專題6.2 平行四邊形的判定（學(xué)生版）

專題6.2平行四邊形的判定1．掌握平行四邊形的判定定理；2．會(huì)應(yīng)用平行四邊形的判定定理解決相關(guān)的幾何證明和計(jì)算問題；知識(shí)點(diǎn)01平行四邊形的判定定理【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定，主要根據(jù)平行四邊形的定義、性質(zhì)進(jìn)行，如下圖，有四邊形ABCD：1）判定方法1（定義）：兩組對(duì)邊平行的四邊形，即AD∥BC，AB∥DC。2）判定方法2（邊的性質(zhì)）：兩組對(duì)邊相等的四邊形，即AD=BC，AB=DC。3）判定方法3（邊的性質(zhì)）：一組對(duì)邊相等且平行的四邊形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。4）判定方法4（角的性質(zhì)）：兩組對(duì)角相等的四邊形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。5）判定方法5（對(duì)角線的性質(zhì)）：兩組對(duì)角線相互平分的四邊形，即AO=CO且BO=DO。注：=1\*GB3①平行四邊形的判定，需要邊、角、對(duì)角線相關(guān)的2個(gè)條件（相等、平行）；=2\*GB3②判定方法3中，必須要求是同一對(duì)邊平行且相等判定為平行四邊形。若四邊形中，一對(duì)邊平行，另一對(duì)邊相等，是無法判定為平行四邊形的?！局R(shí)拓展1】平行四邊形的判定例1．（2022·廣東·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列條件中，不能判斷四邊形是平行四邊形的是（）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等C．對(duì)角線互相平分 D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等【即學(xué)即練】1．（2022·山東·八年級(jí)期末）下面關(guān)于平行四邊形的說法中，不正確的是（）A．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．有一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形C．有一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形D．有兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形2．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，在l上取兩點(diǎn)B、C，分別以A、C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，分別連接，則四邊形是平行四邊形．其依據(jù)是（

）A．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形B．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形【知識(shí)拓展2】判斷能否構(gòu)成平行四邊形例2．（2022·湖北遠(yuǎn)安·八年級(jí)期末）如圖四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，∠DAC=∠BCAB．AB=CD，∠ABO=∠CDOC．AC=2AO，BD=2BOD．AO=BO，CO=DO【即學(xué)即練】1．（2023春·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（

）A．B．C．D．，2．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，下列不能判定其為平行四邊形的是(

)A．B．C．D．【知識(shí)拓展3】添加一個(gè)條件成為平行四邊形例3．（2023春·北京東城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，E、F是對(duì)角線上的點(diǎn)．下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】1．（2022·綿陽市八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，D，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且．點(diǎn)E是射線上一點(diǎn)，若再添加下列其中一個(gè)條件后，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，中，，為銳角．要在對(duì)角線上找點(diǎn)N，M，使四邊形為平行四邊形，在如圖所示的甲、乙、丙三種方案中，正確的方案有（

）A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙【知識(shí)拓展4】證明四邊形是平行四邊形例4．（2022·廣東惠城·八年級(jí)期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts（0＜t≤60）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由．【即學(xué)即練】1．（2022·山西八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC，DF．（1）求證：AEF≌DEC；（2）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．【知識(shí)拓展5】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解例5．（2022·吉林長(zhǎng)春市·八年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于點(diǎn)O．（1）求證：AD與BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，F(xiàn)C=2，求AB的長(zhǎng)．【即學(xué)即練】1．（2022·廣東·八年級(jí)期中）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形BCEF均為平行四邊形，∠D＝60°，連接AF，并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，則BE的長(zhǎng)為（）A．5 B．2 C．2 D．3【知識(shí)拓展6】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明例6．（2022·遼寧旅順口·八年級(jí)期中）如圖，四邊形中，，，過點(diǎn)作，垂足為，且．連接，交于點(diǎn)．（1）探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）探究線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【即學(xué)即練】1．（2022·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知：平行四邊形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、．（1）求證：∥；（2）過點(diǎn)作，垂足為，聯(lián)結(jié)．求證：△是等腰三角形．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·黑龍江·大慶市八年級(jí)期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．1：2：3：4B．1：4：2：3C．1：2：2：1D．3：2：3：22．（2022·上海九年級(jí)專題練習(xí)）四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)．給出下列四組條件：①∥，∥；②，；③，；④∥，．其中一定能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件共有（）A．1組； B．2組； C．3組； D．4組．3．（2022·重慶江北區(qū)·字水中學(xué)九年級(jí)月考）下列命題是假命題的是（）A．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形B．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對(duì)角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形D．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形4．（2023春·西藏·八年級(jí)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，點(diǎn)D為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)______．5．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中校考期中）如圖，在中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若為的平分線，且，，求的周長(zhǎng)．6．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，是對(duì)角線，，，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求證：．(2)連接和，判斷四邊形的形狀，并說明理由．7．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，點(diǎn)E是的邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接、，則四邊形（填“是”或“不是”）平行四邊形．8．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，，，垂足分別為．(1)求證：；(2)四邊形是平行四邊形嗎？如是，請(qǐng)證明；如不是，請(qǐng)說明理由．9．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，連接，．(1)求證：四邊形為平行四邊形．(2)若為的角平分線，，求四邊形的周長(zhǎng)．10．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形中，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，．求四邊形的面積．11．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接相交于點(diǎn)O，，則的周長(zhǎng)等于_________．題組B能力提升練1．（2023春·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）中，E，F(xiàn)是對(duì)角線上不同的兩點(diǎn)．下列條件中，不能得出四邊形一定為平行四邊形的是（）A． B． C． D．2．（2022·山東·八年級(jí)）四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列判斷正確的是（）A．若AO＝OC，則ABCD是平行四邊形B．若AC＝BD，則ABCD是平行四邊形C．若AO＝BO，CO＝DO，則ABCD是平行四邊形D．若AO＝OC，BO＝OD，則ABCD是平行四邊形3．（2022·山東·寧津縣八年級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上．若從下列條件中只選擇一個(gè)添加到圖中的條件中．那么不能使四邊形是平行四邊形的條件是（）A． B． C． D．4．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點(diǎn)O，則該圖中的平行四邊形的個(gè)數(shù)共有（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．11個(gè)5．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中校考期中）如圖，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個(gè)四邊形．在轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條的過程中，線段和的長(zhǎng)度始終相等，這里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是____________．6．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，點(diǎn)P在邊上以每秒的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q在邊上以每秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在之間往返運(yùn)動(dòng)．兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止（同時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間________時(shí)，以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．7．（2022·北京·人大附中八年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C為頂點(diǎn)畫平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是_____．8．（2022·山東八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，E、F分別在CD和BC的延長(zhǎng)線上，，，則______．9．（2023春·北京順義·八年級(jí)北京市順義區(qū)仁和中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線交邊于點(diǎn)E，交邊于點(diǎn)F．連接．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)①直接寫出圖中除外所有的平行四邊形（可以標(biāo)記字母）；②選擇①中的一個(gè)平行四邊形加以證明．10．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）已知，平行四邊形的對(duì)角線向兩個(gè)方向延長(zhǎng)，分別至點(diǎn)和點(diǎn)，且使，連接、、、．(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，在不添加任何輔助線情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形，使寫出的每個(gè)三角形面積都等于三角形面積的．11．（2022·山東煙臺(tái)市·八年級(jí)期末）在中，，點(diǎn)在邊所在的直線上，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖①，求證：．（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②，線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是_____，為什么？（3）當(dāng)點(diǎn)在邊的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是____（不需要證明）．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)河南師大附中?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)E、F是平行四邊形對(duì)角線上兩點(diǎn)，在條件：①；②；③；④中，添加一個(gè)條件，使四邊形是平行四邊形，可添加的條件是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，小津不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖所示的四塊，為了能從商店配到一塊與原來相同的玻璃，他帶了其中兩塊玻璃去商店，其編號(hào)應(yīng)該是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①③3．（2023春·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在?中，，，點(diǎn)在邊上以每秒的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上以每秒的速度從點(diǎn)出發(fā)，在間往返運(yùn)動(dòng)．兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（同時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)）．在這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為______時(shí)，線段．4．（2022·云南·昆明市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，cm，cm，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若點(diǎn)以1cm/s的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)同時(shí)以2cm/s的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)_____時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

5．（2022·江蘇射陽·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點(diǎn)E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD長(zhǎng)．6．（2022·黑龍江·哈爾濱九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，，且分別交對(duì)角線于點(diǎn)E、F，連接ED、BF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若AE＝EF，請(qǐng)直接寫出圖2中面積等于四邊形ABCD的面積的的所有三角形．7．（2022·浙江杭州市·八年級(jí)期中）如圖所示，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，E，F(xiàn)為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)始終在的外面），且，連結(jié)，，，．（1）求證：四邊形為平行四邊形．（2）若，上述結(jié)論還成立嗎？若呢？（3）若平分，，求四邊形的周長(zhǎng)．8．（2023·河北承德·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，，．將沿剪下來，以為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，、與所在的直線的交點(diǎn)分別為、．(1)求證：；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，如圖2所示，求重疊部分的面積；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若，如圖3所示，求的長(zhǎng)；(4)在旋轉(zhuǎn)過程中，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)（用含的式子表示）．9．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)?？家荒＃┮阎喝鐖D1