實(shí)驗(yàn)三連續(xù)信號(hào)的頻域分析

實(shí)驗(yàn)三連續(xù)信號(hào)的頻域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆罩芷谛盘?hào)的頻譜分析方法一-傅里葉級(jí)數(shù)及其物理意義。深人理解信號(hào)頻譜的概念，掌握典型信號(hào)的頻譜以及Fourier變換的主要性質(zhì)。二、實(shí)驗(yàn)原理及方法在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中詳細(xì)討論了信號(hào)的Fourier分析方法，包括周期信號(hào)的頻譜分析一-Fourier級(jí)數(shù)和非周期信號(hào)的頻譜分析—Fourier變換的理論。1.周期信號(hào)的三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)由Fourier級(jí)數(shù)的理論可知:任何周期信號(hào)只要滿足Dirichlet條件就可以分解成許多指數(shù)分量之和(指數(shù)Fourie:級(jí)數(shù))或直流分量及許多正弦、余弦分量之和，即其中，為直流分量，是信號(hào)f(t)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值;Ancos(n,(n+n)為n次諧波。一般來(lái)說(shuō)，任意周期信號(hào)表示為Fourier級(jí)數(shù)時(shí)需要無(wú)限多項(xiàng)才能完全逼近原信號(hào)。但在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)代替無(wú)限項(xiàng)級(jí)數(shù)，即用式(3-2)來(lái)逼近f(t)顯然，所選項(xiàng)數(shù)越多，有限項(xiàng)級(jí)數(shù)越逼近原信號(hào)，其方均誤差越小、對(duì)一定的周期T，實(shí)驗(yàn)圖3-2說(shuō)明取不同項(xiàng)數(shù)(即諧波次數(shù))時(shí)，有限項(xiàng)級(jí)數(shù)fN(t)逼近信號(hào)f(t)的情況。實(shí)驗(yàn)圖3一中的4幅圖分別是3項(xiàng)、9項(xiàng)、21項(xiàng)和45項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)逼近的結(jié)果。由此可見，當(dāng)選取傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，所合成的波形fN(t)中的峰起越靠近.f(})的不連續(xù)點(diǎn)。從理論上講，當(dāng)所選取的項(xiàng)數(shù)N越大時(shí)，該峰極值趨于一個(gè)常數(shù)，大約等于跳變值的9%，并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去，此即Gibbs現(xiàn)象。2.周期信號(hào)的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)利用歐拉公式有式(3-1)可表示為將式(3-5)第3項(xiàng)中的n用-n代換，并考慮An是n(或nΩo)的偶信號(hào)，An=A-n是n(或Ωo)的奇信號(hào)，。則上式可寫成式(3-6)表明，任意周期信號(hào).f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的復(fù)指數(shù)，的加權(quán)和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度或相量(或稱為復(fù)加權(quán)系數(shù))為計(jì)算機(jī)不能計(jì)算無(wú)窮多個(gè)系數(shù)，假設(shè)需要計(jì)算的諧波次數(shù)為N，則總的系數(shù)個(gè)數(shù)為2NTA。在確定了時(shí)間范圍和時(shí)間變化的步長(zhǎng)即T和·dt之后，對(duì)某一個(gè)系數(shù)，式(3-7)可以近似為其中，時(shí)間變量的變化步長(zhǎng)dt的大小對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的計(jì)算精度影響非常大，do越小，精度越高，但計(jì)算機(jī)計(jì)算所花的時(shí)間越長(zhǎng)。同時(shí)，原信號(hào)可以用有限項(xiàng)諧波成分來(lái)近似合成，即3.周期信號(hào)的頻譜為了直觀地表示信號(hào)所含各分量的振幅，以頻率(或角頻率)為橫坐標(biāo)，以各諧波的振幅A。或虛指數(shù)信號(hào)的幅度IFnI為縱坐標(biāo)，作出的線圖稱為幅度譜。其中A。一鳴為單邊譜，IFnI一可幾為雙邊譜。從幅度譜中可清楚直觀地看出各分量的相對(duì)大小。連接各譜線頂點(diǎn)的曲線稱為包絡(luò)線(一般用虛線表示)，它反映各分量的幅度變化情況。類似地，也可畫出粼皆波初相角}P。一刀烏的線圖，稱為相位譜。以實(shí)驗(yàn)圖3-1所示的周期矩形脈沖為例，其單邊譜、雙邊譜、單邊相位譜、雙邊相位譜分別如實(shí)驗(yàn)圖3-3a,b,。、d所示。4，非周期信號(hào)的傅里葉變換把上述理論推廣到非周期信號(hào)中去，就可導(dǎo)出傅里葉變換。對(duì)于非周期信號(hào)f(t)，其傅里葉變換及其反變換式定義如下式中，F(xiàn)(jΩ)是原信號(hào)f(t)的傅里葉變換，稱為頻譜函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)函數(shù)，可以寫成。它的模量IF(jΩ)」是頻率Ω的函數(shù)，對(duì)大小;相角φ（n）也是頻率Ω的函數(shù)，表示頻率分量的相位。為了與周期信號(hào)的頻譜相一致，人們習(xí)慣上IF(jΩ)|~Ω與φ（n）~n曲線分別稱為非周期信號(hào)的幅度頻譜和相位頻譜。MATLAB實(shí)現(xiàn)傅里葉變換有兩種方法，一種是利用符號(hào)運(yùn)算方法，另一種是數(shù)值計(jì)算方法。(1)利用符號(hào)運(yùn)算的方法實(shí)現(xiàn)MATLAB的SymbolicMathToolbox提供了能直接求解傅里葉變換與反變換的函數(shù)fourier()及ifourier()。調(diào)用格式如下:F=fourier(f):它是符號(hào)函數(shù)f的傅里葉變換，默認(rèn)返回函數(shù)F是關(guān)于Ω的函數(shù);F=four'ier(f,v):它的返回函數(shù)F是關(guān)于符號(hào)對(duì)象v的函數(shù)，即F=fourier(f,u,v):它是對(duì)關(guān)于u的函數(shù)f進(jìn)行變換，而返回函數(shù)F是二的函數(shù)，即f=ifourier(F):它是函數(shù)F的傅里葉反變換，默認(rèn)的獨(dú)立變量為Ω，默認(rèn)返回是關(guān)于x的函數(shù)，如果F=F(x)，則ifourier(F)返回關(guān)于t的函數(shù);f=ifourier(F,u):它的返回函數(shù)f是u的函數(shù),而不是默認(rèn)的x的函數(shù);f=ifourier(f,v,u):它是對(duì)關(guān)于v的函數(shù)F進(jìn)行變換，而返回關(guān)于u的函數(shù)f。這里要注意的是，在調(diào)用上述兩個(gè)函數(shù)之前，先要用syms命令對(duì)所用到的變量(如t、U、v、Ω）等進(jìn)行定義，將這些變量定義為符號(hào)變量。對(duì)于fourier()中的函數(shù)f或ifourier()中的F，也要用syms將f或F定義為符號(hào)表達(dá)式。另外，采用fourier()及ifourier()得到的返回函數(shù)，仍然是符號(hào)表達(dá)式。若需要對(duì)返回函數(shù)作圖時(shí)，只能用ezplot()繪圖命令，而不能用plot()命令。如果返回函數(shù)中含有s(,}z)等項(xiàng)，用ezplot()也無(wú)法作圖。fourier()函數(shù)的局限性:用fourier()對(duì)某些信號(hào)求反變換時(shí)，其返回函數(shù)可能會(huì)包含一些不能直接表達(dá)的式子，甚至可能會(huì)出現(xiàn)一些屏幕提示為“未被定義的函數(shù)或變量”的項(xiàng);另外，在許多情況下，信號(hào)f(t)盡管是連續(xù)的，但卻不可能表示成符號(hào)表達(dá)式;函數(shù)fourier()也不可能對(duì)離散信號(hào)f(n}進(jìn)行處理。(2)用數(shù)字計(jì)算的方法實(shí)現(xiàn)用數(shù)值訓(xùn)算的方法計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換需要信號(hào)是時(shí)限信號(hào)，也就是當(dāng)時(shí)間Itl大于某個(gè)給定時(shí)間時(shí)，其值衰減為零或接近于零，計(jì)算機(jī)只能處理有限大小和有限數(shù)量的數(shù)。采用數(shù)值計(jì)算方法的理論依據(jù)是若信號(hào)為時(shí)限信號(hào)，當(dāng)時(shí)間間隔T取得足夠小時(shí)，式(3-11)可演變?yōu)槭?3-12)用MATLAB表示為5.傅里葉變換性質(zhì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)在理論課講授中，已經(jīng)熟悉了傅里葉變換的基本性質(zhì)，這些性質(zhì)有線性、奇偶性、對(duì)稱性、尺度變換特性、時(shí)移頻移特性、微分積分特性、時(shí)域頻域卷積特性等。這些性質(zhì)反映了信號(hào)在時(shí)域和頻域的對(duì)應(yīng)變化關(guān)系，也就是，信號(hào)在一個(gè)域有某種變化，在另一個(gè)域中必然有相應(yīng)的變化。這些變化歸納起來(lái)主要有4種:平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換、信號(hào)相乘。因此，傅里葉變換性質(zhì)的MATLAB實(shí)現(xiàn)主要有兩種方法:一是利用傅里葉變換的性質(zhì)，如果知道信號(hào)在一個(gè)域的變化，在另一個(gè)域?qū)?duì)應(yīng)信號(hào)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算即可。上面指出的4種運(yùn)算是信號(hào)的基本運(yùn)算與變換，在實(shí)驗(yàn)一中專門研究了這些運(yùn)算的方法及編程;二是將信號(hào)變化的參數(shù)直接代到相應(yīng)的信號(hào)中，然后進(jìn)行傅里葉變換或反變換的運(yùn)算，最后即可得到另一個(gè)域中信號(hào)的變化，這種方法比較簡(jiǎn)單。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟1.求實(shí)驗(yàn)圖3一所示周期信號(hào)(T=2,T=1)的傅里葉級(jí)數(shù)，用MAZL,AB作出其前3,9,21、45項(xiàng)諧波的合成波形并與原信號(hào)作比較，作出其單邊幅度譜和相位譜。自定義函數(shù)：functiony=fu(m,t)%定義傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)表達(dá)式%y=1/4;forn=1:my=y+4/(n*n*pi*pi)*(1-cos(n*pi/2)).*cos(n*pi.*t);EndS1a:t=-6:0.01:6;d=-6:2:6;fxx=pulstran(t,d,'tripuls');f1=fu(3,t);f2=fu(9,t);f3=fu(21,t);f4=fu(45,t);figure(1)plot(t,fxx,'r',t,f1,'b');gridonaxis([-66-0.11.1])title('N=3')figure(2)plot(t,fxx,'r',t,f2,'b');gridonaxis([-66-0.11.1])title('N=9')figure(3)plot(t,fxx,'r',t,f3,'b');gridonaxis([-66-0.11.1])title('N=21')figure(4)plot(t,fxx,'r',t,f4,'b');gridonaxis([-66-0.11.1])title('N=45')代碼：n=1:10;a=zeros(size(n));a(1)=0.5;forii=2:10a(ii)=abs(4/((ii-1)*(ii-1)*pi*pi)*(1-cos((ii-1)*pi/2)));endn=0:pi:9*pi;stem(n,a,'fill','linewidth',2);axis([0,30,-0,0.6])gridontitle('單邊幅度譜')xlabel('Ω=nΩ0')ylabel('An')S1c:代碼：n=1:10;a=zeros(size(n));fori=1:10a(i)=angle(4/(i*i*pi*pi)*(1-cos(i*pi/2)));endn=0:pi:9*pi;stem(n,a,'fill','linewidth',2);axis([0,9*pi,-0.2,0.2])gridontitle('單邊相位譜')xlabel('Ω=nΩo')ylabel('Ψn')2.求實(shí)驗(yàn)圖3-6所示的單個(gè)三角脈沖(=1)的傅里葉變換，并作出其幅度譜和相位譜。

t=-6:0.01:6;f=tripuls(t,1);%三角脈沖以t為時(shí)間軸，1為脈寬dw=0.1;w=-12*pi:0.1:12*pi;F=f*exp(-1i*t'*w)*0.01;F1=abs(F);phaF=angle(F);%計(jì)算復(fù)角figure(1)plot(t,f)axis([-6601])boxonxlabel('t')ylabel('f(t)')title('單個(gè)三角脈沖的波形圖')gridonfigure(2)plot(w,F1)gridon;xlabel('\Omega')ylabel('幅度')title('單個(gè)三角脈沖的幅度譜')figure(3)plot(w,phaF)gridon;xlabel('\Omega')ylabel('相位')title('單個(gè)三角脈沖的相位譜')求不同占空比下，周期矩形脈沖的幅度譜和相位譜，例如代碼：m=input('請(qǐng)輸入占空比m:');n=-20:20;F=zeros(size(n));forii=-20:20F(ii+21)=sin(ii*pi*m)/(ii*pi+eps);endF(21)=m;F1=abs(F);phaF=angle(F);subplot(2,1,1)stem(n,F1,'fill')title('\it周期矩形脈沖的幅度譜(τ/T=m)')xlabel('\fontsize{14}\bfn\rightarrow')ylabel('\fontsize{14}\bf|Fn|\rightarrow')subplot(2,1,2)stem(n,phaF,'fill')title('\it周期矩形脈沖的相位譜(τ/T=1/4)')xlabel('\fontsize{14}\bfn\rightarrow')ylabel('\fontsize{14}\bfΨn\rightarrow')占空比M=0.25占空比M=0.1254.驗(yàn)證傅里葉變換的性質(zhì)，如1)時(shí)移性質(zhì):選取f(t)和f(t-b)，幅頻曲線相同，只有相位不同。

代碼：T=0.01;t=-6:0.01:6;dw=0.1;w=-4*pi:dw:4*pi;F1=rectpuls(t)*exp(-1i*t'*w)*T;F2=rectpuls(t-4)*exp(-1i*t'*w)*T;a1=abs(F1);phaF1=angle(F1);a2=abs(F2);phaF2=angle(F2);figure(1)subplot(2,1,1)plot(w,a1);title('f(t)幅度譜')xlabel('fw')ylabel('|Fn|')gridonsubplot(2,1,2)plot(w,a2);title('f(t-4)幅度譜')xlabel('fw')ylabel('|Fn|')gridonfigure(2)subplot(2,1,1)plot(w,phaF1);title('f(t)相位譜')xlabel('fw')ylabel('Ψn')gridonsubplot(2,1,2)plot(w,phaF2);title('f(t-4)相位譜')xlabel('fw')ylabel('Ψn')gridon2)頻移性質(zhì):選取u(t)和cosΩotuf(t)或sinΩotu(t)。

代碼：T=0.01;t=-6:0.01:6;dw=0.1;w=-4*pi:dw:4*pi;F1=rectpuls(t)*exp(-1i*t'*w)*T;F2=rectpuls(t-4)*exp(-1i*t'*w)*T;a1=abs(F1);phaF1=angle(F1);a2=abs(F2);phaF2=angle(F2);figure(1)subplot(2,1,1)plot(w,a1);title('f(t)幅度譜')xlabel('w')ylabel('|Fn|')gridonsubplot(2,1,2)plot(w,a2);title('頻移后幅度譜')xlabel('w')ylabel('|Fn|')gridonfigure(2)subplot(2,1,1)plot(w,phaF1);title('f(t)相位譜')xlabel('w')ylabel('Ψn')gridonsubplot(2,1,2)plot(w,phaF2);title('頻移后相位譜')xlabel('w')ylabel('Ψn')gridon對(duì)稱性質(zhì):選取Sa(Ωot)和g(t)。代碼：T=0.01;t=-6:0.01:6;dw=0.1;w=-4*pi:dw:4*pi;y=sinc(2*t/pi);F1=y*exp(-1i*t'*w)*T;F2=(heaviside(-t/2)-heaviside(t/2))*exp(-1i*t'*w)*T;a1=abs(F1);phaF1=angle(F1);a2=abs(F2);phaF2=angle(F2);figure(1)subplot(2,1,1)plot(w,a1);title('幅度譜')xlabel('w')ylabel('|F1n|')gridonsubplot(2,1,2)plot(w,a2);title('\it幅度譜')xlabel('w')ylabel('|F2n|')gridonfigure(2)subplot(2,1,1)plot(w,phaF1);title('相位譜')xlabel('w')ylabel('Ψ1n')gridonsubplot(2,1,2)plot(w,phaF2);title('相位譜')xlabel('w')ylabel('Ψ2n')gridon4)尺度變換性:選取f(t)和.f(at)。代碼：T=0.01;t=-6:0.01:6;dw=0.1;w=-4*pi:dw:4*pi;F1=rectpuls(t)*exp(-1i*t'*w)*T;F2=rectpuls(2*t)*exp(-1i*t'*w)*T;a1=abs(F1);phaF1=angle(F1);a2=abs(F2);phaF2=angle(F2);figure(1)subplot(2,1,1)plot(w,a1);t