專題2.7 勾股定理的逆定理（重點(diǎn)題專項(xiàng)講練）（浙教版）（解析版）

專題2.7勾股定理的逆定理【典例1】如圖，在△ABC中，AD、AE分別是高和角平分線．（1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度數(shù)；（2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12．①求證：∠BAC是直角；②求AE的長度．【思路點(diǎn)撥】（1）求出∠DAC，∠EAC，可得結(jié)論；（2）①利用勾股定理的逆定理證明即可．②過點(diǎn)E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，證明△AME，△AEN都是等腰直角三角形，推出AN＝NE＝EM＝AM，利用面積法求解．【解題過程】解：（1）∵AE平分∠ABC，∴∠EAC=12∠BAC＝∵AD⊥BC，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝58°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝58°﹣43°＝15°．（2）①證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴BD=AB2-AD2∴BC＝BD+DC＝9+16＝25，∵AB2+AC2＝152+202＝625，BC2＝625，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°；②解：過點(diǎn)E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠AEC＝45°，∴△AME，△AEN都是等腰直角三角形，∴AN＝NE＝EM＝AM，∵12?AB?AC=12?AB?EN+12∴EM=15×20∴AE=2EM=1．（2021秋?錦江區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，下列條件中：①a2：b2：c2＝1：2：3；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；④a＝9，b＝40，c＝41．不能判斷△ABC是符合條件的直角三角形的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給的數(shù)據(jù)和三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．【解題過程】解：①由題意知，a2+b2＝c2，則∠C＝90°，△ABC是符合條件的直角三角形；②由題意知，c2+b2＝a2，則∠A＝90°，△ABC是不符合條件的直角三角形；③由題意知∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，則△ABC是符合條件的直角三角形；④由題意知a2+b2＝c2，則∠C＝90°，△ABC是符合條件的直角三角形；故選：A．2．（2021秋?平昌縣期末）有下列各組數(shù)：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，3，2．其中勾股數(shù)有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【思路點(diǎn)撥】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方，從而得出答案．【解題過程】解：①32+42＝52，是勾股數(shù)；②（62）2+（82）2≠（102）2，不是勾股數(shù)；③0.5，1.2，1.3不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；④1，3，2．不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；其中勾股數(shù)有①，故選：A．3．（2021秋?電白區(qū)期末）將直角三角形的各邊都縮小或擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形（）A．可能是銳角三角形 B．不可能是直角三角形 C．仍然是直角三角形 D．可能是鈍角三角形【思路點(diǎn)撥】由于三角形是直角三角形，所以三邊滿足勾股定理，當(dāng)各邊擴(kuò)大或者縮小k倍時(shí)，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．【解題過程】解：設(shè)直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c．則滿足a2+b2＝c2．若各邊都擴(kuò)大k倍（k＞0），則三邊分別為ak、bk、ck（ak）2+（bk）2＝k2（a2+b2）＝（ck）2∴三角形仍為直角三角形．故選：C．4．（2021秋?南岸區(qū)期末）如圖，在單位為1的方格中，有標(biāo)號(hào)為①、②、③、④的四個(gè)三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的定義，勾股定理，勾股定理的逆定理即可求解．【解題過程】解：觀察圖形可知①是直角三角形；②∵12+32＝1+9＝10，22+42＝4+16＝20，10+10＝20，∴②是直角三角形；③∵22+22＝4+4＝8，32+32＝9+9＝18，52+12＝25+1＝26，8+18＝26，∴③是直角三角形；④∵12+22＝1+4＝5，22+42＝4+16＝20，52＝25，5+20＝25，∴④是直角三角形．故選：D．5．（2021秋?成華區(qū)期末）如圖是用三塊正方形紙片設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案，其中三塊正方形圍成的三角形是直角三角形．現(xiàn)有若干塊正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌磮D的方式組成圖案，則下列選取中，圍成的直角三角形面積最大的是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可知，三塊正方形的面積中，兩個(gè)較小的面積之和等于最大的面積，圍成的三角形是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積，分別計(jì)算出幾個(gè)較大的正方形紙片圍成的直角三角形的面積，比較大小，即可解答本題．【解題過程】解：∵五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，∴五種正方形紙片的邊長分別是1，2，3，4，5，由題意可得，三角形各邊的平方是對(duì)應(yīng)的各個(gè)正方形的面積，當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是1，4，5時(shí)，1+4＝5，圍成的三角形是直角三角形，面積是1×42當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時(shí)，2+3＝5，圍成的三角形是直角三角形，面積是2×當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，2，4時(shí)，2+2＝4，圍成的三角形是直角三角形，面積是2×2∵62＞∴所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5，故選：B．6．（2021秋?靖江市期末）一個(gè)三角形兩條邊長為3和4，當(dāng)?shù)谌龡l邊長為時(shí)，此三角形為直角三角形．【思路點(diǎn)撥】由題意，需分類討論，再根據(jù)勾股定理的逆定理解決此題．【解題過程】解：設(shè)第三條邊長為x，此三角形為直角三角形，那么可能出現(xiàn)以下兩種情況：①邊長為4的邊為斜邊，此時(shí)x＜4，則32+x2＝42，得x=7②邊長為4的邊為直角邊，此時(shí)邊長為x的邊為斜邊，則32+42＝x2，得x＝5．綜上，x=7或5故答案為：7或5．7．（2021春?黃石期末）如圖，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，則圖中陰影部分的面積為．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACB為直角三角形，再根據(jù)S陰影=12AC×BC-12【解題過程】解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB＝90°．∴S陰影=12AC×BC-12AD×CD=12×10×24-故答案是：96m28．（2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．【思路點(diǎn)撥】延長AP交格點(diǎn)于D，連接BD，根據(jù)勾股定理和逆定理證明∠PDB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解題過程】解：延長AP交格點(diǎn)于D，連接BD，則PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．故答案為：45．9．（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖所示的是正方形網(wǎng)格，則∠MDC﹣∠MAB＝°（點(diǎn)A，B，C，D，M．網(wǎng)格線交點(diǎn)）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形，可以分別求得ME、MD和DE的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到∠EMD的度數(shù)．然后根據(jù)ME和MD的長，即可得到∠MDE的度數(shù)，從而可以得到∠MDC﹣∠MAB的度數(shù)．【解題過程】解：連接ME、DE，由圖可知，∠MAB＝∠EDF，∴∠MDC﹣∠MAB＝∠MDC﹣∠EDF＝∠EDM，∵M(jìn)E=12+22=5∴ME2+MD2＝DE2，∴△END是直角三角形，∵M(jìn)E＝ME，∴∠MDE＝45°，即∠MDC﹣∠MAB＝45°，故答案為：45．10．（2021春?濉溪縣期末）已知△ABC的三邊長為a、b、c，且a+b＝7，ab＝1，c2＝47，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．【思路點(diǎn)撥】先利用完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝47＝c2，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ABC為直角三角形．【解題過程】解：△ABC是直角三角形．理由：∵a+b＝7，ab＝1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣2＝47，又∵c2＝47，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是以c為斜邊的直角三角形．11．（2021春?靖宇縣期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在格線的交點(diǎn)上．解答下列問題：（1）四邊形ABCD的周長是，面積是．（2）連接AC，請(qǐng)判斷△ADC和△ABC是什么特殊形狀的三角形？并說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理求出AD、DC、BC的長，求出AB，再求出四邊形ABCD的周長即可；根據(jù)三角形的面積公式求出四邊形ABCD的面積即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出△ADC是直角三角形，求出AC＝BC＝5，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得出△ABC是等腰三角形．【解題過程】解：（1）由勾股定理得：AD=12+22=5，DC=∵AB＝6，∴四邊形ABCD的周長是AD+CD+BC+AB=5+25+5+6＝四邊形ABCD的面積S＝7×4-12故答案為：11+35，17；（2）△ADC是直角三角形，△ABC是等腰三角形，理由是：連接AC，由勾股定理得：AC=32∵AD=5，CD＝25∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形（∠ADC＝90°），∵BC＝5，AC＝5，∴AC＝BC，∵AB＝6，∴△ABC是等腰三角形12．（2021秋?乾縣期末）如圖，D為△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，已知AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，求BC的長．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ADB是直角三角形，求出∠ADC＝90°，根據(jù)勾股定理求出CD，再求出BC即可．【解題過程】解：∵AD2+BD2＝82+62＝64+36＝100，AB2＝102＝100，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，由勾股定理得：CD=AC∵BD＝6，∴BC＝BD+CD＝6+15＝21．13．（2021秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）如圖，連接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB=3，CD＝2，AD＝22（1）求證：△ACD是直角三角形；（2）求四邊形ABCD的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理得出AC，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式解答即可．【解題過程】（1）證明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB=3∴AC=A∵CD＝2，AD＝22，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形；（2）解：∵AB=3，BC＝1∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD=114．（2021秋?舞鋼市期末）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AC為對(duì)角線，DE⊥AC于點(diǎn)E，已知AB＝8，BC＝6，CD＝215，AD＝210．（1）請(qǐng)判斷△ACD的形狀并說明理由．（2）求線段DE的長．【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)勾股定理求出AC＝10，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判定△ACD的形狀；（2）根據(jù)△ABC的面積不變即可求出線段DE的長．【解題過程】解：（1）△ACD是直角三角形，理由如下：在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC=AB∵CD＝25，AD＝210，∴CD2+AD2＝（215）2+（210）2＝60+40＝100＝AC2，∴△ACD是直角三角形；（2）由（1）知，△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°．∵S△ABC=12AC?DE=12∴DE=AD?DCAC=15．（2021秋?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)C是線段BD上的一點(diǎn)，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE=65（1）求證：∠ACE＝90°；（2）求△ACE的斜邊AE上的高的長．【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)勾股定理求出AC和CE的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ACE的斜邊AE上的高的長．【解題過程】（1）證明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC=A在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，∴CE=CD2∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65，∴AE2＝AC2+CE2，∴△ACE是直角三角形，AE是斜邊，∴∠ACE＝90°；（2）解：設(shè)△ACE的斜邊AE上的高的長為h，∵S△ACE=12AE?h=12∴h=AC?CE即△ACE的斜邊AE上的高的長為26516．（2021秋?東坡區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，且BE2﹣EA2＝AC2．（1）求證：∠A＝90°；（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的長度．【思路點(diǎn)撥】（1）連接CE，由線段垂直平分線的性質(zhì)可求得BE＝CE，再結(jié)合BE2﹣EA2＝AC2可求得EA2+AC2＝CE2，可證得結(jié)論；（2）由D是BC的中點(diǎn)可求得BC＝10，在Rt△AEC中，利用勾股定理結(jié)合已知條件可得到關(guān)于AE的方程，可求得AE的長．【解題過程】（1）證明：連結(jié)CE，∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，∴CE＝BE，∵BE2﹣EA2＝AC2，∴CE2﹣EA2＝AC2，∴EA2+AC2＝CE2，∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；（2）解∵D是BC的中點(diǎn)，BD＝5，∴BC＝2BD＝10，∵∠A＝90°，AC＝6，∴AB=BC在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，∵CE＝BE，∴62+AE2＝（8﹣AE）2，解得：AE=7∴AE的長為7417．（2021秋?中原區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，DE是BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，AF⊥BC于點(diǎn)F．關(guān)于△ABC的形狀，小明和小亮展開以下討論：小明：如果△ABC是直角三角形，那么我可以求出AE的長．我的思路是這樣的：如圖，連接CE，設(shè)AE＝x，則BE＝4﹣x，因?yàn)镈E是BC的垂直平分線，所以CE＝BE＝4﹣x…小亮：如果DF的長為710，此時(shí)△ABC（1）請(qǐng)補(bǔ)充完整小明的求解過程；（2）請(qǐng)判斷小亮的說法是否正確？并說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）連接CE，設(shè)AE＝x，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CE＝BE＝4﹣x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出x的值即可；（2）設(shè)BD＝y(tǒng)，則CD＝y(tǒng)，用y表示出BF和CF，利用勾股定理列出y的方程，求出y的值，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形．【解題過程】解：（1）補(bǔ)充如下：因?yàn)椤螧AC＝90°，AC＝3，AB＝4，所以AE2+AC2＝CE2，即x2+32＝（4﹣x）2，解得x=7即AE=7（2）小亮的說法正確，理由如下：設(shè)BD＝y(tǒng)，則CD＝y(tǒng)，因?yàn)镈F=7所以BF＝y(tǒng)+710，CF＝y(tǒng)因?yàn)锳F⊥BC，所以AB2﹣BF2＝AC2﹣CF2＝AF2，即42﹣（y+710）2＝32﹣（y-7解得y=5所以BC＝5．因?yàn)锳B2+AC2＝42+32＝52＝BC2，所以△ABC為直角三角形．18．（2021春?鄒城市期末）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距離可用下列公式計(jì)算：MN=(例如：已知P（5，1）、Q（3，﹣2），則這兩點(diǎn)間的距離(5-3)2+(1+2)2=13．特別地，如果兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）所在的直線與坐標(biāo)軸重合或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸，那么這兩點(diǎn)間的距離公式可簡化為MN＝|x1﹣x2|或MN＝|y（1）已知A（1，3）、B（﹣2，4），求A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）已知A、B在平行于y軸的同一條直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為8，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣2，求A、B兩點(diǎn)間的距離；（3）已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，2）、B（2，1）、C（5，4），你能判定△ABC的形狀嗎？請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）直接利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算；（2）由于橫坐標(biāo)相同，所以A、B兩點(diǎn)間的距離等于縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值；（3）先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AB、BC、AC，然后根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷．【解題過程】解：（1）∵A（1，3）、B（﹣2，4），∴AB=(1+2（2）∵A、B在平行于y軸的同一條直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為8，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣2，∴AB＝|8﹣（﹣2）|＝10；（3）△ABC是直角三角形．理由：∵A（1，2）、B（2，1）、C（5，4），∴AB=(1-2BC=(2-5)2AC=(1-5)2∴AB2+BC2＝2+18＝20＝AC2，∴△ABC是直角三角形．19．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國西漢時(shí)期的《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)三角形三邊長都是正整數(shù)，這三個(gè)正整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”，如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股數(shù)．把勾股數(shù)同時(shí)乘以相同的正整數(shù)倍得到的也是勾股數(shù)，我們把這種勾股數(shù)稱為“派生勾股數(shù)”．因?yàn)?＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股數(shù)”，如果一組勾股數(shù)斜邊比一條直角邊大3，我們把這種勾股數(shù)稱為“新新勾股數(shù)”．（1）請(qǐng)判斷9，12，16和10，24，26是否為“派生勾股數(shù)”；（2）請(qǐng)求出斜邊小于200的所有“新新勾股數(shù)”．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)“派生勾股數(shù)”的定義可得答案；（2）找到斜邊小于70且與一條直角邊相差1的勾股數(shù)，再根據(jù)“新新勾股數(shù)”的定義即可求解．【解題過程】解：（1）∵9＝3×3，12＝4×3，16÷3≠5，∴9，12，16不是“派生勾股數(shù)”；∵10＝5×2，24＝12×2，26＝13×2，∴10，24，26是“派生勾股數(shù)”；（2）勾股數(shù)3，4，5，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得9，12，15，15﹣12＝3，9，12，15是“新新勾股數(shù)”；勾股數(shù)5，12，13，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得15，36，39，39﹣36＝3，15，36，39是“新新勾股數(shù)”；勾股數(shù)7，24，25，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得21，72，75，75﹣72＝3，21，72，75是“新新勾股數(shù)”；勾股數(shù)9，40，41，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得27，120，123，123﹣120