高二數(shù)學寒假講義

第一講圓錐曲線專題（一）題型一：面積問題1.設(shè)是拋物線:的焦點，設(shè)為拋物線上異于原點的兩點，且滿足,延長分別交拋物線于點，求四邊形面積的最小值.QPNMFO2.、、、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最值.QPNMFO題型二：直線過定點問題3.、是拋物線上的兩點，且滿足（為坐標原點），求證：直線經(jīng)過一個定點.4.已知離心率為的雙曲線的中心在坐標原點，左、右焦點在軸上，雙曲線的右支上一點使且的面積為1.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若直線與雙曲線相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過雙曲線的右頂點,求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.5.已知點是平面上一動點，且滿足（1）求點的軌跡對應的方程；（2）已知點在曲線上，過點作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過定點？試證明你的結(jié)論.題型三：直線斜率為定值問題6.如圖，過拋物線上一定點，作兩條直線分別交拋物線于，，當與的斜率存在且傾斜角互補時，證明直線的斜率為定值.7．已知橢圓過點，兩個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓上的兩個動點，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值.第三講圓錐曲線專題（二）【知識要點】熟練向量共線問題與坐標的轉(zhuǎn)化【經(jīng)典例題】1.已知拋物線，為的焦點，過焦點斜率為的直線與拋物線交于兩點，若，則.2.給定拋物線，過定點的直線與拋物線交于兩點，若，求直線的方程.3.已知橢圓，若過點的直線橢圓交于不同的兩點、（點在、之間），試求與面積之比的取值范圍（為坐標原點）.4.已知兩定點,動點在軸的射影為，若.（1）求動點的軌跡的方程；（2）直線交軸于點，交軌跡于兩點，且滿足，求實數(shù)的取值范圍.5.如圖，已知點，直線為平面上的動點，過作直線的垂線，垂足為點，且有. (1)求動點P的軌跡C的方程；(2)過點F的直線交軌跡C于兩點，交直線于點，已知求的值.6.雙曲線與橢圓有相同的焦點，直線為的一條漸近線.（1）求雙曲線的方程；（2）過點的直線，交雙曲線于兩點，交軸于點（點與的頂點不重合）,當，且時，求點的坐標.7.已知橢圓，通徑長為1，且焦點與短軸兩端點構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于兩點，交直線于點，點分所成比為，點分所成比為，求證為定值，并計算出該定值.第四講圓錐曲線專題（三）1.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.（1）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值；（2）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且∠為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.2.設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線、分別與橢圓相交于異于、的點、，證明點在以為直徑的圓內(nèi).xxyPABMNO3.已知定點A(－1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N（1）求E的方程；（2）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由.4.已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，離心率為﹒（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交于、兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，為定值？若存在，求出這個定點的坐標；若不存在，請說明理由﹒5.已知橢圓C的離心率為，長軸的左右端點分別為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于兩點，直線與交于點.試問：當變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.6.已知橢圓的焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率，過橢圓的右焦點作與坐標軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)點是線段上的一個動點，且，求的取值范圍；（3）設(shè)點是點關(guān)于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得、、三點共線？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由.第五講導數(shù)的概念與切線問題【知識要點】⒈導數(shù)的概念及其幾何意義；⒉你熟悉常用的導數(shù)公式嗎？⒊導數(shù)的運算法則：⑴.兩個函數(shù)四則運算的導數(shù)；⑵.復合函數(shù)的導數(shù)：.4.你會利用導數(shù)求曲線在某點處的切線方程嗎?【經(jīng)典例題】例1.導數(shù)的概念題:1.一質(zhì)點的運動方程為，則在一段時間內(nèi)相應的平均速度為（）A.B.C.D.2.已知,則.3.求導公式的應用（1），則=.（2），若，則=.（3），則=，=.（4），則=.4.已知，則=.例2.切線問題:1.曲線上兩點，若曲線上一點處的切線恰好平行于弦，則點的坐標為（）A. B. C.D.2.曲線在點處的切線方程是.3.曲線在點處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為_____.4.曲線的所有切線中,斜率最小的切線的方程是.例3.曲線：在點處的切線為在點處的切線為，求曲線的方程.例4.已知兩曲線和都經(jīng)過點，且在點處有公切線，試求的值.例5.切線問題的綜合應用:1.（江西卷理）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的方程為.2.（安徽卷理）已知函數(shù)在上滿足，則曲線在點處的切線方程是()A.B.C.D.3.（全國卷Ⅰ理）已知直線與曲線相切，則的值為()A.1B.2C.-1D.-24.若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)的取值范圍是________.5.曲線上的點到直線的最短距離為.*6.向高為8m，底面邊長為8m的倒置正四棱錐形的容器內(nèi)注水，其速度為每分鐘，則當水深為5m時，水面上升的速度為.【經(jīng)典練習】1.設(shè)曲線在點處的切線與直線平行，則（）A.1 B. C.D.2.已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（）A.1 B.2 C.3 D.43.若曲線在點處的切線方程是，則（）A.B.C.D.4.曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（）A. B. C. D.5.若滿足，則（）A. B. C.2 D.46.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則.7.曲線和在它們交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是.8.過點且與曲線在點處的切線平行的直線方程是.9.已知，,則.10.已知直線為曲線的一條切線，則=.第六講導數(shù)的應用（一）【知識要點】導數(shù)的應用（1）求曲線的切線方程;（2）求單調(diào)區(qū)間;（3）求函數(shù)的極值（或函數(shù)最值）.【經(jīng)典例題】1.已知曲線.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求過點并與曲線相切的直線方程.2.（2009北京文）設(shè)函數(shù).（1）若曲線在點處與直線相切，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.3．已知，直線與函數(shù)的圖象都相切于點.（1）求直線的方程及的解析式；（2）若（其中是的導函數(shù)），求函數(shù)的值域.4.設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）求在區(qū)間的最大值和最小值.5.設(shè)函數(shù)在及時取得極值．（1）求的值；（2）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.*6.（2009安徽卷文）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，求在區(qū)間上的值域.【經(jīng)典練習】1.如果函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖，那么導函數(shù)的圖象可能是（）2.在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（ ）①單調(diào)增函數(shù)的導函數(shù)也是單調(diào)增函數(shù)；②單調(diào)減函數(shù)的導函數(shù)也是單調(diào)減函數(shù)；③單調(diào)函數(shù)的導函數(shù)也是單調(diào)函數(shù)；④導函數(shù)是單調(diào)的，則原函數(shù)也是單調(diào)的．A.0個 B.2個 C.3個 D.4個3.函數(shù)在[－1,3]上的最大值為()A．11B．2C．12D.104.曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（）A. B. C. D.5.（全國卷Ⅰ）函數(shù)，已知在時取得極值，則=（）A.2 B.3 C.4 D.56.(2009年廣東卷文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.B.(0,3)C.(1,4)D.7.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.8.曲線過點P的切線方程為.【經(jīng)典作業(yè)】1.曲線在點處的切線的傾斜角為（）A.30° B.45° C.60° D.120°2.如果質(zhì)點A按規(guī)律運動，則在秒時的瞬時速度為()A.6B.8C.16D.243.經(jīng)過原點且與曲線相切的直線的方程是___________________.4.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則.5.函數(shù)的極大值為6,極小值為2,則的減區(qū)間是.6.已知函數(shù)（其中常數(shù)），是奇函數(shù).（1）求的表達式；（2）討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間上的最大值與最小值.第七講導數(shù)的應用（二）【知識要點】（1）單調(diào)性問題（2）極值的存在性問題【經(jīng)典例題】題型一：單調(diào)性問題1.（2009安徽卷理）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.2.（全國一19）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．3.（2009北京理）設(shè)函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.*4．已知函數(shù).（1）任取兩個不等的正數(shù)，恒成立，求的取值范圍；（2）當時，求證：沒有實數(shù)解．題型二：極值的存在性問題5.已知，討論函數(shù)的極值點的個數(shù).*6.（海南理21）設(shè)函數(shù).（1）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（2）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．【經(jīng)典練習】1.（遼寧卷6）設(shè)為曲線上的點，且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標的取值范圍為（）A. B. C. D.2.（2009福建卷理）下列函數(shù)中，滿足對任意，當時，都有的是（）A.=B.=C.=D.3．若函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D.4.設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論中，正確的是（ ）A.有一個極大值點和一個極小值點 B.只有一個極大值點C.只有一個極小值點 D.有二個極小值點5.函數(shù)，當時，有極值，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．6．已知曲線上一點，則點處的切線方程是；過點的切線方程是．7.已知在上為減函數(shù)，則的取值范圍為．【經(jīng)典作業(yè)】1．設(shè),點是函數(shù)的圖象的一個公共點,兩函數(shù)的圖象在點處有相同的切線.(1)用表示.(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.2.（北京卷文18）設(shè)定函數(shù)，且方程的兩個根分別為1，4.（1）當且曲線過原點時，求的解析式；（2）若在無極值點，求的取值范圍.第八講導數(shù)的應用（三）【知識要點】（1）不等式證明問題（2）恒成立問題求范圍【經(jīng)典例題】題型一：不等式證明問題1.證明不等式(1)；(2).2.已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同.（1）用表示，并求的最大值；（2）求證：（）．題型二：恒成立問題3.已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù).（1）試確定的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.4.設(shè)函數(shù)．（1）求的最小值；（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.5.（安徽卷20）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知對任意成立，求實數(shù)的取值范圍.*6．設(shè)函數(shù)，若對于任意的都有成立，求實數(shù).【經(jīng)典練習】1.已知對任意實數(shù)，有，且時，，則時（）A. B.C. D.2.已知是定義在上的函數(shù)，且,則當,有（）A.B.C.D.3.設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時,且則不等式的解集是（）A.B.C.D.4.函數(shù)有（）A.極小值-2，極大值2B.極小值-2，極大值3C.極小值-1，極大值1D.極小值-1，極大值35.（2009天津卷理）設(shè)函數(shù)則（）A．在區(qū)間內(nèi)均有零點B．在區(qū)間內(nèi)均無零點C．在區(qū)間內(nèi)有零點，在區(qū)間內(nèi)無零點D．在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間內(nèi)有零點【經(jīng)典作業(yè)】1．函數(shù)有極值的充要條件是（）A.B.C.D.2.（2009江西卷文）若存在過點的直線與曲線和都相切，則等于（）A.或B.或C.或D.或3.對于R上可導的任意函數(shù)，若滿足，則必有（）A.B.C.D.4.設(shè)為實數(shù)，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當且時，.第九講導數(shù)的應用（四）【知識要點】圖像的交點問題【典型例題】1.（2009陜西卷文）已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍.2．設(shè)函數(shù)，，當時，取得極值.（1）求的值，并判斷是函數(shù)的極大值還是極小值；（2）當時，函數(shù)與的圖象有兩個公共點，求的取值范圍.3.已知函數(shù)其中是的的導函數(shù)（1）對滿足的一切的值，都有求實數(shù)的取值范圍（2）設(shè)()，當實數(shù)ｍ在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)的圖像與直線只有一個公共點.4.設(shè)函數(shù)，其中a＞0，曲線在點P（0，）處的切線方程為y=1（1）確定b、c的值；（2）設(shè)曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2）證明：當時，；（3）若過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍.【課堂練習】1.設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）2．方程的實數(shù)解的集合是（）A.至少有2個元素B.至少有3個元素C.恰有1個元素D.恰好有5個元素3.直線是曲線的一條切線，則實數(shù)b＝.4.若上是減函數(shù)，則的取值范圍是________.5.已知函數(shù)(1)求在區(qū)間上的最大值(2)是否存在實數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【課后作業(yè)】1.函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（）A.1個B.2個C.3個D.4個2.曲線在原點處的切線方程為（）A.B.C.D.3.設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（）A. B. C. D.4.已知是函數(shù)的一個極值點.(1)求；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若直線與函數(shù)的圖象有3個交點，求的取值范圍.第十講導數(shù)專題（一）【知識要點】1.證明不等式2.恒成立問題【典型例題】1.證明：.2.設(shè)函數(shù)，其中．（1）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（2）求函數(shù)的極值點；（3）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立．3.設(shè)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關(guān)系；（3）求的取值范圍，使得＜對任意＞0成立．4.已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)上的最小值；(3)對一切的,恒成立，求實數(shù)的取值范圍.5.設(shè)函數(shù).（1）若=，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當時，求的取值范圍.6．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若對所有的x≥0，都有f(x)