【備戰(zhàn)2021-專項突破】專題13.2-圓（2）（解析版）

專題13.2圓備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)精選考點專項突破卷（2）一、單選題(共30分)1．(本題3分)（2020·重慶中考真題）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點，連接OA，OB，若∠B=35°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】B【分析】根據(jù)切線性質(zhì)求出∠OAB=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解．【詳解】解：∵AB為⊙O切線，∴∠OAB=90°，∵∠B=35°，∴∠AOB=90°-∠B=55°．故選：B．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，熟知相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．2．(本題3分)（2020·浙江中考真題）如圖．點A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC＝15°，∠CED＝30°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】D【分析】首先連接BE,由圓周角定理即可得∠BEC的度數(shù)，繼而求得∠BED的度數(shù),然后由圓周角定理,求得∠BOD的度數(shù).【詳解】解：連接BE,∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°,∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°,∴∠BOD＝2∠BED＝90°.故選:D.【點睛】本題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用,做題的時候分清楚每一個角是解此類題的關(guān)鍵.3．(本題3分)（2020·山東泰安·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，是直徑，，則的長為（）

A．4 B． C． D．【答案】B【分析】連接BO，根據(jù)圓周角定理可得，再由圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)可得OB垂直平分AC，再根據(jù)正弦的定義求解即可．【詳解】如圖，連接OB，∵是的內(nèi)接三角形，∴OB垂直平分AC，∴，，又∵，∴，∴,又∵AD=8，∴AO=4，∴，解得：，∴．故答案選B．【點睛】本題主要考查了圓的垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)圓周角定理求角度是解題的關(guān)鍵．4．(本題3分)（2020·山東中考真題）如圖，是的直徑，弦，垂足為點．連接，．如果，，那么圖中陰影部分的面積是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是的直徑，弦，由垂徑定理得，再根據(jù)證得，即可證明，即可得出．【詳解】解：是的直徑，弦，，．又在和中，，故選：B【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，扇形的面積，等積變換，解此題的關(guān)鍵是證出，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBC的面積，題目比較典型，難度適中．5．(本題3分)（2020·山東中考真題）如圖，有一塊半徑為，圓心角為的扇形鐵皮，要把它做成一個圓錐形容器（接縫忽略不計），那么這個圓錐形容器的高為（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用扇形的弧長公式求得圓錐的底面周長，求得底面半徑的長，然后利用勾股定理求得圓錐的高．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面周長是l，則l=m，則圓錐的底面半徑是：m，則圓錐的高是：m．故選：C．【點睛】本題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．6．(本題3分)（2020·山東濟寧·中考真題）已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2【答案】B【解析】由三視圖可知這個幾何體是圓錐，高是4cm，底面半徑是3cm，所以母線長是（cm），∴側(cè)面積＝π×3×5＝15π（cm2），故選B．7．(本題3分)（2020·貴州中考真題）如圖，⊙O的直徑CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OD＝3：5，則AB的長為（）A．8 B．12 C．16 D．2【答案】C【分析】連接OA，先根據(jù)⊙O的直徑CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的長，再根據(jù)勾股定理可求出AM的長，進而得出結(jié)論．【詳解】連接OA，∵⊙O的直徑CD＝20，OM：OD＝3：5，∴OD＝10，OM＝6，∵AB⊥CD，∴，∴AB＝2AM＝16．故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，解決與弦有關(guān)的問題時，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．8．(本題3分)（2020·浙江中考真題）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步驟作圖：①以點A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，再分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑作弧相交于點H，作射線AH；②分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑作弧相交于點M，N，作直線MN，交射線AH于點O；③以點O為圓心，線段OA長為半徑作圓．則⊙O的半徑為（）A．2 B．10 C．4 D．5【答案】D【分析】如圖，設(shè)OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：如圖，設(shè)OA交BC于T．∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，∴AE＝，在Rt△OCT中，則有r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故選：D．【點睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．9．(本題3分)（2020·山東臨沂·中考真題）如圖，在中，為直徑，，點D為弦的中點，點E為上任意一點，則的大小可能是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，設(shè)∠BOE=x，則∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后運用等腰三角形的性質(zhì)分別求得∠OED和∠COE，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】解：連接OD、OE∵OC=OA∴△OAC是等腰三角形∵，點D為弦的中點∴∠DOC=40°，∠BOC=100°設(shè)∠BOE=x，則∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°∵OC=OE，∠COE=100°-x∴∠OEC=∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x∴∠OED＜∴∠CED＞∠OEC-∠OED==20°．又∵∠CED＜∠ABC=40°，故答案為C．

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線、構(gòu)造等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵．10．(本題3分)（2020·浙江溫州·中考真題）如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D．若⊙O的半徑為1，則BD的長為（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】連接OB，由題意可知，∠OBD=90°；再說明△OAB是等邊三角形，則∠AOB=60°；再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠ODB=30°，最后解三角形即可求得BD的長．【詳解】解：連接OB∵菱形OABC∴OA=AB又∵OB=OA∴OB=OA=AB∴△OAB是等邊三角形∵BD是圓O的切線∴∠OBD=90°∴∠AOB=60°∴∠ODB=30°∴在Rt△ODB中,OD=2OB=2,BD=OD·sin∠ODB=2×=故答案為D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，其中證明△OAB是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題(共30分)11．(本題3分)（2020·貴州中考真題）如圖,AB是半圓O的直徑,AC=AD,OC=2,∠CAB=30°,則點O到CD的距離OE=______.【答案】【解析】試題分析：∵∠CAB=30°，AC=AD，OA=OC，∴∠ACD=75°，∠ACO=30°，∴∠OCE=45°，∵OE⊥CD，∴△OCE為等腰直角三角形，∵OC=2，∴OE=.考點：(1)、圓的基本性質(zhì)；(2)、勾股定理12．(本題3分)（2020·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，等邊中，，點、點分別在和上，且，連接、交于點，則的最小值為__________．【答案】【解析】由已知條件先證明△ABD≌，求得，再作為邊外正三角形的外接圓，點在圓上，利用勾股定理和三角函數(shù)求出CF的最小值．解：等邊，，≌，，，∴，∴作為邊外正三角形的外接圓，點在圓上，,．∴．13．(本題3分)（2020·山東臨沂·中考真題）我們知道，兩點之間線段最短，因此，連接兩點間線段的長度叫做兩點間的距離；同理，連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，因此，直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．類似地，連接曲線外一點與曲線上各點的所有線段中，最短線段的長度，叫做點到曲線的距離．依此定義，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離為_____．【答案】【分析】連接OA，與圓O交于點B，根據(jù)題干中的概念得到點到圓的距離即為OB，再求出OA，結(jié)合圓O半徑可得結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意可得：點到圓的距離為：該點與圓上各點的連線中，最短的線段長度，連接OA，與圓O交于點B，可知：點A和圓O上點B之間的連線最短，∵A（2，1），∴OA==，∵圓O的半徑為1，∴AB=OA-OB=，∴點到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離為，故答案為：.【點睛】本題考查了圓的新定義問題，坐標(biāo)系中兩點之間的距離，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用類比思想解決問題.14．(本題3分)（2020·湖北鄂州·中考真題）用一個圓心角為120°，半徑為4的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓的半徑為____．【答案】【解析】試題分析：，解得r=．考點：弧長的計算．15．(本題3分)（2020·青海中考真題）在中，，，，則的內(nèi)切圓的半徑為__________．【答案】1【解析】【詳解】如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與各邊相切于D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF，則OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，設(shè)半徑為r，CD=r，∵∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5，∴BE=BF=4-r，AF=AD=3-r，∴4-r+3-r=5，∴r=1．∴△ABC的內(nèi)切圓的半徑為1．16．(本題3分)（2020·浙江中考真題）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，則CD與AB之間的距離是_____．【答案】3【分析】過點O作OH⊥CD于H，連接OC，先利用垂徑定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過點O作OH⊥CD于H，連接OC，如圖，則CH＝DH＝CD＝4，在Rt△OCH中，OH＝＝3，所以CD與AB之間的距離是3．故答案為3．【點睛】此題主要考查垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題關(guān)鍵．17．(本題3分)（2020·黑龍江中考真題）一個扇形的面積為，半徑為6cm，則扇形的圓心角是_______________度．【答案】130°．【分析】設(shè)扇形的圓心角是n°，根據(jù)扇形的面積公式即可得到一個關(guān)于n的方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角是n°，根據(jù)扇形的面積公式得：13π=，

解得n=130．

故答案是：130°．【點睛】本題考查了扇形的面積公式，正確理解公式是關(guān)鍵．18．(本題3分)（2020·湖北中考真題）如圖，圓心角為的扇形內(nèi)，以為直徑作半圓，連接．若陰影部分的面積為，則______．【答案】2【分析】本題可利用扇形面積公式以及三角形面積公式，用大扇形面積減去空白部分面積求得陰影部分面積，繼而根據(jù)已知列方程求解．【詳解】將原圖區(qū)域劃分為四部分，陰影部分分別為S1，S2；兩塊空白分別為S3，S4，連接DC，如下圖所示：由已知得：三角形ABC為等腰直角三角形，S1+S2=π-1，∵BC為直徑，∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，故CD=DB=DA，∴D點為中點，由對稱性可知與弦CD圍成的面積與S3相等．設(shè)AC=BC=x，則，其中，，故：，求解得：（舍去）故答案：2．【點睛】本題考查幾何圖形面積的求法，常用割補法配合扇形面積公式以及三角形面積公式求解．19．(本題3分)（2020·山東德州·）如圖，在矩形ABCD中，，，把△EAD沿AE折疊，使點D恰好落在AB邊上的處，再將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)，得到，使得恰好經(jīng)過的中點F．交AB于點G，連接有如下結(jié)論：①的長度是；②弧的長度是；③；④．上述結(jié)論中，所有正確的序號是________．【答案】①②④【分析】①先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理得出的長，再根據(jù)勾股定理求出EF的長，即可求解；②利用特殊角的三角函數(shù)求得，從而求得，根據(jù)弧長公式即可求解；③由于不是等邊三角形，得出，從而說明和不是全等三角形；④先利用“HL”證得，求得，再求得，從而推出．【詳解】①在矩形ABCD中，，∵△ADE翻折后與△AD′E重合，∴AD′=AD，D′E=DE，，∴四邊形ADED′是正方形，

∴AD′=AD=D′E=DE=，∴AE=，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，==，，∵點F是的中點，∴，∴，∴，故①正確；②由①得，在中，，，∴，∴，∴弧的長度是，故②正確；③在中，，，∴不是等邊三角形，∴，∴和不是全等三角形，故③錯誤；④在和中，，公共，∴(HL)，∴，∴，在中，，，∴，∴，又，∴，故④正確；綜上，①②④正確，故答案為：①②④．【點睛】本題考查了圖形的翻折變換，特殊角的三角函數(shù)，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．20．(本題3分)（2020·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的與軸的正半軸交于點，點是上一動點，點為弦的中點，直線與軸、軸分別交于點、，則面積的最小值為________．【答案】2【分析】如圖，連接OB，取OA的中點M，連接CM，過點M作MN⊥DE于N．首先證明點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．求出MN，當(dāng)點C與C′重合時，△C′DE的面積最小．【詳解】解：如圖，連接OB，取OA的中點M，連接CM，過點M作MN⊥DE于N．

∵AC=CB，AM=OM，

∴MC=OB=1，

∴點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．

∵直線y=x-3與x軸、y軸分別交于點D、E，

∴D（4，0），E（0，-3），

∴OD=4，OE=3，

∴，

∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，

∴△DNM∽△DOE，

∴，

∴，

∴，

當(dāng)點C與C′重合時，△C′DE的面積最小，△C′DE的面積最小值，

故答案為2．【點睛】本題考查三角形的中位線定理，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決問題，屬于中考常考題型．三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2020·貴州中考真題）如圖，已知是⊙O的直徑，⊙O經(jīng)過的直角邊上的點，交邊于點，點是弧的中點，，連接．（1）求證：直線是⊙O切線．（2）若，，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接OF，因為點是弧的中點，所以可得，因為，所以，所以，所以，所以，即可得出直線是⊙O切線；（2）由（1）得，所以，所以，可求出，在，根據(jù)勾股定理可得出，再根據(jù)，即，可得，在中，可求出.【詳解】解：如圖，連接OF，是弧的中點，，，，，，，直線是⊙O切線.（2），；由（1）得，，;在中，，，，可得：，解得：，在中，可得：即：.【點睛】本題考查與圓有關(guān)的證明，熟練掌握與圓有關(guān)的定理是做題關(guān)鍵，比如本題中看到弧相等，就要轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圓周角或者圓心角相等；當(dāng)題目中出現(xiàn)平行線，并且求線段長度，可考慮利用相似三角形的性質(zhì)進行求解，結(jié)合勾股定理，注意計算不要出錯.22．(本題7分)（2020·四川雅安·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，，對角線平分．（1）求證：是等邊三角形；（2）過點作交的延長線于點，若，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）；【分析】（1）根據(jù)三個內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形即可判斷；

（2）過點A作AE⊥CD，垂足為點E，過點B作BF⊥AC，垂足為點F．根據(jù)S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD，分別求出△ABC，△ACD的面積，即可求得四邊形ABCD的面積，然后通過證得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面積=四邊形ABCD的面積=.【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ABC=60°，

∴∠ADC=120°，

∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB=60°，

∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，

∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，

∴△ABC是等邊三角形；

（2）過點A作AM⊥CD，垂足為點M，過點B作BN⊥AC，垂足為點N．

∴∠AMD=90°

∵∠ADC=120°，

∴∠ADM=60°，

∴∠DAM=30°，

∴DM=AD=1，AM=，∵CD=3，

∴CM=CD+DE=1+3=4，

∴S△ACD=CD-AM=×3×=，在Rt△AMC中，∠AMD=90°，

∴AC=，∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=，∴BN=，∴S△ABC=××=，∴四邊形ABCD的面積=+=，∵BE∥CD，

∴∠E+∠ADC=180°，

∵∠ADC=120°，

∴∠E=60°，

∴∠E=BDC，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠EAB=∠BCD，

在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），

∴△BDE的面積=四邊形ABCD的面積=.【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．23．(本題8分)（2020·廣西中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，點D在直徑AB上（D與A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，連接CB與圓O交于點F，在CD上取一點E，使得EF=EC．（1）求證：EF是圓O的切線；（2）若D是OA的中點，AB=4，求CF的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】(1)連接OF和AF，證明∠GFE=∠AGD，進而可證明∠OFE=90°后即可求解；(2)先由AB=CD=4，BD=3，在Rt△BCD中結(jié)合勾股定理求出BC，再證明△ABF∽△CBD，由對應(yīng)邊成比例求出BF的長，最后用BC減去BF就是所求的CF的長．【詳解】解：(1)連接OF和AF，設(shè)AF與DC相交于點G，如下圖所示：∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∵AB為圓O的直徑，∴∠AFB=∠AFC=90°，∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90°又EC=EF，∴∠C=∠EFC，∴∠CGF=∠GFE,又∠CGF=∠AGD，∴∠GFE=∠AGD∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°，∴OF⊥EF，∴EF是圓O的切線．(2)如下圖所示，∵D是OA的中點，且AB=4，∴DO=1，BD=BO+DO=3，又AB=CD=4，∴在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2=32+42=52，∴BC=5，又∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B，∴△ABF∽△CBD，∴，代入數(shù)據(jù)后得：，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握其定理及性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵．24．(本題8分)（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩個點，＝＝，連接AD，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若直徑AB＝6，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）連接OD，根據(jù)已知條件得到∠BOD＝180°＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到結(jié)論；（2）連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OD，∵，∴∠BOD＝180°＝60°，∵，∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（2）解：連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD＝AB＝3，∴AD＝＝3．【點睛】本題考查了切線的證明，及線段長度的計算，熟知圓的性質(zhì)及切線的證明方法，以及含30°角的直角三角形的特點是解題的關(guān)鍵．25．(本題9分)（2020·江蘇中考真題）如圖，在中，，D是AB上一點，⊙O經(jīng)過點A、C、D，交BC于點E，過點D作，交⊙O于點