計(jì)算機(jī)圖形學(xué)：Lecture 12 曲線曲面造型

1、Lecture 12曲線曲面造型 概述 在CAD/CAM領(lǐng)域，存在大量的曲線與曲面，因此，曲線與曲面造型技術(shù)是CAD/CAM系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)。 曲線曲面模型可用數(shù)學(xué)函數(shù)或一系列用戶指定的數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)定義。 曲線表示的基本知識(shí) 曲線可以用顯式、隱式和參數(shù)表示，由于參數(shù)表示的曲線、曲面具有幾何不變性等優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中通常用參數(shù)形式描述曲線 .位置矢量 位置矢量即該位置所在點(diǎn)的坐標(biāo)值，如圖所示，曲線上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為： 型值點(diǎn)和控制點(diǎn) 所謂型值點(diǎn)，是指通過(guò)測(cè)量或計(jì)算得到的曲線上少量描述曲線幾何形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)。由于的數(shù)量有限，不足以充分描述曲線的形狀，因此，通常是求得一些型值點(diǎn)后，采用一定的數(shù)學(xué)方

2、法，建立曲線的數(shù)學(xué)模型，從而再根據(jù)數(shù)學(xué)模型去獲得曲線上每一點(diǎn)的幾何信息。所謂控制點(diǎn)，是指用來(lái)控制或調(diào)整曲線形狀的特殊點(diǎn)，曲線段本身不通過(guò)該控制點(diǎn)。Bzier曲線 Bzier曲線的定義 給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），則Bzier參數(shù)曲線上各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式為： 式中，Pi構(gòu)成該Bzier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)： Bzier曲線 一般折線P0P1Pn為P(t)的控制多邊形；稱P0,P1,Pn各點(diǎn)為P(t)的控制頂點(diǎn)。Bzier曲線P(t)與其控制多邊形的關(guān)系可以這樣認(rèn)為：控制多邊形P0P1Pn是P(t)的大致形狀的勾畫，而P(t)是

3、對(duì)P0P1Pn的逼近。Bzier曲線的性質(zhì) 端點(diǎn)的位置 由Bernstein基函數(shù)可以推得： 當(dāng)t=0時(shí)，P(0)=P0 ；當(dāng)t=1時(shí)，P(1)=Pn 由此可見(jiàn)，Bzier曲線總是通過(guò)第一個(gè)和最后一個(gè)控制點(diǎn)，即P0和Pn，即Bzier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。Bzier曲線的性質(zhì)端點(diǎn)的切線 Bzier曲線在端點(diǎn)處的切矢量 可以通過(guò)控制點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算：因?yàn)樗?由此可得,Bzier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。Bzier曲線的性質(zhì)權(quán)性 由二項(xiàng)式定理可知：Bzier曲線的性質(zhì)凸包性 由于 ，且 ，這一結(jié)果說(shuō)明當(dāng)t在0，1區(qū)間變

4、化時(shí)，對(duì)某一個(gè)t值，P(t)是特征多邊形各頂點(diǎn)的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是 。在幾何圖形上，意味著Bezier曲線P(t)在 中各點(diǎn)是控制點(diǎn)Pi的凸線性組合，即曲線落在Pi構(gòu)成的凸包之中，如圖所示。Bzier曲線的性質(zhì)幾何不變性 這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn) 的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。Bzier曲線的性質(zhì)變差縮減性 若Bezier曲線的特征多邊形 是一個(gè)平面圖形 ， 則平面內(nèi)任意直線與C(t)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。 此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動(dòng)還小，也就是說(shuō)Be

5、zier曲線比特征多邊形的折線更光順。三次Bzier曲線的矩陣表示 在利用Bzier曲線造型時(shí)，如果其次數(shù)太高，固然能表示復(fù)雜的形狀，但同時(shí)會(huì)造成計(jì)算復(fù)雜度增加，并且高次曲線有太多的控制頂點(diǎn)，形狀不易控制。 二次Bzier曲線表示能力有限，又是平面曲線，所以最常用的就是三次Bezier曲線。 三次Bezier曲線是非平面Bzier曲線中的最低次曲線，表示能力強(qiáng)，形狀控制方便。故在一些圖形軟件包中，只有三次Bzier曲線，使得設(shè)計(jì)更加方便，同時(shí)避免了由于高階多項(xiàng)式帶來(lái)的計(jì)算量的增加。 三次Bzier曲線的矩陣表示當(dāng)n=3時(shí)，由特征多邊形的頂點(diǎn)P0、P1、P2、P3可定義一條三次Bzier曲線。這

6、時(shí)曲線定義形式為：矩陣形式為 Bzier曲線的計(jì)算 計(jì)算Bezier曲線上的點(diǎn)，可用Bezier曲線方程，但使用de Casteljau提出的遞推算法則要簡(jiǎn)單的多。 如下圖所示，設(shè) 、 、 是一條Bezier曲線上順序三個(gè)不同的點(diǎn)。 過(guò) 和 點(diǎn)的兩切線交于 點(diǎn), 在 P2點(diǎn)的切線交 和 于 和 ，則如下比例成立：這是所謂的三切線定理。Bzier曲線的計(jì)算Bzier曲線的計(jì)算當(dāng)P0，P2固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為t:(1-t)，即有： t從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們是兩條一次Bezier曲線。將一、二式代入第三式得： 以Bernstein基函數(shù)構(gòu)造的Bzie

7、r曲線有許多優(yōu)點(diǎn)，如直觀、計(jì)算簡(jiǎn)單等，但有一些不足之處：其一是缺少局部性，修改某一個(gè)控制頂點(diǎn)將影響整條曲線;其二是控制多邊形與曲線的逼近程度較差(次數(shù)越高，逼近程度越差);其三是當(dāng)表示復(fù)雜形狀時(shí)，無(wú)論采用高次曲線還是多段拼接起來(lái)的低次曲線，都相當(dāng)復(fù)雜。B樣條曲線B樣條曲線 為了克服這些問(wèn)題，Gordon、Riesenfeld等人拓展了Bzier曲線，提出了B樣條方法，用n次B樣條基函數(shù)替代了Bernstein基函數(shù)，在保留Bzier方法全部?jī)?yōu)點(diǎn)的同時(shí)，克服了Bzier方法的弱點(diǎn)。B樣條曲線 在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，術(shù)語(yǔ)樣條曲線指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)條件。 樣條曲

8、面可用兩組正交樣條曲線來(lái)描述。B樣條曲線 與Bzier曲線不同，對(duì)于B樣條曲線我們采用一系列的節(jié)點(diǎn)來(lái)表示參數(shù)t的變化情況，它是一個(gè)整體參數(shù)，節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)反映了曲線的次數(shù)和段數(shù)。B樣條曲線的方程定義為： B樣條曲線 上式中，Pi是控制多邊形的頂點(diǎn)。 稱為k階（k-1次）B樣條基函數(shù) 。 它是一個(gè)稱為節(jié)點(diǎn)矢量的非遞減的參數(shù)t的序列所決定的k階分段多項(xiàng)式，也即為k階（k-1次）多項(xiàng)式樣條。 B樣條曲線B樣條基函數(shù)定義為： 關(guān)注t的下標(biāo)的變化，其最小最大值為i，i+K 該遞推公式表明：欲確定第i個(gè)k階B樣條，需要用到共k+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，稱 區(qū)間為的支撐區(qū)間。 B樣條曲線 i=0；0，k 使用的節(jié)點(diǎn)為t0，t

9、1， tk i=1；1，k+1 使用的節(jié)點(diǎn)為t1，t2， tk+1 i=n；n，k+n 使用的節(jié)點(diǎn)為tn，tn+1， tk+n 節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)反映了曲線的次數(shù)和段數(shù)： 節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)=n+k+1 共有n+1個(gè)樣條基函數(shù)B樣條曲線B樣條曲線的一個(gè)實(shí)例： n=3；k=3，此時(shí)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n+k+1=7 節(jié)點(diǎn)為0，1，2，3，4，5，6 有n+1=4個(gè)基函數(shù)分別為B0，3， B1，3 ， B2，3 ， B3，3B樣條曲線B樣條曲線的性質(zhì) 局部性 局部性質(zhì)是B樣條最重要的性質(zhì)之一，也是B樣條方法與Bzier方法的主要差別所在。由B樣條基函數(shù)遞推公式可知： 第i條k階B樣條曲線，僅在節(jié)點(diǎn)和的k+1個(gè)區(qū)間內(nèi)不為0，

10、而其余區(qū)間均為0。這個(gè)性質(zhì)稱之為局部支柱性。 B樣條曲線的性質(zhì)連續(xù)性 凸包性 分段參數(shù)多項(xiàng)式 變差縮減性 幾何不變性 直線保持性 造型的靈活性 B樣條曲線分類 （1）均勻B樣條曲線 節(jié)點(diǎn)向量中節(jié)點(diǎn)為沿參數(shù)軸均勻或等間隔分布，所有節(jié)點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度為大于零的一個(gè)常數(shù)，其中i從0一直到n+k。這樣的節(jié)點(diǎn)向量定義了均勻B樣條曲線（uniform B-spline curve）。（2）準(zhǔn)均勻B樣條曲線 準(zhǔn)均勻B樣條曲線(quasi-uniform B-spline curve)是均勻B樣條曲線和非均勻均勻B樣條曲線的交叉部分，節(jié)點(diǎn)向量中首尾節(jié)點(diǎn)重復(fù)d次，即t0= t1= td，tn+1= tn+2= tn+

11、d+1，所有其他節(jié)點(diǎn)呈均勻分布，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了準(zhǔn)均勻B樣條曲線。B樣條曲線分類（3）分段Bzier曲線 節(jié)點(diǎn)向量中兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度為k-1，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了分段的Bernstein基函數(shù)。 4）非均勻B樣條曲線 對(duì)于非均勻B樣條曲線(none-uniform B-spline curve)，節(jié)點(diǎn)向量中節(jié)點(diǎn)的分布是任意的。在這種類型里，任意分布的節(jié)點(diǎn)矢量，只要在數(shù)學(xué)上成立（節(jié)點(diǎn)序列非遞減，兩端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度k，內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度k-1）都可選取。這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了非均勻B樣條基。非均勻有理B樣條曲線 B樣條方法在表示與設(shè)計(jì)自由型曲線曲面形狀時(shí)顯示了強(qiáng)大的威力，然而在表示與

12、設(shè)計(jì)初等曲線曲面時(shí)時(shí)卻遇到了麻煩。因?yàn)锽樣條曲線包括其特例的Bzier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線，而只能給出近似表示。 提出非均勻有理B樣條（NURBS）方法，主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的B樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。非均勻有理B樣條曲線 有理函數(shù)是兩個(gè)多項(xiàng)式之比。因此，有理樣條是兩個(gè)樣條函數(shù)之比。有理B樣條曲線可以這樣來(lái)定義：非均勻有理B樣條曲線 使用NURBS繪制二次曲線，我們利用二次樣條函數(shù)k=3和三個(gè)控制點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)向量為： 0，0，0，1，1，1 取權(quán)值為w0=w2=1，w1=r/（1-r） 0=r1 改變r(jià)的值可得各種二次曲線：

13、r0.5，w11 （雙曲線） r=0.5，w1=1 （拋物線） r0.5，w11 （橢圓）非均勻有理B樣條曲線優(yōu)點(diǎn)既為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀即初等的曲線曲面，也為自由型曲線曲面的精確表示與設(shè)計(jì)提供了一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式。因此，一個(gè)統(tǒng)一的圖形數(shù)據(jù)庫(kù)就能存儲(chǔ)這兩類曲線曲面幾何形狀信息。由操縱控制頂點(diǎn)及權(quán)因子為各種形狀設(shè)計(jì)提供了充分的靈活性。計(jì)算穩(wěn)定，速度快。NURBS有明顯的幾何解釋，對(duì)有良好的幾何知識(shí)尤其是畫法幾何知識(shí)的設(shè)計(jì)人員來(lái)說(shuō)，特別適用。具有明顯的幾何解釋和強(qiáng)有力的幾何配套技術(shù)(包括節(jié)點(diǎn)插入、細(xì)分、升階等)，這些技術(shù)能用于設(shè)計(jì)、分析與處理等各環(huán)節(jié)。NURBS在比例、旋轉(zhuǎn)、平移、錯(cuò)切以及平行和透視變換下

14、是不變的。NURBS是B樣條及有理Bzier曲線的合適推廣。非均勻有理B樣條曲線缺點(diǎn)比傳統(tǒng)的曲線曲面定義方法需要更多的存儲(chǔ)空間，如傳統(tǒng)方法定義空間圓需7個(gè)參數(shù)(圓心、半徑、法矢等)，而NURBS定義空間圓需38個(gè)參數(shù)。權(quán)因子選擇不當(dāng)會(huì)引起畸變。某些技術(shù)用傳統(tǒng)形式比用NURBS工作的更好。如曲面求交等。反求曲線曲面上點(diǎn)的參數(shù)值的算法，存在數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題。OpenGL中自由曲線和曲面的繪制 Bzier曲線的繪制 曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)與該多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，且多邊形的第一條邊和最后一條邊分別表示了曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切向矢量方向。曲線的形狀則趨于多邊形的形狀。多邊形可由其頂點(diǎn)來(lái)定義這些頂點(diǎn)則被稱為控

15、制點(diǎn)。只要給出控制點(diǎn)，就可生成一條Bzier曲線。 Bzier曲線的繪制1.曲線的定義與激活 在OpenGL中，曲線和曲面的構(gòu)造是借助于OpenGL求值器來(lái)完成的。要生成一條曲線，首先，要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)求值器。求值器是基于OpenGL而建立的一個(gè)生成更一般曲線和曲面包的工具。利用求值器可自動(dòng)生成頂點(diǎn)坐標(biāo)、法線坐標(biāo)和紋理坐標(biāo)。其次，要激活求值器，使其進(jìn)行曲線映射。最后，要將求值器生成的各頂點(diǎn)連接起來(lái)可以生成一條完整的曲線。 創(chuàng)建一維求值器的函數(shù)為：glMap1d()或g1Map1f()函數(shù)，由它們生成所需坐標(biāo)值。g1Map1d()函數(shù)原型為： void glMap1d( GLenum target,

16、GLdouble u1,GLdouble u2, GLint stride, GLint order, const GLdouble *points );Bzier曲線的繪制 其中，targret參數(shù)是個(gè)標(biāo)識(shí)參數(shù)，它表示控制點(diǎn)應(yīng)該組織成什么樣的數(shù)據(jù)形式，以及當(dāng)求值器被成功調(diào)用后輸出數(shù)據(jù)的形式。它可以取表中的任意一個(gè)值。Bzier曲線的繪制 ul和u2參數(shù)表示調(diào)和函數(shù)的變量u的取值范圍；stride參數(shù)表示控制點(diǎn)向量的維數(shù)，可以與target參數(shù)表示的含義不一致；order參數(shù)為控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)；points參數(shù)為控制點(diǎn)地址指針。 創(chuàng)建一個(gè)一維曲線求值器之后，就應(yīng)該激活求值器使其進(jìn)入工作狀態(tài)。由下述

17、語(yǔ)句完成： glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3)； glEnable()函數(shù)的參數(shù)應(yīng)該與glMap1d()函數(shù)的第一個(gè)參數(shù)一致，當(dāng)不再需要映射之后，相應(yīng)地，就應(yīng)該掛起求值器： g1Disable(GL_MAPl_VERTEX_3)； Bzier曲線的繪制2曲線坐標(biāo)的計(jì)算 為了能生成一條曲線，最后還要進(jìn)行曲線坐標(biāo)的計(jì)算和連接。該函數(shù)為：glEvalcoord1d()或glEvalCoord1f()。以glEvalcoord1d()為例，其原型為： void glEvalcoord1d(GLDouble u); 其中，u參數(shù)表示參數(shù)空間中u參數(shù)的取值。給定一個(gè)u值，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)曲線坐標(biāo)。當(dāng)用glEvalcoordl()函數(shù)生成曲線坐標(biāo)之后，還要將這些坐標(biāo)連接起來(lái)構(gòu)成一條曲線。這可以通過(guò)glBegin()glEnd()函數(shù)對(duì)來(lái)完