高一數(shù)學必修1各章知識點總結(jié)

高一數(shù)學必修1各章知識點總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關概念

1、集合的含義：_________________________________________

2、元素：________________________________________

3、集合的中元素的三個特性：

元素的、、

4、常用數(shù)集及其記法

表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，

表示有理數(shù)集，表示實數(shù)集.

5、集合與元素間的關系

對象。與集合〃的關系是,或者,兩者必居其一.

6、集合的表示法

①：②：③：④：

1、集合的分類：

含有有限個元素的集合含有無限個元素的集合不含任何元素的集合

二、集合間的基本關系

1、子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

A^B(DAcA

(或A中的任一元素都⑵0=A

子集

屬于B(3)若且BqC,則AqC

(4)若A=8且8=則A=B或

AuBA^B,且中至（1）0uA（A為非空子集）

工B

真子集少有一元素不屬于

(或BoA)（2）若AuB且BuC,則AuC

AH工工

A中的任一元素都

集合(DAcB

A=B屬于B,B中的任一

相等(2)BqA

元素都屬于A?

2、已知集合A有21）個元素，則它有一個子集，它有個真子集，它有個非空真子集

三、集合的運算

運算

交集并集補集

類型

定由所有屬于A且屬于B的由所有屬于集合A或?qū)儆谠OS是一個集合，A是S的一個

義元素所組成的集合，叫做集合B的元素所組成的集子集，由S中所有不屬于A的元

合，叫做A,B的____.記素組成的集合，叫做S中子集A

A,B的_.記作A『B（讀

的—（或余集）

作：AUB（讀作5并B'井

作'A交B'交即A^B=記作CsA,即

即AUB________

CSA=_

韋Oc

恩

圖

示圖1圖2

性

A^A=____AUA=_(CuA)門(CuB)

—

中二AU中二

(CuA)U(CuB)

質(zhì)

A^B=_____AUB=_

AU(CUA)=_____

AABQ_AUBN_—

一ACB=BAUBN_(CUA)=______.

例題：

1,下列四組對象，能構(gòu)成集合的是（）

A某班所有高個子的學生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)

2.集合{a,b,c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x2-2x+l,xGR},N={x|x20},則M與N的關系是

4.設集合A=RE<2},B={*…},若A=B,則a的取值范圍是

四、含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

1、含絕對值的不等式的解法

不等式解集

|x|<a(a>0)

Ix|>a(a>0)

把依+6看成一個整體，化成|x|<Q,

|ax+b\<c,|cix+h\>c(c>0)

|x|>。（。>0）型不等式來求解

2、一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=()A<()

A=Z?2-4ac

u4

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(a>0)

0

琳”2

的圖象

一元二次方程-h±y/h2-4ac

Xj一h

2，2a

ax+bx+c-O(a>0)玉="一五無實根

的根(其中X]<%2)

ax2++c>0(。>0)

的解集

ax2+6x+c<0(〃〉0)

的解集

3、二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/(%)=ax2+hx+c(a^O)②頂點式：/(x)=a(x-h)2+k(a0)

③兩根式：/(x)=a(x—玉)(工一工2)(。/0)

(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用頂點式.

③若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求/(幻更方便.

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/5)=數(shù)2+法+°(4*0)的圖象是一條拋物線，對稱軸為》=_2,頂點坐標(__L"￡也).

2a2a'4a

②當〃>()時，拋物線開口向上，函數(shù)在y,_2］上遞減，在卜2,+8)上遞增，當x=_2時，

’2a2a2a

￡“,,(x)=4f；當a<0時，拋物線開口向下，函數(shù)在(_00,_2］上遞增，在一^收)上遞減，當

4。2a2a'

4ac-b2

4a

③二次函數(shù)f(x)=ax2+Z?x+c(awO)當A=〃2-4。。>0時，圖象與x軸有兩個交點

Ma，o),M,a,,o),iM幽,HX-x,i=￡.

kl

第二章函數(shù)及其表示

［2.1］函數(shù)的概念

一、函數(shù)的有關概念

1、函數(shù)的概念：設A、B是的數(shù)集，如果按照某個確定的f,使對于集合A中的任意一個X,

在集合B中都有f(x)和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個

函數(shù).記作：y=f(x),xGA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的；

與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)|xWA｝叫做函數(shù)的

2、函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應法則.

3、相等函數(shù)：只有相同，且也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).

4、區(qū)間的概念及表示法

設?力是兩個實數(shù)，且。＜人，滿足aWxW〃的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做；

滿足a＜x＜匕的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做；

滿足或a＜xWb的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做,；

滿足x2a,x＞a,x＜仇x＜人的實數(shù)x的集合分別記做

二、定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母；

(2)偶次方根的被開方數(shù)；

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須且

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x

的值組成的集合.

(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證有意義.

三、值域：先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)換元法

(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值

(4)利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

(5)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增,在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞減,則函數(shù)y=f(x)在一處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞減,在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值—；

［2.2］函數(shù)的表示法

一、函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有三種.

解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系.

列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.

圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

二、函數(shù)的解析表達式

(1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的

對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有：湊配法、待定系數(shù)法、換元法、消參法

三、映射的概念

①設A、B是兩個集合，如果按照f,對于集合A中任何,在集合8中都

有和它對應，那么這樣的對應(包括集合A,8以及A到8的對應法則/)叫做集

合A到B的映射，記作8.

四、分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集集，值域是各段值域的并集.

第三章函數(shù)的基本性質(zhì)

[3.1]單調(diào)性與最大(小)值

一、函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個區(qū)間D上的任意兩個y|y=f(x)/(2)利用已知函數(shù)

自變量的值XI、X2,當?shù)膯握{(diào)性

時，都有________，那么(3)利用函數(shù)圖象

f(xj

(在某個區(qū)間圖

就說f(x)在這個區(qū)間上

°Xx,X象上升為增)

是單函數(shù).,

函數(shù)的(4)利用復合函數(shù)

單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個區(qū)間D上的任意兩個yy=f(x)(2)利用已知函數(shù)

的單調(diào)性

自變量的值XI、X2,當f(x,)X.

(3)利用函數(shù)圖象

時，都有________,那么

(在某個區(qū)間圖

就說f(x)在這個區(qū)間上

0x,x,X象下降為減)

是減重數(shù).

(4)利用復合函數(shù)

②如果y=f(u)(u6M),u=g(x)(xdA),則y=f[g(x)]=F(x)(xGA)稱為f、g的復合函數(shù)。

復合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關，其規(guī)律：

注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的

區(qū)間和在一起寫成其身噗

二、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)定義法：①任取

②作差;

?變形(通常是):

④定號(即判斷差的正負)；

⑤下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

(B)圖像法

[3.2]奇偶性

一、函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

V

域內(nèi)_____________,都(a.f(a))先判斷定義域是否

函數(shù)的有____________,那么函關于原點對稱)

-a廠.

奇偶性數(shù)f(x)叫做申圖輒oax(2)利用圖象(圖

象關于原點對稱)

(-a,f(-a))

如果對于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

1

域內(nèi)_____________,都先判斷定義域是否

(-a.f(-a)).(a,f(a))

有__________,那么函數(shù)F關于原點對稱)

f(x)叫做假用數(shù).二(2)利用圖象(圖

-ao

象關于y軸對稱)

②若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性.

注意：函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.

首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

若對稱，(1)根據(jù)定義判定;⑵由f(-x)土f(x)=O或f(x)/f(-x)=±l來判定;

K補充知識》函數(shù)的圖象

1、函數(shù)圖象知識歸納

定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(xWA)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x,

y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(xGA)的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數(shù)關系y=f(x),

反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.

2、畫法：描點法

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；④畫出函數(shù)的圖象.

3、圖象變換法

常用變換方法有三種：平移變換、伸縮變換、對稱變換

①平移變換

〃>o,左移〃個單位*>o,上移出個單位

y=f(x)>y=/(x+/Oy=/(x)

%<0,右移力|個單位A<O,下移Ml個單位

②伸縮變換

0<物1,伸()<A<1,縮

y=/(x)

y=81,縮A>1,伸

③對稱變換

y=于(x)產(chǎn)。y=-/(x)y=f(x)y=/(-x)

y=/(x)原點>尸-/(-x)y=/(x)直線尸x7=f-\x)

去掉)軸左邊圖象

>y=/(|x|)

y=/(%)保留)軸右邊圖象，并作其關于,,軸對稱圖象

保留斕I)上方圖象

y=f(x)將X軸下方圖象翻折上去

第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

[4.1]指數(shù)與指數(shù)幕的運算

一、根式的概念

①如果x"=a,ae>1,且〃eN+，那么叫做a的〃次方根.當〃是時，a的”

次方根用符號后表示；當〃是時，正數(shù)a的正的〃次方根用符號后表示，負的幾次方根用

符號-標表示：0的〃次方根是0；負數(shù)a沒有“次方根.

②式子叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).當“為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；

當〃為偶數(shù)時，a>0.

③根式的性質(zhì)：（%）"=a；當〃為奇數(shù)時，亞=a；當〃為偶數(shù)時，=\a\=C.

[-a（a<0）

二、分數(shù)指數(shù)幕的概念

①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)基的意義是：a；=痂（a>0,機,〃GN+，且〃>D.0的正分數(shù)指數(shù)嘉等于0.

②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)累的意義是：a：=d■）i=J^7（a>0,加,〃GN+，且〃>l）.0的負分數(shù)指數(shù)

ava

幕沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

三、分數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)

①a'?a'=a'+s（a>0,r,seR）②(a')s=ars(a>0,r,seR)

③（W=arhr（a>0,b>0,re/?）

[4.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=aya>0且a/1）叫做指數(shù)函數(shù)

a>\0<。<1

J7=1J

圖象

y=\X.(o.i)

(0,1)

O]

定義域

值域

過定點圖象過定點_________，即當x=0時，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是___________在R上是_________

ax>\(x>0)ax<1(x>0)

函數(shù)值的

ax=\(x=0)ax=\(x=0)

變化情況

ax<\(x<0)ax>\(x<0)

a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，。越大圖象越低.

[4.3]對數(shù)與對數(shù)運算

一、對數(shù)的定義

①若a*=N（a>0,且awl）,則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作,其中。叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).

②沒有對數(shù).

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：X=log“N=a，=N(a>Qa手1,N>0).

二、幾個重要的對數(shù)恒等式

log“1=0,log"=1,log.a=b.

三、常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：IgN,即；自然對數(shù)：InN,即(其中e=2.71828…).

四、對數(shù)的運算性質(zhì)如果。>0,。工1,">0,N>0,那么

②減法：log“M-logaN=log?.

①加法：log,M+loguN=log?(MN)

③數(shù)乘：=log“M"(〃wR)④i=N

⑥換底公式：log'=~^^(/?>0,且8.1)

@log?M"~—\ogaM(b^G,n&R)

°hlog”a

【4.4】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log”x(a>0且Qw1)叫做對數(shù)函數(shù)

a>\0<a<l

1'=1!X_1J=log?x

y?y=iog“"

圖象

7(1,0)一

o(i,o)r

定義域

值域

過定點圖象過定點__________,即當x=l時，y=0.

奇偶性

單調(diào)性在(0,+oo)上是________在(0,+00)上是________

logflx>0(x>l)log?x<0(x>l)

函數(shù)值的

log“x=0(x=l)log“x=0(x=l)

變化情況

logflx<0(0<x<1)log”x>0(0<x<1)

。變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.

K2.331函數(shù)

1、幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做某函數(shù)，其中M為自變量，a是常數(shù).

①圖象分布：幕函數(shù)圖象分布在第象限，第四象限無.

基函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限（圖象關于對稱）；

嘉函數(shù)是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限（圖象關于對稱）；

基函數(shù)是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第象限.

②過定點：所有的塞函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都通過點.

③單調(diào)性：如果a>0,則黑函數(shù)的圖象過原點，并且在［0,+oo）上為函數(shù).

如果a<0,則幕函數(shù)的圖象在（0,+oo）上為函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.

④奇偶性：當a為奇數(shù)時，黑函數(shù)為奇函數(shù)，當a為偶數(shù)時，寤函數(shù)為偶函數(shù).

當a=_￡（其中p,q互質(zhì)，p和geZ）,若0為奇數(shù)4為奇數(shù)時，則y=x°是奇函數(shù)，

P

2