信號與系統(tǒng)概念形象解釋

文檔中心文檔編號版本密級[20120206A]01公開擬制日期： 2012-2-6審核日期：2012-2-6資源類別：信號與系統(tǒng)共21頁大話信號與系統(tǒng)(網(wǎng)絡(luò)資料整理) 版權(quán)所有不得復(fù)制第19頁共22頁緒論 1輕松話卷積 1最幽默的解釋卷積的物理意義 2第一課什么是卷積卷積有什么用什么是傅利葉變換什么是拉普拉斯變換 5講一個故事: 5第二課到底什么是頻率什么是系統(tǒng)? 61.到底什么是頻率? 62.F變換得到的結(jié)果有負(fù)數(shù)/復(fù)數(shù)部分，有什么物理意義嗎? 73.信號與系統(tǒng)這們課的基本主旨是什么? 74.如何設(shè)計系統(tǒng)? 75.最好的教材? 7第三課抽樣定理是干什么的 8第四課傅立葉變換的復(fù)數(shù)小波 9網(wǎng)友相關(guān)探討 11卷積運(yùn)算的實際意義是什么？ 11緒論為了更好地理解就安吉的概念，先拿兩個非常形象的例子對卷積進(jìn)行描述，讓大家對卷積有個清晰地認(rèn)識。接下來就分別在每課時對信號系統(tǒng)的相關(guān)概念再進(jìn)一步介紹。輕松話卷積最近總是和卷積打交道,工作需要，每天都要碰到它好幾次,不勝煩惱,因為在大學(xué)時候?qū)W信號與系統(tǒng)的時候就沒學(xué)會，我于是心想一定要把卷積完全搞明白。正好同辦公室的同學(xué)也問我什么是卷積,師姐昨天也告訴我說:“我也早就想把這個問題搞明白了！”經(jīng)過一段時間的思考之后，有一些很有趣的體會和大家分享。聽說卷積這種運(yùn)算式物理學(xué)家發(fā)明的，在實際中用得不亦樂乎，而數(shù)學(xué)家卻一直沒有把運(yùn)算的意義徹底搞明白。仔細(xì)品以下，還是有那么點滋味的。下面先看一下劍橋大學(xué)的教科書對卷積的定義：我們都知道這個公式，但是它有什么物理意義呢，平時我們用卷積做過很多事情，信號處理時，輸出函數(shù)是輸入函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)的卷積，在圖像處理時，兩組幅分辨率不同的圖卷積之后得到的互相平滑的圖像可以方便處理。卷積甚至可以用在考試作弊中，為了讓照片同時像兩個人，只要把兩人的圖像卷積處理即可，這就是一種平滑的過程，可是我們怎么才能真正把公式和實際建立起一種聯(lián)系呢，也就是說，我們能不能從生活中找到一種很方便且具體的例子來表達(dá)公式的物理意義呢？我想到一種，下面進(jìn)入正題：比如說你的老板命令你干活，你卻到樓下打臺球去了，后來被老板發(fā)現(xiàn)，他非常氣憤，扇了你一巴掌（注意，這就是輸入信號，脈沖），于是你的臉上會漸漸地（賤賤地）鼓起來一個包，你的臉就是一個系統(tǒng)，而鼓起來的包就是你的臉對巴掌的響應(yīng)，好，這樣就和信號系統(tǒng)建立起來意義對應(yīng)的聯(lián)系。下面還需要一些假設(shè)來保證論證的嚴(yán)謹(jǐn)：假定你的臉是線性時不變系統(tǒng)，也就是說，無論什么時候老板打你一巴掌，打在你臉的同一位置（這似乎要求你的臉足夠光滑，如果你說你長了很多青春痘，甚至整個臉皮處處連續(xù)處處不可導(dǎo)，那難度太大了，我就無話可說了哈哈），你的臉上總是會在相同的時間間隔內(nèi)鼓起來一個相同高度的包來，并且假定以鼓起來的包的大小作為系統(tǒng)輸出。好了，那么，下面可以進(jìn)入核心內(nèi)容——卷積了！如果你每天都到地下去打臺球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不過當(dāng)老板打你一巴掌后，你5分鐘就消腫了，所以時間長了，你甚至就適應(yīng)這種生活了……如果有一天，老板忍無可忍，以0.5秒的間隔開始不間斷的扇你的過程，這樣問題就來了，第一次扇你鼓起來的包還沒消腫，第二個巴掌就來了，你臉上的包就可能鼓起來兩倍高，老板不斷扇你，脈沖不斷作用在你臉上，效果不斷疊加了，這樣這些效果就可以求和了，結(jié)果就是你臉上的包的高度隨時間變化的一個函數(shù)了（注意理解）；如果老板再狠一點，頻率越來越高，以至于你都辨別不清時間間隔了，那么，求和就變成積分了?？梢赃@樣理解，在這個過程中的某一固定的時刻，你的臉上的包的鼓起程度和什么有關(guān)呢？和之前每次打你都有關(guān)！但是各次的貢獻(xiàn)是不一樣的，越早打的巴掌，貢獻(xiàn)越小，所以這就是說，某一時刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減系數(shù)之后的疊加而形成某一點的輸出，然后再把不同時刻的輸出點放在一起，形成一個函數(shù)，這就是卷積，卷積之后的函數(shù)就是你臉上的包的大小隨時間變化的函數(shù)。本來你的包幾分鐘就可以消腫，可是如果連續(xù)打，幾個小時也消不了腫了，這難道不是一種平滑過程么？反映到劍橋大學(xué)的公式上，f(a)就是第a個巴掌，g(x-a)就是第a個巴掌在x時刻的作用程度，乘起來再疊加就ok了，大家說是不是這個道理呢？我想這個例子已經(jīng)非常形象了，你對卷積有了更加具體深刻的了解了嗎？最近要忙開題了，不過周末了還是放松一下吧。其實我真的希望我的朋友們看到這篇文章能給我留言，發(fā)表你們的想法，有不妥之處歡迎提出來。在本文的下半部分,我會再講一個抽象的例子,以便能讓大家從卷積中能更好地了解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。最后提醒各位，請勿親身嘗試……/home.php?mod=space&uid=44001&do=blog&id=274697最幽默的解釋卷積的物理意義談起卷積分當(dāng)然要先說說沖擊函數(shù)—-這個倒立的小蝌蚪，卷積其實就是為它誕生的?！睕_擊函數(shù)”是狄拉克為了解決一些瞬間作用的物理現(xiàn)象而提出的符號。古人曰：”說一堆大道理不如舉一個好例子”，沖量這一物理現(xiàn)象很能說明”沖擊函數(shù)”。在t時間內(nèi)對一物體作用F的力，我們可以讓作用時間t很小，作用力F很大，但讓Ft的乘積不變，即沖量不變。于是在用t做橫坐標(biāo)、F做縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系中，就如同一個面積不變的長方形，底邊被擠的窄窄的，高度被擠的高高的，在數(shù)學(xué)中它可以被擠到無限高，但即使它無限瘦、無限高、但它仍然保持面積不變（它沒有被擠沒！），為了證實它的存在，可以對它進(jìn)行積分，積分就是求面積嘛！于是”卷積”這個數(shù)學(xué)怪物就這樣誕生了。說它是數(shù)學(xué)怪物是因為追求完美的數(shù)學(xué)家始終在頭腦中轉(zhuǎn)不過來彎，一個能瘦到無限小的家伙，竟能在積分中占有一席之地，必須將這個細(xì)高挑清楚數(shù)學(xué)界。但物理學(xué)家、工程師們確非常喜歡它，因為它解決了很多當(dāng)時數(shù)學(xué)家解決不了的實際問題。最終追求完美的數(shù)學(xué)家終于想通了，數(shù)學(xué)是來源于實際的，并最終服務(wù)于實際才是真。于是，他們?yōu)樗可矶ㄗ隽艘惶走\(yùn)作規(guī)律。于是，媽呀！你我都感覺眩暈的卷積分產(chǎn)生了。例子：有一個七品縣令，喜歡用打板子來懲戒那些市井無賴，而且有個慣例：如果沒犯大罪，只打一板，釋放回家，以示愛民如子。有一個無賴，想出人頭地卻沒啥指望，心想：既然揚(yáng)不了善名，出惡名也成啊。怎么出惡名？炒作唄！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政長官——縣令。無賴于是光天化日之下，站在縣衙門前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被請進(jìn)大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也沒有！第二天如法炮制，全然不顧行政長管的仁慈和衙門的體面，第三天、第四天……每天去縣衙門領(lǐng)一個板子回來，還喜氣洋洋地，堅持一個月之久！這無賴的名氣已經(jīng)和衙門口的臭氣一樣，傳遍八方了！縣令大人噤著鼻子，呆呆地盯著案子上的驚堂木，擰著眉頭思考一個問題：這三十個大板子怎么不好使捏？……想當(dāng)初，本老爺金榜題名時，數(shù)學(xué)可是得了滿分，今天好歹要解決這個問題：——人（系統(tǒng)！）挨板子（脈沖?。┮院?，會有什么表現(xiàn)（輸出！）？——費話，疼唄！——我問的是：會有什么表現(xiàn)？——看疼到啥程度。像這無賴的體格，每天挨一個板子啥事都不會有，連哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴臉了（輸出0）；如果一次連揍他十個板子，他可能會皺皺眉頭，咬咬牙，硬挺著不哼（輸出1）；揍到二十個板子，他會疼得臉部扭曲，象豬似地哼哼（輸出3）；揍到三十個板子，他可能會象驢似地嚎叫，一把鼻涕一把淚地求你饒他一命（輸出5）；揍到四十個板子，他會大小便失禁，勉強(qiáng)哼出聲來（輸出1）；揍到五十個板子，他連哼一下都不可能（輸出0）——死啦！縣令鋪開坐標(biāo)紙，以打板子的個數(shù)作為X軸，以哼哼的程度（輸出）為Y軸，繪制了一條曲線：——嗚呼呀！這曲線象一座高山，弄不懂弄不懂。為啥那個無賴連挨了三十天大板卻不喊繞命呀？——呵呵，你打一次的時間間隔（Δτ=24小時）太長了，所以那個無賴承受的痛苦程度一天一利索，沒有疊加，始終是一個常數(shù)；如果縮短打板子的時間間隔（建議Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速疊加了；等到這無賴挨三十個大板（t=30）時，痛苦程度達(dá)到了他能喊叫的極限，會收到最好的懲戒效果，再多打就顯示不出您的仁慈了?！€是不太明白，時間間隔小，為什么痛苦程度會疊加呢？——這與人（線性時不變系統(tǒng)）對板子（脈沖、輸入、激勵）的響應(yīng)有關(guān)。什么是響應(yīng)？人挨一個板子后，疼痛的感覺會在一天（假設(shè)的，因人而異）內(nèi)慢慢消失（衰減），而不可能突然消失。這樣一來，只要打板子的時間間隔很小，每一個板子引起的疼痛都來不及完全衰減，都會對最終的痛苦程度有不同的貢獻(xiàn)：t個大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ個大板子引起的痛苦*衰減系數(shù))[衰減系數(shù)是（t-τ）的函數(shù)，仔細(xì)品味]數(shù)學(xué)表達(dá)為：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)——拿人的痛苦來說卷積的事，太殘忍了。除了人以外，其他事物也符合這條規(guī)律嗎？——呵呵，縣令大人畢竟仁慈。其實除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，鐵絲為什么彎曲一次不折，快速彎曲多次卻會輕易折掉呢？——恩，一時還弄不清，容本官慢慢想來——但有一點是明確地——來人啊，將撒尿的那個無賴抓來，狠打40大板！卷積及拉普拉斯變換的通俗解釋–對于我這類沒學(xué)過信號系統(tǒng)的人來說太需要了卷積(convolution,另一個通用名稱是德文的Faltung)的名稱由來，是在于當(dāng)初定義它時，定義成integ(f1(v)*f2(t-v))dv，積分區(qū)間在0到t之間。舉個簡單的例子，大家可以看到，為什么叫”卷積”了。比方說在(0，100)間積分，用簡單的辛普生積分公式，積分區(qū)間分成100等分，那么看到的是f1(0)和f2(100)相乘，f1(1)和f2(99)相乘，f1(2)和f2(98)相乘，………等等等等，就象是在坐標(biāo)軸上回卷一樣。所以人們就叫它”回卷積分”，或者”卷積”了。為了理解”卷積”的物理意義，不妨將那個問題”相當(dāng)于它的時域的信號與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積”略作變化。這個變化純粹是為了方便表達(dá)和理解，不影響任何其它方面。將這個問題表述成這樣一個問題：一個信號通過一個系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應(yīng)是頻率響應(yīng)或波譜響應(yīng)，且看如何理解卷積的物理意義。假設(shè)信號函數(shù)為f,響應(yīng)函數(shù)為g。f不僅是時間的函數(shù)(信號時有時無)，還是頻率的函數(shù)(就算在某一固定時刻，還有的地方大有的地方小)；g也是時間的函數(shù)(有時候有反應(yīng)，有時候沒反應(yīng))，同時也是頻率的函數(shù)(不同的波長其響應(yīng)程度不一樣)。那我們要看某一時刻t的響應(yīng)信號，該怎么辦呢？這就需要卷積了。要看某一時刻t的響應(yīng)信號，自然是看下面兩點：1．你信號來的時候正趕上人家”系統(tǒng)”的響應(yīng)時間段嗎？2．就算趕上系統(tǒng)響應(yīng)時間段，響應(yīng)有多少？響應(yīng)不響應(yīng)主要是看f和g兩個函數(shù)有沒有交疊；響應(yīng)強(qiáng)度的大小不僅取決于所給的信號的強(qiáng)弱，還取決于在某頻率處對單位強(qiáng)度響應(yīng)率。響應(yīng)強(qiáng)度是信號強(qiáng)弱和對單位強(qiáng)度信號響應(yīng)率的乘積。”交疊”體現(xiàn)在f(t1)和g(t-t1)上，g之所以是”(t-t1)”就是看兩個函數(shù)錯開多少。由于f和g兩個函數(shù)都有一定的帶寬分布(假若不用開頭提到的”表述變化”就是都有一定的時間帶寬分布)，這個信號響應(yīng)是在一定”范圍”內(nèi)廣泛響應(yīng)的。算總的響應(yīng)信號，當(dāng)然要把所有可能的響應(yīng)加起來，實際上就是對所有可能t1積分了。積分范圍雖然一般在負(fù)無窮到正無窮之間；但在沒有信號或者沒有響應(yīng)的地方，積也是白積，結(jié)果是0，所以往往積分范圍可以縮減。這就是卷積及其物理意義啊。并成一句話來說，就是看一個時有時無(當(dāng)然作為特例也可以永恒存在)的信號，跟一個響應(yīng)函數(shù)在某一時刻有多大交疊。*********拉普拉斯*********拉普拉斯(1729-1827)是法國數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，物理學(xué)家。他提出拉普拉斯變換(LaplaceTransform)的目的是想要解決他當(dāng)時研究的牛頓引力場和太陽系的問題中涉及的積分微分方程。拉普拉斯變換其實是一個數(shù)學(xué)上的簡便算法；想要了解其”物理”意義—如果有的話—請看我舉這樣一個例子：問題：請計算十萬乘以一千萬。對于沒學(xué)過指數(shù)的人，就只會直接相乘；對于學(xué)過指數(shù)的人，知道不過是把乘數(shù)和被乘數(shù)表達(dá)成指數(shù)形式后，兩個指數(shù)相加就行了；如果要問究竟是多少，把指數(shù)轉(zhuǎn)回來就是。“拉普拉斯變換”就相當(dāng)于上述例子中把數(shù)轉(zhuǎn)換成”指數(shù)”的過程；進(jìn)行了拉普拉斯變換之后，復(fù)雜的微分方程(對應(yīng)于上例中”復(fù)雜”的乘法)就變成了簡單的代數(shù)方程，就象上例中”復(fù)雜”的乘法變成了簡單的加減法。再把簡單的代數(shù)方程的解反變換回去(就象把指數(shù)重新轉(zhuǎn)換會一般的數(shù)一樣)，就解決了原來那個復(fù)雜的微分方程。所以要說拉普拉斯變換真有”物理意義”的話，其物理意義就相當(dāng)于人們把一般的有理數(shù)用指數(shù)形式表達(dá)一樣。另外說兩句題外話：1．拉普拉斯變換之所以現(xiàn)在在電路中廣泛應(yīng)有，根本原因是電路中也廣泛涉及了微分方程。2．拉普拉斯變換與Z變換當(dāng)然有緊密聯(lián)系；其本質(zhì)區(qū)別在于拉氏變換處理的是時間上連續(xù)的問題，Z變換處理的是時間上分立的問題。第一課什么是卷積卷積有什么用什么是傅利葉變換什么是拉普拉斯變換引子很多朋友和我一樣，工科電子類專業(yè)，學(xué)了一堆信號方面的課，什么都沒學(xué)懂，背了公式考了試，然后畢業(yè)了。先說"卷積有什么用"這個問題。(有人搶答，"卷積"是為了學(xué)習(xí)"信號與系統(tǒng)"這門課的后續(xù)章節(jié)而存在的。我大吼一聲，把他拖出去槍斃！)講一個故事:張三剛剛應(yīng)聘到了一個電子產(chǎn)品公司做測試人員，他沒有學(xué)過"信號與系統(tǒng)"這門課程。一天，他拿到了一個產(chǎn)品，開發(fā)人員告訴他，產(chǎn)品有一個輸入端，有一個輸出端，有限的輸入信號只會產(chǎn)生有限的輸出。然后，經(jīng)理讓張三測試當(dāng)輸入sin(t)(t<1秒)信號的時候(有信號發(fā)生器)，該產(chǎn)品輸出什么樣的波形。張三照做了，花了一個波形圖。"很好！"經(jīng)理說。然后經(jīng)理給了張三一疊A4紙:"這里有幾千種信號，都用公式說明了，輸入信號的持續(xù)時間也是確定的。你分別測試以下我們產(chǎn)品的輸出波形是什么吧！"這下張三懵了，他在心理想"上帝，幫幫我把，我怎么畫出這些波形圖呢?"于是上帝出現(xiàn)了:"張三，你只要做一次測試，就能用數(shù)學(xué)的方法，畫出所有輸入波形對應(yīng)的輸出波形"。上帝接著說:"給產(chǎn)品一個脈沖信號，能量是1焦耳，輸出的波形圖畫出來！"張三照辦了，"然后呢?"上帝又說，"對于某個輸入波形，你想象把它微分成無數(shù)個小的脈沖，輸入給產(chǎn)品，疊加出來的結(jié)果就是你的輸出波形。你可以想象這些小脈沖排著隊進(jìn)入你的產(chǎn)品，每個產(chǎn)生一個小的輸出，你畫出時序圖的時候，輸入信號的波形好像是反過來進(jìn)入系統(tǒng)的。"張三領(lǐng)悟了:"哦，輸出的結(jié)果就積分出來啦！感謝上帝。這個方法叫什么名字呢?"上帝說:"叫卷積！"從此，張三的工作輕松多了。每次經(jīng)理讓他測試一些信號的輸出結(jié)果，張三都只需要在A4紙上做微積分就是提交任務(wù)了！張三愉快地工作著，直到有一天，平靜的生活被打破。經(jīng)理拿來了一個小的電子設(shè)備，接到示波器上面，對張三說:"看，這個小設(shè)備產(chǎn)生的波形根本沒法用一個簡單的函數(shù)來說明，而且，它連續(xù)不斷的發(fā)出信號！不過幸好，這個連續(xù)信號是每隔一段時間就重復(fù)一次的。張三，你來測試以下，連到我們的設(shè)備上，會產(chǎn)生什么輸出波形！"張三擺擺手:"輸入信號是無限時長的，難道我要測試無限長的時間才能得到一個穩(wěn)定的，重復(fù)的波形輸出嗎?"經(jīng)理怒了:"反正你給我搞定，否則炒魷魚！"張三心想:"這次輸入信號連公式都給出出來，一個很混亂的波形；時間又是無限長的，卷積也不行了，怎么辦呢?"及時地，上帝又出現(xiàn)了:"把混亂的時間域信號映射到另外一個數(shù)學(xué)域上面，計算完成以后再映射回來""宇宙的每一個原子都在旋轉(zhuǎn)和震蕩，你可以把時間信號看成若干個震蕩疊加的效果，也就是若干個可以確定的，有固定頻率特性的東西。""我給你一個數(shù)學(xué)函數(shù)f，時間域無限的輸入信號在f域有限的。時間域波形混亂的輸入信號在f域是整齊的容易看清楚的。這樣你就可以計算了""同時，時間域的卷積在f域是簡單的相乘關(guān)系，我可以證明給你看看""計算完有限的程序以后，取f(-1)反變換回時間域，你就得到了一個輸出波形，剩下的就是你的數(shù)學(xué)計算了！"張三謝過了上帝，保住了他的工作。后來他知道了，f域的變換有一個名字，叫做傅里葉，什么什么......再后來，公司開發(fā)了一種新的電子產(chǎn)品，輸出信號是無限時間長度的。這次，張三開始學(xué)拉普拉斯了后記:不是我們學(xué)的不好，是因為教材不好，老師講的也不好。很欣賞Google的面試題:用3句話像老太太講清楚什么是數(shù)據(jù)庫。這樣的命題非常好，因為沒有深入的理解一個命題，沒有仔細(xì)的思考一個東西的設(shè)計哲學(xué)，我們就會陷入細(xì)節(jié)的泥沼:背公式，數(shù)學(xué)推導(dǎo)，積分，做題；而沒有時間來回答"為什么要這樣"。做大學(xué)老師的做不到"把厚書讀薄"這一點，講不出哲學(xué)層面的道理，一味背書和翻講ppt，做著枯燥的數(shù)學(xué)證明，然后責(zé)怪"現(xiàn)在的學(xué)生一代不如一代"，有什么意義嗎?第二課到底什么是頻率什么是系統(tǒng)?這一篇，我展開的說一下傅立葉變換F。注意，傅立葉變換的名字F可以表示頻率的概念(freqence)，也可以包括其他任何概念，因為它只是一個概念模型，為了解決計算的問題而構(gòu)造出來的(例如時域無限長的輸入信號，怎么得到輸出信號)。我們把傅立葉變換看一個C語言的函數(shù)，信號的輸出輸出問題看為IO的問題，然后任何難以求解的x->y的問題都可以用x->f(x)->f-1(x)->y來得到。1.到底什么是頻率?一個基本的假設(shè):任何信息都具有頻率方面的特性，音頻信號的聲音高低，光的頻譜，電子震蕩的周期，等等，我們抽象出一個件諧振動的概念，數(shù)學(xué)名稱就叫做頻率。想象在x-y平面上有一個原子圍繞原點做半徑為1勻速圓周運(yùn)動，把x軸想象成時間，那么該圓周運(yùn)動在y軸上的投影就是一個sin(t)的波形。相信中學(xué)生都能理解這個。那么，不同的頻率模型其實就對應(yīng)了不同的圓周運(yùn)動速度。圓周運(yùn)動的速度越快，sin(t)的波形越窄。頻率的縮放有兩種模式(a)老式的收音機(jī)都是用磁帶作為音樂介質(zhì)的，當(dāng)我們快放的時候，我們會感覺歌唱的聲音變得怪怪的，調(diào)子很高，那是因為"圓周運(yùn)動"的速度增倍了，每一個聲音分量的sin(t)輸出變成了sin(nt)。(b)在CD/計算機(jī)上面快放或滿放感覺歌手快唱或者慢唱，不會出現(xiàn)音調(diào)變高的現(xiàn)象：因為快放的時候采用了時域采樣的方法，丟棄了一些波形，但是承載了信息的輸出波形不會有寬窄的變化；滿放時相反，時域信號填充拉長就可以了。2.F變換得到的結(jié)果有負(fù)數(shù)/復(fù)數(shù)部分，有什么物理意義嗎?解釋:F變換是個數(shù)學(xué)工具，不具有直接的物理意義，負(fù)數(shù)/復(fù)數(shù)的存在只是為了計算的完整性。3.信號與系統(tǒng)這們課的基本主旨是什么?對于通信和電子類的學(xué)生來說，很多情況下我們的工作是設(shè)計或者OSI七層模型當(dāng)中的物理層技術(shù)，這種技術(shù)的復(fù)雜性首先在于你必須確立傳輸介質(zhì)的電氣特性，通常不同傳輸介質(zhì)對于不同頻率段的信號有不同的處理能力。以太網(wǎng)線處理基帶信號，廣域網(wǎng)光線傳出高頻調(diào)制信號，移動通信，2G和3G分別需要有不同的載頻特性。那么這些介質(zhì)(空氣，電線，光纖等)對于某種頻率的輸入是否能夠在傳輸了一定的距離之后得到基本不變的輸入呢?那么我們就要建立介質(zhì)的頻率相應(yīng)數(shù)學(xué)模型。同時，知道了介質(zhì)的頻率特性，如何設(shè)計在它上面?zhèn)鬏數(shù)男盘柌拍艽蟮嚼碚撋系淖畲髠鬏斔俾?這就是信號與系統(tǒng)這們課帶領(lǐng)我們進(jìn)入的一個世界。當(dāng)然，信號與系統(tǒng)的應(yīng)用不止這些，和香農(nóng)的信息理論掛鉤，它還可以用于信息處理(聲音，圖像)，模式識別，智能控制等領(lǐng)域。如果說，計算機(jī)專業(yè)的課程是數(shù)據(jù)表達(dá)的邏輯模型，那么信號與系統(tǒng)建立的就是更底層的，代表了某種物理意義的數(shù)學(xué)模型。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的知識能解決邏輯信息的編碼和糾錯，而信號的知識能幫我們設(shè)計出碼流的物理載體(如果接受到的信號波形是混亂的，那我依據(jù)什么來判斷這個是1還是0?邏輯上的糾錯就失去了意義)。在工業(yè)控制領(lǐng)域，計算機(jī)的應(yīng)用前提是各種數(shù)模轉(zhuǎn)換，那么各種物理現(xiàn)象產(chǎn)生的連續(xù)模擬信號(溫度，電阻，大小，壓力，速度等)如何被一個特定設(shè)備轉(zhuǎn)換為有意義的數(shù)字信號，首先我們就要設(shè)計一個可用的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型。4.如何設(shè)計系統(tǒng)?設(shè)計物理上的系統(tǒng)函數(shù)(連續(xù)的或離散的狀態(tài))，有輸入，有輸出，而中間的處理過程和具體的物理實現(xiàn)相關(guān)，不是這們課關(guān)心的重點(電子電路設(shè)計?)。信號與系統(tǒng)歸根到底就是為了特定的需求來設(shè)計一個系統(tǒng)函數(shù)。設(shè)計出系統(tǒng)函數(shù)的前提是把輸入和輸出都用函數(shù)來表示(例如sin(t))。分析的方法就是把一個復(fù)雜的信號分解為若干個簡單的信號累加，具體的過程就是一大堆微積分的東西，具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算不是這門課的中心思想。那么系統(tǒng)有那些種類呢?(a)按功能分類:調(diào)制解調(diào)(信號抽樣和重構(gòu))，疊加，濾波，功放，相位調(diào)整，信號時鐘同步，負(fù)反饋鎖相環(huán)，以及若干子系統(tǒng)組成的一個更為復(fù)雜的系統(tǒng)你可以畫出系統(tǒng)流程圖，是不是很接近編寫程序的邏輯流程圖?確實在符號的空間里它們沒有區(qū)別。還有就是離散狀態(tài)的數(shù)字信號處理(后續(xù)課程)。(b)按系統(tǒng)類別劃分，無狀態(tài)系統(tǒng)，有限狀態(tài)機(jī)，線性系統(tǒng)等。而物理層的連續(xù)系統(tǒng)函數(shù)，是一種復(fù)雜的線性系統(tǒng)。5.最好的教材?符號系統(tǒng)的核心是集合論，不是微積分，沒有集合論構(gòu)造出來的系統(tǒng)，實現(xiàn)用到的微積分便毫無意義你甚至不知道運(yùn)算了半天到底是要作什么。以計算機(jī)的觀點來學(xué)習(xí)信號與系統(tǒng)，最好的教材之一就是<<StructureandInterpretationofSignalsandSystems>>，作者是UCBerkeley的EdwardA.LeeandPravinVaraiya先定義再實現(xiàn)，符合人類的思維習(xí)慣。國內(nèi)的教材通篇都是數(shù)學(xué)推導(dǎo)，就是不肯說這些推導(dǎo)是為了什么目的來做的，用來得到什么，建設(shè)什么，防止什么；不去從認(rèn)識論和需求上討論，通篇都是看不出目的的方法論，本末倒置了。第三課抽樣定理是干什么的1.舉個例子，打電話的時候，電話機(jī)發(fā)出的信號是PAM脈沖調(diào)幅，在電話線路上傳的不是話音，而是話音通過信道編碼轉(zhuǎn)換后的脈沖序列，在收端恢復(fù)語音波形。那么對于連續(xù)的說話人語音信號，如何轉(zhuǎn)化成為一些列脈沖才能保證基本不失真，可以傳輸呢?很明顯，我們想到的就是取樣，每隔M毫秒對話音采樣一次看看電信號振幅，把振幅轉(zhuǎn)換為脈沖編碼，傳輸出去，在收端按某種規(guī)則重新生成語言。那么，問題來了，每M毫秒采樣一次，M多小是足夠的?在收端怎么才能恢復(fù)語言波形呢?對于第一個問題，我們考慮，語音信號是個時間頻率信號(所以對應(yīng)的F變換就表示時間頻率)把語音信號分解為若干個不同頻率的單音混合體(周期函數(shù)的復(fù)利葉級數(shù)展開，非周期的區(qū)間函數(shù)，可以看成補(bǔ)齊以后的周期信號展開，效果一樣)，對于最高頻率的信號分量，如果抽樣方式能否保證恢復(fù)這個分量，那么其他的低頻率分量也就能通過抽樣的方式使得信息得以保存。如果人的聲音高頻限制在3000Hz，那么高頻分量我們看成sin(3000t)，這個sin函數(shù)要通過抽樣保存信息，可以看為:對于一個周期，波峰采樣一次，波谷采樣一次，也就是采樣頻率是最高頻率分量的2倍(奈奎斯特抽樣定理)，我們就可以通過采樣信號無損的表示原始的模擬連續(xù)信號。這兩個信號一一對應(yīng)，互相等價。對于第二個問題，在收端，怎么從脈沖序列(梳裝波形)恢復(fù)模擬的連續(xù)信號呢?首先，我們已經(jīng)肯定了在頻率域上面的脈沖序列已經(jīng)包含了全部信息，但是原始信息只在某一個頻率以下存在，怎么做?我們讓輸入脈沖信號I通過一個設(shè)備X，輸出信號為原始的語音O，那么I(*)X=O，這里(*)表示卷積。時域的特性不好分析，那么在頻率域F(I)*F(X)=F(O)相乘關(guān)系，這下就很明顯了，只要F(X)是一個理想的，低通濾波器就可以了(在F域畫出來就是一個方框)，它在時間域是一個鐘型函數(shù)(由于包含時間軸的負(fù)數(shù)部分，所以實際中不存在)，做出這樣的一個信號處理設(shè)備，我們就可以通過輸入的脈沖序列得到幾乎理想的原始的語音。在實際應(yīng)用中，我們的抽樣頻率通常是奈奎斯特頻率再多一點，3k赫茲的語音信號，抽樣標(biāo)準(zhǔn)是8k赫茲。2.再舉一個例子，對于數(shù)字圖像，抽樣定理對應(yīng)于圖片的分辨率抽樣密度越大，圖片的分辨率越高，也就越清晰。如果我們的抽樣頻率不夠，信息就會發(fā)生混疊網(wǎng)上有一幅圖片，近視眼戴眼鏡看到的是愛因斯坦，摘掉眼睛看到的是夢露因為不帶眼睛，分辨率不夠(抽樣頻率太低)，高頻分量失真被混入了低頻分量，才造成了一個視覺陷阱。在這里，圖像的F變化，對應(yīng)的是空間頻率。話說回來了，直接在信道上傳原始語音信號不好嗎?模擬信號沒有抗干擾能力，沒有糾錯能力，抽樣得到的信號，有了數(shù)字特性，傳輸性能更佳。什么信號不能理想抽樣?時域有跳變，頻域無窮寬，例如方波信號。如果用有限帶寬的抽樣信號表示它，相當(dāng)于復(fù)利葉級數(shù)取了部分和，而這個部分和在恢復(fù)原始信號的時候，在不可導(dǎo)的點上面會有毛刺，也叫吉布斯現(xiàn)象。3.為什么傅立葉想出了這么一個級數(shù)來?這個源于西方哲學(xué)和科學(xué)的基本思想:正交分析方法。例如研究一個立體形狀，我們使用x,y,z三個互相正交的軸:任何一個軸在其他軸上面的投影都是0。這樣的話，一個物體的3視圖就可以完全表達(dá)它的形狀。同理，信號怎么分解和分析呢?用互相正交的三角函數(shù)分量的無限和：這就是傅立葉的貢獻(xiàn)。第四課傅立葉變換的復(fù)數(shù)小波說的廣義一點，"復(fù)數(shù)"是一個"概念"，不是一種客觀存在。什么是"概念"?一張紙有幾個面?兩個，這里"面"是一個概念，一個主觀對客觀存在的認(rèn)知，就像"大"和"小"的概念一樣，只對人的意識有意義，對客觀存在本身沒有意義(康德:純粹理性的批判)。把紙條的兩邊轉(zhuǎn)一下相連接，變成"莫比烏斯圈"，這個紙條就只剩下一個"面"了。概念是對客觀世界的加工，反映到意識中的東西。數(shù)的概念是這樣被推廣的:什么數(shù)x使得x^2=-1?實數(shù)軸顯然不行，(-1)*(-1)=1。那么如果存在一個抽象空間，它既包括真實世界的實數(shù)，也能包括想象出來的x^2=-1，那么我們稱這個想象空間為"復(fù)數(shù)域"。那么實數(shù)的運(yùn)算法則就是復(fù)數(shù)域的一個特例。為什么1*(-1)=-1?+-符號在復(fù)數(shù)域里面代表方向，-1就是"向后，轉(zhuǎn)!"這樣的命令，一個1在圓周運(yùn)動180度以后變成了-1，這里，直線的數(shù)軸和圓周旋轉(zhuǎn)，在復(fù)數(shù)的空間里面被統(tǒng)一了。因此，(-1)*(-1)=1可以解釋為"向后轉(zhuǎn)"+"向后轉(zhuǎn)"=回到原地。那么復(fù)數(shù)域如何表示x^2=-1呢?很簡單，"向左轉(zhuǎn)"，"向左轉(zhuǎn)"兩次相當(dāng)于"向后轉(zhuǎn)"。由于單軸的實數(shù)域(直線)不包含這樣的元素，所以復(fù)數(shù)域必須由兩個正交的數(shù)軸表示--平面。很明顯，我們可以得到復(fù)數(shù)域乘法的一個特性，就是結(jié)果的絕對值為兩個復(fù)數(shù)絕對值相乘，旋轉(zhuǎn)的角度=兩個復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)角度相加。高中時代我們就學(xué)習(xí)了迪莫弗定理。為什么有這樣的乘法性質(zhì)?不是因為復(fù)數(shù)域恰好具有這樣的乘法性質(zhì)(性質(zhì)決定認(rèn)識)，而是發(fā)明復(fù)數(shù)域的人就是根據(jù)這樣的需求去弄出了這么一個復(fù)數(shù)域(認(rèn)識決定性質(zhì))，是一種主觀唯心主義的研究方法。為了構(gòu)造x^2=-1，我們必須考慮把乘法看為兩個元素構(gòu)成的集合:乘積和角度旋轉(zhuǎn)。因為三角函數(shù)可以看為圓周運(yùn)動的一種投影，所以，在復(fù)數(shù)域，三角函數(shù)和乘法運(yùn)算(指數(shù))被統(tǒng)一了。我們從實數(shù)域的傅立葉級數(shù)展開入手，立刻可以得到形式更簡單的，復(fù)數(shù)域的，和實數(shù)域一一對應(yīng)的傅立葉復(fù)數(shù)級數(shù)。因為復(fù)數(shù)域形式簡單，所以研究起來方便雖然自然界不存在復(fù)數(shù)，但是由于和實數(shù)域的級數(shù)一一對應(yīng)，我們做個反映射就能得到有物理意義的結(jié)果。那么傅立葉變換，那個令人難以理解的轉(zhuǎn)換公式是什么含義呢?我們可以看一下它和復(fù)數(shù)域傅立葉級數(shù)的關(guān)系。什么是微積分，就是先微分，再積分，傅立葉級數(shù)已經(jīng)作了無限微分了，對應(yīng)無數(shù)個離散的頻率分量沖擊信號的和。傅立葉變換要解決非周期信號的分析問題，想象這個非周期信號也是一個周期信號:只是周期為無窮大，各頻率分量無窮小而已(否則積分的結(jié)果就是無窮)。那么我們看到傅立葉級數(shù)，每個分量常數(shù)的求解過程，積分的區(qū)間就是從T變成了正負(fù)無窮大。而由于每個頻率分量的常數(shù)無窮小，那么讓每個分量都去除以f，就得到有值的數(shù)所以周期函數(shù)的傅立葉變換對應(yīng)一堆脈沖函數(shù)。同理，各個頻率分量之間無限的接近，因為f很小，級數(shù)中的f，2f，3f之間幾乎是挨著的，最后挨到了一起，和卷積一樣，這個復(fù)數(shù)頻率空間的級數(shù)求和最終可以變成一個積分式：傅立葉級數(shù)變成了傅立葉變換。注意有個概念的變化：離散的頻率，每個頻率都有一個"權(quán)"值，而連續(xù)的F域，每個頻率的加權(quán)值都是無窮小(面積=0)，只有一個頻率范圍內(nèi)的"頻譜"才對應(yīng)一定的能量積分。頻率點變成了頻譜的線。因此傅立葉變換求出來的是一個通常是一個連續(xù)函數(shù)，是復(fù)數(shù)頻率域上面的可以畫出圖像的東西?那個根號2Pai又是什么?它只是為了保證正變換反變換回來以后，信號不變。我們可以讓正變換除以2，讓反變換除以Pi，怎么都行。慢點，怎么有"負(fù)數(shù)"的部分，還是那句話，是數(shù)軸的方向?qū)?yīng)復(fù)數(shù)軸的旋轉(zhuǎn)，或者對應(yīng)三角函數(shù)的相位分量，這樣說就很好理解了。有什么好處?我們忽略相位，只研究"振幅"因素，就能看到實數(shù)頻率域內(nèi)的頻率特性了。我們從實數(shù)(三角函數(shù)分解)->復(fù)數(shù)(e和Pi)->復(fù)數(shù)變換(F)->復(fù)數(shù)反變換(F-1)->復(fù)數(shù)(取幅度分量)->實數(shù)，看起來很復(fù)雜，但是這個工具使得，單從實數(shù)域無法解決的頻率分析問題，變得可以解決了。兩者之間的關(guān)系是:傅立葉級數(shù)中的頻率幅度分量是a1-an,b1-bn，這些離散的數(shù)表示頻率特性，每個數(shù)都是積分的結(jié)果。而傅立葉變換的結(jié)果是一個連續(xù)函數(shù):對于f域每個取值點a1-aN(N=無窮)，它的值都是原始的時域函數(shù)和一個三角函數(shù)(表示成了復(fù)數(shù))積分的結(jié)果這個求解和級數(shù)的表示形式是一樣的。不過是把N個離散的積分式子統(tǒng)一為了一個通用的，連續(xù)的積分式子。復(fù)頻域，大家都說畫不出來，但是我來畫一下！因為不是一個圖能夠表示清楚的。我用純中文來說:1.畫一個x,y軸組成的平面，以原點為中心畫一個圓(r=1)。再畫一條豎直線:(直線方程x=2)，把它看成是一塊擋板。2.想象，有一個原子，從(1,0)點出發(fā)，沿著這個圓作逆時針勻速圓周運(yùn)動。想象太陽光從x軸的復(fù)數(shù)方向射向x軸的正數(shù)方向，那么這個原子運(yùn)動在擋板(x=2)上面的投影，就是一個簡協(xié)震動。3.再修改一下，x=2對應(yīng)的不是一個擋板，而是一個打印機(jī)的出紙口，那么，原子運(yùn)動的過程就在白紙上畫下了一條連續(xù)的sin(t)曲線!上面3條說明了什么呢?三角函數(shù)和圓周運(yùn)動是一一對應(yīng)的。如果我想要sin(t+x)，或者cos(t)這種形式，我只需要讓原子的起始位置改變一下就可以了：也就是級坐標(biāo)的向量，半徑不變，相位改變。傅立葉級數(shù)的實數(shù)展開形式，每一個頻率分量都表示為AnCos(nt)+BnSin(nt)，我們可以證明，這個式子可以變成sqr(An^2+Bn^2)sin(nt+x)這樣的單個三角函數(shù)形式，那么：實數(shù)值對(An,Bn)，就對應(yīng)了二維平面上面的一個點，相位x對應(yīng)這個點的相位。實數(shù)和復(fù)數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系便建立起來了，因此實數(shù)頻率唯一對應(yīng)某個復(fù)數(shù)頻率，我們就可以用復(fù)數(shù)來方便的研究實數(shù)的運(yùn)算：把三角運(yùn)算變成指數(shù)和乘法加法運(yùn)算。但是，F(xiàn)變換仍然是有限制的(輸入函數(shù)的表示必須滿足狄義赫立條件等)，為了更廣泛的使用"域"變換的思想來表示一種"廣義"的頻率信息，我們就發(fā)明出了拉普拉斯變換，它的連續(xù)形式對應(yīng)F變換，離散形式就成了Z變換。離散信號呢?離散周期函數(shù)的F級數(shù)，項數(shù)有限，離散非周期函數(shù)(看為周期延拓以后仍然是離散周期函數(shù))，離散F級數(shù)，仍然項數(shù)有限。離散的F變換，很容易理解連續(xù)信號通過一個周期采樣濾波器，也就是頻率域和一堆脈沖相乘。時域取樣對應(yīng)頻域周期延拓。為什么?反過來容易理解了，時域的周期延拓對應(yīng)頻率域的一堆脈沖。兩者的區(qū)別：FT[f(t)]=從負(fù)無窮到正無窮對[f(t)exp(-jwt)]積分LT[f(t)]=從零到正無窮對[f(t)exp(-st)]積分(由于實際應(yīng)用，通常只做單邊Laplace變換，即積分從零開始)具體地，在Fourier積分變換中，所乘因子為exp(-jwt)，此處，-jwt顯然是為一純虛數(shù)；而在laplace變換中，所乘因子為exp(-st)，其中s為一復(fù)數(shù)：s=D+jw,jw是為虛部，相當(dāng)于Fourier變換中的jwt，而D則是實部，作為衰減因子，這樣就能將許多無法作Fourier變換的函數(shù)（比如exp(at),a>0）做域變換。而Z變換，簡單地說，就是離散信號(也可以叫做序列)的Laplace變換，可由抽樣信號的Laplace變換導(dǎo)出。ZT[f(n)]=從n為負(fù)無窮到正無窮對[f(n)Z^(-n)]求和。Z域的物理意義:由于值被離散了，所以輸入輸出的過程和花費的物理時間已經(jīng)沒有了必然的關(guān)系(t只對連續(xù)信號有意義)，所以頻域的考察變得及其簡單起來，我們把(1,-1,1,-1,1,-1)這樣的基本序列看成是數(shù)字頻率最高的序列，他的數(shù)字頻率是1Hz(數(shù)字角頻率2Pi)，其他的數(shù)字序列頻率都是N分之1Hz，頻率分解的結(jié)果就是0-2Pi角頻率當(dāng)中的若干個值的集合，也是一堆離散的數(shù)。由于時頻都是離散的，所以在做變換的時候，不需要寫出沖擊函數(shù)的因子離散傅立葉變換到快速傅立葉變換由于離散傅立葉變換的次數(shù)是O(N^2)，于是我們考慮把離散序列分解成兩兩一組進(jìn)行離散傅立葉變換，變換的計算復(fù)雜度就下降到了O(NlogN)，再把計算的結(jié)果累加O(N)，這就大大降低了計算復(fù)雜度。再說一個高級話題:小波。在實際的工程應(yīng)用中，前面所說的這些變換大部分都已經(jīng)被小波變換代替了。什么是小波？先說什么是波：傅立葉級數(shù)里面的分量，sin/cos函數(shù)就是波，sin(t)/cos(t)經(jīng)過幅度的放縮和頻率的收緊，變成了一系列的波的求和，一致收斂于原始函數(shù)。注意傅立葉級數(shù)求和的收斂性是對于整個數(shù)軸而言的，嚴(yán)格的。不過前面我們說了，實際應(yīng)用FFT的時候，我們只需要關(guān)注部分信號的傅立葉變換然后求出一個整體和就可以了，那么對于函數(shù)的部分分量，我們只需要保證這個用來充當(dāng)磚塊的"波函數(shù)"，在某個區(qū)間(用窗函數(shù)來濾波)內(nèi)符合那幾個可積分和收斂的定義就可以了，因此傅立葉變換的"波"因子，就可以不使用三角函數(shù)，而是使用一系列從某些基本函數(shù)構(gòu)造出來的函數(shù)族，只要這個基本函數(shù)符合那些收斂和正交的條件就可以了。怎么構(gòu)造這樣的基本函數(shù)呢？sin(t)被加了方形窗以后，映射到頻域是一堆無窮的散列脈沖，所以不能再用三角函數(shù)了。我們要得到頻率域收斂性好的函數(shù)族，能覆蓋頻率域的低端部分。說的遠(yuǎn)一點，如果是取數(shù)字信號的小波變換，那么基礎(chǔ)小波要保證數(shù)字角頻率是最大的2Pi。利用小波進(jìn)行離頻譜分析的方法，不是像傅立葉級數(shù)那樣求出所有的頻率分量，也不是向傅立葉變換那樣看頻譜特性，而是做某種濾波，看看在某種數(shù)字角頻率的波峰值大概是多少?？梢愿鶕?jù)實際需要得到如干個數(shù)字序列。我們采用(0,f),(f,2f),(2f,4f)這樣的倍頻關(guān)系來考察函數(shù)族的頻率特性，那么對應(yīng)的時間波形就是倍數(shù)擴(kuò)展(且包含調(diào)制所以才有頻譜搬移)的一系列函數(shù)族。頻域是窗函數(shù)的基本函數(shù)，時域就是鐘形函數(shù)。當(dāng)然其他類型的小波，雖然頻率域不是窗函數(shù)，但是仍然可用：因為小波積分求出來的變換，是一個值，例如(0,f)里包含的總能量值，(f,2f)里面包含的總能量值。所以即使頻域的分割不是用長方形而是其他的圖形，對于結(jié)果來說影響不大。同時，這個頻率域的值，它的分辨率密度和時域小波基函數(shù)的時間分辨率是沖突的(時域緊頻域?qū)挘瑫r域?qū)掝l域緊)，所以設(shè)計的時候受到海森堡測不準(zhǔn)原理的制約。Jpeg2000壓縮就是小波：因為時頻都是局部的，變換結(jié)果是數(shù)值點而不是向量，所以，計算復(fù)雜度從FFT的O(NlgN)下降到了O(N)，性能非常好。用中文說了這么多，基本的思想已經(jīng)表達(dá)清楚了，為了"研究方便"，從實數(shù)傅立葉級數(shù)展開，到創(chuàng)造了復(fù)數(shù)域的傅立葉級數(shù)展開，再到傅立葉變換，再擴(kuò)展到拉式變換，再為了時頻都離散的情況簡化為Z變換，全部都用一根主線聯(lián)系起來了。網(wǎng)友相關(guān)探討卷積運(yùn)算的實際意義是什么？——————————————————————————————————————|[有獎討論]卷積運(yùn)算的實際意義是什么？ ||卷積運(yùn)算是信號處理常規(guī)的一個運(yùn)算過程。 ||作為一個重要的基礎(chǔ)，請大家討論，也就是從概念，應(yīng)用方向等去談?wù)勊囊饬x。 ||信號處理對很多朋友來說可能比較難，作為基礎(chǔ)，我們不能小看它的作用。 |——————————————————————————————————————一個我覺得比較精彩的發(fā)言···開個頭！從數(shù)學(xué)的角度分析：信號處理是將一個信號空間映射到另外一個信號空間，通常就是時域到頻域，（還有z域，s域），信號的能量就是函數(shù)的范數(shù)（信號與函數(shù)等同的概念），大家都知道有個Paserval定理就是說映射前后范數(shù)不變，在數(shù)學(xué)中就叫保范映射，實際上信號處理中的變換基本都是保范映射，只要Paserval定理成立就是保范映射（就是能量不變的映射）。前面說的意思就是信號處理的任務(wù)就是尋找和信號集合對應(yīng)的一個集合，然后在另外一個集合中分析信號，F(xiàn)ourier變換就是一種，它建立了時域中每個信號函數(shù)與頻域中的每個頻譜函數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，這是元素之間的對應(yīng)，那么運(yùn)算之間的對應(yīng)呢，在時域的加法對應(yīng)頻域中的加法，這就是FT線性性的體現(xiàn)，那么時域的乘法對應(yīng)什么呢，最后得到的那個表達(dá)式我們就把它叫卷積，就是對應(yīng)的頻域的卷積。longdi發(fā)表于2006-11-1616:11對于卷積，下面是我的理解，如果錯誤，敬請指出，謝謝！1．兩個時域上的函數(shù)做卷積可以這樣理解：一個函數(shù)表征一個線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，這個系統(tǒng)可以是時變的，但一定要是線性的；另一個函數(shù)表征輸入到該系統(tǒng)的信號；卷積的結(jié)果表征線性系統(tǒng)的輸出。對于非線性系統(tǒng)，輸出信號無法表示為輸入信號與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，所以有些教材是叫作信號與線性系統(tǒng)，強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的線性。2．兩個時域上的函數(shù)做卷積還可以這樣理解：輸出表征做卷積的兩個函數(shù)在特定時刻看來的相關(guān)程度，當(dāng)然此時其中一個函數(shù)已經(jīng)被看作是y(tao)=x(t-tao)了，特定時刻的輸出越大，這兩個函數(shù)在這一時刻看來相似程度就越好。gable發(fā)表于2006-11-2412:13前兩天看MATLAB教程中多項式相乘時候忽然想到一點，談一下自己的看法，有不足之處還請高人指點。拿離散信號開刀卷積的表達(dá)式為y(n)=∑x(k)×h(n-k)或y(n)=∑x(n-k)×h(k)這里的n-k表示h從負(fù)無窮移動到正無窮，每移動一個單位都同x相乘，所有的乘積項相加后就得到了y。再看一下多項式的乘法(……x^2+x+1……)×(x^2+3x-3)=(……x^2+x+1……)×x^2+(……x^2+x+1……)×3x-(……x^2+x+1……)×3由于多項式是固定的，少了反折和平移，但我覺得這樣更容易理解卷積的數(shù)學(xué)表達(dá)式物理意義就是：任何一個信號都可以表示成單位沖擊信號之和。當(dāng)這個信號通過一個線性系統(tǒng)時，若系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)已知，則只需將表示該信號的每一個單位沖擊信號在不同時延后的沖擊響應(yīng)疊加，總和就是輸出信號。liukeke498發(fā)表于2006-12-1119:48很贊同樓上說的多項式的乘法的例子，從時域和z域的關(guān)系也可以理解。兩個多項式相乘就是(a(0)+a(1)*z^(-1)+a(2)*z^(-2)+a(p)z^(-p))*(b(0)+b(1)*z^(-1)+b(2)*z^(-2)++b(q)z^(-q))=c(0)+c(1)z^(-1)+c(2)z^(-2)++c(p+q)z^(p+q)z域的乘積對應(yīng)時域的卷積，因此乘積后的系數(shù)序列（c(0),c(1)c(p+q))即為序列a(0)a（p）與序列b(0)...b(q)進(jìn)行線性卷積而得到j(luò)umpyists發(fā)表于2006-12-2913:44兩個時域上的函數(shù)做卷積還可以這樣理解：輸出表征做卷積的兩個函數(shù)在特定時刻看來的相關(guān)程度，當(dāng)然此時其中一個函數(shù)已經(jīng)被看作是y(tao)=x(t-tao)了，特定時刻的輸出越大，這兩個函數(shù)在這一時刻看來相似程度就越好。這話好像有問題？相關(guān)函數(shù)和卷積是不一樣的，翻翻信號與系統(tǒng)吧根據(jù)我個人的理解卷積運(yùn)算之所以對于線形非時變系統(tǒng)如此重要其原因有兩點：1．一個線性非時變系統(tǒng)對于單頻正弦信號或復(fù)指信號的響應(yīng)仍然是單頻正弦信號或復(fù)指信號只是幅度上進(jìn)行了加權(quán)，可見線性非時變系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)如此簡單就使人想到能否將對復(fù)雜信號的響應(yīng)轉(zhuǎn)化為對簡單信號的響應(yīng)的求解？2．傅立葉級數(shù)傅立葉變換就告訴我們?nèi)绾螌⒁粋€信號分解為基本信號，所以對一個信號的響應(yīng)求解的過程為：首先將其分解為基本信號然后對每個基本信號求響應(yīng)而卷積則正是這一過程的一個綜合表示所以卷積是如此的重要?。。。?！還有一個很重要的原因是實際物理系統(tǒng)通常都可以近似為線性非時變系統(tǒng)或幾個線性非時變系統(tǒng)的互聯(lián)。所以所以卷積更更更重要了?。。。?！dragonkiss發(fā)表于2006-12-2915:22兩個時域上的函數(shù)做卷積還可以這樣理解：輸出表征做卷積的兩個函數(shù)在特定時刻看來的相關(guān)程度，當(dāng)然此時其中一個函數(shù)已經(jīng)被看作是y(tao)=x(t-tao)了，特定時刻的輸出越大，這兩個函數(shù)在這一時刻看來相似程度...[/quote]這個問題可能是各人理解的不同，可以和原來的朋友PM溝通一下。:)longdi發(fā)表于2007-1-123:41我說的相關(guān)不完全是嚴(yán)格定義上的相關(guān)，不過我覺得可以近似那樣理解卷積。兩個時域上的函數(shù)做卷積還可以這樣理解：輸出表征做卷積的兩個函數(shù)在特定時刻看來的相關(guān)程度，當(dāng)然此時其中一個函數(shù)已經(jīng)被看作是y(tao)=x(t-tao)了，特定時刻的輸出越大，這兩個函數(shù)在這一時刻看來相似程度...[/quote]ycx198發(fā)表于2007-1-221:01我比較贊同卷積的相關(guān)性的作用在通信系統(tǒng)中的接收機(jī)部分MF匹配濾波器等就是本質(zhì)上的相關(guān)匹配濾波器最簡單的形式就是原信號反轉(zhuǎn)移位相乘積分得到的近似＝相關(guān)相關(guān)性越好得到的信號越強(qiáng)這個我們有一次大作業(yè)做的做地做到嘔吐呵呵還有解調(diào)中一些東西本質(zhì)就是相關(guān)有機(jī)會再說哈偶正在研究這個聶呵呵longdi發(fā)表于2007-1-1921:44兩個時域上的函數(shù)做卷積還可以這樣理解：輸出表征做卷積的兩個函數(shù)在特定時刻看來的相關(guān)程度，當(dāng)然此時其中一個函數(shù)已經(jīng)被看作是y(tao)=x(t-tao)了，特定時刻的輸出越大，這兩個函數(shù)在這一時刻看來相似程度...這話好像有問題？相關(guān)函數(shù)和卷積是不一樣的[/quote]程乾生老師的《信號數(shù)字處理的數(shù)學(xué)原理》（這本書本網(wǎng)站有的）Page240有這樣的一段話：“這說明，盡管褶積與相關(guān)是從研究不同的問題提出來的，但是二者的實質(zhì)是相同的，相關(guān)是一種褶積，褶積也是一種相關(guān)?！眡iaomifeng134發(fā)表于2007-1-2522:52對于一f(t)，把要考慮的從0到t的時間間隔等分成寬度為t1的n個小間隔，各脈沖的寬度都等于著間隔的寬度t1，各脈沖的高度分別等于他左邊所在時間[(k-1)*t1]的函數(shù)值。當(dāng)t1甚小時這些脈沖分別用一些沖激函數(shù)來近似地表示，各沖激函數(shù)的位置就是它所代表的脈沖左側(cè)邊所在的時間，各沖激函數(shù)的強(qiáng)度就是它所代表的脈沖的面積。此時f(t)=f(0)*t1*delta(t)+...+f(k*t1)*t1*delta(t-k*t1)+...1=<k<=n,而對于一沖激響應(yīng)為h(t)的線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入f(t)時，輸出為y(t)=f(0)*t1*h(t)+...+f(k*t1)*t1*h(t-k*t1)+...當(dāng)t1趨于零時，y(t)就可表示為f(t)與h(t)的卷積。longdi發(fā)表于2007-2-2121:49另外，關(guān)于相關(guān)和卷積的關(guān)系，我前面也說了自己的觀點，后來也在程乾生老師的《信號數(shù)字處理的數(shù)學(xué)原理》看到了他的觀點：程乾生老師的《信號數(shù)字處理的數(shù)學(xué)原理》（這本書本網(wǎng)站有的）Page240有這樣的一段話：“這說明，盡管褶積與相關(guān)是從研究不同的問題提出來的，但是二者的實質(zhì)是相同的，相關(guān)是一種褶積，褶積也是一種相關(guān)。”網(wǎng)絡(luò)上每個人都有發(fā)表自己觀點的權(quán)利，也有捍衛(wèi)自己觀點的權(quán)利，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)上缺乏一個大家公認(rèn)的權(quán)威時，說服別人就成了件比較困難的事。temp_110發(fā)表于2008-1-721:43如果看成運(yùn)算規(guī)則，卷積就是乘法的另一種表示。相關(guān)在形式上和卷積一樣，但是相關(guān)顯然有統(tǒng)計學(xué)上的含義。[[i]本帖最后由temp_110于2008-1-721:48編輯[/i]]quit2468發(fā)表于2008-1-1710:49根據(jù)定義而言卷積和相關(guān)根本就不是一個東西，硬要說聯(lián)系，也就一個信號——比如說x[k]的自相關(guān)可以寫成x[k]與x[-k]的卷積。我對卷積的理解沒有樓上各位那么深，我覺得單吧卷積隔離開來看什么都不是，卷積無非兩個作用，一是將時域與頻域的運(yùn)算聯(lián)系上，二是信號通過一個系統(tǒng)還有系統(tǒng)的級聯(lián)就是用卷積來表示的——就像1+1+1可以用1*3表示一樣，這里面乘法沒有什么意義可言bluebolt發(fā)表于2008-1-1920:06根據(jù)定義而言卷積和相關(guān)根本就不是一個東西，硬要說聯(lián)系，也就一個信號——比如說x[k]的自相關(guān)可以寫成x[k]與x[-k]的卷積。我對卷積的理解沒有樓上各位那么深，我覺得單吧卷積隔離開來看什么都不是，卷積無非兩個作...同意樓上的觀點卷積與相關(guān)不一樣若要說相同那只是在數(shù)學(xué)表達(dá)形式上類似從物理意義上說卷積主要用于求輸入信號經(jīng)過系統(tǒng)后的響應(yīng)得出的結(jié)果仍然是時域上的函數(shù)相關(guān)則是求兩個信號的相似程度得出的結(jié)果可用一個歸一化的參數(shù)表示obnewux發(fā)表于2008-1-2711:29個人也認(rèn)為卷積和相關(guān)是不同的。剛做了一個項目涉及到相關(guān)。假設(shè)將信號x(n)和y(n)相關(guān)，那么為了利用FFT變換，可以這樣實現(xiàn)。將x(n)倒序，即將x(1),x(2),……,x(n)變?yōu)閄=[x(n),x(n-1),……,x(1)]，將其作FFT為XF。對信號y(n)直接作FFT變?yōu)閅F。那么相關(guān)值就等于z=ifft(XF*YF)。因此，只有將其中一個信號反序，再與另一個信號卷積，才可以等效于相關(guān)。obnewux發(fā)表于2008-1-2711:36另外，我還想問個問題：在我們作項目的時候?qū)τ诰矸e處理都是如下進(jìn)行的，不知道對不對。假設(shè)輸入x(i)，濾波器系數(shù)為h(i)，長度分別為m和n。x(i)通過濾波器相當(dāng)于卷積，那么輸出y(i)的長度應(yīng)該為m+n-1。而我們在仿真中為了保證輸入輸出長度一致，我們?nèi)×藋(i)的中間部分作為輸出，即i=[1:n/2]以及i=[m+n-1-n/2:m+n-1]這部分的數(shù)據(jù)就不要了。中間部分長度剛剛是m。不知道這樣處理對不對請大家指教。hjihxb發(fā)表于2008-2-1017:09卷積與相關(guān)類似在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為乘積和，但卷積需要反摺，而相關(guān)不需要，因此相同的兩個數(shù)列卷積與相關(guān)是不同的。asdf229955發(fā)表于2008-3-2517:47卷積是分析數(shù)學(xué)中一種重要的運(yùn)算。設(shè):<math>f(x)</math>,<math>g(x)</math>是R1上的兩個可積函數(shù)，作積分：<math>\intf(\tau)g(x-\tau)\,d\tau</math>可以證明，關(guān)于幾乎所有的x∈(－∞，∞)，上述積分是存在的。這樣，隨著x的不同取值，這個積分就定義了一個新函數(shù)h(x)，稱為f與g的卷積，記為h（x）＝（f*g）（x）。容易驗證，（f*g）（x）＝（g*f）（x），并且（f*g）（x）仍為可積函數(shù)。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）1空間是一個代數(shù)，甚至是巴拿赫代數(shù)。卷積與傅里葉變換有著密切的關(guān)系。利用一點性質(zhì)，即兩函數(shù)的傅里葉變換的乘積等于它們卷積后的傅里葉變換，能使傅里葉分析中許多問題的處理得到簡化。由卷積得到的函數(shù)（f*g）（x），一般要比f，g都光滑。特別當(dāng)g為具有緊支集的光滑函數(shù)，f為局部可積時，它們的卷積（f*g）（x）也是光滑函數(shù)。利用這一性質(zhì)，對于任意的可積函數(shù)，都可以簡單地構(gòu)造出一列逼近于f的光滑函數(shù)列fs（x），這種方法稱為函數(shù)的光滑化或正則化。卷積的概念還可以推廣到數(shù)列、測度以及廣義函數(shù)上去。定義函數(shù)f與g的卷積記作<math>f\starg</math>，它是其中一個函數(shù)翻轉(zhuǎn)并平移后與另一個函數(shù)的乘積對于平移量的積分。<math>(f\starg)(t)=\intf(\tau)g(t-\tau)\,d\tau</math>積分區(qū)間取決于f與g的定義域。對于定義在離散域的函數(shù)，卷積定義為<math>(f\starg)[m]=\sum_n{f[n]g[m-n]}</math>[編輯]多元函數(shù)卷積按照翻轉(zhuǎn)、平移、積分的定義，還可以類似的定義多元函數(shù)上的積分：<math>(f\starg)(t_1,t_2,\cdots,t_n)=\int\int\cdots\intf(\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n)g(t_1-\tau_1,t_2-\tau_2,\cdots,t_n-\tau_n,)\,d\tau_1d\tau_2\cdotsd\tau_n</math>性質(zhì)各種卷積算子都滿足下列性質(zhì)交換律<math>f\starg=g\starf\,</math>結(jié)合律<math>f\star(g\starh)=(f\starg)\starh\,</math>分配律<math>f\star(g+h)=(f\starg)+(f\starh)\,</math>數(shù)乘結(jié)合律<math>a(f\starg)=(af)\starg=f\star(ag)\,</math>其中<math>a</math>為任意實數(shù)（或復(fù)數(shù)）。微分定理<math>\mathcal{D}(f\starg)=\mathcal{D}f\starg=f\star\mathcal{D}g\,</math>其中Df表示f的微分，如果在離散域中則是指差分算子，包括前向差分與后向差分兩種：前向差分：<math>\mathcal{D}^+f(n)=f(n+1)-f(n)</math>后向差分：<math>\mathcal{D}^-f(n)=f(n)-f(n-1)</math>卷積定理卷積定理指出，函數(shù)卷積的傅里葉變換是函數(shù)傅里葉變換的乘積。即，一個域中的卷積相當(dāng)于另一個域中的乘積，例如時域中的卷積就對應(yīng)于頻域中的乘積。<math>\mathcal{F}(f\starg)=\mathcal{F}(f)\cdot\mathcal{F}(g)</math>其中<math>\mathcal{F}(f)</math>表示f的傅里葉變換。這一定理對拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換、Z變換、Mellin變換和Hartley變換（參見Mellininversiontheorem）等各種傅里葉變換的變體同樣成立。在調(diào)和分析中還可以推廣到在局部緊致的阿貝爾群上定義的傅里葉變換。利用卷積定理可以簡化卷積的運(yùn)算量。對于長度為<math>n</math>的序列，按照卷積的定義進(jìn)行計算，需要做<math>2n-1</math>組對位乘法，其計算復(fù)雜度為<math>\mathcal{O}(n^2)</math>；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上后，只需要一組對位乘法，利用