考紐蜷線的繪制

目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1技術指標 1\o"CurrentDocument"2基本原理 1\o"CurrentDocument"2.1惠更斯原理 1\o"CurrentDocument"2.2惠更斯-菲涅爾原理 2\o"CurrentDocument"2.3菲涅耳衍射積分的推導 4\o"CurrentDocument"3建立模型描述 4\o"CurrentDocument"菲涅耳積分模型 4\o"CurrentDocument"考紐曲線模型 5\o"CurrentDocument"模型組成模塊功能描述（或程序注釋） 5\o"CurrentDocument"調(diào)試過程及結(jié)論 8\o"CurrentDocument"5.1調(diào)試過程 8結(jié)論 8\o"CurrentDocument"6心得體會 9\o"CurrentDocument"7參考文獻 9菲涅耳積分的計算及考紐蜷線的繪制技術指標利用Matlab（或c語言）計算矩孔的菲涅耳衍射積分值和繪制相應的考紐蜷線圖。要求（1）有用戶任意輸入矩孔參量a、b（2）相應的Matlab（或c語言）繪制的考紐蜷線?；驹?.1惠更斯原理在研究波的傳播時，總可以找到同位相各點的幾何位置，這些點的軌跡是一個等相面，叫做波面，惠更斯曾提出次波的假設來闡述波的傳播現(xiàn)象，從而建立了惠更斯原理?；莞乖砜杀硎鋈缦拢喝魏螘r刻波面上的每一點都可作為次波的波源，各自發(fā)出球面次波；在以后的任何時刻，所有這些次波波面的包絡面形成整個波在該時刻的新波面。根據(jù)這個原理，可以從某一時刻已知的波面位置求出另一時刻波面的位置。圖1圖1可以用來說明這個原理，圖中SS是某一時刻（t=0）的波面，箭頭表示光的傳播方向，若光速為u，為了求得另一時刻T的波面的位置，可以把原波面上的每一點作為次波源，各點均發(fā)出次波,經(jīng)時間T后，次波傳播的距離為Y=ui，于是各次波的包絡面S'S'就是在時刻T的波面，光的直線傳播、反射、折射等都能以此來進行較好的解釋。此外，惠更斯原理還可解釋晶體的雙折射現(xiàn)象，但是，原始的惠更斯原理是十分粗糙的，用它不能說明衍射的存在，更不能解釋波的干涉和衍射現(xiàn)象，而且由惠更斯原理還會導致有倒退波的存在，而其實并不存在倒退波。由于惠更斯原理的次波假設不涉及波的時空周期特性——波長，振幅和位相，因而不能說明在障礙物邊緣波的傳播方向偏離直線的現(xiàn)象。事實上，光的衍射現(xiàn)象要細微得多。例如還有明暗相間的條紋出現(xiàn)，表明各點的振幅大小不等，因此必須能夠定量計算光所到達的空間范圍內(nèi)任何一點的振幅，才能更精確地解釋衍射現(xiàn)象。2.2惠更斯-菲涅爾原理菲涅爾根據(jù)惠更斯的“次波”假設，補充了描述次波的基本特征——相位和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干疊加”的原理，使之發(fā)展為惠更斯-菲涅爾原理。這個原理的內(nèi)容表示如下：如圖所示的波面S上每個面積元dS都可以看成新的波源，他們均發(fā)出次波。波面前方空間某一點P的振動可以由S面上所有面積元所發(fā)出的次波在該點疊加后的合振幅來表示。面積元dS所發(fā)出的各次波的振幅和相位符合下列四個假設：在波動理論中，波面是一個等相位面。因而可以認為dS面上各點所發(fā)出的所有次波都有相同的初相位(可令屮=0)。次波在P點處所引起的振動的振幅與r成反比。這相當于表明次波是球面波。從面積元dS所發(fā)出的次波在P處的振幅正比于dS的面積，而且與傾角8有關，0為dS的法線n與dS到P點的連線r之間的夾角，即從dS發(fā)出的次波到達P點時的振幅隨0的增大而減小。次波在P點處的相位，由光程厶=nr決定(屮=2nA/入).根據(jù)以上的假設，可知面積元dS發(fā)出的次波在P點的合振動可表示為dSgdSK()gs(kr一wt)或dE=C^()cos(kr-wt)dS (2-1)其中k(0)為隨著e角增大而緩慢減小的函數(shù)，叫做傾斜因子，c為比例系數(shù)。如果波面上各點的振幅有一定的分布，則面積元dS發(fā)出次波到達p點的振幅與該面積元上的振幅成正比，若分布函數(shù)為A(Q)，則波面在P點產(chǎn)生的振動為dE=cK?°)cos(kr-wt)dS (2-2)r如果將波面S上所有面積元在P點的作用加起來，即可求得波面S在P點所產(chǎn)生的合振動E二JdE二CJK(0)A(Q)cos(kr-①t)dS (2-3)Sr上式稱為菲涅爾衍射積分。一般說來，計算此積分式相當復雜的，但在波面關于通過P點的波面法線具有旋轉(zhuǎn)對稱性的情況下，這個積分就比較簡單，并可用代數(shù)加法或矢量加法來代替積分。圖3菲涅爾衍射借助于惠更斯-菲涅爾原理可以解釋和描述光束通過各種形狀的障礙物時所產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象。以下將討論幾種特殊形狀的孔和障礙物所產(chǎn)生的衍射圖樣的光強分布，通常討論時，通常可以根據(jù)光源和考察點到障礙物的距離，把衍射現(xiàn)象分為兩類。第一種是障礙物到光源和考察點的距離都是有限的，或其中之一為有限的，稱為菲涅爾衍射；又稱近場衍射；第二類是障礙物到光源和考察點的距離可認為是無限遠的，即實際上使用的是平行光束。這種衍射稱為夫瑯禾費衍射，又稱遠場衍射。

2.3菲涅耳衍射積分的推導觀察屏上孔徑丫的菲涅耳衍射的復振幅分布為:2-4)E(滬eXp(ZZi)”E7)exP{￡心-卩+(y-叨皿2-4)11考慮單位振幅單色平面波垂直入射，且引入變量代換：貝(貝(“-卅自y-人)2-5)2-6)考慮到直邊衍射時孔徑的邊緣與x和y平行，上面積分可分解成兩個有獨立積分限的形11式：E(u，v)二eX2i兀E(u，v)二eX2i兀U2u2exp(i一u1 2v1加V2)dv22-7)菲涅耳積分:2-8))dx二C(w)+iS(w)2-8)其中:C(w)二C(w)二cosf.兀12

=jsm dt22-9)這些積分不易以解析函數(shù)形式求出，通常它們的積分需要數(shù)值計算?根椐計算結(jié)果以C(a)為橫坐標，以S(a)為縱坐標畫出的曲線就是科紐曲線.同一個復數(shù)在復平面上可用一個矢量表示一樣，菲涅耳積分也可用一個矢量表示。例如：2-10)F(呻導旳(嚀皿2-10)0建立模型描述3.1菲涅耳積分模型C(a)，S(a)與a的關系為

C(a)二fcos(皿2)dt2S(a)二fsin(導)dt2-11)2-12)圖4菲涅耳積分C（a），S（a）由此我們可以做出C（2-11)2-12)圖4菲涅耳積分C（a），S（a）3.2考紐曲線模型同時我們可以C（a）為橫坐標，以S（a）為縱坐標，將a作為自變量得到考紐曲線。考紐螺線C為橫軸，考紐螺線C為橫軸，S為縱軸圖5考紐（A.Cornu）螺線模型組成模塊功能描述（或程序注釋）clear;C=[0.0000,0.1000,0.1999,0.2994,0.3975,0.4932,0.5811,0.6597,0.7230,0.7648,0.7799,0.7638,0.7154,0.6386,0.5431,0.4453,0.3655,0.3238,0.3336,0.3944,0.4882,0.5815,0.6363,0.6266,0.5550,0.4574,0.3890,0.3925,0.4675,0.5624,0.6058,0.5616,0.4664,0.4058,0.4385,0.5326,0.5880,0.5420,0.4481,0.4223,0.4984,0.5738,0.5418,0.4494,0.4383,0.5261,0.5673,0.4914,0.4338,0.5002,0.5637,0.5450,0.4998,0.4553,0.4389,0.4610,0.5078,0.5490,0.5573,0.5269,0.4784,0.4456,0.4517,0.4926,0.5385,0.5551,0.5298,0.4819,0.4486,0.4566]; % C作為橫軸的數(shù)據(jù)S=[0.0000,0.0005,0.0042,0.0141,0.0334,0.0647,0.1105,0.1721,0.2493,0.3398,0.4383,0.5365,0.6234,0.6863,0.7135,0.6975,0.6389,0.5492,0.4508,0.3734,0.3434,0.3743,0.4557,0.5531,0.6197,0.6192,0.5500,0.4529,0.3915,0.4101,0.4963,0.5818,0.5933,0.5192,0.4296,0.4152,0.4923,0.5750,0.5656,0.4752,0.4204,0.4758,0.5633,0.5540,0.4622,0.4342,0.5162,0.5672,0.4968,0.4350,0.4992,0.5442,0.5624,0.5427,0.4969,0.4536,0.4405,0.4662,0.5140,0.5519,0.5537,0.5181,0.4700,0.4441,0.4595,0.5049,0.5461,0.5513,0.5163,0.4688]; %S作為縱軸的數(shù)據(jù)a=pi;n=input('請輸入節(jié)點個數(shù)')；sk=(6-(-6))/n; %CQ),S(a)的極近似解算法x(1:n+1)=0;y(1:n+1)=0;fori=1:n+1s=-6+sk*(i-1);tk=s/(2*n);forj=1:2*n+1t=0+tk*(j-1);x(i)=x(i)+cos(tA2*a*1/2)*tk;y(i)=y(i)+sin(tA2*a*1/2)*tk;endendsk1=-6:sk:6;Figure %再次繪圖plot(sk1,x,'g:',sk1,y,'r:');title(['紅+表c-a;綠o表s-a']);Figureplot(C,S,'*',-C,-S,'*');holdon;set(gca,'xtick',-0.8:0.1:0.8);set(gca,'ytick',-0.8:0.1:0.8);plot(x,y);title(['考紐螺線C為橫軸，S為縱軸']);gridon;text(0.4923,0.0647,'0.5')；text(0.7799,0.4383,'1.0');text(0.4453,0.6975,'1.5');text(0.4882,0.3434,'2.0');text(0.4574,0.6192,'2.5');text(0.6058,0.4963,'3.0');text(0.5326,0.4152,'3.5');text(0.4984,0.4204,'4.0');text(0.5261,0.4342,'4.5');text(0.5637,0.4992,'5.0');text(0.4784,0.5537,'5.5');text(0.4995,0.4470,'6.0');text(0.4816,0.5454,'6.5');text(-0.4923,-0.0647,'-0.5');text(-0.7799,-0.4383,'-1.0');text(-0.4453,-0.6975,'-1.5');text(-0.4882,-0.3434,'-2.0');text(-0.4574,-0.6192,'-2.5');text(-0.6058,-0.4963,'-3.0');%輸出C(a)-a,S(a)-a的關系曲線%標注曲線的含義%再次繪圖%在曲線上畫點%確定橫軸的范圍和間隔%確定縱軸的范圍和間隔%輸出C(a)和S(a)的曲線圖%標注曲線的含義%畫網(wǎng)格%給取值的點加標注text（-0.5326,-0.4152,'-3.5'）;text（-0.4984,-0.4204,'-4.0'）;text（-0.5261,-0.4342,'-4.5'）;text（-0.5637,-0.4992,'-5.0'）;text（-0.4784,-0.5537,'-5.5'）;text（-0.4995,-0.4470,'-6.0'）;text（-0.4816,-0.5454,'-6.5'）;調(diào)試過程及結(jié)論5.1調(diào)試過程在M文件中編好程序后，點Debug按鈕可調(diào)試運行程序，運行結(jié)果在CommandWindows窗口中查看。將上面的程序放到matlab中運行，由于有兩個繪圖指令，我們可以讓matlab輸出兩張圖片，分別為菲涅耳積分C（a），S（a），和考紐曲線圖片。在繪制考紐曲線圖片時，運用了重復畫圖，將a取不同值的點打在了曲線上，這樣就使得實驗結(jié)果更加簡單明了。最后經(jīng)過不斷的修改與調(diào)試，我們畫出了正確的菲涅耳積分C（a），S（a）圖以及考紐曲線圖。5.2結(jié)論由圖4我們可以得出以下結(jié)論：C（a）的幅值在a=0附近振蕩非常劇烈，當a>0時,隨著a值的增加，C（a）逐漸穩(wěn)定，最后趨向于0.5，當a50時，其曲線與a>0的關系曲線關于坐標原點成中心對稱；S（a）與C（a）的性質(zhì)基本一樣。由圖5我們可以得出下結(jié)論：當a>0時，隨著a值的增加，S（a）-C（a）的關系曲線構(gòu)成一個不斷旋轉(zhuǎn)縮小的螺旋線，最后其中心不斷靠近（0.5,0.5）坐標點，這也使得圖4的關系曲線得到了進一步的印證，同理，當a<0時，其曲線與a>0的關系曲線關于坐標原點成中心對稱。另外，由公式（7）可知，曲線上兩點之間的線段長度表示的就是這兩點之間的光強之差，如果以（0,0）點為其中的原點，且取a>0，連接（0,0）于曲線上的另一點，我們會發(fā)現(xiàn)隨著a值的增加，線段的長度會先增加再減少，之后會又增加再減少。。。。。。由此我們可以得到以下結(jié)論：隨著矩孔的邊長不斷增加，在觀察屏上的某一點的光強會不斷的有規(guī)則的變化，由此可以得到矩孔尺寸和衍射光強的關系。心得體會通過本次試驗，我們在對菲涅耳衍射的基本性質(zhì)有了一定的了解的前提下，通過菲涅耳積分來求得衍射屏上的光強特性，最后作出C(a)—a和S(a