高中數(shù)學(xué)直線方程考點(diǎn)解析和例題輔導(dǎo)

直線和圓的方程一直線方程

高考要求：

理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)

出直線方程的方法；掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和直線方程的一般式，并能根據(jù)條件熟

練地求出直線方程.

知識(shí)點(diǎn)歸納；

1?數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式:\AB\=\XB-XA\,

2,直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：儼0|=5（項(xiàng)72）2+（必一%）2

3,直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與X軸相交的直線，如果把X軸繞著交點(diǎn)

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為。，那么a就叫做直線的傾斜角.

當(dāng)直線和X軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定直線的傾斜角為0°.

可見，直線傾斜角的取值范圍是0°WaV180°.

4直線的斜率：傾斜角。不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用A

表示，即k=tanQ（。#90°）.

傾斜角是90°的直線沒有斜率；傾斜角不是90°的直線都有斜率，其取值范圍是

（—8,4-00）,

5,直線的方向向量：設(shè)F\（X1，力）、F2（%2?〉2）是直線上不同的兩點(diǎn)，則向量產(chǎn)]尸2=（、2

一的，兒一了1）稱為直線的方向向量，

向量」一而=a,左二工）=（1,n也是該直線的方向向量，&是直線的斜率

x2-X|x2-X|

,特別地，垂直于x軸的直線的一個(gè)方向向量為。=（0,1）

6?求直線斜率的方法

①定義法：已知直線的傾斜角為。，且aW90°,則斜率％=tan/

②公式法：已知直線過兩點(diǎn)外（為，yi）、P，（x?丫2），且則斜率k打一）'二

々-X]

③方向向量法：若。=Cm,n）為直線的方向向量，則直線的斜率上儀.

m

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率.

對(duì)于直線上任意兩點(diǎn)Pl（X|?yi）、PI（X2，了2），當(dāng)X1=X2時(shí)，直線斜率k不存在，傾斜

角a=90°；當(dāng)時(shí)，直線斜率存在，是一實(shí)數(shù)，并且時(shí)，a=arctaM；/<0時(shí)，

a=Ti+arctanfc

7,直線方程的五種形式

點(diǎn)斜式：y-yQ=k(x-x0),斜截式：y=kx+b

兩點(diǎn)式：之二21=±NL,截距式：二+)=1

y2-y1x2-%1ab

一般式：Ax+By+C=0

題型講解：

例1已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(3,一4)、B(0,3)、C(-6,0),求它的三條邊所

在的直線方程.

分析：一條直線的方程可寫成點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式等多種形式.使

用時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目所給的條件恰當(dāng)選擇某種形式，使得解法簡便,由頂點(diǎn)8與C的坐標(biāo)可知

點(diǎn)8在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，于是BC邊所在的直線方程用截距式表示，AB所在的直線

方程用斜截式的形式表示，4c所在的直線方程利用兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式表示均可，最后為統(tǒng)一

形式，均化為直線方程的一般式.

解：①因△A8C的頂點(diǎn)8與C的坐標(biāo)分別為(0,3)和(-6,0),

故B點(diǎn)在y軸上，C點(diǎn)在x軸上，

即直線BC在x軸上的截距為-6,在y軸上的截距為3,

利用截距式，直線8c的方程為二匚+上=1,

-63

化為一般式為x—2y+6=d

②由于3點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3),故直線A8在y軸上的截距為3,利用斜截式，得直線

AB的方程為y=kx+3.

7

又由頂點(diǎn)A(3,—4)在其上，所以-4=3女+3,故仁一一.

3

7

于是直線AB的方程為)，=一丁+3,化為一般式為7#3廠9=在

③由A(3,一4)、C(-6,0),

得直線AC的斜率心產(chǎn)-二4-30=一34

3-(-6)9

利用點(diǎn)斜式得直線AC的方程為

4

y—0=——(x+6),

9

化為一般式為4x+9y+24=0,

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求直線方程的基本方法.

例2已知兩直線a\x+b\y+l=0和色用也y+l=0的交點(diǎn)為P(2,3),求過兩點(diǎn)Q\(〃i,

b\)、02(。2,岳)的直線方程，

分析：利用點(diǎn)斜式或直線與方程的概念進(jìn)行解答.

解：丁尸(2,3)在已知直線上，

/.2〃]+36+1=0,2。2+3〃2+1=0，

.*.2(〃]—〃2)+3(伍一岳)=0,即芻——=——.

a}-a23

2

???所求直線方程為y一仇=——（X—?i）.

3

/.2x+3y—（2。|+3仇）=0,B|J2x+3y+l=0.

點(diǎn)評(píng)：此解法運(yùn)用了整體代入的思想，方法巧妙.

例3-—條直線經(jīng)過點(diǎn)尸（3,2）,并且分別滿足下列條件，求直線方程：

（1）傾斜角是直線了一4）升3=0的傾斜角的2倍；

（2）與小），軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn),且△A03的面積最?。?。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

分析：（2）將面積看作截距心。的函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可.

解：（1）設(shè)所求直線傾斜角為%已知直線的傾斜角為%則伊=2",且tana=」,

4

cc8

tan0=tan2Q=—,

15

從而方程為8冗-15y+6=0.

（2）設(shè)直線方程為2+2=1,。＞0,b＞0,

ab

代入戶（3,2）,得=得成224,

abVcib

從而S〉A(chǔ)OB=I2，

2.,b2

此時(shí)一=一,??k=——=——?

aha3

方程為2x+3y—12=0.

點(diǎn)評(píng)：此題（2）也可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于?；颉ǖ囊辉瘮?shù)后再求其最小值.

例4過點(diǎn)（2,1）作直線/分別交x,y軸正并軸于A,B兩點(diǎn).

⑴當(dāng)AAOB面積最小時(shí)，求直線/的方程；

⑵當(dāng)|PA|x|PB|取最小值時(shí),求直線/的方程.

解：⑴設(shè)所求的直線/方程為2+2=1（。＞0力＞0）,

ab

.A21,

由已知一+—=1，

ab

（2+!丫

=

于是一x7A"c'AOB=＞4,

ah242

211

當(dāng)且僅當(dāng)一=—=—,即a=4,b=2時(shí)取等號(hào)，

ab2

此時(shí)直線/的方程為二+』=1,即x+2y-4=0.

42

⑵解法一:設(shè)直線2：y—l=k(x—2),分別令y=O,x=O,得A(2——,0),B(0,l—2k).

k

則|PA|x|PB|=J(4+4/)(1+《)=，8+4僅2+J)24,當(dāng)且僅當(dāng)!?=1,即k=±l時(shí),取最小

值，

又k<0,；.k=—1,此時(shí)直線/的方程為x+y—3=0.

解法二：如圖，設(shè)NPAO=6,則|PA|="sin0,|PB|=2cose(0<e<n/2),

|PA|x|PB|=y(sin0cos6)=4/sin2e>4,

.?.當(dāng)且僅當(dāng)sin20=—1即6=3nA時(shí)，3|*.|取最小值4,此時(shí)直線/的斜率為一1,方程為

x+y-3=0.

點(diǎn)評(píng)：本題分別選用了截距式和點(diǎn)斜式，應(yīng)根據(jù)條件靈活選用直線方程的形式.

例5直線/被兩條直線4:4x+y+3=0和/2：3x-5-5=0截得的線段中點(diǎn)為P(—1,2),求直線/

的方程.

解：設(shè)點(diǎn)(a,b)在4上，依題意，(一2一a,4—b)在直線4上，

4a+b—3—0,、,a=—2

5，解之得：《?

3(-2-a)-5(4-/?)-5=0[b=5

山兩點(diǎn)式得直線AB的方程為:3x+y+l=Q

例6已知兩點(diǎn)A(-1,2)、B(m,3).

(1)求直線AB的斜率k與傾斜角a；

(2)求直線48的方程；

(3)已知實(shí)數(shù)加61，6-1]，求直線A3的傾斜角。的取值范圍.

3

解：(1)當(dāng)加=—1時(shí)，直線A3的斜率不存在，傾斜角。=巴.

2

1

當(dāng)陽W—1時(shí)，k=

m+1

當(dāng)m>—1時(shí)，o=arctan---,

m+1

當(dāng)加V—1時(shí)，a=TI+arctan---.

m+1

(2)當(dāng)加=—1時(shí)，AB：x=-1,

當(dāng)機(jī)21時(shí)，AB：y—2=--—(x+l).

m+\

or

(3)①當(dāng)加=—1時(shí)，a=—?

2

②當(dāng)加W—1時(shí)，

,:k=―--￡(-8,—]U[+0°)?

m+13f

?,—「兀兀、11/兀-i

6223

故綜合①、②得，直線"的傾斜角OGA

小結(jié)：

1.直線的傾斜角、斜率及直線在坐標(biāo)軸上的截距是刻畫直線位置狀態(tài)的基本量，應(yīng)正確

理解；直線方程有五種形式，其中點(diǎn)斜式要熟練掌握，這五種形式的方程表示的直線各有適

用范圍，解題時(shí)應(yīng)注意不要丟解；含參數(shù)的直線方程問題用數(shù)形結(jié)合法常常簡捷些.

2.注意斜率和傾斜角的區(qū)別.

3,直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式等都是直線方程的特殊形式，其中點(diǎn)斜

式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推導(dǎo),直線方程的特殊形式都具有明顯的幾何意義,

但又都有一些特定的限制條件，因此應(yīng)用時(shí)要注意它們各自適用的范圍，以避免漏解，

4如何建立平面坐標(biāo)系內(nèi)滿足一定條件的直線的方程通用的解決方法是待定系數(shù)法；根

據(jù)所知條件選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式是解題的關(guān)鍵；克服各類方程局限性的手段是分類討

論；開闊思路分析問題的措施是數(shù)形結(jié)合.

練習(xí):

Jr

1,直線xtan—+y=0的傾斜角是

7C兀、6幾f—?r-_、

解析：^=-tan—=tan（兀——）=tan—且—￡00,兀）?

7777

答案：D

2.過兩點(diǎn)（-1,1）和（3,9）的直線在冗軸上的截距是

32-2

A?——B,——C—D2

235

解析：求出過（一1,1）、（3,9）兩點(diǎn)的直線方程，令尸0即得

答案：A

3,直線xcosa+6丫+2=0的傾斜角范圍是

（~7C兀、,7T57c-|r-_7U-i「5/U、

Ai[—，—）U（一,—]B?[0,1]U[—，n）

622666

_5JC-I-「兀57t-i

C.[0,一]D,一]

666

解析：設(shè)直線的傾斜角為明

則tan0=—cos。，又一IWcos。W1,

百

—^tan0^[0,-]U[―,it）.

3366

答案：B

4直線y=l與直線產(chǎn)后x+3的夾角為.

解法一：A：y=l與6：產(chǎn)百戶3的斜率分別為舟=0,&2=百?由兩直線的夾角公式得tan

a=\生也I=73,所以兩直線的夾角為60°.

1+kxk2

解法二：/|與，2表示的圖象為y=l與X軸平行，產(chǎn)后X+3與x軸傾斜角為60°,所以產(chǎn)1

與丫=75\+3的夾角為60°.

答案：60°

5,下列四個(gè)命題：①經(jīng)過定點(diǎn)尸。（刖，%）的直線都可以用方程y—y0=k（x-x0）表示；②經(jīng)

過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P\(XP力)、巳。2，力)的直線都可以用方程(初一兩)(X一兩)=(力

一V)(y-力)表示；③不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程±