專題1.5空間向量的探索性問題（強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版）

專題1.5空間向量的探索性問題題型一平行中的探索性問題題型二垂直中的探索性問題題型三夾角中的探索性問題題型四距離中的探索性問題題型一 平行中的探索性問題1．如圖所示，在四棱錐，面，底面為正方形．(1)求證：面；(2)已知，在棱上是否存在一點(diǎn)，使面，如果存在請確定點(diǎn)的位置，并寫出證明過程；如果不存在，請說明理由．2．如圖，正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長是，點(diǎn)為側(cè)棱上的點(diǎn)．(1)求正四棱錐的體積；(2)若平面，求二面角的大??；(3)在（2）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．3．已知直角梯形中，，，，，，為的中點(diǎn)，，如圖，將四邊形沿向上翻折，使得平面平面.

(1)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面？(2)求二面角的余弦值.4．如圖，直三棱柱中，，D是的中點(diǎn)．(1)求異面直線與所成角的大小；(2)求二面角的余弦值；(3)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．5．中國正在由“制造大國”向“制造強(qiáng)國”邁進(jìn)，企業(yè)不僅僅需要大批技術(shù)過硬的技術(shù)工人，更需要努力培育工人們執(zhí)著專注、精益求精、一絲不茍、追求卓越的工匠精神，這是傳承工藝、革新技術(shù)的重要基石．如圖所示的一塊木料中，是正方形，平面，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)．(1)若要經(jīng)過點(diǎn)和棱將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請說明理由并計(jì)算截面周長；(2)若要經(jīng)過點(diǎn)B，E，F(xiàn)將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請說明理由．6．如圖，底面為直角梯形的四棱柱中，側(cè)棱底面，為的中點(diǎn)，且為等腰直角三角形，，，．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出；若不存在，說明理由．7．如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是且的菱形，和都是正方形．將兩個正方形分別沿，折起，使與重合于點(diǎn)．設(shè)直線過點(diǎn)且垂直于菱形所在的平面，點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，且與點(diǎn)位于平面同側(cè)（圖2）．(1)設(shè)二面角的大小為，若，求線段的長的取值范圍；(2)若在線段上存在點(diǎn)，使平面平面，求與BE之間滿足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)時，恒有.8．如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，.(1)求與平面所成角的正弦值；(2)設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，四邊形是過兩點(diǎn)的截面，且平面，是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.題型二 垂直中的探索性問題9．如圖，正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P滿足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4．(1)求點(diǎn)A到平面PCD的距離；(2)線段BP上是否存在點(diǎn)E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出該點(diǎn)位置，若不存在，則說明理由．10．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1A的中點(diǎn)．(1)求證：BC1∥平面CEF；(2)在棱A1B1上是否存在點(diǎn)G，使得EG⊥CE？若存在，求A1G的長度；若不存在，說明理由．11．如圖，在三棱柱中，是邊長為4的正方形，平面平面，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)證明：在線段上存在點(diǎn)，使得.并求的值.12．正△ABC的邊長為2，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，先將△ABC沿CD翻折成直二面角．(1)求二面角E－DF－C的余弦值；(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論．13．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E為BC的中點(diǎn).(1)證明：平面ABCD(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得平面AMN，如果存在，求出線段AS的長度.14．如圖，在長方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，，點(diǎn)在線段上．(1)問：是否存在一點(diǎn)，使得直線平面？若存在，請指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．(2)若是線段的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值．15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長為2，E是PA的中點(diǎn).(1)求證：平面BDE.(2)若直線BE與平面PCD所成角的正弦值為，求PA的長度.(3)若PA=2，線段PC上是否存在一點(diǎn)F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的長度；若不存在，請說明理由.16．如圖所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且．(1)證明：；(2)在平面內(nèi)尋求一點(diǎn)，使得平面，求此時二面角的平面角的正弦值.題型三 夾角中的探索性問題17．在三棱錐中，底面是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)在底面上的射影為棱的中點(diǎn)，且與底面所成角為，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)．(1)求證：；(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．18．如圖，在中，，為邊上一動點(diǎn)，交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折至.(1)證明：平面平面；(2)若，且，線段上是否存在一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由.19．四棱錐中，側(cè)面底面，，底面是直角梯形，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)側(cè)棱上是否存在異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求的值，若不存在，說明理由．20．如圖，圓柱的軸截面是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦交于點(diǎn)，其中．(1)證明：平面平面;(2)判斷上底面圓周上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為．若存在，求的長;若不存在，請說明理由．21．如圖，四棱錐，平面，且，，，是邊長為2的正三角形．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)E，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，請指出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．22．如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，D，E分別為，的中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面與平面的夾角為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．23．已知底面是正方形，平面，，，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說明理由．24．如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（含端點(diǎn)）.(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時，求證：平面(2)是否存在一點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.題型四 距離中的探索性問題25．如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)面為長方形，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)T，使得點(diǎn)T到直線的距離是，若存在求的長，不存在說明理由.26．如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，且，E為PD的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求二面角的大?。?3)在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)F到平面AEC的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．27．圖1是直角梯形ABCD，，，四邊形ABCE是邊長為4的菱形，并且，以BE為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面ABED；(2)在棱上是否存在點(diǎn)P，使得P到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.28．如圖，在梯形中，，，分別是的中點(diǎn)，且交于點(diǎn)O，現(xiàn)將梯形沿對角線AC翻折成直二面角.(1)證明：平面；(2)證明：；(3)若，試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.29．圖是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大小；若不存在，說明理由.30．圖1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四邊形ABCE是邊長為2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE為折痕將△BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且．(1)求證：平面平面A