高中數(shù)學直線方程考點解析和例題輔導

直線和圓的方程一直線方程

高考要求：

理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握由一點和斜率導

出直線方程的方法；掌握直線方程的點斜式、兩點式和直線方程的一般式，并能根據(jù)條件熟

練地求出直線方程.

知識點歸納；

1?數(shù)軸上兩點間距離公式:\AB\=\XB-XA\,

2,直角坐標平面內的兩點間距離公式：儼0|=5（項72）2+（必一%）2

3,直線的傾斜角：在平面直角坐標系中，對于一條與X軸相交的直線，如果把X軸繞著交點

按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為。，那么a就叫做直線的傾斜角.

當直線和X軸平行或重合時，我們規(guī)定直線的傾斜角為0°.

可見，直線傾斜角的取值范圍是0°WaV180°.

4直線的斜率：傾斜角。不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用A

表示，即k=tanQ（。#90°）.

傾斜角是90°的直線沒有斜率；傾斜角不是90°的直線都有斜率，其取值范圍是

（—8,4-00）,

5,直線的方向向量：設F\（X1，力）、F2（%2?〉2）是直線上不同的兩點，則向量產(chǎn)]尸2=（、2

一的，兒一了1）稱為直線的方向向量，

向量」一而=a,左二工）=（1,n也是該直線的方向向量，&是直線的斜率

x2-X|x2-X|

,特別地，垂直于x軸的直線的一個方向向量為。=（0,1）

6?求直線斜率的方法

①定義法：已知直線的傾斜角為。，且aW90°,則斜率％=tan/

②公式法：已知直線過兩點外（為，yi）、P，（x?丫2），且則斜率k打一）'二

々-X]

③方向向量法：若。=Cm,n）為直線的方向向量，則直線的斜率上儀.

m

平面直角坐標系內，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率.

對于直線上任意兩點Pl（X|?yi）、PI（X2，了2），當X1=X2時，直線斜率k不存在，傾斜

角a=90°；當時，直線斜率存在，是一實數(shù)，并且時，a=arctaM；/<0時，

a=Ti+arctanfc

7,直線方程的五種形式

點斜式：y-yQ=k(x-x0),斜截式：y=kx+b

兩點式：之二21=±NL,截距式：二+)=1

y2-y1x2-%1ab

一般式：Ax+By+C=0

題型講解：

例1已知△ABC的三個頂點是A(3,一4)、B(0,3)、C(-6,0),求它的三條邊所

在的直線方程.

分析：一條直線的方程可寫成點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式等多種形式.使

用時，應根據(jù)題目所給的條件恰當選擇某種形式，使得解法簡便,由頂點8與C的坐標可知

點8在y軸上，點C在x軸上，于是BC邊所在的直線方程用截距式表示，AB所在的直線

方程用斜截式的形式表示，4c所在的直線方程利用兩點式或點斜式表示均可，最后為統(tǒng)一

形式，均化為直線方程的一般式.

解：①因△A8C的頂點8與C的坐標分別為(0,3)和(-6,0),

故B點在y軸上，C點在x軸上，

即直線BC在x軸上的截距為-6,在y軸上的截距為3,

利用截距式，直線8c的方程為二匚+上=1,

-63

化為一般式為x—2y+6=d

②由于3點的坐標為(0,3),故直線A8在y軸上的截距為3,利用斜截式，得直線

AB的方程為y=kx+3.

7

又由頂點A(3,—4)在其上，所以-4=3女+3,故仁一一.

3

7

于是直線AB的方程為)，=一丁+3,化為一般式為7#3廠9=在

③由A(3,一4)、C(-6,0),

得直線AC的斜率心產(chǎn)-二4-30=一34

3-(-6)9

利用點斜式得直線AC的方程為

4

y—0=——(x+6),

9

化為一般式為4x+9y+24=0,

點評：本題考查了求直線方程的基本方法.

例2已知兩直線a\x+b\y+l=0和色用也y+l=0的交點為P(2,3),求過兩點Q\(〃i,

b\)、02(。2,岳)的直線方程，

分析：利用點斜式或直線與方程的概念進行解答.

解：丁尸(2,3)在已知直線上，

/.2〃]+36+1=0,2。2+3〃2+1=0，

.*.2(〃]—〃2)+3(伍一岳)=0,即芻——=——.

a}-a23

2

???所求直線方程為y一仇=——（X—?i）.

3

/.2x+3y—（2。|+3仇）=0,B|J2x+3y+l=0.

點評：此解法運用了整體代入的思想，方法巧妙.

例3-—條直線經(jīng)過點尸（3,2）,并且分別滿足下列條件，求直線方程：

（1）傾斜角是直線了一4）升3=0的傾斜角的2倍；

（2）與小），軸的正半軸交于A、B兩點,且△A03的面積最?。?。為坐標原點）.

分析：（2）將面積看作截距心。的函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可.

解：（1）設所求直線傾斜角為%已知直線的傾斜角為%則伊=2",且tana=」,

4

cc8

tan0=tan2Q=—,

15

從而方程為8冗-15y+6=0.

（2）設直線方程為2+2=1,。＞0,b＞0,

ab

代入戶（3,2）,得=得成224,

abVcib

從而S〉AOB=I2，

2.,b2

此時一=一,??k=——=——?

aha3

方程為2x+3y—12=0.

點評：此題（2）也可以轉化成關于?；颉ǖ囊辉瘮?shù)后再求其最小值.

例4過點（2,1）作直線/分別交x,y軸正并軸于A,B兩點.

⑴當AAOB面積最小時，求直線/的方程；

⑵當|PA|x|PB|取最小值時,求直線/的方程.

解：⑴設所求的直線/方程為2+2=1（。＞0力＞0）,

ab

.A21,

由已知一+—=1，

ab

（2+!丫

=

于是一x7A"c'AOB=＞4,

ah242

211

當且僅當一=—=—,即a=4,b=2時取等號，

ab2

此時直線/的方程為二+』=1,即x+2y-4=0.

42

⑵解法一:設直線2：y—l=k(x—2),分別令y=O,x=O,得A(2——,0),B(0,l—2k).

k

則|PA|x|PB|=J(4+4/)(1+《)=，8+4僅2+J)24,當且僅當!?=1,即k=±l時,取最小

值，

又k<0,；.k=—1,此時直線/的方程為x+y—3=0.

解法二：如圖，設NPAO=6,則|PA|="sin0,|PB|=2cose(0<e<n/2),

|PA|x|PB|=y(sin0cos6)=4/sin2e>4,

.?.當且僅當sin20=—1即6=3nA時，3|*.|取最小值4,此時直線/的斜率為一1,方程為

x+y-3=0.

點評：本題分別選用了截距式和點斜式，應根據(jù)條件靈活選用直線方程的形式.

例5直線/被兩條直線4:4x+y+3=0和/2：3x-5-5=0截得的線段中點為P(—1,2),求直線/

的方程.

解：設點(a,b)在4上，依題意，(一2一a,4—b)在直線4上，

4a+b—3—0,、,a=—2

5，解之得：《?

3(-2-a)-5(4-/?)-5=0[b=5

山兩點式得直線AB的方程為:3x+y+l=Q

例6已知兩點A(-1,2)、B(m,3).

(1)求直線AB的斜率k與傾斜角a；

(2)求直線48的方程；

(3)已知實數(shù)加61，6-1]，求直線A3的傾斜角。的取值范圍.

3

解：(1)當加=—1時，直線A3的斜率不存在，傾斜角。=巴.

2

1

當陽W—1時，k=

m+1

當m>—1時，o=arctan---,

m+1

當加V—1時，a=TI+arctan---.

m+1

(2)當加=—1時，AB：x=-1,

當機21時，AB：y—2=--—(x+l).

m+\

or

(3)①當加=—1時，a=—?

2

②當加W—1時，

,:k=―--￡(-8,—]U[+0°)?

m+13f

?,—「兀兀、11/兀-i

6223

故綜合①、②得，直線"的傾斜角OGA

小結：

1.直線的傾斜角、斜率及直線在坐標軸上的截距是刻畫直線位置狀態(tài)的基本量，應正確

理解；直線方程有五種形式，其中點斜式要熟練掌握，這五種形式的方程表示的直線各有適

用范圍，解題時應注意不要丟解；含參數(shù)的直線方程問題用數(shù)形結合法常常簡捷些.

2.注意斜率和傾斜角的區(qū)別.

3,直線方程的點斜式、兩點式、斜截式、截距式等都是直線方程的特殊形式，其中點斜

式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推導,直線方程的特殊形式都具有明顯的幾何意義,

但又都有一些特定的限制條件，因此應用時要注意它們各自適用的范圍，以避免漏解，

4如何建立平面坐標系內滿足一定條件的直線的方程通用的解決方法是待定系數(shù)法；根

據(jù)所知條件選擇恰當?shù)闹本€方程的形式是解題的關鍵；克服各類方程局限性的手段是分類討

論；開闊思路分析問題的措施是數(shù)形結合.

練習:

Jr

1,直線xtan—+y=0的傾斜角是

7C兀、6幾f—?r-_、

解析：^=-tan—=tan（?！?tan—且—￡00,兀）?

7777

答案：D

2.過兩點（-1,1）和（3,9）的直線在冗軸上的截距是

32-2

A?——B,——C—D2

235

解析：求出過（一1,1）、（3,9）兩點的直線方程，令尸0即得

答案：A

3,直線xcosa+6丫+2=0的傾斜角范圍是

（~7C兀、,7T57c-|r-_7U-i「5/U、

Ai[—，—）U（一,—]B?[0,1]U[—，n）

622666

_5JC-I-「兀57t-i

C.[0,一]D,一]

666

解析：設直線的傾斜角為明

則tan0=—cos。，又一IWcos。W1,

百

—^tan0^[0,-]U[―,it）.

3366

答案：B

4直線y=l與直線產(chǎn)后x+3的夾角為.

解法一：A：y=l與6：產(chǎn)百戶3的斜率分別為舟=0,&2=百?由兩直線的夾角公式得tan

a=\生也I=73,所以兩直線的夾角為60°.

1+kxk2

解法二：/|與，2表示的圖象為y=l與X軸平行，產(chǎn)后X+3與x軸傾斜角為60°,所以產(chǎn)1

與丫=75\+3的夾角為60°.

答案：60°

5,下列四個命題：①經(jīng)過定點尸。（刖，%）的直線都可以用方程y—y0=k（x-x0）表示；②經(jīng)

過任意兩個不同的點P\(XP力)、巳。2，力)的直線都可以用方程(初一兩)(X一兩)=(力

一V)(y-力)表示；③不經(jīng)過原點的直線都可以用方程±