B.8C.5D.3

8.等差數(shù)列｛q｝中，q+a5=10,a4=7,則數(shù)列｛4｝前6項(xiàng)和為()

10.已知數(shù)列｛《,｝的首項(xiàng)q=。(。工0),且4+1=他+乙其中Mt&R,〃eN*,下列敘述正確的是()

A.若｛/｝是等差數(shù)列，則一定有k=lB.若｛。“｝是等比數(shù)列，則一定有f=0

C.若｛4,｝不是等差數(shù)列，則一定有k=lD.若｛/｝不是等比數(shù)列，則一定有

11.已知雙曲線E:=13>0,。>0)滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點(diǎn)與拋物線y?=4x的焦點(diǎn)尸重合;

ah

②雙曲線E與過(guò)點(diǎn)P(4,2)的募函數(shù)f(x)=xa的圖象交于點(diǎn)。，且該募函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線過(guò)點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱

點(diǎn).則雙曲線的離心率是()

A.^±1B.C.-D.V5+1

222V

TT

12.已知函數(shù),/?(x)=cos(2x+§),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為江

B.函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C.函數(shù)/(X)在D上單調(diào)遞增

D.函數(shù)“X)的圖象可由y=Sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

13.已知｛《,｝為等比數(shù)列，S”是它的前”項(xiàng)和.若廿3=26，且％與2%的等差中項(xiàng)為“則55=.

14.某大學(xué)A、B、C、。四個(gè)不同的專業(yè)人數(shù)占本校總?cè)藬?shù)的比例依次為3.2%、4.8%、4%、5.2%,現(xiàn)欲采用

分層抽樣的方法從這四個(gè)專業(yè)的總?cè)藬?shù)中抽取129人調(diào)查畢業(yè)后的就業(yè)情況，則。專業(yè)應(yīng)抽取人.

15.設(shè)函數(shù)/(x)(xeR)滿足/(一%)=/(%),，(%)=足(21%),且當(dāng)工€［0,1］時(shí)/(x)=/,又函數(shù)g(x)=1xcos(乃x)|,

13

則函數(shù)/心:)=g(x)-/(x)在［-于雪上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

16.某校13名學(xué)生參加軍事冬令營(yíng)活動(dòng)，活動(dòng)期間各自扮演一名角色進(jìn)行分組游戲，角色按級(jí)別從小到大共9種，分

別為士兵、排長(zhǎng)、連長(zhǎng)、營(yíng)長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)、旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)和司令.游戲分組有兩種方式，可以2人一組或者3人一組.

如果2人一組，則必須角色相同；如果3人一組，則3人角色相同或者3人為級(jí)別連續(xù)的3個(gè)不同角色.已知這13名學(xué)

生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，現(xiàn)在新加入1名學(xué)生，將這14名學(xué)生分成5組進(jìn)行游戲，則新

加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)點(diǎn)且與直線丫=-；相切.

(1)求圓心"的軌跡E的方程；

(2)設(shè)P是軌跡E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，OP的平行線/交軌跡E于A,3兩點(diǎn)，交軌跡E在。處的切線于點(diǎn)T,問(wèn)：

是否存在實(shí)常數(shù)X使力4川78|,若存在，求出/I的值；若不存在，說(shuō)明理由.

18.(12分)如圖，。0的直徑的延長(zhǎng)線與弦CO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,E為。。上一點(diǎn)，AE^AC,DE交AB

于點(diǎn)F.求證：APDF-^POC.

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a=(cos%sina),h=85(2+5)5也［2+3］］，其中0＜。＜~^-

(1)求僅一4).〃的值；

(2)若"=(1,1),且(方+‘P￡,求a的值.

114

20.(12分)在①A=B3,②-----,③氏=35這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.

ata2B2

已知等差數(shù)列｛《,｝的公差為d(d＞0),等差數(shù)列也｝的公差為2d.設(shè)A,，4分別是數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項(xiàng)和，且

4=3,4=3,,

(1)求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

3

⑵設(shè)％=24+——,求數(shù)列｛5｝的前n項(xiàng)和S,.

21.(12分)如圖1,在等腰梯形AB6居中，兩腰A6=BK=2,底邊AB=6,6入=4,D,C是48的三等

分點(diǎn)，E是片"的中點(diǎn)?分別沿CE,OE將四邊形BCE￡和ADE居折起，使6，B重合于點(diǎn)尸，得到如圖2所示

的幾何體.在圖2中，M，N分別為CD,EF的中點(diǎn).

(1)證明：ABCD.

(2)求直線CN與平面A3尸所成角的正弦值.

元=cos0

22.(10分)已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線。的參數(shù)方程為.c.八(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),

y=2sin，

x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為。cos夕+。sin9-3=0.

(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程

(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線/距離的最小值和最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)，令g(x)=lnx-/(x)(x>0),則g(x)=ln礦

由尸(x)歷x<-L/(x)可得g'(x)<0,

則g(x)是區(qū)間(0,+力)上的單調(diào)遞減函數(shù)，

且g⑴=lnlx/⑴=0,

當(dāng)xG(0,1)時(shí)g(x)>0,\,/"xvO1Ax)<0,(xMmx)>0;

當(dāng)xG(l,+8)時(shí),g(x)<0,丁/〃x>0,.,./(x)<0,(x2-lV(x)<0

??VU)是奇函數(shù)，當(dāng)xGG1,0)時(shí)5Ax)>0,(xM次c)vO

當(dāng)xG(-8,-l)時(shí)用)>0,(伍1如0>0.

綜上所述，使得(xM)/U)>0成立的X的取值范圍是(F,-1)U(0,1).

本題選擇o選項(xiàng).

點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似

乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、

化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)

題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解

決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

2.C

【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，又由函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，分

析可得了log,a</(-2)/(|log2a|)</(2)|log2a\<2,解可得a的取值范圍，即可得答案.

<2/

【詳解】

將函數(shù).y=/(x—1)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)y=/(x)的圖象，

由于函數(shù)y=/(x-l)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于)'軸對(duì)稱，

即函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，由/log,<7</(-2),得/(|隆24)</⑵,

\27

???函數(shù),y=/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則|log24<2,得-2<log2〃<2,解得:<a<4.

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是4).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，注意分析函數(shù)y=.f(x)的奇偶性，屬于中等題.

3.A

【解析】

由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性可得?=葛-利用周期公式可得①，再根據(jù)圖像過(guò)即

可求出。,A,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.

【詳解】

由圖像可知工—2x^=工，即7=乃，

2662

27r

所以7=——，解得。=2,

co

又g(?)=Asin(2xV+e)=0,

兀

所以,+"=%兀(攵￡Z),由0<9<2)，

2兀57

所以q-或彳，

又g(o)S

所以Asiii0=6,(A>0),

所以A=29

24

BPg(x)=2sin2x+

3

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的圖象由y=g(x)圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度而得至ij,

所以丁=/(*)=2sin=2sin2%.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則，屬

于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

333

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得a=/(_25)=/(2，)，再比較岔,2己,log,9的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).

【詳解】

333

依題意得4=/(_25)=/(2可，?.?班〈&=20=2^<3=log28<log?9，

當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=ex+x,因?yàn)閑>l,所以y=e'在R上單調(diào)遞增，又)'=》在/?上單調(diào)遞增，所以/(幻在［0,+o。)

上單調(diào)遞增，

???/dog29)>/(2^)>/(V5)，即“。

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、募、指、對(duì)的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

5.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸K=g以及函數(shù)值，可得結(jié)果.

O

【詳解】

函數(shù)/(x)=2sin?x+0)+b(3>O),

若/?(g+x)=/(g—x),則的圖象關(guān)于x=￡對(duì)稱，

88o

TT

又/（一）=5,所以2+人=5或-2+b=5,

8

所以。的值是7或3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題

6.D

【解析】

三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率，利用互為對(duì)立事件的概率和為1

即可解決.

【詳解】

由題意，三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1；基本事件總數(shù)有__A+__A3

=150種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有否種情況；若為第二

種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有C：C；A；種，故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率

為E=故甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為P=1-二=黑?

150252525

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算，涉及到排列與組合的應(yīng)用，在正面情況較多時(shí)，可以先求其對(duì)立事件，即甲、

乙兩人在同一個(gè)單位的概率，本題有一定難度.

7.D

【解析】

1z1

畫出可行域，將z=x+2），化為yn-gx+i,通過(guò)平移y=-即可判斷出最優(yōu)解，代入到目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.

【詳解】

0<2x+y<6

解:由約束條件作出可行域如圖,

3<x-y<6

y

Iz

化目標(biāo)函數(shù)Z=x+2y為直線方程的斜截式,丁=-5%+萬(wàn).由圖可知

1z

當(dāng)直線y=-5工+萬(wàn)過(guò)4（3,0）時(shí),直線在V軸上的截距最大,z有最大值為3.

故選:o.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題.一般第一步畫出可行域，然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=or+》z的形式，在可行域內(nèi)通過(guò)平移

y=ox找到最優(yōu)解，將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問(wèn)題.

8.C

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得%=5,根據(jù)等差數(shù)列的前?項(xiàng)和公式56=幺愛(ài)x6=甘2'6可得結(jié)果.

【詳解】

???等差數(shù)列｛%｝中，?,+?5=10,.-.2^=10,即%=5,

...S婦工6=也&6=亙，6=36,

6222

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

根據(jù)/（幻>0排除C,D,利用極限思想進(jìn)行排除即可.

【詳解】

解：函數(shù)的定義域?yàn)?lx?。｝,/（幻>0恒成立，排除C,D,

當(dāng)x>0時(shí)，〃x）=H=x/，當(dāng)Xr0，/（X）->0,排除3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)值的符號(hào)以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

A：當(dāng)k=O,r=。時(shí)，%+]="，顯然符合｛4｝是等差數(shù)列，但是此時(shí)攵=1不成立，故本說(shuō)法不正確；

B：當(dāng)攵=O,t=a時(shí)，an+]=a,顯然符合｛a,,｝是等比數(shù)列，但是此時(shí)/=0不成立，故本說(shuō)法不正確；

C：當(dāng)左=1時(shí)，因此有也+-%=/=常數(shù)，因此｛4｝是等差數(shù)列，因此當(dāng)｛《,｝不是等差數(shù)列時(shí)，一定

有故本說(shuō)法正確；

D：當(dāng)/時(shí)，若攵=0時(shí)，顯然數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，故本說(shuō)法不正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

由已知可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(-1,0)，可求得幕函數(shù)為/(無(wú))=?，設(shè)出切點(diǎn)通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率，利用斜率

相等列出方程，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解雙曲線的離心率.

【詳解】

C11

依題意可得，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為尸(L0),b關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(―1,0)；2=《Sa=]，所以/(幻=工5=?，

/0)=志，設(shè)Qa°'A)'則5看=更？解得匕=1'二可得，一)=1，又C=l，C2=a2+b2,

/Z_1：1―逐+1

可解得。=卓二，故雙曲線的離心率是％—[二一三-.

-2

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)，求幕函數(shù)解析式，直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分

析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，難度一般.

12.D

【解析】

/.TTJITTTT

由T=，可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)x=2時(shí)，2x+匕=—可判斷選項(xiàng)B；利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C；

co1232

y=sin2(x+總=cos-今卜/(x)可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

由題知/(x)=cos[2x+m],最小正周期7=笄=兀，所以A正確；當(dāng)x=S時(shí)，

2x+g=5，所以B正確；當(dāng)?，三J時(shí)，2無(wú)+]兀，段)所以C正確；由〉=5抽2%

的圖象向左平移己個(gè)單位，得、=5皿21+總=$12》+小=5如(2》+|■-m)=

cos(2x-]卜“X),所以D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí)，是一道中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-11

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，根據(jù)題意求出能和生的值，進(jìn)而可求得出和4的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得Ss的

值.

【詳解】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得2q=a2%=%%，：?4=2,

33311

由于〃4與2%的等差中項(xiàng)為1,則。4+2%=2，則2%=萬(wàn)一〃4=-5，/?%=-1，

?"母總4=十-16,

故答案為：一11.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列求和，解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.39

【解析】

求出。專業(yè)人數(shù)在A、B、C、。四個(gè)專業(yè)總?cè)藬?shù)的比例后可得.

【詳解】

由題意A、B、C、。四個(gè)不同的專業(yè)人數(shù)的比例為8:12:10:13,故。專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為

129x-------：------=39.

8+12+10+13

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查分層抽樣，根據(jù)分層抽樣的定義，在各層抽取樣本數(shù)量是按比例抽取的.

15.1

【解析】

判斷函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，周期為2,判斷g(x)為偶函數(shù)，計(jì)算y(o)=oj⑴=1,g(o)=g(g)=g(-；)=g(T)=o,

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像到答案.

【詳解】

/(—x)=/(x)知，函數(shù)”X)為偶函數(shù)，f(x)=f(2-x),函數(shù)關(guān)于X=1對(duì)稱。

/(x)=/(2-x)=/(x-2),故函數(shù)/(x)為周期為2的周期函數(shù)，且。(0)=0J(l)=L

g(x)Uxcos(4x)|為偶函數(shù)，g(0)=g(；)=g(—g)=g(g)=0,g(l)=l,

當(dāng)xe0,；時(shí)，g(x)=xcos(;rx),g'(x)=cos(乃x)-?xsin(萬(wàn)x),函數(shù)先增后減。

(\3-1

當(dāng)時(shí)，g(x)=-xcos(ix),g'(x)=;rxsin(乃x)-cosQrx),函數(shù)先增后減。

在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)在［-上］,±31上的圖像，發(fā)現(xiàn)在1—二3］內(nèi)圖像共有1個(gè)公共點(diǎn),

2222

13

則函數(shù)/7(/在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

22

故答案為：6.

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，確定函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性，周期性，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.

16.9

【解析】

對(duì)新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，分析各種情況下14個(gè)學(xué)生所扮演的角色的分組，綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

依題意，14名學(xué)生分成5組，則一定是4個(gè)3人組和1個(gè)2人組.

①若新加入的學(xué)生是士兵，則可以將這14個(gè)人分組如下；3名士兵；士兵、排長(zhǎng)、連長(zhǎng)各1名；營(yíng)長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)、旅長(zhǎng)各1

名；師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)、司令各1名；2名司令.所以新加入的學(xué)生可以是士兵，由對(duì)稱性可知也可以是司令；

②若新加入的學(xué)生是排長(zhǎng)，則可以將這14個(gè)人分組如下：3名士兵；連長(zhǎng)、營(yíng)長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)各1名；旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)各1

名；3名司令；2名排長(zhǎng).所以新加入的學(xué)生可以是排長(zhǎng)，由對(duì)稱性可知也可以是軍長(zhǎng)；

③若新加入的學(xué)生是連長(zhǎng)，則可以將這14個(gè)人分組如下：2名士兵；士兵、排長(zhǎng)、連長(zhǎng)各1名；連長(zhǎng)、營(yíng)長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)各1

名；旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)各1名；3名司令.所以新加入的學(xué)生可以是連長(zhǎng)，由對(duì)稱性可知也可以是師長(zhǎng)；

④若新加入的學(xué)生是營(yíng)長(zhǎng)，則可以將這14個(gè)人分組如下：3名士兵；排長(zhǎng)、連長(zhǎng)、營(yíng)長(zhǎng)各1名；營(yíng)長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)、旅長(zhǎng)各1

名；師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)、司令各1名；2名司令.所以新加入的學(xué)生可以是營(yíng)長(zhǎng)，由對(duì)稱性可知也可以是旅長(zhǎng)；

⑤若新加入的學(xué)生是團(tuán)長(zhǎng)，則可以將這14個(gè)人分組如下：3名士兵；排長(zhǎng)、連長(zhǎng)、營(yíng)長(zhǎng)各1名；旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)各1

名；3名司令；2名團(tuán)長(zhǎng).所以新加入的學(xué)生可以是團(tuán)長(zhǎng).

綜上所述，新加入學(xué)生可以扮演9種角色.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】

本題考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是對(duì)新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)/=2y；(2)存在，

2

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結(jié)合已知點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得方程；

(2)由拋物線方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)出直線/的方程，利用導(dǎo)數(shù)求得點(diǎn)T的坐標(biāo)，聯(lián)立直線/的方程和拋物線方程,

結(jié)合韋達(dá)定理，求得|啊,|7?|,進(jìn)而求得|P7f與|啊|陽(yáng)之間的大小關(guān)系，即可求得參數(shù)/I.

【詳解】

(1)由題意得，點(diǎn)M與點(diǎn)的距離始終等于點(diǎn)“到直線y=-g的距離，

由拋物線的定義知圓心M的軌跡是以點(diǎn)(0,；]為焦點(diǎn)，直線y=-g為準(zhǔn)線的拋物線，

則4=1，P=?圓心M的軌跡方程為

(2)因?yàn)槭擒壽EE上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，

由(1)不妨取氣2,2),所以直線OP的斜率為1.

因?yàn)椤?OP,所以設(shè)直線/的方程為〉=x+〃"

由y=5廠，得y=x,則E在點(diǎn)P處的切線斜率為2,

所以E在點(diǎn)尸處的切線方程為y=2x—2.

y=x4-m,fx=m+2,

由「cc得cc所以丁(加+2,26+2),

y=2x-2,[y=27n+2,

所以|PT|2=[(m+2)-2]2+[(2m+2)-2y=5m2.

y=x+m,

由，c消去y得/一2x—2機(jī)=0，

x=2y

由A=4+8m>0,得加>一1且相。0.

2

設(shè)A（ax）,8（%，%），

則%+馬-2m.

=2,Xj%2=

因?yàn)辄c(diǎn)T,A，3在直線/上，

所以|小|=夜歸—(〃

2+2)|,|7BbV2|x2-(m+2)|,

所以|Z4|刀3|=2,一(租+2)|仁一(加+2)|

=2卜々一(機(jī)+2)(玉+x2)+(〃2+2升

=21-2m-2(m+2)+(m+2)21=2m2,

所以o二5

|P”|W|T8|.

2

/.2=—

2

故存在％=使得|PTT=/1|A1HTB|.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線軌跡方程的求解，以及拋物線中定值問(wèn)題的求解，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬綜合性中檔題.

18.證明見(jiàn)解析

【解析】

根據(jù)相似三角形的判定定理，已知兩個(gè)三角形有公共角NP,題中未給出線段比例關(guān)系，故可根據(jù)判定定理一需找到另外

一組相等角，結(jié)合平面幾何的知識(shí)證得NPBD=NOCP即可.

【詳解】

證明：???A￡=AC,所以NC￡)E=ZAOC,

又因?yàn)閆CDE=ZP+ZPFD,ZAOC=ZP+NPCO,

所以/PFD=NOCP.

在△PDb與APOC中，NP=NP,NPFD=NOCP,

板"DF?bPOC.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面幾何中同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合思想;

分析圖形，找出角與角之間的關(guān)系是證明本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)(2)?=—.

212

【解析】

■_|21i

(1)根據(jù)\b-a]-a-a-b-\a\,由向量"，B的坐標(biāo)直接計(jì)算即得；（2）先求出b+c，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系

解得

【詳解】

71.(71、

(1)由題，向量a=(cosa,sina),bcosa-\■——,sina-\——

4I4J

|2

貝!J_a).a=a.B

71

=coscrcos?+—+sinasina+—cos?a+sin2a

44

711一五1

=cos—1——------1

2

(2)1),「.B+ccosa+一+1,sinccH—+1?

I4I4J)

、

71

cosa-\——+1sina—sina+—+1coscr=0,

4J4J

整理得5皿0-(：0$0=$也[1+?4000-(：0$[0+?71卜抽0,

4

7171]_

化簡(jiǎn)得&sina---=-sin?,即sinIa

42

71717C

Q0<a<p—<cc----<-

444f

兀兀口n5萬(wàn)

oc----=-9即a=—

4612

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量平行，是常考題型.

,,+|3(2)

20.(1)an=n,b?=2n+\.(2)2-^

2n+3

【解析】

方案一：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式列方程組，求出q和。，從而寫出數(shù)列｛a,,｝,｛》“｝的通項(xiàng)公式;

3（i

（2）由第⑴題的結(jié)論，寫出數(shù)列匕｝的通項(xiàng)g=2"+]五力采用分組求和、等比求和公式以及裂

項(xiàng)相消法，求出數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”.

其余兩個(gè)方案與方案一的解法相近似.

【詳解】

解：方案一：

（1）?.?數(shù)列｛《,｝，｛a｝都是等差數(shù)列，且4=3,4=員,

2d、+d=3ci,—1

?.「U八NJ解得L1

5q+10d=9+6d[d=1

an=q+（〃一l）d-n,

bn=向+（〃一l）2d=2〃+1

綜上風(fēng)=2〃+l

（2）由（1）得:

33(11

=2〃+------------------T+-」一

(2〃+1)(2〃+3)2(2〃+12〃+3

「?S=(2+22+???+2")+j[(W)+(：―3+???+(]

)]

235572n+l2〃+3

上巧+—

1-22132n+3J

=2”+13(〃+2)

2〃+3

方案二:

,114

(1)??,數(shù)列｛4,｝，｛4｝都是等差數(shù)列，且4=3,--------

67|Cl-)

2a+d=3fa=1

?J解得J

4q(q+d)=d(6+2d)[d=1

a〃=q+(H-1)J=n,

0“=4+(〃-l)2d=2〃+1.

綜上，an=n,bn=2n+l

（2）同方案一

方案三：

(1)?.?數(shù)列｛a,,｝，｛2｝都是等差數(shù)列，且4=3,&=35.

2a)+d=3

q=1

5x4,解得

3x5+——x2d=35d=1

2

an=at+｛n-1)J=n,

bn=偽+(〃-l)2d=2n+1.

綜上，?！?哂=2〃+1

(2)同方案一

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了分組求和、等比求和及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和,

屬于中檔題.

21.(1)證明見(jiàn)解析(2)也

3

【解析】

(1)先證av_