大學(xué)物理第三章剛體力學(xué)

第三章剛體力學(xué)編輯課件剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，無論在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變。形狀、大小都不變的物體稱為剛體。剛體是可以忽略由于受力而引起物體形狀和體積改變的理想模型。編輯課件3－1剛體的運(yùn)動(dòng)一、剛體的平動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體上任一條直線的位置始終保持彼此平行，稱為平動(dòng)。此時(shí)，剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度都相同，可任選剛體上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來代表。即剛體的平動(dòng)滿足質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：編輯課件二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體繞一固定直線（轉(zhuǎn)軸Z）的轉(zhuǎn)動(dòng)。

z此時(shí)軸外各質(zhì)點(diǎn)都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面上作圓周運(yùn)動(dòng)，在同一時(shí)間間隔內(nèi)，走過的弧長(zhǎng)雖不同，但角位移，因而角速度、角加速度都一樣。適合用圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述：編輯課件3－2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、力矩以下圖中，一力F作用于剛體上的P點(diǎn)，可將力F正交分解為平行于轉(zhuǎn)軸OZ的分力F1和在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上的分力F2。其中，F(xiàn)1與轉(zhuǎn)軸平行，對(duì)剛體不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，只有F2對(duì)剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。將F2乘以力的作用線到轉(zhuǎn)軸的垂直距離d〔力臂〕，稱為力F對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩大小，即編輯課件力矩是矢量，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩的方向沿著轉(zhuǎn)軸，其指向可按右手螺旋法那么確定：右手四指由矢徑r的方向經(jīng)小于的角度轉(zhuǎn)向力F方向時(shí)，大拇指的指向就是力矩的方向。根據(jù)矢量的矢積定義，力矩可表示為：假設(shè)F位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，那么上式簡(jiǎn)化為編輯課件二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律力矩是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因，力矩的作用使剛體獲得角加速度。以下圖中，剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，各質(zhì)點(diǎn)都繞轉(zhuǎn)軸作圓周運(yùn)動(dòng)，角加速度均為。任取剛體中一質(zhì)量為的質(zhì)元mi，它到轉(zhuǎn)軸的垂直距離為ri，此質(zhì)元的加速度為ai，所受合外力為Fi，剛體中所有其他各質(zhì)點(diǎn)對(duì)它的合內(nèi)力為fi。根據(jù)牛頓第二定律得切向的分量式為編輯課件兩邊同乘ri，得上式左邊第一項(xiàng)為外力Fi對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩，而第二項(xiàng)是內(nèi)力fi對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。對(duì)剛體的所有質(zhì)點(diǎn)都可寫出類似上式的方程，求和得由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，內(nèi)力矩總和為零，有編輯課件其中稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。剛體在合外力矩的作用下，所獲得的角加速度與力矩M的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律。它是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的根本定律。三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量反映了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大的剛體，要改變它的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)就越困難。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的大小形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置等有關(guān)。編輯課件一般的情況下剛體質(zhì)量是連續(xù)分布的，把它分割成無限多個(gè)微小局部，其中質(zhì)量為dm的小塊到轉(zhuǎn)軸的垂直距離為r，那么它對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為rdm

積分得到整個(gè)剛體對(duì)相應(yīng)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為編輯課件常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量編輯課件例1求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒對(duì)下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直。解：(1)在棒上離軸x處，取一長(zhǎng)度元dx，設(shè)棒的質(zhì)量線密度為，那么dm=dx，有：〔2〕當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A并與棒垂直時(shí)：編輯課件例2求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為h的均質(zhì)圓盤對(duì)通過盤心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：如下圖，將圓盤看成許多薄圓環(huán)組成。取任一半徑為r，寬度為dr的薄圓環(huán)，它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：積分：注意：J與h無關(guān)一個(gè)質(zhì)量為m、半徑為R的實(shí)心圓柱體對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也與上述結(jié)果相同。編輯課件平行軸定理：dJCCJDJC、JD分別是剛體對(duì)過質(zhì)心軸，和與之相平行的另一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩轉(zhuǎn)軸間距為d薄板的正交軸定理：yxzoX,Y軸在薄板面上，Z軸與薄板垂直。編輯課件例3、質(zhì)量m，長(zhǎng)為l的四根均勻細(xì)棒，組成一正方形框架，繞過其一頂點(diǎn)O并與框架垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Om,lC解：由平行軸定理，先求出一根棒對(duì)框架質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：因而框架對(duì)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量再次用平行軸定理，得：編輯課件OJR例4、一質(zhì)量為m，半徑為R的薄圓盤，繞與盤邊相切的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ZXY解：取圖示坐標(biāo)系，由垂直軸定理得又由平行軸定理，有編輯課件例5一質(zhì)量為M，半徑為R的定滑輪（當(dāng)作圓盤）上面繞有細(xì)繩。繩的另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落h高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。對(duì)物體m，由牛頓第二定律滑輪和物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為解：對(duì)定滑輪M，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，對(duì)于軸O，有編輯課件物體下落高度h時(shí)的速度這時(shí)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為編輯課件例6一質(zhì)量為m、半徑為R的勻質(zhì)圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的光滑軸正以

o的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將盤置于粗糙的水平桌面上，圓盤與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，求圓盤經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？解摩擦力是分布在整個(gè)盤面上的，計(jì)算摩擦力的力矩時(shí)，應(yīng)將圓盤分為無限多個(gè)半徑為r、寬為dr的圓環(huán)積分。故摩擦力矩為rdr

o于是得編輯課件rdr

o由=

o+t=0得又由

2-o2=2，所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為編輯課件3－3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理一、力矩的功外力Fi使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)一微小角度d

所作的元功：剛體轉(zhuǎn)過有限大角度時(shí)力矩的功有多個(gè)力矩作用在剛體上時(shí)：編輯課件二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能：為剛體各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和因得到外力矩對(duì)剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：編輯課件四、剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)重力勢(shì)能之和剛體的重力勢(shì)能相當(dāng)于質(zhì)量集中在剛體質(zhì)心C的重力勢(shì)能。ohihcxmC

my對(duì)于包含剛體的系統(tǒng)，功能原理仍然成立：系統(tǒng)外力所作的功與系統(tǒng)非保守內(nèi)力所作的功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。編輯課件解：細(xì)棒下降過程中只有重力矩做功。桿重心下降了l/2,應(yīng)用功能原理例7一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒OA可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)下端點(diǎn)A的速度，和O點(diǎn)處的受力。OAG

編輯課件設(shè)在豎直位置時(shí)，桿在O點(diǎn)受力N，將它分解成水平與豎直的兩個(gè)分量。由于此時(shí)N與G都過轉(zhuǎn)軸O，對(duì)O點(diǎn)的力矩=0。由轉(zhuǎn)動(dòng)定律知，棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度=0因而ONnNtNGC

編輯課件例8有一由彈簧、勻質(zhì)滑輪和重物M組成的系統(tǒng)，該系統(tǒng)在彈簧為原長(zhǎng)時(shí)被靜止釋放。運(yùn)動(dòng)過程中繩與滑輪間無滑動(dòng)。求:重物M下落h時(shí)的速度；hMmrk解得：解系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中只有保守力—重力和彈性力作功，所以機(jī)械能守恒：代入編輯課件3－4角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1．質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，以速度v運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的位置矢量為r，定義質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的角動(dòng)量為其大小為角動(dòng)量的方向可以用右手螺旋法那么來確定。編輯課件2、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)所受的合外力對(duì)某一參考點(diǎn)的力矩等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率—角動(dòng)量定理。編輯課件角動(dòng)量守恒定律是自然界普遍適用的一條根本規(guī)律。力矩M=0的條件：〔1〕力臂r=0〔有心力作用〕，〔2〕力F=0，〔3〕r與F相互平行。若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩如果對(duì)于某一固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變—角動(dòng)量守恒定律。3、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律編輯課件例9行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二運(yùn)動(dòng)定律：行星對(duì)太陽(yáng)的位矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。解：行星在太陽(yáng)引力（有心力）作用下沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，因而行星在運(yùn)行過程中，它對(duì)太陽(yáng)的角動(dòng)量守恒不變。因而掠面速度：編輯課件

rm2m1OR例10發(fā)射一宇宙飛船去考察一質(zhì)量為m1，半徑為R的行星。當(dāng)飛船靜止于空間中距行星中心r=4R時(shí)，以初速v0發(fā)射一質(zhì)量為m2(m2遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量)的探測(cè)器，要使探測(cè)器正好能掠著行星表面著陸，角應(yīng)多大？解：探測(cè)器飛行過程中只受到行星的引力，因而對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒：又由機(jī)械能守恒：代入r=4R，求出編輯課件二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量當(dāng)剛體以角速度ω繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都以相同的角速度繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)mi對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為：于是剛體上所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量，即剛體的角動(dòng)量為：寫成矢量形式角動(dòng)量矢量的方向與角速度矢量的方向一致。編輯課件2．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律可改寫成如果合外力矩M對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用時(shí)間從t1到t2，剛體的角動(dòng)量從L1到L2，那么將上式積分，得作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。稱為剛體的角動(dòng)量定理。編輯課件3．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律假設(shè)剛體所受的合外力矩為零，即M=0，那么L＝恒矢量，或當(dāng)剛體所受的的合外力矩為零