工程流力（第二版）-第二章

第二章流體靜力學(xué)

§2.1作用在流體上的力

§2.2靜止流體中的應(yīng)力特性

§2.3流體靜力學(xué)基本方程

§2.4壓強的測量

§2.5液體的相對平衡

§2.6靜止液體對固體表面的作用力

§2.7浮力與浮體的穩(wěn)定性§2.1作用在流體上的力2.1.1表面力

表面力的定義大小與表面積有關(guān)，且分布作用在流體微團(tuán)表面上的力。

在流體中任取一分離體；在該分離體表面取一微元面積；作用在該微元面積上的表面力為；將該表面力沿法向和切向進(jìn)行分解：內(nèi)法向應(yīng)力，即流體的壓強。切向應(yīng)力，即流體的粘性力。質(zhì)量力也稱為體積力，或徹體力。2.1.2質(zhì)量力質(zhì)量力的定義與流體微團(tuán)質(zhì)量有關(guān)并且集中作用在流體微團(tuán)質(zhì)心上的力。習(xí)慣上用單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力來表示，簡稱單位質(zhì)量力。

單位質(zhì)量力的表示方法例質(zhì)量力為重力時，則：§2.1作用在流體上的力靜壓強的定義§2.2靜止流體中的應(yīng)力特性流體處于靜止或相對靜止時，流體的壓強稱為流體靜壓強。靜壓強的兩個重要特性特性一：流體靜壓強的作用方向總是沿其作用面的內(nèi)法線

方向。證明采用反證法可以很容易證明。（1）作用在靜止流體質(zhì)點上的切向分力如果不等于0，則在其作用下必將使流體流動起來。與流體是靜止的相矛盾。

故作用在靜止流體上的表面力只能沿法線方向。（2）流體分子間引力較小，不能承受拉應(yīng)力。因此，法向分力的作用方向只能沿其內(nèi)法線方向。

§2.2靜止流體中的應(yīng)力特性特性二：在靜止流體中任意一點上的壓強與作用方位無關(guān)，

其值均相等。證明在靜止流體中取出一個微元四面體OABC。ABCO四個面上的壓強可認(rèn)為是均勻的。

沿x軸方向，四面體受3個力作用：(1)OBC面的壓力：(2)ABC面的壓力在x軸的投影：(3)四面體質(zhì)量力在x軸的投影：由x軸方向的受力平衡，得：當(dāng)微元四面體收縮為一個點時，得：同理，有：§2.3流體靜力學(xué)基本方程2.3.1平衡微分方程式取一微元正交六面體。左側(cè)面壓力：右側(cè)面壓力：再考慮x

軸方向的質(zhì)量力，可列出x

軸方向的平衡方程：化簡得：同理有：流體的平衡微分方程式又稱Euler平衡方程式Euler方程表示流體在質(zhì)量力和表面力作用下的平衡，是平衡流體中普遍適用的基本公式壓強差公式將Euler公式進(jìn)行變形，可得壓強差公式：對不可壓縮流體，其密度為常數(shù)，則壓強差公式可改寫為：§2.3流體靜力學(xué)基本方程2.3.2力的勢函數(shù)上式中，-π

稱為質(zhì)量力的勢函數(shù)。例2-1試求重力場中，平衡流體的質(zhì)量力勢函數(shù)。解重力場中的單位質(zhì)量力為：

等壓面的定義在平衡流體中，壓力相等的各點所組成的面稱為等壓面。特性一：在平衡流體中，過任意一點的等壓面，必與該點

所受的質(zhì)量力互相垂直。問題：為什么說“水平如鏡”？§2.3流體靜力學(xué)基本方程2.3.3等壓面

等壓面的兩個特性特性二：兩種互不相混的液體處于平衡時，它們的分界面

必為等壓面。等壓面方程：2.3.4流體靜力學(xué)基本方程前提條件：重力場中處于平衡狀態(tài)的不可壓縮流體。重力場中的單位質(zhì)量力為：§2.3流體靜力學(xué)基本方程代入Euler平衡微分方程得：對不可壓縮流體，上式積分得：上式稱為流體靜力學(xué)基本方程式。適用范圍：流體靜力學(xué)基本方程只適用在重力作用下處于

平衡狀態(tài)的不可壓縮流體。靜力學(xué)基本方程式的另一表達(dá)形式：靜力學(xué)基本方程的物理意義實驗裝置：裝有液體的密閉容器，側(cè)面接一真空的玻璃管。實驗過程：在壓強作用下，液體將沿玻

璃管上升一定的高度。壓強勢能：玻璃管中液體上升的高度，

就是A點單位重量流體具有

的壓強勢能。位置勢能：A點相對于水平基準(zhǔn)面的高

度，為單位重量流體具有的

位勢能。：壓強勢能，壓強水頭：位置勢能，位置水頭物理意義：在不可壓靜止流體中，任何點的單位重量流體

的總勢能守恒，靜水頭線為水平線?！?.3流體靜力學(xué)基本方程假設(shè)自由表面上的邊界條件為：可得靜力學(xué)基本方程的另一表達(dá)形式：§2.3流體靜力學(xué)基本方程液體內(nèi)部靜壓強分布規(guī)律問題：連通器原理？帕斯卡原理液面壓強的任何變化都會引起流體內(nèi)部所有流體質(zhì)點的同樣變化，即液面壓強等值地在流體內(nèi)部傳遞。帕斯卡原理的實際應(yīng)用：千斤頂問題：工程、生活上，應(yīng)用帕斯卡原

理的實例？§2.3流體靜力學(xué)基本方程例2-2如圖所示，直徑為12cm的圓柱體，其質(zhì)量為5.1kg，在其頂部加力F=100N。當(dāng)淹沒深度h=0.5m時，圓柱體處于平衡狀態(tài)。求測壓管中水柱的高度H。解根據(jù)帕斯卡原理，圓柱體兩端均受大氣壓作用，故大氣壓的作用不必考慮。由圓柱體受力平衡，得：解得圓柱體底面上的壓強為：應(yīng)用靜力學(xué)基本方程，可得測壓管水柱高度為：§2.3流體靜力學(xué)基本方程2.3.5可壓縮流體中壓強的變化大氣的分層對流層、平流層、中間層、暖層和散逸層。對流層氣溫隨高度的變化：Ta為海平面的溫度，系數(shù)β=-0.0065K/m由完全氣體狀態(tài)方程：代入壓力差方程，并積分得：§2.4壓強的測量絕對壓強：以完全真空為基準(zhǔn)計量的壓強。2.4.1壓強的計量標(biāo)準(zhǔn)相對壓強：以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽榛鶞?zhǔn)。（計示壓強、表壓強）真空：當(dāng)相對壓強為負(fù)值時，其絕對值稱為真空。絕對壓強、相對壓強、真空之間的關(guān)系p相對壓強真空絕對壓強大氣壓強絕對真空絕對壓強=當(dāng)?shù)卮髿鈮?相對壓強相對壓強=絕對壓強–當(dāng)?shù)卮髿鈮赫婵?當(dāng)?shù)卮髿鈮酣C絕對壓強真空度：工程上常用百分比表示真空的程度，稱為真空度

1.應(yīng)力單位用單位面積上的作用力來表示。其國際單位為Pa(N/m2)?！?.4壓強的測量2.4.2壓強的計量單位1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓=1.01325×105PaPa是一個比較小的單位，常用kPa、MPa來表示壓強

工程制中還常采用kgf/cm2。

2.液柱高度

3.大氣壓單位常用的單位有米水柱(mH2O)，毫米汞柱(mmHg)等。將要計量的壓強換算成標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的倍數(shù)。1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓=1.01325×105Pa=760mmHg

各種壓強單位換算表§2.4壓強的測量Pabarkgf/cm2atmTorrmmH2OmmHgPsi帕10.000010.000010.000010.00750.101970.00750.00014巴10000011.019720.9869750.06210.1972750.06214.504工程大氣壓98066.50.9806710.9678735.610.000735.614.22標(biāo)準(zhǔn)大氣壓1013251.013251.033176010.33276014.7托133.30.001330.001360.00132113.610.01934毫米水柱9.80670.0000980.00010.00009680.0735610.073560.00142毫米汞柱133.3220.001330.001360.00132113.595110.01934磅/寸26894.760.068950.070310.0680551.7149703.0751.71491上表中，托（Torr）為真空壓強單位。例如，一般電子顯微鏡必須維持在10-4至10-6Torr的真空壓強內(nèi)，才能正常工作。測壓管由一根管子構(gòu)成，將管的下端與被測液體連接，管的上端與大氣相通?！?.4壓強的測量2.4.3液柱式測壓計

1.測壓管測壓管的內(nèi)徑不小于5mm。為什么？

2.U形管測壓計結(jié)構(gòu)：U形的玻璃管，內(nèi)裝不與被測流體相混合的工作液體。用法：U形管一端與被測點相連，另一端開口通大氣。注意：當(dāng)被測流體是氣體時，U形管中氣柱高度可忽略不計。構(gòu)造：底座、容器、工作液、測壓管。

3.傾斜式微壓計原理：容器上口接入待測壓強信號后，

工作液液面將下降，并使測壓

管液面上升。由工作液體積守恒，得：測壓管中液面上升的高度為：被測的壓強差為：上式中，K稱為微壓計系數(shù)，刻在微壓計的弧形支架上。量程與精度：0~500,0~10000Pa。0.5、1.0、1.5級精度?！?.4壓強的測量§2.4壓強的測量

4.金屬壓力表構(gòu)造：金屬壓力表由表殼、

彈簧管、傳動機(jī)構(gòu)、

刻度盤、指針組成。量程：可高達(dá)1000MPa。精度：1.0，1.6，2.5，4.0，四個精度等級。

5.壓力傳感器電容式壓力傳感器：利用電容敏感元件將被測壓力轉(zhuǎn)換成與之成一定關(guān)系的電量輸出的壓力傳感器。耐高溫壓力傳感器：采用新型半導(dǎo)體材料碳化硅制成。能

承受2000℃瞬時高溫沖擊。光纖壓力傳感器：利用敏感元件受壓時的形變與反射光強度相關(guān)的特性，檢測光線的微小改變量，測出壓力?！?.4壓強的測量例2-3雙杯二液式微壓計：兩個直徑相同的圓形杯中分別裝入酒精和煤油。當(dāng)氣體的壓強差為0時，兩種工作液體的交界面在O點處。已知U形管直徑d=5mm，杯的直徑D=50mm

。求使交界面升到h=280mm處的壓強差?解酒精的密度：煤油的密度：在初始平衡狀態(tài)，有：引入壓力差后，左邊杯中液面下降。根據(jù)體積守恒，得：以U型管中新的液體交界面為基準(zhǔn)：代入已知數(shù)據(jù)，得：§2.5液體的相對平衡2.5.1容器作等加速直線運動盛有液體的容器向右以勻加速度a作直線運動。a坐標(biāo)系：坐標(biāo)原點取在自由液面上。xz質(zhì)量力：agf將質(zhì)量力代入壓力差方程，得：積分，得：邊界條件：自由液面上的壓強為大氣壓：靜壓強分布規(guī)律：等壓面方程：自由液面方程：例2-4容器底面積為bxb=200x200mm2，質(zhì)量m1=4kg。靜置時水的高度為h=150mm。在質(zhì)量m2=25kg的重物作用下沿平面滑動，如果容器底面與平面間的摩擦系數(shù)為Cf=0.3。求水恰好不溢出時容器的最小高度H？解容器與重物連在一起，其加速度相同，記為a

列出容器和重物的運動方程：

其中。解得加速度為：

則自由液面水平傾角為：

由容器內(nèi)水的體積守恒：

解得：

§2.5液體的相對平衡2.5.2容器作角速度旋轉(zhuǎn)運動ω2xrω2ω2y盛有液體的容器繞z軸等角速度旋轉(zhuǎn)。坐標(biāo)系：坐標(biāo)原點取在自由液面最低點。質(zhì)量力：代入壓力差方程：積分得：靜壓強分布規(guī)律：等壓面方程：自由液面方程：邊界條件：處，§2.5液體的相對平衡例2-5液體轉(zhuǎn)速計由中心圓筒和活塞及與其聯(lián)通的兩根細(xì)管組成。試推導(dǎo)活塞位移與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系式？解靜止時，由于活塞重量的作用，使圓筒和細(xì)管存在液位差：

§2.5液體的相對平衡旋轉(zhuǎn)時，圓筒的液位將下降h、細(xì)管液位上升b。由體積守恒得：

由邊界條件處得壓強分布：

活塞底面z=0，其壓強分布為：

作用在活塞底面上的總壓力應(yīng)該等于活塞自身的重量：§2.6靜止液體對固體表面的作用力2.6.1靜止液體對平面的作用力xOy為分析方便，將平面旋轉(zhuǎn)900，并建立坐標(biāo)系。取微元面積，其上的作用力為：dAdFp作用在整個面積A上的作用力為：面積A對x

軸的面積矩有關(guān)系式：總作用力為：hC

是平面形心的淹沒深度。ChC§2.6靜止液體對固體表面的作用力xOydAdFp

壓力中心總作用力與平面的交點就是總壓力的作用點，稱為壓力中心。根據(jù)合力矩定理，可得：DFphD右邊積分項稱為面積A對x軸的慣性矩：總作用力的作用點為：根據(jù)慣性矩平移定理：則，總作用力的作用點為：§2.6靜止液體對固體表面的作用力例2-6如圖為矩形擋水閘，長l=2.5m，寬b=1.5m，A點到水面高度

h=3m。求水閘關(guān)閉時，在B點處必須施加的作用力F？解作用在閘門上的總壓力為:閘門形心閘門慣性矩壓力中心為：對A點列合力矩方程，得：§2.6靜止液體對固體表面的作用力2.6.2靜止液體對曲面的作用力討論如圖的二向曲面所受液體總壓力。取一微元面積，將作用力分解為水平方向和垂直方向兩個分力：dF水平分力：垂直分力：Vp為曲面上方的液柱體積，稱為壓力體?？傋饔昧Φ拇笮『头较颍骸?.6靜止液體對固體表面的作用力

壓力體的確定方法（1）取自由液面或其延長線；ABCDE（2）取曲面本身；（3）曲面兩端向自由液面投影，得到兩根投影線；（4）以上四根線將圍出一個或多個封閉體積，這些體積在考慮了力的作用方向后的矢量和就是所求的壓力體。壓力體是一個純數(shù)學(xué)概念，而與該體積內(nèi)是否充滿液體無關(guān)?！?.6靜止液體對固體表面的作用力例2-7圓柱體半徑

r=2m，長l=5m，如圖放置在斜面上。求作用在圓柱上的水壓力大小及作用