2007年河南省專升本真題高數(shù)(及答案)

2007年河南省普通高等學校選拔優(yōu)秀?？粕M入本科階段學習考試《高等數(shù)學》試卷題號一二三四五六總分核分人分數(shù)一.單項選擇題（每題2分，共計50分）在每小題的備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在題干后面的括號內(nèi).不選、錯選或多選者，該題無分.1.集合的所有子集共有（）A.5B.6C.72.函數(shù)的定義域為（）A.B.C.D.3.當時，與不等價的無窮小量是()A.B.C.D.4.當是函數(shù)的（）A.連續(xù)點B.可去間斷點C.跳躍間斷點D.第二類間斷點5.設在處可導，且，則的值為（）A.-1B.-2C.-3D.6.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有，則在區(qū)間內(nèi)，圖形（）A．單調(diào)遞減且為凸的B．單調(diào)遞增且為凸的C．單調(diào)遞減且為凹的D．單調(diào)遞增且為凹的7.曲線的拐點是（）A.B.C.D.8.曲線的水平漸近線是（）A.B.C.D.9.（）A.0B.C.2D.110.若函數(shù)是的原函數(shù)，則下列等式正確的是（）A.B.C.D.11.（）A.B.C.D.12.設，則（）A.-3B.-1C.1D.313.下列廣義積分收斂的是（）A.B.C.D.14.對不定積分，下列計算結果錯誤是（）A.B.C.D.15.函數(shù)在區(qū)間的平均值為（）A.B.C.8D.416.過軸及點的平面方程為（）A.B.C.D.17.雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面方程為（）A.B.C.D.18.（）A.B.C.0D.極限不存在19.若，則（）33._________34．_________35.向量的模________36.已知平面：與平面：垂直，則______37.設，則________38.已知，交換積分次序后，則_______39.若級數(shù)收斂，則級數(shù)的和為_______40.微分方程的通解為________得分評卷人三、判斷題（每小題2分，共10分）你認為正確的在題后括號內(nèi)劃“√”，反之劃“×”.41.若數(shù)列單調(diào)，則必收斂.()42.若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，則一定不存在，使.()43..()44..()45.函數(shù)在點處可微是在處連續(xù)的充分條件.()得分評卷人四、計算題（每小題5分，共40分）46．求.47.求函數(shù)的導數(shù).48.求不定積分.49.計算定積分.50.設，且為可微函數(shù)，求.51．計算，其中為圓環(huán)區(qū)域：.52．將展開為的冪級數(shù)，并寫出收斂區(qū)間.53．求微分方程的通解.得分評卷人五、應用題（每題7分，共計14分）54.某工廠欲建造一個無蓋的長方題污水處理池，設計該池容積為V立方米，底面造價每平方米元，側(cè)面造價每平方米元,問長、寬、高各為多少米時，才能使污水處理池的造價最低？55.設平面圖形D由曲線,直線及y軸所圍成.求：（1）平面圖形D的面積;(2)平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.得分評卷人六、證明題（6分）56.若在上連續(xù)，則存在兩個常數(shù)與，對于滿足的任意兩點，證明恒有.2007年河南省普通高等學校選拔優(yōu)秀?？粕M入本科階段學習考試(答案)一1解：子集個數(shù)。2解：。3解：根據(jù)常用等價關系知，只有與比較不是等價的。應選A。4解：；。5解：。6解：單調(diào)增加；凸的。應選B。7解：，應選A。8解：。9解：。10解：根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關系知，。應選B。11解：。12解：。13解：由積分和積分的收斂性知，收斂，應選C。14解：分析結果，就能知道選擇C。15解：。16解：經(jīng)過軸的平面可設為，把點代入得應選C。也可以把點代入所給的方程驗證，且不含。17解：把中換成得，應選A。18解：。19解：。20解：令，應選A。21解：：從0變到1，。22解：對級數(shù)、需要利用積分判別法，超出大綱范圍。級數(shù)有結論：當時收斂，當時發(fā)散。級數(shù)、與級數(shù)利用比較判別法的極限形式來確定---發(fā)散的，應選C。23解：令，級數(shù)化為收斂區(qū)間為，即。24解：不是特征方程的特征根，特解應設為。應選B。25解：有。二26解：。27解：構造級數(shù)，利用比值判別法知它是收斂的，根據(jù)收斂級數(shù)的必要條件。28解：。29解：。30解：。31解：。32解：；。33解：。34解：。35解：。36解：。37解：。38解：，所以次序交換后為。39解：，而，所以。40解：有二重特征根1，故通解為（為任意常數(shù)）。三41解：如數(shù)列單調(diào)，但發(fā)散，應為×。42解：如在滿足上述條件，但存在，使得，應為×。43解：第二步不滿足或，是錯誤的，事實上。應為×。44解：因，由定積分保序性知：，應為√。45解：在點處可微可得在點處連續(xù)，反之不成立，應為應為√。四46解：。47解：兩邊取自然對數(shù)得，----（1分）兩邊對求導得：，-------（3分）即，------（4分）故。-----（5分）48解：----（1分）-----（3分）--（4分）。----（5分）49解：因，所以-----（2分）------（4分）

。-----（5分）50解：令，有，利用微分的不變性得----（3分）------（4分）---（5分）51解：積分區(qū)域如圖07-1所示：的邊界、用極坐標表示分別為，；故積分區(qū)域在極坐標系系下為圖07-1，----（2分）圖07-1故----（3分）---（4分）。---（5分）52解：因；---（2分）。所以；。--（3分）故--（4分）。--（5分）53解：方程可化為，這是一階線性非齊次微分方程，---（1分）它對應的齊次方程的通解為，---（2分）設原方程有通解，代入方程得，即，--（3分）所以，---（4分）故所求方程的通解為。---（5分）五54解：設長方體的長、寬分別為，則高為，又設造價為，---（1分）由題意可得；---（3分）而在定義域內(nèi)都有意義.令得唯一駐點，-----（5分）由題可知造價一定在內(nèi)部存在最小值，故就是使造價最小的取值，此時高為。所以，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為、、時，工程造價最低。---（7分）圖07-255解：平面圖形D如圖07-2所示：---（1分）圖07-2取為積分變量，且（1）平面圖形D的面積為----（3分） 。----（4分）（