初中數學人教版八年級下冊知識要點

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第16章二次根式復習

1、什么叫二次根式？

形如而(a*0)的式子叫二次根式，其中a叫被開方數，只有當a是一個非負數

時，G才有意義。

也就是說：G具有雙重非負性：(l)a非負即。20；(2)6的值非負即GN0

2、二次根式的性質：

①(而r=?(a>0)

a(a>0)若-a，則aN0

②"=卜|=°(a=0)：若77=—a,則a"

-a(a<0)

③=6-嘉(aNO,b>0~)④J一揚°"°,'>°)

3、二次根式的運算

二次根式的運算主要是研究二次根式的乘除和加減.

(1)二次根式的加減：實質就是合并同類二次根式

需要先把二次根式化簡，然后把被開方數相同的二次根式(即同類二次根式)

的系數相加減，被開方數不變。也就是說只有同類二次根式才能進行加減運算。

注意：對于二次根式的加減，關鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡

二次根式，再把同類二次根式合并.但在化簡二次根式時，二次根式的被開方

數應不含分母，不含能開得盡的因數.

最簡二次根式：(1)被開數中不含分母；(2)被開數中不含開得盡方的因

式或因式。

同類二次根式：(1)是化成最簡二次式；(2)被開方數相同。

(2)二次根式的乘法：R乒族(a*0,b>0)

回一瓦a“，B>0)

(3)二次根式的除法：下黃

注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經常從等式的右邊變

形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結果化成最簡二

次根式.

(4)二次根式的混合運算：

先乘方(或開方)，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的；能利用

運算律或乘法公式進行運算的，可適當改變運算順序進行簡便運算.

注意：進行根式運算時，要正確運用運算法則和乘法公式，分析題目特點，

掌握方法與技巧，以便使運算過程簡便.二次根式運算結果應盡可能化簡.另

外，根式的分數必須寫成假分數或真分數，不能寫成帶分數.例如5、不能寫

成2.

(5)有理化因式：如果兩個二次根式相乘結果中不含根號，那么這兩個二

次根式叫做互為有理化因式。

一般常見的互為有理化因式有如下幾類：

①石■與點；②點+而與點-指；

③a+樞與a-蕊；④tn冊+八耳與tn冊-林亞.

說明：利用有理化因式的特點可以將分母有理化.

4、二次根式大小比較

(1)、移動因式法

此法好學，適用。就是將根號外的正因式移入根號內，從而轉化為比較被

開方數的大小。

例1：比較-5、后與-6、后的大小。

解：因為：-5-719=-V52X19=-^475-6V15=-A/62X15=-^40

而-^475>-^40-5719>-6715

(2)、運用平方法

兩邊同時平方，轉化為比較嘉的大小。此法的依據是：兩個正數的平方是正

數，平方大的數就大；兩個負數的平方也是正數，平方大的數反而小。

例2：比較出+屈+43-帆與上+后的大小。

解：?.?43+質+,3_扃=8,(4+/)2=8+2巫

^3+乖+43-a>0,E+石>0

43+冊+13-狐v有+石

(3)、分母有理化法

此法是先將各自的分母有理化，再進行比較。

1+&2+淄

例3：比較藐耳與百T的大小。

1+02+及

解：因為：4方=。+0)(3-&)=2應+1淄+1=(2+々)(應-1)=企

1+淄2+0

3+72>V2+1

(4)、分子有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。

2耶-亞30-而

例4：比較3點與2用的大小

2^3--x/TT111

解：?.?3^23&(2也+5)-6指+3反一6&+Vi^

3V2-V17111

2有2扭3虎+炳-6m+25-+

]]2琳-尿3衣_而

而S般+犧8>6耶+戊04；.―372->—2y/3

(5)、求差或求商法

求差法的基本思路是：設。、方為任意兩個實數，先求出。與8的差，再根據

“當a-J〈0時-，a<Zb-當a_g=O[]寸，a=b；當a_5>0時；a>b”來比較

。與力的大小。

求商法的基本思路是：設占為任意兩個實數，先求出。與占的商，再根據

aaa

，，①a、同號：當E>1時，a>b.Z=1時，a=b.Evi時，a<b0②。、辦異

號：正數大于負數”來比較。與8的大小。

、后一與2-、拈

例5：比較飛揚「的大小。

加-邪2-覆_(#-6)也-(2-虎)力

解：3一人一忑

_2/一回-2再加_V6-ViO

y/6\/6V0

y/6—y/52—y/2

■<及

例6：比較6石與5祈的大小。

解：?.?錄一屈>1：.6君)5巡

(6)、求倒數法先求兩數的倒數，而后再進行比較。

例7：比較血旃-而應與而欣-尤麗的大小。

11

解：>^009-^008-V2009+72008鏡000-媳007-J2OO8+0OO7

72009+72008>72008+^00772009-72008<72008-72007

第17章勾股定理復習

一.知識歸納

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為4,b,斜邊為C,那么Y+b、/

勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理.我

國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為

弦.早在三千多年前，周朝數學家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股

定理，后來人們進一步發(fā)現并證明了直角三角形的三邊關系為：兩直角邊的平

方和等于斜邊的平方

2.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是用拼圖的方法驗證勾股定理

①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變

②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理

常見方法如下：

方法一：4sA+S正方形EFG//=S正方形ABCD，4X!ab+(b-a)2=c?，

2

方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大

正方形的面積.

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為

S=4x—ab+c2=2ab+c2

2

b

大正方形面積為S=（a+b）2=a2+lab+b2

所以/+〃=°2

方法三：總統(tǒng)證法

1112

S梯形=5（Q+〃）.（Q+b）,S梯形=^AADE+^AABE=23ab+3。，

3、勾股定理的逆定理：一個三角形中如果有兩邊平方的和等于第三邊的平方，

那么這個三角形是直角三角形。

如果三角形三邊長4,b,C滿足"+從=/,那么這個三角形是直角三角形，其

中c為斜邊

①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，

它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩

小邊的平方和/+〃與較長邊的平方/作比較，若它們相等時，以4,b,C為三

邊的三角形是直角三角形；若/+/<02,時，以°,八C?為三邊的三角形是鈍角

三角形；若/+從“2,時，以a,b,c為三邊的三角形是銳角三角形；

②定理中a,b,c及/+戶”2只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三

角形三邊長a,b,C滿足/+°2=從，那么以a,b,c為三邊的三角形是直角三角

形，但是b為斜邊

③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直

角邊的平方和時一，這個三角形是直角三角形

第18章平行四邊形復習

一、正確理解平行四邊形定義

(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

平行四邊形的定義揭示了圖形的最本質的屬性，它既是平行四邊形的

一條性質，又是一個判定方法.

(2)表示方法：用“口”表示平行四邊形，例如：平行四邊形ABCD記

作OABCD,讀作“平行四邊形ABCD”.

2、熟練掌握性質

平行四邊形的有關性質和判定都是從邊、角、對角線三個方面的特征進

行簡述的.

(1)平行四邊形兩組對邊分別平行且相等；

(2)邊：角：平行四邊形的鄰角互補，對角相等；

(3)對角線：平行四邊形的對角線互相平分;

(4)面積：①5=底*高=211；

②平行四邊形的對角線將四邊形分成4個面積相等的三角形.

3、平行四邊形的判別方法

①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

②方法1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

③方法2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

④方法3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

⑤方法4：一組平行且相等的四邊形是平行四邊形

二、.幾種特殊四邊形的有關概念

(1)矩形：有一個角是苴危忸平行四邊形是矩形，它是研究矩形的基礎,

它既可以看作是矩形的性質，也可以看作是矩形的判定方法，對于這個定義,

要注意把握：①平行四邊形；②一個角是直角，兩者缺一不可.

(2)菱形：有一組鄰邊相等怛平行四邊形是菱形，它是研究菱形的基礎,

它既可以看作是菱形的性質，也可以看作是菱形的判定方法，對于這個定義，

要注意把握：①平行四邊形；②一組鄰邊相等，兩者缺一不可.

(3)正方形：有一組曲揚布拿且有一個苴扁忸平行四邊形叫做正方形，

它是最特殊的平行四邊形，它既是平行四邊形，還是菱形，也是矩形，它兼有

這三者的特征，是一種非常完美的圖形.

(4)梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形，對于這

個定義，要注意把握：①一組對邊平行；

②一組對邊不平行，同時要注意和平行四邊形定義的區(qū)別，還要注意腰、底、

高等概念以及梯形的分類等問題.

(5)等腰梯形：是一種特殊的梯形，它是兩腰相等的梯形，特殊梯形還

有直角梯形.

2、幾種特殊四邊形的有關性質

(1)矩形：①邊：對邊平行且相等；

②角：對角相等、鄰角互補；

③對角線：對角線互相平分且相等；

④對稱性：軸對稱圖形(對邊中點接鐵所在直撥，2條).

(2)菱形：①邊：四條邊都相等；

②角：對角相等、鄰角互補；

③對角線：對角線互相垂直平分且每條對角線平分每組對角；

④對稱性：軸對稱圖形(對角彼所在直鐵，2事).

(3)正方形：①邊：四條邊都相等；

②角：四角相等；

③對角線：對角線互相垂直平分且相等，對角線與邊的夾角

為45°；

④對稱性：軸對稱圖形(“條).

(4)等腰梯形：①邊：上下底平行但不相等，兩腰相等；

②角：同一底邊上的兩個角相等；對角互補

③對角線：對角線相等；

④對稱性：軸對稱圖形(上下左中點所左直依).

3、幾種特殊四邊形的判定方法

(1)矩形的判定：滿足下列條件之一的四邊形是矩形

①有一個角是直角的平行四邊形；

②對角線相等的平行四邊形；③四個角都相等

(2)菱形的判定：滿足下列條件之一的四邊形是矩形

①有一組鄰邊相等的平行四邊形；

②對角線互相垂直的平行四邊形；③四條邊都相等.

(3)正方形的判定：滿足下列條件之一的四邊形是正方形.

①有一組邠硼瞪且有一個黃南怛平行四邊形

②有一組鄰邊相等的矩形；③對角線互相垂直的矩形.

④有一個角是黃扁的差笑⑤對角線相等的差步；

(4)等腰梯形的判定：滿足下列條件之一的梯形是等腰梯形

①同一底兩個底角相等的梯形；

②對角線相等的梯形.

4、幾種特殊四邊形的常用說理方法與解題思路分析

(1)識別矩形的常用方法

①先說明四邊形ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD的任意

一個角為直角.

②先說明四邊形ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD的對角

線相等.

③說明四邊形ABCD的三個角是直角.

(2)識別菱形的常用方法

①先說明四邊形ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD的任一

組鄰邊相等.

②先說明四邊形ABCD為平行四邊形，再說明對角線互相垂直.

③說明四邊形ABCD的四條相等.

(3)識別正方形的常用方法

①先說明四邊形ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD的一個

角為直角且有一組鄰邊相等.

②先說明四邊形ABCD為平行四邊形，再說明對角線互相垂直且相等.

③先說明四邊形ABCD為矩形，再說明矩形的一組鄰邊相等.

④先說明四邊形ABCD為菱形，再說明菱形ABCD的一個角為直角.

(4)識別等腰梯形的常用方法

①先說明四邊形ABCD為梯形，再說明兩腰相等.

②先說明四邊形ABCD為梯形，再說明同一底上的兩個內角相等.

③先說明四邊形ABCD為梯形，再說明對角線相等.

5、幾種特殊四邊形的面積問題

①設矩形ABCD的兩鄰邊長分別為a,b,則S矩形=ab.

②設菱形ABCD的一邊長為a,高為h,則S菱形=ah；

若菱形的兩對角線的長分別為a,b,則S菱形=；帥.

③設正方形ABCD的一邊長為a,則S正方形=/；若正方形的對角線的

長為a,則S正方形

2

④設梯形ABCD的上底為a,下底為b,高為h,則S梯形J(a+b)/7.

2

平行四邊形矩形菱形正方形

圖形傘

an

Z;_□_ZQ

c

1.對邊1.對邊1.對邊1.對邊

且_______;且________;且四條邊都_____;且四條邊都_____;

2.對角_______；2.對角________2.對角________；2.對角____

性質鄰角_______;且四個角都是3.對角線_______且四個角都是_____;

3.對角線且每3.對角線

3.對角線條對角線且每條對角

---------;線__________;

面積

練習:

對角線的四邊形是平行四邊形

對角線的四邊形是矩形

對角線的四邊形是菱形

對角線的四邊形是正方形

第19章一次函數復習

一、函數

1、變量：在一個變化過程中可以取不同數值的量。

常量：在一個變化過程中只能取同一數值的量。

2、函數：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y,并且對于x的

每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變

量，把y稱為因變量，y是x的函數。

*判斷Y是否為X的函數，只要看X取值確定的時候，Y是否有唯一確定的

值與之對應

3、定義域：一般的，一個函數的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數的定義

域。

4、確定函數定義域的方法：

(1)關系式為整式時，函數定義域為全體實數；

(2)關系式含有分式時，分式的分母不等于零；

(3)關系式含有二次根式時，被開放方數大于等于零；

(4)關系式中含有指數為零的式子時，底數不等于零；

(5)實際問題中，函數定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。

5、函數的解析式：用含有表示自變量的字母的代數式表示因變量的式子叫做函

數的解析式

6、函數的圖像

一般來說，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的

橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.

7、描點法畫函數圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；

第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值

為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；第三步：連線（按照橫坐標由小到大

的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。

8、函數的表示方法

列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出

自變量與函數之間的對應規(guī)律。

解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間

的相依關系，但有些實際問題中的函數關系，不能用解析式表示。

圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數關系。

二、一次函數

1、一次函數的定義

一般地，形如尸履+匕（%,人是常數，且心。）的函數，叫做一次函數，其

中x是自變量。當方=。時，一次函數尸丘，又叫做正比例函數。

⑴一次函數的解析式的形式是廣質+3要判斷一個函數是否是一次函數，

就是判斷是否能化成以上形式.

⑵當b=0,心0時，尸丘仍是一次函數.

⑶當〃=0,-0時,它不是一次函數.

⑷正比例函數是一次函數的特例，一次函數包括正比例函數.

2、正比例函數及性質

一般地，形如y=kx（k是常數，k/））的函數叫做正比例函數，其中k叫做比

例系數.

注：正比例函數一般形式y(tǒng)=kx（k不為零）

①k不為零②x指數為1③b取零

當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大;

當k<0時，直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨X增大y反而減小.

(1)解析式：y=kx(k是常數，kNO)

(2)必過點：(0,0)、(1,k)

(3)走向：k〉0時，圖像經過一、三象限；k<0時，圖像經過二、四象限

(4)增減性：k>0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小

(5)傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

3、一次函數及性質

一般地，形如y=kx+b(k,b是常數，k/)),那么y叫做x的一次函數.當b=0

時，y=kx+t^Py=kx,所以說正比例函數是一種特殊的一次函數.

注：一次函數一般形式y(tǒng)=kx+b(k不為零)

①k不為零②x指數為1③b取任意實數

一次函數丫=1?+13的圖象是經過(0,b)和(-2,0)兩點的一條直線，我

k

們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.(當b>0

時，向上平移；當b〈0時，向下平移)

(1)解析式：y=kx+b(k、b是常數,kxO)

(2)必過點：(0,b)和0)

k

(3)走向：k>0,圖象經過第一、三象限；k<0,圖象經過第二、四象限

b>0,圖象經過第一、二象限；b<0,圖象經過第三、四象限

州>°。直線經過第一、二、三象限下直線經過第一、三、四象限

了直線經過第一、二、四象限直線經過第二、三、四象限

(4)增減性：k>0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小.

(5)傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.

（6）圖像的平移：當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位;

當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.

根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點

確定一條直線，所以畫一次函數的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.

一般情況下：是先選取它與兩坐標軸的交點：（0,b）,./、即橫坐標或縱

（力A

—-,0

坐標為0的點.V7

5、正比例函數與一次函數之間的關系

一次函數y=kx+b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個

單位長度而得到（當b〉0時，向上平移；當b<0時，向下平移）

6、正比例函數和一次函數及性質

正比例函數一次函數

概念一般地，形如y=kx（k是常數，一般地，形如y=kx+b（k,b是常數，k翔），那么y

厚0）的函數叫做正比例函數，叫做x的一次函數.當b=O時，是丫=1?,所以說正

其中k叫做比例系數比例函數是一種特殊的一次函數.

自變量X為全體實數

范圍

圖象一條直線

必過點(0,0)、(1,k)

(0,b)和0)

k

走向k>0時，直線經過一、三象限；k>0,b>0,直線經過第一、二、三象限

k〈0時，直線經過二、四象限k>0,bVO直線經過第一、三、四象限

k<0,b>0直線經過第一、二、四象限

k<0,bVO直線經過第二、三、四象限

增減性k>0,y隨x的增大而增大；（從左向右上升）

k〈0,y隨x的增大而減小。（從左向右下降）

傾斜度|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

圖像的

b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移四個單位；

平移

b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移四個單位.

6、直線y=k[X+b](/w0)y=k2x+b2(。+0)的位置關系

(1)兩直線平行=占=七且0產外(2)兩直線相交o女產公

(3)兩直線重合o%=心且4=%(4)兩直線垂直o堆2=-1

7、用待定系數法確定函數解析式的一般步驟：

(1)根據已知條件寫出含有待定系數的函數關系式；

(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數關系式中得

到以待定系數為未知數的方程；

(3)解方程得出未知系數的值；

(4)將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析式.

第二十章數據的分析復習

1、幾個基本概念

總體：所要考察對象的全體；

樣本：從總體中抽取的一部分考察對象；

個體：總體中的每一個考察對象；

樣本容量：樣本中個體的數目(樣本容量是一個數不帶單位的數)

2、加權平均數:加權平均數的計算公式。

元=,力士血友+生任十%44+力+力…人=")

n

權的理解:反映了某個數據在整個數據中的重要程度。

3、中位數：將一組數據按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數據的

個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數(median)；如果數據的

個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數。

4、眾數:一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數(mode)。

支型差j一組數據中的最大數據與最小數據的差叫做這組數據的極差(range)。

6、方差：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一

組數據偏離平均數的情況，這個結果叫方差。計算公式是：

s2=-[(x-x)2+(x-x)2+--(x-X)2]

ni2n

方差：即差方，就是每個數據與平均數的差的平方的平均數

方差越大，數據的波動越大或不整齊；方差越小，數據的波動越小，就越

穩(wěn)定或較整齊。

7、平均數：平均數受極端值的影響,眾數不受極端值的影響，這是一個優(yōu)勢,

中位數的計算很少不受極端值的影響。

8、數據的收集與整理的步驟：1.收集數據2.整理數據3.描述數據4.分析數

據5.撰寫調查報告6.交流

第十五章分式復習

1、分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子之叫

做分式。

分式有意義的條件是分母不為零，分式值為零的條件分子為零且分母不為零

2、分式的基本性質：分式的分子與分母同乘或除以一個不等于。的整式，分式

-T*AACAA+C

的值不變。萬=菽萬二百(八0)

3、分式的通分和約分：關鍵先是分解因式

4、分式的運算：

分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。

acac

即：了，=凝

分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相