導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 -2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（真題+模擬）訓(xùn)練（解析版）

專題5導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第一部分真題分類

一、單選題

1.(2021.全國(guó)高考真題)若過(guò)點(diǎn)(名。)可以作曲線y=e，的兩條切線，則()

A.e<aB.e[,<b

C.0<a<elD.0<b<ea

【答案】D

【解析】在曲線y=e*上任取一點(diǎn)對(duì)函數(shù)y=e*求導(dǎo)得y'=e，,

所以，曲線y=/在點(diǎn)p處的切線方程為y-e'=d(x-t),即y=e'x+(l-r)e',

由題意可知，點(diǎn)(a,8)在直線>=e'x+(l-r)e'上，可得匕=ad+(l-r)e'=(a+l-f)e',

令/?)=(a+l_r)e',則=

當(dāng)時(shí)，/'(，)>0,此時(shí)函數(shù)/?)單調(diào)遞增，

當(dāng)，>a時(shí)，//(r)<0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

所以，“Lx"，』"，

由題意可知，直線y=b與曲線>=/'")的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則匕</(f)gx=e",

當(dāng)r<a+l時(shí)，/(r)>0,當(dāng)r>a+l時(shí)，/?)<0,作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)0<b<e〃時(shí)，直線y=〃與曲線y=/(r)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線y=e”的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(。力)在曲線下方和％軸上方時(shí)才可

以作出兩條切線.由此可知0<b<e".

故選：D.

2.(2021?全國(guó)高考真題(理))設(shè)arO,若x=。為函數(shù)〃x)=a(x—a)2(x—。)的極大值點(diǎn)，則()

A.a<bB.a>bC.ah<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】若a=。，則/(x)=a(x—a)3為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故Mb.

依題意，％=。為函數(shù)〃力=〃(》—。)2(%—3的極大值點(diǎn)，

當(dāng)”0時(shí)，由尤>6/(x)<0,畫出/(x)的圖象如下圖所示：

由圖可知b<a,a<0,故ab〉/.

3>0時(shí)，由X〉匕時(shí)，/（x）>0,畫出/（X）的圖象如下圖所示:

由圖可知Z?>。，a>0<故ah〉/.

綜上所述，R>>/成立.

故選：D

3.（2020?全國(guó)高考真題（理））若直線/與曲線y=4和/+產(chǎn)（都相切，則/的方程為（）

A.y=2x+\B.y=2x+；C..尸;x+1D.）=gx+g

【答案】D

【解析】

設(shè)直線/在曲線y=、&上的切點(diǎn)為（玉），衣），則%>0，

函數(shù)y=?的導(dǎo)數(shù)為>'=-U，則直線I的斜率k

27x

設(shè)直線/的方程為丁一直=3上（工一工0）,即x—2j￡y+Xo=O，

rc1XA1

由于直線/與圓Y+y==相切，則二）一=—,

-5V1+4xoV5

兩邊平方并整理得5片,—4x0—1=0,解得%=1,毛=一1不（舍），

貝IJ直線/的方程為x—2y+l=0,即y=

22

故選：D.

4.（2020?全國(guó)高考真題（理））函數(shù)/（》）=/-2x3的圖像在點(diǎn)（1,/（I））處的切線方程為（）

A.y=-2x-\B.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【解析】

?.?/(X)=X4-2X\.-./,(X)=4X3-6X2,.-,/(l)=-l,/,(l)=-2,

因此，所求切線的方程為y+l=-2(x—l),即y=-2x+l.

故選：B.

5.已知曲在點(diǎn)(l,ae)處的切線方程為y=2x+b,貝ij()

A.a=e,b=-1B.a=e,b=\C.a=e-',b=\D.a=e~',b=-\

【答案】D

【解析】

解析：y'=aex+Inx+1,

k=y'3=ae+l=2,x

a=e~

將(1』)代入丁=2%+8得2+8=1,。=一1,故選D.

-2

0,、x~-2ax+2a,%,1,“、八

6.已知aeR,設(shè)函數(shù)/(%)=,若關(guān)于x的不等式/(x)..O在R上恒成立，則a的

x-am,x,x>1,

取值范圍為()

A.[0,1]B.[0,2]C.[o,e]D.[l,e]

【答案】C

【解析】

V/(0)>0,即a?0,

(1)當(dāng)0WaV1時(shí)，f(x)———2(vc+2a=(x—o)"+2a—ci~22a—ct~=a(2—a)>0,

當(dāng)a>l時(shí)，/(I)=1>0,

故當(dāng)a20時(shí)，f-2ax+2a20在(Y°』]匕恒成立；

Y

若x-alnxN0在(1,+°0)上恒成立，即—在(L+0°)上恒成立，

Inx

,,x，/、lnx-1

令g(x)=-：—，則g(x)=~~~3-，

Inx(Inx)

當(dāng)x>e,函數(shù)單增，當(dāng)0<x<e,函數(shù)單減，

故g(x)max=g(e)=e，所以當(dāng)。之0時(shí)，f-2ax+2aNO在“上恒成立;

綜上可知，。的取值范圍是[0,e],

故選C.

二、填空題

2r-1

7.(2021?全國(guó)高考真題(理))曲線y=----在點(diǎn)(T-3)處的切線方程為_(kāi)__________

x+2

【答案】5x-y+2=0

【解析】由題，當(dāng)x=—1時(shí)，y=-3,故點(diǎn)在曲線上.

2(x+2)-(21)_5

求導(dǎo)得:所以：/LT=5.

-(x+2)12(x+2)2

故切線方程為5x—y+2=0.

故答案為：5%-y+2=0.

8.(2021.全國(guó)高考真題)函數(shù)〃x)=|2元-l|-21nx的最小值為.

【答案】1

【解析】由題設(shè)知：/(x)=|2x—1|-21nx定義域?yàn)?0,+8),

.?.當(dāng)0<x41時(shí)，/(x)=l—2x—21nx,此時(shí)/(x)單調(diào)遞減；

2

1?

當(dāng)時(shí)，/(x)=2x-l—21nx,有/'(x)=2--<0,此時(shí)單調(diào)遞減；

2x

2

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=2x-l-21nx,有/'(x)=2-->0.此時(shí)/(幻單調(diào)遞增：

x

又/(X)在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，

...綜上有：()<x?l時(shí)，/(X)單調(diào)遞減，X>1時(shí)，/(X)單調(diào)遞增；

/./(x)>/(l)=l

故答案為：1.

9.(2020?江蘇高考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知尸(手,0),4,8是圓C：x2+(y-l)2=36±

的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足=則△布B面積的最大值是.

【答案】10小

【解析】

QPA=PB:.PC±AB

設(shè)圓心C到宜線AB距離為d，

所以Sv啰?1-2436-儲(chǔ)(d+1)='(36-42)s+1產(chǎn)

令y=(36-a?)(d+1)2(0<J<6)/=2(4+1)(-2J2-J+36)=O.\J=4(負(fù)值舍去)

當(dāng)0Wd<4時(shí)，/>0;當(dāng)4Kd<6時(shí)，y<0,因此當(dāng)d=4時(shí)，y取最大值，即S^AB取最大值為10后，

故答案為：10有

10.(2020?全國(guó)高考真題(文))設(shè)函數(shù)f(x)=/L.若尸(1)=￡,貝ija=_________

x+a4

【答案】I

,、e'(x+a)—e*e*(x+a—1)

【解析】由函數(shù)的解析式可得：f(%)=—;——不一=———「，

[x+a)[x+a)

/，/八3x(l+a_l)aeaee

則：/(1)=Y_L=T一U，據(jù)此可得：771尸=五，

(l+a)(a+1)(。+1)4

整理可得：儲(chǔ)_2。+1=0,解得：a=l.

故答案為：1.

11.(202。全國(guó)高考真題(文))曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為

【答案】y=2x

【解析】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(Xo，yo)，y=inx+x+i,y'=L+i,

X

y'=—+l=2,x0=l,y0=2,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

所求的切線方程為丁-2=21),即y=2x.

故答案為：y=2x.

4

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，尸是曲線y=x+-(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+)=0的距離的

X

最小值是.

【答案】4.

4

【解析】當(dāng)直線x+y=。平移到與曲線y=x+—相切位置時(shí)，切點(diǎn)。即為點(diǎn)P到直線x+y=。的距離最

X

小.

由y'=l—^=-1,得x=舍），y=35/2,

x

即切點(diǎn)〈（虛,3立）,

則切點(diǎn)Q到直線X+y=0的距離為1&+3"1=4，

故答案為4.

三、解答題

13.（2021.北京高考真題）已知函數(shù)

（1）若a=0,求y=/（x）在處切線方程；

（2）若函數(shù)"X）在x=-1處取得極值，求/（x）的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

【答案】（1）4x+y—5=0；（2）函數(shù)“X）的增區(qū)間為（一8,-1）、（4,物）,單調(diào)遞減區(qū)間為（一1,4）,

最大值為1，最小值為一9.

4

【解析】（I）當(dāng)a=o時(shí)，〃尤）=^^,則/（[）=變?cè)?r⑴=-4,

XX

此時(shí)，曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,7（1））處的切線方程為yT=T（x-l）,即4x+y-5=0；

2

□9r—2（/+Q）—2x（3—2x）2（x—3x—

（2）因?yàn)?（n）=受，則raxi1~~-片J，

x-+a（x2+a）（x2+a）

,、2（4—a]

由題意可得/（T）=/,、2=。，解得a=4,

（a+1）

,/、3-2xm_2（x+l）（x_4）

故/（x）=7TT'（）-1+4）2，列表如下：

x（-00,-1）-1（-1,4）4（4,-K?）

/'(X)+0—0+

“X)增極大值減極小值增

所以，函數(shù)/(X)的增區(qū)間為(—8,T)、(4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,4).

3/、3

當(dāng)x<］時(shí)，/(x)>0：當(dāng)x>2時(shí)，/(x)<0.

所以，〃耳皿=〃-1)=1，/(4―/(4)=一

14.(2021?全國(guó)高考真題)已知函數(shù)"x)=x(l-lnx).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且從na-alnb=a-證明：2<’+'<e.

ab

【答案】(I)/(X)的遞增區(qū)間為(0,1),遞減區(qū)間為(1,+8);(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】(I)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8)，

又//(x)=l-lnx-l=-lnx,

當(dāng)尤e(O,l)時(shí)，/'(￡)>0,當(dāng)XG(1,+QO)時(shí),/(無(wú))<0,

故/(X)的遞增區(qū)間為(0,1),遞減區(qū)間為(1,+8).

(2)因?yàn)?1na-alnb=a-b,故人(1114+1)=0(111/?+1),即加"+1=卜”1,

ab

故小TJ

設(shè),=%，!=%2，由(I)可知不妨設(shè)0<玉<1，工2>1.

ab

因?yàn)閤e((),l)時(shí)，,f(x)=x(l-lnx)>0,xw(e,+oo)時(shí)，f(x)=x(l—Inx)<0,

故1<々<e.

先證：x,+x2>2,

若々22,玉+々>2必成立.

若々<2,要證：玉+々〉2,即證%>2-々，而0<2-無(wú)2<1,

故即證/(%)>/(2—々)，即證：/(%)>/(2—X2)，其中1<工2<2.

設(shè)g(x)=/(x)-/(2-x),l<x<2,

則g'(x)=/'(x)+/'(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],

因?yàn)?cx<2,故0<x(2-x)<l,故-lnx(2-x)>0,

所以g'(x)>0,故g(x)在(1,2)為增函數(shù)，所以g(x)>g⑴=0,

故〃x)>/(2-x),即/(毛)〉/。-々)成立，所以玉+尤2>2成立,

綜上，玉+々>2成立.

設(shè)x,=4，則，>1,

11

jzIn。+1/7+

結(jié)人=In力-=-：石(lTn%)=%2(lTnN),

〃X。可得

。

t-\-t\nt

即：1-In%^zfl-lnr-lnxj,故In%二

t-\

要證：x1+x2<ef即證?+l)玉<e,即證ln(f+l)+lnx<1,

即證：In(，+1)4---------<1,即證：(，-1)In(，+1)—rInr<0,

，一1

則S〈f)=ln(^+l)+--^-1-lnf=ln(l

先證明一個(gè)不等式：ln(x+l)<x.

]—x

設(shè)〃(x)=ln(x+l)-x,則/(x)=-----1-——,

x+1x+1

當(dāng)一1cxe0時(shí)，H，(X)>O；當(dāng)X>0時(shí)，M，(X)<O,

故“(X)在(TO)上為增函數(shù)，在(0,+8)上為減函數(shù)，故“(％)3=〃(0)=0,

故ln(x+l)?x成立

由上述不等式可得當(dāng)￡>1時(shí)，In1+；卜;<告，故S'(/)<0恒成立，

故s(f)在(1,+8)上為減函數(shù)，故S?)<S(l)=0,

故(r-l)ln(r+l)-Hnt<0成立，即％+x2<e成立.

綜上所述，2<L+』<e.

ab

15.(2021?全國(guó)高考真題(文))設(shè)函數(shù)/(x)=+Qx-3]nx+l,其中。>0.

(1)討論“X)的單調(diào)性；

(2)若丫=/(力的圖像與工軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】⑴"X)的減區(qū)間為[。,()，增區(qū)間為+8)；(2)a>|.

【解析】⑴函數(shù)的定義域?yàn)?0,+")，

又八用=(2奴+3)⑷-1),

x

因?yàn)椤?gt;0,x>0,故2，zx+3>0,

當(dāng)o<x<，n寸，f'(x)<0；當(dāng)x〉L時(shí)，f'(x)>0；

cia

所以〃X)的減區(qū)間為(o，：)，增區(qū)間為+8).

(2)因?yàn)椤?)=。2+4+1>0且〉=/(力的圖與“軸沒(méi)有公共點(diǎn),

所以>=/(x)的圖象在X軸的上方，

由(1)中函數(shù)的單調(diào)性可得〃x)min=/(￡|=3_31n：=3+31na,

故3+31na>0即a>~.

e

16.(2021?浙江高考真題)設(shè)a,b為實(shí)數(shù),且。>1,函數(shù)/(x)=a'—Zzx+e2(xeR)

(1)求函數(shù),f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意6>2/,函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；

(3)當(dāng)a=e時(shí)，證明：對(duì)任意力寺3函數(shù)“X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)不當(dāng)，滿足X2>2"玉+S.

2eb

(注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】(1)A40時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增；/?>()[1寸，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為-oo,log,,,單調(diào)增區(qū)

；(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)f(x)=ax-bx+e2,f(x)=ax\na-b,

①若8W0,則/'(x)=aUna—〃20,所以/0)在R上單調(diào)遞增;

②若匕>0,

當(dāng)xe18,log。言｝寸，/'(%)<0J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(log,,備,+oo)時(shí)，尸(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

綜上可得，8W0時(shí)，f(x)在及上單調(diào)遞增；

0>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(一叫l(wèi)og〃3],單調(diào)增區(qū)間為hog“3，+s].

IInaJ\InaJ

(2)/(X)有2個(gè)不同零點(diǎn)=優(yōu)—法+e2=0有2個(gè)不同解=e'M"-/zx+e2=0有2個(gè)不同的解,

令r=xlna,則d---+e2=0=>-^-=￡+e,t>Q>

In。In。t

記g(r)=午,g⑺=.“廣)=一”.

記h(t)=ef(t-l)-e2,h(t)=d?_l)+e'1=d?/>0,

又/i(2)=0,所以「￡(0,2)時(shí)，h(t)<0,，E(2,+8)時(shí)，h(t)>0,

bh

則gQ)在(0,2)單調(diào)遞減，(2,+oo)單調(diào)遞增，一>g(2)=/,.?.In?！炊?，

Intze

h

?/b>2e~9,>2,In?<2=>1<6?<9.

e

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(I"?].

閉。=%/(幻=/一區(qū)+02有2個(gè)不同零點(diǎn)，則e*+e2=bx,故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).

由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為馬，較小者為引，

x2x2

,e'+ee-+e4

b=-------=------->e,

%x2

x2

注意到函數(shù)y=三七-在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增,

X

故玉<2<工2，又由^-----</知w>5,

什*<生=%<才,

%]x{b

由、「blnbe~.e1

女iikx?>22"i+，八而X)>In/?+-j—>

+C12*>

b=-------<——且關(guān)于》的函數(shù)g/)=lnb+J在上單調(diào)遞增,

x2x.h

2c與2

所以只需證x,>ln—+一ex>5),

赴2e'2'_7

只需證彳一黃>°'

只需證1口1一^^—1112>0，

2ex

pJO.Y

——<4,只需證〃(x)=lnx---In2在x>5時(shí)為正，

2/

由于h(%)=-+4xe-v-4e-x=g+4e-x(x-l)>0,故函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增，

又h(5)=In5-與-In2=In*-當(dāng)>0,故/z(x)=Inx-與一In2在x>5時(shí)為正,

e2ee

從而題中的不等式得證.

Ya

17.(2021?全國(guó)高考真題(理))已知。>0且QW1,函數(shù)f(x)=—U>0).

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求〃的取值范圍.

2

【答案】⑴上單調(diào)遞增;不工,+8上單調(diào)遞減；(2)(l,e)u(e,+8).

In2

22x62'—f，2'in2_x?2'(2—xln2)

【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=W，r(x)

4V

709

令ra)=o得1=三.當(dāng)。<彳<三時(shí)，r(x)>o,當(dāng)%>三時(shí)，r(x)<o.

m2m2m2

函數(shù)/(x)在(o,記5總+8上單調(diào)遞減:

上單調(diào)遞增:

(2)f(x)=—=1<=>ax=xa。工1114=〃111不<=>^^=^^,設(shè)函數(shù)且(*)=^^,

axxax

則g，(x)=與詈，令g，(x)=o,得x=e,

在(O,e)內(nèi)g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

在(e,+oo)上g'(x)<0,g(無(wú))單調(diào)遞減;

???g(x)〃m=g(e)=J

又g⑴=0,當(dāng)X趨近于+00時(shí)，g(x)趨近于0,

所以曲線y=r(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線y=g(x)與直線y=會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)的充分

必要條件是0<等<|，這即是0<g(a)<g(e),

所以”的取值范圍是(l,e)u(e,+s).

18.(2021.全國(guó)高考真題(理))設(shè)函數(shù)〃x)=ln(4—x),已知x=0是函數(shù)y=獷(力的極值點(diǎn).

(1)求

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=?；、.證明:g(x)<L

xf(x)

【答案】1;證明見(jiàn)詳解

1X

【解析】⑴由/(x)=ln(a—x)n/'(x)=,y==>^'=ln(6z-x)+

x-ax-a

又x=0是函數(shù)y=4(x)的極值點(diǎn)，所以y'(0)=lna=0,解得a=l；

,、/、x+f(x)x+ln(l-x)

⑵由⑴得〃x)=ln(17),g(x)=~^-=[n(l二x)，%<1且"°，

/、x+ln(l—x),、，、

當(dāng)x?O,l)時(shí)，要證g(x)=——---/<1，vx>0,ln(l-x)<0,.*.xln(l-x)<0,即證

xln(1—xj

x+ln(l-x)>xln(l-x),化簡(jiǎn)得工+(1-力141-力>0；

/、x+ln(l-x),、，、

同理，當(dāng)了￡(—0,。)時(shí)，要證g(x)=--7----S<1，vx<0,ln(l-x)>0,.-.xln(l-A：)<0,即證

x+ln(l-x)>xln(l-x),化簡(jiǎn)得x+(l_x)ln(l_x)>0；

令〃(x)=x+(l—x)ln(l—x),再令r二1一%,則f￡(O,l)U(l,y)，x=\-t,

令g(f)=1T+"n，,g'(。=-1+Inf+1=Inf,

當(dāng)fe(O,l)時(shí),g'(x)<0,g(x)單減,假設(shè)g(l)能取到，則g(l)=O,故g?)>g(l)=O；

當(dāng)fe(l,+8)時(shí)，g〈x)>0,g(x)單增,假設(shè)g(l)能取到，則g(l)=O,故g(f)>g(l)=O；

x+ln(l-x)

綜上所述，g(x)<1在xe(-oo,0)U(。,1)恒成立

,rln(l-x)

19.(2021?全國(guó)高考真題(理))已知拋物線。：/=2外(〃>0)的焦點(diǎn)為尸，且尸與圓

M:/+(y+4)2=l上點(diǎn)的距離的最小值為4.

(1)求〃；

(2)若點(diǎn)P在“上，PAPB是C的兩條切線，AB是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.

【答案】⑴。=2；(2)20亞.

【解析】(1)拋物線C的焦點(diǎn)為F((用，怛M/+4,

所以，F(xiàn)與圓“：爐+(丁+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為5+4-1=4,解得P=2；

2

(2)拋物線C的方程為V=4y,即y=、，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得了=2，

設(shè)點(diǎn)A(X，y)、8(孫％)、「(用,先)，

直線24的方程為y-x=5(x-%),即工替一y,即X|X—2,，］一2y=0,

同理可知，直線形的方程為馬龍―2%—2>=0,

X拓-2乂-2%=0

由于點(diǎn)P為這兩條直線的公共點(diǎn)，貝聯(lián)

『_2%-2%=0'

所以，點(diǎn)A、8的坐標(biāo)滿足方程飛》一2丁一2%=0,

所以，直線AB的方程為入0X一2丫-2%=0,

2y-2%=0

聯(lián)立《x2,可得Y-2犬0》+4%=0,

由韋達(dá)定理可得玉+%2=2?），%9=4%,

所以，［4卻=、|+TJ（再+外,_4%々+?也1一⑹加=，（r+4）國(guó)-4,），

忖一4)o|

點(diǎn)P到直線AB的距離為d

&+4

所以,S^PAB=（J（X；+4）（片一4y（J-I；2聞=g（X；_4%）2，

--，x（）+4

X；-4%=1-(%+4)--4y0=-yl-12y0-15=-(y0+6)'+21,

12

由已知可得-54%4-3,所以，當(dāng)先=-5時(shí)，的面積取最大值一X203=206.

2

20.（2020?全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)f（x）=x3+fev+c,曲線y=/（x）在點(diǎn)（g,*））處的切線與y

軸垂直.

（1）求瓦

（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：“X）所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

3

【答案】（1）b=一二；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】⑴因?yàn)?，（?3/+從

由題意，八；)=°，即3x(；)+人=0

3

則b=—；

4

3

(2)由(1)可得f(x)=x3--x+c,

31I

/(X)=3X2--=3(X+-)(X--),

令/(工)＞。,得元＞'或1＜一,；令f(x)v。,得一

2222

所以/(力在(-L一)上單調(diào)遞減，在(70,-3，(L,+8)上單調(diào)遞增,

2222

且—二

若f(x)所有零點(diǎn)中存在?個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)為,則/(-1)>0或f(D<0,

即c>一或c<-L

44

當(dāng)c>；時(shí)，/(-l)=c-i>0,/(-1)=c+l>0,/(1)=c-l>0,/(l)=c+i>0I

又/(-4c)=-64c3+3c+c=4C(1-16C2)<0,

由零點(diǎn)存在性定理知fix)在(Tc,-1)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)%,

即廣(X)在(-8,-1)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，

此時(shí)/(X)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

當(dāng)c<一:時(shí)，=；)=c+；<0,/(g)=c_：<0,/(l)=c+；<0,

又/(-4c)=64c3+3c+c=4c(1-16c2)>0,

由零點(diǎn)存在性定理知fM在(1，-4c)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)x；,

即“X)在(1,”)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在(F,D上不存在零點(diǎn)，

此時(shí)f(x)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

綜上，/(X)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

21.(2020?全國(guó)高考真題(文))已知函數(shù)/(x)=x3-fcv+產(chǎn).

(1)討論了(幻的單調(diào)性；

(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，求左的取值范圍.

4

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)(0,五).

【解析】(1)由題，/(x)=3x2-k,

當(dāng)女<0時(shí)，/(x)20恒成立，所以/(%)在(F,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)女>()時(shí)，令/(x)=0,得x=±J^,令/(x)<0,得

令f(x)>0,得x<—心或x>*,所以/(x)在(-上匕上單調(diào)遞減,在

VJV3V3V3

(4,+8)上單調(diào)遞增.

f(-百〉。

(2)由(1)知1,〃X)有三個(gè)零點(diǎn)，則攵>0,且，

喑＜0

22[~k

kH—kA—>0

3V34

即《L,解得0〈左〈一，

公二半〈027

13V3

41-[kf-

當(dāng)?！词稀炊r(shí).，&>J—,且/(〃)=公>0,

Z/Y3

所以八幻在；)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，

同理_,f(-k-l)=-k3-(k+l)2<0,

所以.f(x)在(-1,上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，

又〃x)在上有唯一?個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)有三個(gè)零點(diǎn),

4

綜上可知k的取值范圍為(0,工7).

22.(2020?全國(guó)高考真題(理))已知函數(shù)/(x)=e'+ox2_x.

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，討論/a)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)它0時(shí)，f(x)>^-x3+l,求a的取值范圍.

【答案】⑴當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，尸(x)<o,〃x)單調(diào)遞減,當(dāng)x?0,+8)時(shí),尸(x)>0,〃龍)單調(diào)遞

[7-e2}

增.⑵——,+00

L4)

【解析】(1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=ex+x2-x,f'(x)^ex+2x-l,

由于」"(x)=e、+2>0,故/(x)單調(diào)遞增,注意到了'(0)=0,故：

當(dāng)x?-oo,0)時(shí),/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(O,+8)時(shí)，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

⑵由f(X)>—x3+1e'+ux~-x..x3+1.其中x■0,

①.當(dāng)40時(shí)，不等式為：121，顯然成立，符合題意；

px-1-%3―Y—1

②.當(dāng)x>0時(shí)，分離參數(shù)。得，eX,

a...---------------

.e，—%3—%—1(*-2)-X—1

g(上一^5g'(x)=-一

令=e*—_*_1(彳20),

則〃'(x)=e*-x-l,/z"(x)=e*-120,

故/“x)單調(diào)遞增，”(x)N廳⑼=0,

故函數(shù)網(wǎng)力單調(diào)遞增，A(x)>A(O)=O,

由/?(x)N0可得：e'—萬(wàn)廠一x—1..0恒成立，

故當(dāng)x?0,2)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(2,+oo)時(shí)，g<x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

因此，卜(叨,「8出=工

-7-e2)

綜上可得，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是^—,+oo

23.(2020?全國(guó)高考真題(理))已知函數(shù)/(x)=sin2xsin2x.

(1)討論/(x)在區(qū)間(0,乃)的單調(diào)性；

(2)證明：|〃x)K半；

V

(3)設(shè)〃￡N*,證明：sin2xsin22xsin24x...sin22nA<—.

4〃

【答案】⑴當(dāng)時(shí)，尸(》)>0"(》)單調(diào)遞增，當(dāng)/(x)<0J(x)單調(diào)

遞減，當(dāng)xe(年，萬(wàn))時(shí)，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.(2)證明見(jiàn)解析；⑶證明見(jiàn)解析.

【解析】⑴由函數(shù)的解析式可得：/(x)=2sin3xcosx,則：

/1(%)=2(3sin2xcos2x-sin4%)=2sin2x(3cos2x-sin2x)

=2sin2x(4cos2x-l)=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),

/,(尤)=0在％￡(0,4)上的根為：x,=~?

當(dāng)時(shí)，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x￡[寸彳)時(shí)，./(%)<°J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，尸(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

(2)注意到/(x+乃)=sin2(x+乃)sin[2(x+%)]=sin2xsin2x=/(x),

故函數(shù)/(x)是周期為萬(wàn)的函數(shù)，

結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：/(0)=/(")=0,

據(jù)此可得：m切苧，[〃明疝「挈

叩(小哈

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有:

sin2xsin22xsin24x---sin22nx

2

=[sin3xsin32xsin34x---sin32〃％，

2

=^sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)…卜in?2n_1xsin2"xjsin22〃x]5

2

sinxx地x空…地xsin-3

<

888

第二部分模擬訓(xùn)練

一、單選題

Inr3(lnA-as)若方程/(x)=g(x)有2不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)〃的

1.已知函數(shù)/*)=———a,g(x)=

xInx

取值范圍是()

A.S,e)B.(0,—)C.(-oo,())u(e,-Ko)D.(e,+8)

e

【答案】B

【解析】由/(x)=g(%)得比一"3(lnX奴),去分母整理得(111%-3%)(111]-0￥)=。有2不同的實(shí)

xInx

1nxx

數(shù)解，所以lnx-3尤=0或lnx-ar=(),所以---=3或----=a,

xx

設(shè)//(外=匣(％>0)所以〃'。)=上辛，當(dāng)0<x<e時(shí)，h'(x)>0,函數(shù)力。)單調(diào)遞增，當(dāng)x>e時(shí)，

XX

h'(x)<0,函數(shù)人(x)單調(diào)遞減.

所以/zCOm”=//(e)=,<3,所以生二=3沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

ex

Inx

所以方程——=。有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解."(1)=0

x

當(dāng)x-0時(shí)，A(x)<0；當(dāng)x—+8時(shí)，Kx)>0

故選：B

2.已知/(X)是定義在(-8,+00)上的函數(shù)，/'(X)為"X)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足/(x)+(x-l)/'(x)>0,

則下列結(jié)論中正確的是()

A./(x)>0恒成立B./(x)<0恒成立

C./(l)=oD.當(dāng)X€(-oo,l)時(shí)，/(x)<。；當(dāng)xw(l,+oo)時(shí)，/(x)>。

【答案】A

【解析】設(shè)g)=、1)B),所以8'(幻=/@)+3-1)/'(幻>0,所以函數(shù)83)在區(qū)上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/p>

g⑴=0,所以x>l時(shí)，g(x)>0,x<l時(shí),g(x)V0,所以x>l時(shí),(x-l)f(x)>0,所以f(x)>0;所以x<l時(shí)，(x-l)f(x)<0,

所以f(x)>0.所以〃X)>0恒成立.

故答案為A

3.已知定義在(0,+刃)上的函數(shù)/")滿足4'(x)>/(x)恒成立(其中/'(x)為函數(shù)/*)的導(dǎo)函數(shù)),對(duì)

于任意實(shí)數(shù)玉>0,々>0,下列不等式一定正確的是()

A.7(%)"(>2)2/(中2)B./(%)"02)4/(中2)

C./(%))+/(%2)>/(%,+x2)D./(%)+/(々)</(玉+工2)

【答案】D

【解析】

由題意，定義在(0,+8)上的函數(shù)/(x)滿足W'(x)>/(x)恒成立，即/(x)-

設(shè)函數(shù)/X)=/3,則〃(%)=,(幻一/3>0,所以函數(shù)〃(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

Xx

不妨設(shè)0〈玉〈尤2,則且“l(fā)+X2)>Zfel,

X,

x2xy+x2x2

即/a+々)>/(/)=/(%)+%/(々)>/(/)+為=/a)+/(々),

故選D.

4.設(shè)函數(shù)/'(X)是奇函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),^nx-/'(x)<-/(%),則使得

卜2_4)/(力>0成立的x的取值范圍是(〉

A.(-2,O)D(O,2)B.(-00,-2)52,問(wèn)c.(-2,0)u(2,+oo)

D.y,-2)u(O,2)

【答案】D