自動控制原理02

第二章控制系統(tǒng)的輸入-輸出模型2.1引言數(shù)學(xué)模型是用來描述系統(tǒng)中各種信號(或變量)的傳遞和轉(zhuǎn)換關(guān)系的。2分析和設(shè)計任何一個控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。輸入-輸出模型著重描述的是系統(tǒng)輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系狀態(tài)空間模型著重描述的是系統(tǒng)輸入量與內(nèi)部狀態(tài)之間以及內(nèi)部狀態(tài)和輸出量之間的關(guān)系控制系統(tǒng)模型建立數(shù)學(xué)模型的方法主要有機理方法和實驗法(系統(tǒng)辨識)建模方法機理建模依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達式，并實驗驗證。實驗法(系統(tǒng)辨識)對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。機理建模步驟建立物理模型。必要的簡化和假設(shè)列寫原始方程。根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)在規(guī)律(牛頓運動學(xué)，能量守恒、物料守恒等)建立各物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系選定系統(tǒng)的輸入-輸出變量及狀態(tài)變量，消去中間變量，建立模型2.2建立輸入-輸出運動方程例2.1帶阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)如圖所示，當外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運動，試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移x(t)之間的動態(tài)方程。其中彈簧的彈性系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為f，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m。2.2.1機械系統(tǒng)模型彈性要素質(zhì)量要素阻尼要素6分析質(zhì)量塊M受力，有:

(1)外力F,

(2)彈簧恢復(fù)力kx(t)

(3)阻尼力

(4)慣性力表示在力的作用下，變化的位移量式中：x為M的位移（m）；

f為阻尼系數(shù)（N·s/m);

k為彈性系數(shù)（N/m)。根據(jù)牛頓定律，質(zhì)點M受力平衡，得平衡方程：例2.2汽車緩振系統(tǒng)。

M1為車廂及架重，M2為輪及輪軸重，緩振簧和充氣輪胎剛度為k1和k2,緩振器阻尼系數(shù)f，x3為車廂垂直位移，x1為路面函數(shù)，求x3和x1之間的運動設(shè)M2的垂直位移為x2M1的力平衡方程為：M2的力平衡方程為：引入微分算子：M1的力平衡方程改寫為：M2的力平衡方程改寫為：消去中間變量x2：由例2.3

R-L-C串聯(lián)電路2.2.2電路系統(tǒng)模型對于RLC電路網(wǎng)絡(luò)，一般取電感電流或電容電壓作為輸入輸出變量電磁力矩：—安培定律電樞反電勢：—楞次定律電樞回路：

—克?；舴蛄仄胶猓骸ｎD定律電機時間常數(shù)電機傳遞系數(shù)要求與之間的關(guān)系，需消去中間變量i,M

,ea

：例2.4電樞控制式直流電動機2.2.3機電系統(tǒng)模型線性定常微分方程求解直接求解若，則有：拉氏變換的基本性質(zhì)微分特性：零初始條件：積分特性：

零初始條件：延遲性質(zhì)：2.3傳遞函數(shù)與系統(tǒng)框圖線性系統(tǒng)的輸入-輸出微分方程：方程兩端進行拉氏變換在零初始條件下：16

線性定常系統(tǒng)在輸入、輸出零初始條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的因式分解形式n:分母多項式中s的最高階數(shù)，n階系統(tǒng)；m：分子多項式中s的最高階數(shù)；Kg：為傳遞函數(shù)的傳遞系數(shù)，根軌跡增益；-zi

(i=1,2,…,m)為傳遞函數(shù)的零點-pj

(j=1,2,…,n)為傳遞函數(shù)的極點18關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)；傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，描述輸入變量和輸出變量之間的動態(tài)變化關(guān)系，不同的物理系統(tǒng)可以具有相同的傳遞函數(shù)；傳遞函數(shù)表征系統(tǒng)本身的一種屬性，表示輸入與輸出之間的一種函數(shù)關(guān)系，它與輸入信號的大小和性質(zhì)無關(guān)；傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量s的有理真分式，它的分子，分母的階次分別是n和m，且n≥m傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的拉普拉斯變換。系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，即輸入時：求Y(s)的拉氏反變換，得系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)：例2.7液位系統(tǒng)傳遞函數(shù)P23

液阻：液位差變化（m）流量變化（m3/s）2.3.2方框圖及系統(tǒng)的連接(1)串聯(lián)系統(tǒng)（組成單元）輸入輸出G(s)串聯(lián)環(huán)節(jié)的獨立性 在串聯(lián)鏈接中，每個環(huán)節(jié)都應(yīng)是相互獨立的，即后一環(huán)節(jié)對前一環(huán)節(jié)沒有“負載效應(yīng)”。 例：按串聯(lián)公式計算：K(2)并聯(lián)連接＋兩個或兩個以上的系統(tǒng)，具有同一個輸入信號，并以各系統(tǒng)輸出信號的代數(shù)和作為輸出信號，這種形式的連接稱為并聯(lián)連接。(3)反饋連接前向通道：G(s)反饋通道：H(s)開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)H(s)

閉環(huán)傳遞函數(shù)：Y(s)/U(s)負（正）反饋閉環(huán)系統(tǒng)特征方程：

1+G(s)H(s)一個對象的輸出信號經(jīng)過某個環(huán)節(jié)后反向傳送到其輸入端，并與輸入信號相比較。這種連接形式稱為反饋連接。前向傳遞函數(shù)1+開環(huán)傳遞函數(shù)2.3.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)(1)比例環(huán)節(jié)運算放大器倒向端和非倒向端的輸入電流均為零；對于公共端(地)來說，倒向輸入端的電壓與非倒向輸入端的電壓相等。例：(2)慣性環(huán)節(jié)極點：輸入信號為單位階躍時的輸出響應(yīng)：作部分分式分解：時間常數(shù)：增益：[S]x運算放大器倒向端和非導(dǎo)向端的輸入電流均為零；對于公共端(地)來說，倒向輸入端的電壓與非倒向輸入端的電壓相等。慣性環(huán)節(jié)的運算放大器實現(xiàn)

(3)積分環(huán)節(jié)輸入-輸出關(guān)系為：傳遞函數(shù)為：極點位于復(fù)平面坐標原點，Ki稱為積分環(huán)節(jié)的增益Ti稱為積分時間常數(shù)當系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)時，積分環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)是隨時間線性增長的。[S]x積分環(huán)節(jié)運算放大器實現(xiàn)(4)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的輸出和其輸入量的導(dǎo)數(shù)成比例微分時間常數(shù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：(5)延時環(huán)節(jié)(6)振蕩環(huán)節(jié)具有一對共軛復(fù)極點：[S]xx例2.9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成36系統(tǒng)方框圖圖由若干基本符號構(gòu)成。構(gòu)成動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本符號有四種，即信號線、傳遞方框、綜合點和引出點。(1)信號線

表示信號輸入、輸出的通道。箭頭代表信號傳遞的方向。2.3.4系統(tǒng)方框圖構(gòu)成37(2)傳遞方框G(s)方框的兩側(cè)為輸入信號線和輸出信號線，方框內(nèi)寫入該輸入、輸出之間的傳遞函數(shù)G(s)。38(3)綜合點/匯合點綜合點亦稱加減點，表示幾個信號相加、減，叉圈符號的輸出量即為諸信號的代數(shù)和，負信號需在信號線的箭頭附近標以負號。＋省略時也表示＋39(4)引出點/分支點表示同一信號傳輸?shù)綆讉€地方。以機電隨動系統(tǒng)為例，如下圖所示(5)系統(tǒng)方框圖構(gòu)成舉例對象運動方程注：系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(1)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(2)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(3)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(4)46系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(5)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(6))(smqsfJs+21mC)(sMm)(sMm)(smqsfJs+21系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(7))(smqsfJs+21mC)(sMm系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(8))(smqsfJs+21mC)(sMm思路在保證總體動態(tài)關(guān)系(輸入-輸出之間的傳遞函數(shù))不變的條件下，設(shè)法將原結(jié)構(gòu)逐步地進行歸并和簡化，最終盡量將多回路的復(fù)雜結(jié)構(gòu)簡化成單回路結(jié)構(gòu)。2.3.5系統(tǒng)方框圖的等效變換與化簡(1)串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)?G2(s)R(s)C(s)兩個串聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的乘積。

串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換(2)并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換等效變換證明推導(dǎo)(1)G1(s)G2(s)R(s)

C(s)C1(s)C2(s)并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換C1(s)G1(s)G2(s)R(s)

C(s)C2(s)

并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)

C(s)C1(s)C2(s)

G1(s)

G2(s)R(s)C(s)兩個并聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。(3)反饋結(jié)構(gòu)的等效變換C(s)=?反饋結(jié)構(gòu)的等效變換G(s)R(s)

C(s)H(s)B(s)E(s)59反饋結(jié)構(gòu)的等效變換R(s)C(s)60(4)比較點(綜合點、匯合點)的移動（后移）Q(s)？問題：要保持原來的信號傳遞關(guān)系不變，？等于什么。61G(s)

R(s)C(s)Q(s)比較點后移之證明推導(dǎo)（移動前的情形）62G(s)

R(s)C(s)Q(s)？比較點后移之證明推導(dǎo)（移動后的情形）63移動前移動后比較點后移證明推導(dǎo)（移動前后）64G(s)

R(s)C(s)Q(s)？比較點后移證明推導(dǎo)（移動后）65比較點后移等效關(guān)系圖(5)比較點前移67比較點的移動（前移）比較點前移的等效關(guān)系(6)綜合點之間的移動結(jié)論：多個相鄰的綜合點可以隨意交換位置。70(7)引出點后移等效變換圖(8)引出點前移等效變換圖(9)引出點之間的移動相鄰引出點交換位置，不改變信號的性質(zhì)。2引出點綜合點相鄰，不可互換位置1不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式

注意事項：3相鄰引出點可互換位置、可合并…2相鄰綜合點可互換位置、可合并…結(jié)構(gòu)圖等效變換方法1三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式綜合點后移分支點前移例1：利用結(jié)構(gòu)圖變換法，求位置隨動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

θc(s)/θr(s)。由動態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以看出該系統(tǒng)有兩個輸入

r，ML（干擾）。我們知道：傳遞函數(shù)只表示一個特定的輸出、輸入關(guān)系，因此，在求c對r的關(guān)系時，根據(jù)線性疊加原理，可取力矩ML＝0，即認為ML不存在?；啿襟E（1)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：化簡步驟（2)內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換：化簡步驟（3)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：化簡步驟（4)反饋環(huán)節(jié)等效變換：化簡步驟（5)傳遞函數(shù)θc(s)/θr(s)

例2：系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)

C(s)/R(s)。例題特點具有引出點、綜合交叉點的多回路結(jié)構(gòu)。解題思路消除交叉連接，由內(nèi)向外逐步化簡。解題方法(一)之步驟1將綜合點2后移，然后與綜合點3交換。解題方法(一)之步驟2解題方法(一)之步驟386解題方法(一)之步驟4內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換解題方法(一)之步驟5內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果解題方法(一)之步驟6串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換解題方法(一)之步驟7串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果解題方法(一)之步驟8內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換解題方法(一)之步驟9內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果解題方法(一)之步驟10反饋環(huán)節(jié)等效變換解題方法(一)之步驟11等效變換化簡結(jié)果還有其他解題方法么？解題方法(二)將綜合點③前移，然后與綜合點②交換。解題方法(三)引出點A后移解題方法(四)引出點B前移結(jié)構(gòu)圖化簡步驟小結(jié)確定輸入量與輸出量。如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個，則必須分別對每個輸入量逐個進行結(jié)構(gòu)圖化簡，求得各自的傳遞函數(shù)。若結(jié)構(gòu)圖中有交叉聯(lián)系，應(yīng)運用移動規(guī)則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)。對多回路結(jié)構(gòu)，可由里向外進行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。2.4信號流圖與梅森公式基本單元2.4.1信號流圖節(jié)點用圓圈表示，代表系統(tǒng)中變量支路有向線段表示變量之間的因果關(guān)系(增益)

系統(tǒng)方框圖信號流圖系統(tǒng)微分方程信號流圖有關(guān)術(shù)語(1)輸入節(jié)點(或源節(jié)點)：只有信號輸出支路的節(jié)點,如R、N。輸出節(jié)點(或阱節(jié)點)：只有信號輸入支路的節(jié)點,如C。混合節(jié)點：既有輸出支路，又有輸入支路的節(jié)點,如E、P、Q。傳輸：兩個節(jié)點之間的增益叫傳輸。如：E、P之間的、增益為G1，則傳輸也為G1。前向通路：信號由輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳遞時，每個節(jié)點只通過一次的通路稱為前向通路。如：R→E→P→G→C。前向通路總增益：前向通路上各支路增益的積G1G2信號流圖有關(guān)術(shù)語(2)回路：起點和終點在同一節(jié)點，而且信號通過每一節(jié)點不多于一次的閉合通路。E-P-Q-E回路增益：回路中所有支路增益的乘積。-HG1G2不接觸回路：指相互間沒有公共節(jié)點的回路。信號流圖有關(guān)術(shù)語(3)節(jié)點標志系統(tǒng)的變量。每個節(jié)點標志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)之和，從同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。支路相當于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，保證因果關(guān)系。對于給定的系統(tǒng)，節(jié)點變量的設(shè)置是任意的，信號流圖不是唯一的。信號流圖的基本性質(zhì)信號流圖與結(jié)構(gòu)圖的對應(yīng)關(guān)系信號流圖

結(jié)構(gòu)圖源節(jié)點輸入信號阱節(jié)點輸出信號混合節(jié)點比較點，引出點支路環(huán)節(jié)支路增益環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)前向通路回路互不接觸回路例1速度反饋系統(tǒng)信號流圖(P38)Ur(s)KA?U(s)1-ktU(s)-Ea(s)-kbIa(s)Md(s)1/RaKd-1?(s)1/(Js+f)1?(s)例2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求信號流圖?(s)=1-所有不同回路的傳遞函數(shù)之和

+每兩個不接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和

-每三個不接觸回