高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)練習(xí)題及答案

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)練習(xí)題及答案

一、填空題

1.在銳角三角形ABC中，角A、8、C的對邊分別為且滿足6-/=的，則

]高的取值范圍為—

tanA

2.已知正方體,點E是AB中點，點F為CG的中點，點尸為棱DR上一

點，且滿足AP〃平面?！晔?，則直線”與EF所成角的余弦值為.

3.己知在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且。=6,點。為其外接圓

的圓心.已知BOAC=15.則當(dāng)角C取到最大值時A4?C的面積為

4.在,ABC中，記角A8,C所對的邊分別是a,。,c,面積為S,則丁冬一的最大值為

b-+4ac

5.已知函數(shù)f(x)=2sin-1,其中0>0,若/(x)在區(qū)間(￡,尋)上恰有2個零

I6J43

點，則。的取值范圍是.

6.1643年法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，

使其到這個三角形的三個頂點的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于

120。時，所求的點為三角形的正等角中心(即該點與三角形的三個頂點的連線段兩兩成角

120°),該點稱為費馬點.己知AABC中，其中NA=60。，BC=l,P為費馬點，則

PB+PC-F4的取值范圍是.

7.在AA8c中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且a=若mt>+nc

(〃?>0,〃>0)有最大值，則上的取值范圍是.

tn

7T

8.在三棱錐P-A5C中，AB=BC=4,PC=8,異面直線力,BC所成角為

ABVPA,ABLBC,則該三棱錐外接球的表面積為.

9.設(shè)△A"BnCn的三邊長分別為a”，bn>Cn,0=1,2,3...,若仇>。1，4+C[=24],

%=。“%=警，加小爐，則5的最大值是.

10.已知向量公與萬的夾角為6,sin6=3N,\a-b\=4,向量的夾角為：，

72

|c-a|=2x/5,則晨2的最大值是.

二、單選題

5

11.在中，角A8,C所對應(yīng)的邊分別為a,。,c,設(shè)AABC的面積為S,則一^----的

a+4bc

最大值為()

jr—ta+/7a+c

12.已知向量z,另夾角為9，向量工滿足W-q=i且乎「=可，則下列說法正確的是

（）

A.|&|+|c|<2B.同+@卜2C.|*|<1D.|?|>1

13.如圖，設(shè)丐，K是雙曲線1-丁=1（。>0）的左、右焦點，過點工作漸近線的平行線

交另外一條漸近線于點A,若△AR"的面積為:，離心率滿足l<e<0，則雙曲線的方程

為（）

22

A.---y2=lB.---y2=l

54

22

C.——y2—1D.——y1=1

32'

22

14.已知雙曲線二-與=1（4/>0）的兩條漸近線分別與拋物線丁=4》交于第一、四象限的

a'b-

7

A,B兩點，設(shè)拋物線焦點為F,若cosNAF8=-§,則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.3或6C.>/5D.2夜

15.在棱長為2的正方體48CO-ABC。中，N為BC的中點.當(dāng)點M在平面DCG。內(nèi)運

動時，有MN〃平面A8。，則線段MN的最小值為（）

A.1B.—C.y[2D.y/3

2

16.在AABC中，ABAC=60,BC=3,且有比=2麗，則線段AZ）長的最大值為

（）

A.叵B.2C.73+1D.26

2

17.高斯是世界四大數(shù)學(xué)家之一，一生成就極為豐碩，以他的名字"高斯"命名的成果達(dá)

110個，屬數(shù)學(xué)家中之最.對于高斯函數(shù)y=[x],[x]表示不超過實數(shù)X的最大整數(shù)，如

=[-1.2]=-2,{x}表示x的非負(fù)純小數(shù)，即{x}=x-[x].若函數(shù)y={x}-l+log.X

（。>0且awl）有且僅有3個零點，則實數(shù)〃的取值范圍為（）

A.（3,4]B.（3,4）C.[3,4）D.[3,4]

18.7(x)=sin(3x+0)(0>O)的部分圖象如圖所示，設(shè)P是圖象的最高點，A,8是圖象與

大軸的交點，若tanZA尸8=-2,則。的值為()

71

C.一D.兀

432

v匕-H-cosAcosCsinBsinC門廠.i山口r,士

19.在銳角中，右----+---—--—一-一，V3sinC+cosC=2,貝nIJQ+人的取值

ac3sinA

范圍是()

A.(6,2百］B.(0,4石]C.卜后4間D.(6,45/3]

20.函數(shù)/(%)="+or-xcos(x-1),當(dāng)x>0時，/(%)>。恒成立,則。的取值范圍為

()

A.(0,4-o))B.(l-e,+oo)C.(fe)D.(e,+oo)

三、解答題

21.

在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識來研究，在一定程度

上可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公

：cos(a-/3)=cosacos/?+sinasin0

具體過程如下：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓。，以3為始邊作角a，它們的終邊與單位圓

。的交點分別為48.

則OA=(cosa,sina),OB=(cosp,sin0)

由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有：

—>—>

OA-OB=cosacos/?+sinasinp

設(shè)以，法的夾角為。，則

OAOB=\OA[\OB|cos3=cos0=cosacos尸+sinasin尸

另一方面，由圖3.1—3(1)可知，a=2%r+/+6?；由圖可知,

S(?x??P.wnP)

4(cv?a.?xia)

a=2k冗+,于是^a-0=2k兀±9,keZ.

所以cos(a-/7)=cos。,也有cos(cz-y?)=cosacos/?+sinasinp,

所以，對于任意角a,夕有：cos(cr-/?)=cosacosp+sinasin/3(C(a_p))

此公式給出了任意角a,￡的正弦、余弦值與其差角a-尸的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角

的余弦公式，簡記作C(a”).

有了公式Ga))以后，我們只要知道85%85萬,11%$山￡的值，就可以求得cos(a-m的

值了.

閱讀以上材料，利用下圖單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)(圖中M是AB的中點)，采取類似方法(用

其他方法解答正確同等給分)解決下列問題：

T1T

OC=i——:OM

(1)判斷看」是否正確？(不需要證明)

71

(3)利用以上結(jié)論求函數(shù)f(x)=sin2x+sin(2x+§)的單調(diào)區(qū)間.

22.函|數(shù)丫=5皿(3+6)與丁=8$(5+9)(其中加＞0,I同＜])在的圖象恰

有三個不同的交點P,M,N,APMN為直角三角形，求。的取值范圍.

23.若函數(shù)y=f(x)的圖像上存在兩個不同的點關(guān)于y軸對稱，則稱函數(shù)y=f(x)圖像上

存在一對"偶點

(1)寫出函數(shù)f(x)=sinx圖像上一對"偶點”的坐標(biāo)；(不需寫出過程)

(2)證明：函數(shù)g(x)=ln(x+2)-x+2圖像上有且只有一對"偶點";

(3)若函數(shù)〃(x)=e*-,nr-R)圖像上有且只有一對"偶點”，求加的取值范圍.

24.已知向量4=(1,0),方=(sinx-2,-1),c=(2+sinx,l),d=(T,k)(x,kwR).

(1)若且0+5)〃《,求x的值；

(2)對于玩=(4,％),歷=(々,%)，定義S(而㈤=；卜|必-左2%|?解不等式S(b,C＞g;

(3)若存在xeR,使得(萬+5)J_G+2),求k的取值范圍.

25.己知向量@=(2cosx,l),5=(6sinx+cosx,-l),函數(shù)/(x)=/Z.

(1)若〃X。)],XoG,求COs2x()的值；

上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù)。的取值范圍.

26.如圖所示，在平面四邊形ABC。中，A3=1,BC=2,AACD為正三角形.

(1)在AABC中，角AB,C的對邊分別為a,b,c,若sin(2A+C)=3sinC,求角B的大小;

(2)求ABC。面積的最大值.

27.已知向量萬滿足.=-2sinx,"sin(_￥+；■)[,5=(cosx,acos[x+?)),函數(shù)

/(x)=a-5(xeR).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

28.已知向量2=(J^&cos2(ox+e)),5=(-^,--()，其中@>0,0<夕<］.函數(shù)

.f(x)=￡4的圖象過點8(1,2),點8與其相鄰的最高點的距離為4.

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)計算/⑴+〃2)+...+/(2017)的值;

(HI)設(shè)函數(shù)g(x)=〃x)-加-1,試討論函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,3］上的零點個數(shù).

29.在AA8C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是ahc,已知tanC=B^J.

1-cosB

(1)求證：A4BC為等腰三角形;

(II)若AAJ3C是鈍角三角形，且面積為《，求貴的值.

7T

30.函數(shù)f(x)=Asin(s-7)+1(A>0,/>0)的最大值為3,其圖象相鄰兩條對稱軸之

間的距離為

(1)求函數(shù)Ax)的解析式;

(2)設(shè)。€(0,今，則〃1)=2,求a的值

【參考答案】

一、填空題

11"

30

3.36

5.—<tyv4或一〈公4——.

222

8.80兀

9.-##60°

3

10.25

二、單選題

11.A

12.A

13.B

14.B

15.B

16.C

17.C

18.C

19.D

20.B

三、解答題

7171

21.⑴正確;(2)見解析;⑶單調(diào)遞增區(qū)間為-彳+左肛二+4左UeZ),

36

/a)的單調(diào)遞減區(qū)間為9+而，4+而(ZeZ)

【解析】

【分析】

1—->

⑴因為對丁〃是；方向上的單位向量，又0C=1且0看與女共線，即可判斷出正確;

f1f

ftB—aB—aOC=-------OM

⑵在AQ4M中，|。河|=|。4|<。$氣一=85氣一,又捻，表示出左，原的坐

標(biāo)，由縱坐標(biāo)對應(yīng)相等化簡即可證得結(jié)論；

即sina+sin夕=2sin日芋cosq/

⑶由⑵結(jié)論化簡可得

/、2%+12x4-—?2x—\2x+—\/、

/(x)=sin2x+sin[2x+?)=2sin——~^cos——=>/5sin(2x+1)借助正弦

型函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

【詳解】

f1TT

⑴因為對于非零向量”，丁〃是；方向上的單位向量，又0C=1且揄與oZ共線，所以

|?|,

T1T

0C=1——rOM

\OM\正確;

⑵因為M為AB的中點，則OM±,從而在\OAM中，I。加=1OA|-cos=cos與冬,

f1f/

「0C=------OM->(a+B.a+B\二，(cosa+cos/?sincr+sinB…

又OM1又℃=[cos—,sm望>OM=(——--士——彳上｝所以

sin*sina+sinf3

22

a-\-Ba-B

即sina+sinp=2sincos

2--------2

,/、2x+[2x+—j2x—\2x+—j/、人

⑶因為I3JI3J令

f(x)=sin2x+sin2x+—=2sin-----------------cos-----------------=V3sin2x+—\

I3j22I6

TTTTTTTTIT

----+2Z%K2x+—W—+2%4,解得：+k乃KxW一+攵乃

2--------------6236

冗71

所以/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為%巴:+攵乃aeZ)

令■^■+2/萬42x+^4+2kw，解得：^-+k7r<x<與+k/

所以〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為J+k兀:+k兀(keZ)

63_

【點睛】

本題考查向量在證明三角恒等式中的應(yīng)用，考查類比推理，考查正弦型函數(shù)的單調(diào)性，難度較

難.

【解析】

結(jié)合正余弦函數(shù)的交點的坐標(biāo)可確定所給函數(shù)交點跟坐標(biāo)相差半個周期，縱坐標(biāo)相差近

且為等腰三角形，由此可確定周期，進(jìn)而得到。的知；采用整體對應(yīng)的方式可知若為三個

交點只需|"E，2乃］u［夕，學(xué)+4，由此可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

442

【詳解】

令，=5+。，結(jié)合y=sin/與y=cosf圖象可知：尸sinf與y=cosf,其交點坐標(biāo)分別為

(乃0)(571(9/及］(13萬E

\^'~y''''

即彼此橫坐標(biāo)相差半個周期，縱坐標(biāo)相差及，且APMN為等腰三角形.

?.?APMV為直角三角形，則其斜邊上高為正，

???斜邊長為2&=7=女，解得，(o=&；

co2

?.?%&=工2近=』7<37,?.?兩圖象不可能四個交點；

244

\5>/2］一「5i1-_AQ—I二「乃9I|5萬

由0,~T—,有9,丁+。，兩圖象有二個交點只需二，二乃U(p,--v(p

22442

124

【點睛】

本題考查根據(jù)三角函數(shù)的交點與性質(zhì)求解解析式中的參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠利用正

余弦函數(shù)的性質(zhì)類比得到正弦型和余弦型函數(shù)的交點所滿足的關(guān)系，從而根據(jù)兩函數(shù)交點

個數(shù)確定不等關(guān)系.

23.(1)(萬,0乂一4,0)(2)見解析(3)(l，g)

【解析】

(1)根據(jù)題意即正弦函數(shù)的性質(zhì)即可直接求解；

(2)要證：函數(shù)數(shù)〃(x)=e，-〃a-2圖象上有且只有一對"偶點"，只需證：

丫=加5=8。)-以為=在(0,2)上有且只有一個零點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)即可證明；

(3)由題意，問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/?(x)-/?(-x)只有一個零點，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)可

求.

【詳解】

(1)函數(shù)Ax)=sinx圖像上一對"偶點"的坐標(biāo)為(乃,0)(-乃,0),

(2)設(shè)Q(x)=g(x)-g(-x)=ln(x+2)-ln(-x+2)-2x,

因為y=Q(x)的定義域為(一2,2),且。(一x)=—Q(x),

所以函數(shù)y=Q(x)為奇函數(shù)，

要證：函數(shù)g。)=ln(x+2)-x+2圖像上有且只有一對"偶點"，

只需證：＞=Q(x)在(0,2)上有且只有一個零點，

令Q，(X)=4^1=O,得

4一廠

所以，函數(shù)。(外在(0,夜)上為單調(diào)減函數(shù)，在(&,2)上為單調(diào)增函數(shù)，

Q(四)=ln(3+20)-2垃＜0,Q(2-/)=ln(4-/)+捺＞0,

所以函數(shù)。(x)在("2-高上有且只有一個零點，

所以函數(shù)g(x)=ln(x+2)-x+2圖像上有且只有一對"偶點"，

(3)設(shè)F(x)=//(x)_/z(-x)=e*_eT_2/nr,F(0)=0,

因為y=*x)的定義域為R,且尸(-力=-尸(力，

所以函數(shù)y=F(x)為奇函數(shù)，

因為函數(shù)心)=然-皿-2(利€R)圖像上有且只有一對“偶點"，

所以函數(shù)y=『(x)在(0,+s)有且只有一個零點，

尸'(X)=e*+乙-2，〃，XG(0,+OO),

①當(dāng)〃?￡1時，因為尸'(力＞2-2，心0,

所以函數(shù)y=*x)在(0,+8)上為單調(diào)增函數(shù)，所以尸(力＞尸⑼=0,

所以函數(shù)F(x)在(0,+力)無零點，

②當(dāng)機(jī)＞1時，由尸'(x)="+'--2”=---^me+'=0,

得：/=lnJ加一］｝

所以函數(shù)y=F(x)在(0,為)上單調(diào)減函數(shù)，在(事,包)上單調(diào)增函數(shù)，

所以尸(3)〈尸(0)=0,

I-Y

設(shè)”(%)=\nx-x,=----,

所以函數(shù)”(X)在(0,1)上單調(diào)增函數(shù)，在(1，y0)上單調(diào)減函數(shù)，

所以“(x)W"(l)=T<0,所以lnx<x,

所以In(〃?+Jm2-1)<In2m<2m,

設(shè)租(x)=e*-x2-l(x>1),設(shè)A/(x)=〃?'(x)=e*-2x,

因為"(x)="-2>e-2>0,

所以函數(shù)"(x)在(1,+8)單調(diào)增函數(shù)，

所以M(x)>例(l)=e-2>0,所以函數(shù)，"(x)在(L2)單調(diào)增函數(shù)，

所以加(力>鞏1)=0-2>0,所以當(dāng)x>l時，ex>x2+1,

22

F(2m)=e2'"-上一4〃/>e"'-1-4m>0,

因為函數(shù)y=尸(可在5,+8)上單調(diào)增函數(shù)，

所以函數(shù)尸(x)在伉,2m)上有且僅有一個%,,使得產(chǎn)(百)=0,

綜上：加的取值范圍為(1，+8).

【點睛】

本題中綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，試題具有

一定的綜合性.

24.(1)一工或一。萬(2)xJ鄉(xiāng)+k乃■萬+A萬],ZeZ(3)Z：e[-5,-ll

666J

【解析】

【分析】

(1)由題&+B=(sinx-l,-1),由(,+5)〃e可得sinx-l=-(2+sinx),進(jìn)而求解即可；

(2)由題意得到50，H=g(sinx-2)+(2+sinx)|Tsinx|,進(jìn)而求解即可；

(3)由m+B)im+z)可得僅+5>a+a)=o,整理可得&關(guān)于x的函數(shù)，進(jìn)而求解即可

【詳解】

(1)由題,M+B=(sinx-1,-1),

因為伍+方)//己所以$足%一1=一(2+5由工),則5也_￥=-；，

因為工￡[一萬,加,所以工=一￡或N=一苧

66

(2)由題,S伍,@sin]-2)+(2+sinx)|=|sinx\,

因為5S?>],所以卜mx|>5，

當(dāng)XE[0,句時J<工<,萬，

因為y=、in用是以"為最小正周期的周期函數(shù)，

所以工￡(巳+左肛2乃+左乃],女￡Z

166)

(3)由(1)M+B=(sinx—1,一1),由題1+2=(3+sinx,A+l),

若伍+B)1G+2),

則(之+萬),(*+3)=(sinx-l)(3+sinx)-(A+l)=0,

則Z=sin?x+2sinx-4=(sinx+l)~-5,

因為sinxc[T,l],所以左?-5,-1]

【點睛】

本題考查共線向量的坐標(biāo)表示，考查垂直向量的坐標(biāo)表示，考查解三角函數(shù)的不等式

25.(1)上迪；(2)0<iy<-

104

【解析】

【分析】

(1)利用數(shù)量積公式結(jié)合二倍角公式，輔助角公式化簡函數(shù)解析式，由/(%)=!，結(jié)合

2%+看的范圍以及平方關(guān)系得出的值，由2苫。=(2%+7)-看結(jié)合兩角差的

余弦公式求解即可；

(2)由整體法結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，則區(qū)間(?,與)應(yīng)該包含

在y=/(ox)的一個增區(qū)間內(nèi)，根據(jù)包含關(guān)系列出不等式組，求解即可得出正數(shù)。的取值

范圍.

【詳解】

(1)f(x)=ab=2cosx(\/3sinx+cosx)-l=>/3sin2x+cos2x=2sin2工+巳

y=f(tyx)=2sin[+j.

(2)

7T7T7T

令2k?r-%42k兀+3,keZ

k7l7T//k7l71,r

得-------<x<—+—,keZ

co3a)co6co

7127

因為函數(shù)上是單調(diào)遞增函數(shù)

所以存在&eZ,使得

k[}7C7C<7T

co36033k<\+co

所以有，,。，n即rl

%兀上乃>2萬6ko+1>4co

---------1-------------------

①6①3

因為①>0,所以-5

O

又因2為乃TC彳124―所以則3弘0413+=,所以匕)工55

3322G226

從而有所以亳=。，所以

664

【點睛】

本題主要考查了利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，兩角差的余弦公式化簡求值

以及根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，屬于較難題.

26.(1)B=—；(2)>]3+1.

【解析】

【分析】

(1)由正弦和角公式,化簡三角函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合正弦定理即可求得角8的大??；

(2)在AABC中,設(shè)乙鉆C=Q,ZAC3="由余弦定理及正弦定理用生夕表示出8.再根據(jù)

三角形面積公式表示出即可結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求得最大值.

【詳解】

(1)由題意可得：

sin24cosC+cos2AsinC=3sinC

2sinAcosAcosC+(1-2sin2A)sinC=3sinC

整理得sinA(cosAcosC-sin/4sinC)=sinC

/.sinAcos(4+C)=sinC

-sinAcosB=sinC

八sinCc1

..cosB=--------=——=——

sinAa2

又3w(0,%)

：.B=—

3

(2)在MBC中，設(shè)NABC=c,NACB=￡,

由余弦定理得：AC2=l2+22-2xlx2cos?=5-4cosa,

AAC￡>為正三角形，

/.CD--AC2=5-4cosa,

?AC

在AABC也由正弦定理得：—，

sinpsina

ACsiny?=sina,

CDsinp=sina,

V(CDcospY=CD2(l-sin2=CD2-sin2a=5-4cosa-sii?a

=(2-cosa)2,

-(3<ABACf

：.P為銳角,C￡>cos〃=2-cosa,

Sg=gx2xO)xs嗚+可=小嗚+夕)

=~CDcos/3+^CDsin/3,

=(2-cosa)+gsine=6+sin(a-,

aw(0,))

二當(dāng)a=V時,(^coLx=6+1.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)式的化簡變形，正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,三角形面積的

表示方法，正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.

77r7T457T

27.(1)單調(diào)增區(qū)間為k冗一-^、k4—二,keZ,單調(diào)減區(qū)間為k7i——yk7i+'—■，

ZwZ；(2)-公(2"+鹿)

【解析】

【分析】

(1)由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得/(x)=~=-sin2x+Ros2x=2sin(2x+^),

再利用三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法即可得解：

(2)由題意可得邑“=0[12-22+32-42+-+(2〃-1)2-(2〃)[，又

一(2〃)2=T〃+1,貝IJS2.=0(T-4X2—4X3——4〃+〃)，再利用等差數(shù)列求和

公式即可得解.

【詳解】

解：(1)向量3,加滿足Z=1-2sinx,括sin(x+?J],B

cosX,6cos

函數(shù)=〃/=-sin2x+gcos2x=2sin(2工+.),

TT2乃7T!717T

由2左乃42x4-----42k71—,可得后乃----?x<我"----,kGZ,

2321212

解得“X)的單調(diào)增區(qū)間為k兀一苴M兀一氣,keZ；

單調(diào)減區(qū)間為卜兀-5,k兀+*,keZ.

(2)因為q="-71萬-五J=2/rsin(";r-iJ,

所以$2“=也,-22+32-下+…+(2〃-1)2―(2")］，

又一(2九)~=-4〃+1,

S2n=0(-4-4x2-4x3-------4〃+"),

所以邑“=&上3-：+1)〃=一向2/+〃).

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法及數(shù)列中捆綁求和，屬中檔題.

28.(I)［軟+1,軟+3］,ZeZ；(II)2018；(III)詳見解析.

【解析】

【分析】

(I)由數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得/(X),由題意求得3=f,再由函數(shù)/(X)的圖象過點

8(1,2)列式求得<P.則函數(shù)解析式可求，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得了(x)的單調(diào)遞增區(qū)

間：

(II)由(I)知，/(x)=1+sinyJf,可得/(x)是周期為4的周期函數(shù)，(1)=

2,f(2)=1,f(3)=0,f(4)=1.得到/(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4.

進(jìn)一步可得結(jié)論；

TT

(III)g(x)=f(x)-m-l=sin-x-m,函數(shù)g(x)在［0,3］上的零點個數(shù)，即為函數(shù)

y=sin]x的圖象與直線y=m在[0,3]上的交點個數(shù).數(shù)形結(jié)合得答案.

【詳解】

(I)*/a=(V2,>/2cos2(UJX+巾))，5=(,一,

22

(x)=ab=>/2V2cos2(uix+5)=1-cos2(u)x+<P)),

22

(x)max=2f則點8(1,2)為函數(shù)f(x)的圖象的一個最高點.

27r7t

???點8與其相鄰的最高點的距離為4,???m=4,得o)=￡.

2a)4

..?函數(shù)f(x)的圖象過點8(1,2),1-cos[g+2e]=2,即sin2巾=1.

vo<(p<-?-,?<p=-.

.*./(x)=1-cos2(—x+—)=l+sin—x,

442

77437r

由2Z萬+$<+-^-,得4Z+1WxV4攵+3,keZ.

.?"(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是［4Z+l,4Z+3］,keZ.

jr

(II)由(I)知，/(x)=l+sinyx,

:.f(x)是周期為4的周期函數(shù)，且f(1)=2,f(2)=1,f(3)=0,f(4)=1.

：