28.1 銳角三角函數(shù) 同步練習 2022-2023學年上學期河南省九年級數(shù)學期末試題選編(含答案)

28.1銳角三角函數(shù)同步練習一、單選題1．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點都在格點上，則（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，則AC的長為（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正確的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝4．（2022秋·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，點D在AC上，．若，，則BD的長度為（

）A． B． C． D．45．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，的頂點都在格點上，則圖中的正切值是（

）A．2 B． C． D．6．（2022秋·河南三門峽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的三個頂點都在網(wǎng)格中的格點上，則的值為（

）．A． B． C． D．7．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，則tan∠DBE的值是（）A． B．2 C． D．8．（2022秋·河南濮陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若，則此斜坡的水平距離AC為（

）A．75m B．50m C．30m D．12m9．（2022秋·河南信陽·九年級統(tǒng)考期末）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°10．（2022秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）已知∠α為銳角，且sinα＝，則∠α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°11．（2022秋·河南開封·九年級統(tǒng)考期末）在高為的小山上，測得山底一建筑物頂端與底部的俯角分別是和則這個建筑物的高度是（

）A． B． C． D．12．（2022秋·河南三門峽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，要擰開一個邊長為a＝8mm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為（

）A．8mm B．16mm C．8mm D．4mm二、填空題13．（2022秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）在中，、、的對邊分別為a、b、c，且三邊滿足，，則．14．（2022秋·河南鄭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，有一個斜坡長，坡頂離地面的高度為，則的正弦值為．15．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點（網(wǎng)格線交點）上，則的值為．16．（2022秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）在中，．則．17．（2022秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在Rt△ABC中，，．，則的值是．18．（2022秋·河南鄭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，若，，則折痕．19．（2022秋·河南鄭州·九年級統(tǒng)考期末）．20．（2022秋·河南開封·九年級統(tǒng)考期末）在中，與都是銳角，且，則的形狀是．21．（2022秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）在中，都是銳角，且滿足，則三角形的形狀是．22．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）比較大?。海?3．（2022秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，斜邊上的高為1，，將繞原點順時針旋轉得到，點A的對應點C恰好在函數(shù)的圖象上，若在的圖象上另有一點M使得，則點M的坐標為．三、解答題24．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為6cm，點P從點A出發(fā)，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向終點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿B→A的方向以1cm/s的速度向終點A運動．當點P運動到點B時，兩點均停止運動．運動時間記為，請解決下列問題：(1)若點P在邊AC上，當為何值時，APQ為直角三角形？(2)是否存在這樣的值，使APQ的面積為cm2？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．25．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）在我們的數(shù)學活動中，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：如圖1，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，再把紙片展開；第二步：如圖2，再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，同時得到線段．

(1)在圖2中，請至少寫出3個的角；(2)猜想論證：若延長交于點，如圖3所示，請判定的形狀并證明你的結論；(3)拓展探究：在圖3中，若，，請說明當，滿足什么關系時，才能在矩形紙片中剪出符合（2）中的．26．（2022秋·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）（1）計算：；（2）化簡：．27．（2022秋·河南鶴壁·九年級統(tǒng)考期末）（1）計算：；（2）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．28．（2022秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）計算:(1)；(2)．29．（2022秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，有一個直徑MN=4的半圓形紙片，其圓心為點P，從初始階段Ⅰ位置開始，在無滑動的情況下沿數(shù)軸向右翻滾至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于數(shù)軸，且半⊙P與數(shù)軸相切于原點O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中MN的垂直于數(shù)軸；位置Ⅲ中的MN在數(shù)軸上；位置Ⅴ中的點N到數(shù)軸的距離為3，且半⊙P與數(shù)軸相切于點A．解答下列問題：（1）位置Ⅰ中MN的與數(shù)軸之間的距離為；位置Ⅱ中的半⊙P與數(shù)軸位置關系是；（2）求位置Ⅲ中的圓心P在數(shù)軸上表示的數(shù)；（3）紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時，求點N所經(jīng)過路徑長及該紙片所掃過的圖形的面積；（4）求OA的長，（結果保留）參考答案：1．D【分析】過點作交延長線于點，根據(jù)勾股定理求出的長，然后根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：過點作交延長線于點，則，則在中，∴，故選：D．【點睛】本題考查了正弦的定義以及勾股定理，根據(jù)網(wǎng)格構造直角三角形是解本題的關鍵．2．B【分析】先由sinA及已知求得AB的值，再根據(jù)勾股定理可以得到AC的值．【詳解】解：∵∠C＝90°，sinA＝，∴AB＝BC＝×3＝5，∴AC＝＝＝4．故選：B．【點睛】本題考查直角三角形的應用，熟練掌握三角函數(shù)的意義及勾股定理的應用是解題關鍵．3．C【分析】由勾股定理求出斜邊AB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求出sinA、tanA、tanB、cosB即可．【詳解】Rt△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝，cosB＝＝．故選：C．【點睛】本題考查了求銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是關鍵．4．C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，再證明，從而得出比例關系，求出的長．【詳解】解：∵，，∴∴∴∵，∴∴∴∴故選：C．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質以及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)以及相似三角形的判定和性質是解答本題的關鍵．5．C【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點判斷是直角三角形，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】∵由圖可知，，∴是直角三角形，且，，故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，求正切函數(shù)值，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．6．A【分析】連接CD，先證明△ABC是等腰三角形得CD⊥AB，進而利用正切可得答案．【詳解】解：取格點D，連接CD，如圖，∵AC=，BC=，∴AC=BC，∵D為AB的中點，∴CD⊥AB，∵在Rt△BDC中，CD=，BD=，∴，故選：A．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，能將所求正切值的角轉化在直角三角形中是解題的關鍵．7．B【分析】在直角三角形ADE中，，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE．【詳解】設菱形ABCD邊長為t．∵BE＝2，∴AE＝t?2．∴，∴，∴t＝5．∴AE＝5?2＝3．∴DE＝＝＝4．∴tan∠DBE＝＝2．故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應用，要熟練掌握邊角之間的關系．8．A【分析】根據(jù)BC的長度和的值計算出AC的長度即可解答.【詳解】解：因為，又BC＝30，所以，，解得：AC＝75m，所以，故選A.【點睛】本題考查了正切三角函數(shù)，熟練掌握是解題的關鍵.9．A【分析】作輔助線，利用翻折變換的性質得出，再根據(jù)直角三角形、平行線的性質得出，最后利用弧度與圓心角的關系得出結論．【詳解】如圖：過點作直線于點，連接，，，，．，即．的度數(shù)是．故選：A．【點睛】本題考查圓心角、弧、弦的關系，翻折變換（折疊問題）的理解與運用能力．涉及特殊角的三角函數(shù)值，求此角；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；弧度與圓心角都是指圓心角大小，圓心角是角度為單位，弧度是弧度制等知識點．恰當利用輔助線，根據(jù)翻折變換的特點（對稱性）建立等式關系是解本題的關鍵．10．C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．【詳解】解：∵sinα＝，∴∠α=60°．故選：C．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．11．C【分析】作CE⊥AB，根據(jù)∠DAB可以求得CE的長，根據(jù)CE即可求得AE的長，根據(jù)CD＝BE＝AB?AE即可解題．【詳解】解：如圖，作CE⊥AB，根據(jù)題意可知：∠DAB＝90°?60°＝30°，AB＝60m，∠ACE＝30°，∴BD＝AB×tan30°＝，∴CE＝BD＝，∵∠ACE＝30°，∴AE＝CEtan30°＝，∴CD＝BE＝AB?AE＝60?20＝40（m），故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了查解直角三角形的應用?仰角俯角問題，特殊角的三角函數(shù)值，本題中求得BD的長是解題的關鍵．12．C【分析】由題意設正六邊形的中心是O，其一邊是AB，連接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，則∠AOB=∠BOC=60°，得出OA=OB=AB=OC=BC，則四邊形ABCO是菱形，得出AC⊥OB，AM=CM，由sin∠AOB=，進而計算即可得出結果．【詳解】解：設正六邊形的中心是O，其一邊是AB，連接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，如圖所示：∴∠AOB=∠BOC=60°，OA=OB=OC∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四邊形ABCO是菱形，∴AC⊥OB，AM=CM，∵AB=8mm，∠AOB=60°，∴sin∠AOB=，∴AM=（mm），∴AC=2AM=8（mm），故選：C．【點睛】本題考查正多邊形和圓、菱形的判定與性質等知識，構造一個由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，運用銳角三角函數(shù)進行求解是解答此題的關鍵．13．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形，用c分別表示出a、b，再利用正弦的概念得到，代入計算即可得到答案．【詳解】解：，，是直角三角形，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，代數(shù)式求值，銳角三角函數(shù)，熟練掌握正弦的概念是解題關鍵．14．【分析】根據(jù)正弦的定義直接求解即可【詳解】解：依題意，中，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了求正弦，掌握正弦的定義是解題的關鍵．15．/【分析】直接根據(jù)圖象計算即可．【詳解】解：∵正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點上，∴，，，∴∴，故答案為．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵．16．/【分析】根據(jù)題意設，則，勾股定理求得，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，設，則∴,∴，故答案為：．【點睛】本題考查了余弦的定義，勾股定理，掌握余弦的定義是解題的關鍵．17．【分析】根據(jù)勾股定理可求出BC的長，再根據(jù)正切的求法求解即可．【詳解】∵，∴．故答案為．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，要熟練掌握，解題的關鍵是要明確：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．18．【分析】由矩形的性質得，由折疊的性質得，，證得，再由，解得的值，設，則，利用矩形的性質求得，在中，由勾股定理計算求解即可．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，由折疊的性質得：，，∵，∴，∴，即，∵，∴，設，則，在中，由勾股定理得，∴，∴，解得，∴，∴，在中，由勾股定理得，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，正切函數(shù)．解題的關鍵在于找出線段的數(shù)量關系，多次運用勾股定理求解．19．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)代入求值即可．【詳解】，故答案為：．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．20．等腰三角形【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質可得：，由此可求出，即為等腰三角形．【詳解】根據(jù)絕對值的非負性可得：，∴，∴，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴為等腰三角形．故答案為：等腰三角形．【點睛】本題考查絕對值的非負性，特殊角的三角函數(shù)值以及等腰三角形的判定．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵．21．鈍角三角形【分析】根據(jù)題意非負數(shù)之和為零，只有一種情況，即零加零等于零；利用特殊角銳角三角函數(shù)值分別求出,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得,判斷三角形的形狀即可．【詳解】,是鈍角三角形．故答案為：鈍角三角形．【點睛】本題考查了特殊角的銳角三角函數(shù)值，三角形的分類，絕對值的非負性，實數(shù)平方的非負性，熟練特殊角的銳角三角函數(shù)值是解題的關鍵．22．<【分析】由cos37°=sin53°，根據(jù)正弦在0°到90°內(nèi)，函數(shù)值隨角度的增大而增大，比較角度的大小即可．【詳解】解：∵cos37°=sin53°，正弦在0°到90°內(nèi)，函數(shù)值隨角度的增大而增大，∴sin37°＜sin53°，∴sin37°＜cos37°，故答案為：＜．【點睛】本題考查了三角函數(shù)值的大小比較，化不同名函數(shù)為同名函數(shù)，并運用同名函數(shù)的性質是解題的關鍵．23．【分析】利用的正切可以求出C點坐標，再利用C、M在上，設M的坐標，最后通過可以求出M點的坐標．【詳解】解：如圖，過點作軸，過點作軸，由題意可知，則，C在上，設即解得（不符合題意，舍去）所以故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，特殊角的銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)性質，正確理解題意，求出C點的坐標是解決問題的關鍵．24．(1)1.2或3(2)存在，或4【分析】（1）當APQ為直角三角形時，∠A=60度，所以可能只有∠APQ=90°或∠AQP=90°，當∠APQ=90°時，∠AQP=30°，AP=AQ，求出t=1.2秒；當∠AQP=90°時，∠APQ=30°，AQ=AP，求得t=3秒；（2）當點P在AC上時，邊AQ=6-t，算出AQ上的高PD=，即可寫出（6-）●=，求得t=3-；當點P在BC上時，算出AQ邊上的高PF=，即可寫出（6-）●=，求得t=4．【詳解】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=CA=6，∠A=∠B=∠C=60°，當點P在邊AC上時，由題意知，AP=2，AQ=6-，當∠APQ=90°時，AP=AQ，即2=（6-），解得=1.2，當∠AQP=90°時，AQ=AP，即6-=×2，解得=3，所以，點P在邊AC上，當為1.2s或3s時，△APQ為直角三角形；（2）存在

①當點P在邊AC上時，此時0≤≤3，過點P作PD⊥AB于點D，在Rt△APD中，∠A=60°，AP=2，∴sinA=，即sin60°==，∴PD=，S△APQ=AQ●PD=（6-）●，由（6-）●=，得（不合題意，舍去），；②當點P在邊BC上時，此時3≤≤6，如圖，過點P作PF⊥AB于點F，在Rt△BPF中，∠B=60°，BP=12-2，∴sinB=，即sin60°==，∴PF=，S△APQ=AQ●PF=（6-）●，由（6-）●=得

因此，當t為s或4s時，△APQ的面積為．【點睛】本題主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面積的存在性，解決問題的關鍵是熟練掌握直角三角形的直角三個角都有可能，要分類討論；面積是同一個值的三角形不可能只有一個，全面考慮，分類討論．25．(1)，，(2)等邊三角形，見解析(3)或【分析】（1）設交與點，連接，由折疊可知，，，，，根據(jù)平行線的性質和三角形的內(nèi)角和可得，得出，則；（2）連接，根據(jù)折疊的性質可得，垂直平分，推得，根據(jù)等邊三角形的判定和性質可得，，推得，根據(jù)等邊三角形的判定即可證明是等邊三角形；．（3）根據(jù)題意可得要在矩形紙片上剪出等邊，則，令，根據(jù)余弦的定義可得，結合，即可求得當或時，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊．【詳解】（1）設交與點，連接，如圖：

由折疊可知，，，，，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：，，．（2）是等邊三角形，證明：連接，如圖：

由折疊可知：，垂直平分．，，為等邊三角形，，，，，，，是等邊三角形．（3）當或時，在矩形紙片上能剪出等邊．要在矩形紙片上剪出等邊，則，在中，，，，，，即，當或時，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊．【點睛】本題考查了折疊的性質，平行線的性質，三角形的內(nèi)角和，等邊三角形的判定和性質，余弦的定義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．26．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)絕對值，零指數(shù)冪和特殊角三角形函數(shù)值的計算法則求解即可；（2）根據(jù)分式的混合計算法則求解即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對值等等，熟知相關計算法則是解題的關鍵．27．（1）；（2），2【分析】（1）先算二次根式的化簡和零指數(shù)冪，再算加減即可；（2）利用分式的相應的運算法則對式子進行化簡，再代入相應的值運算即可．【詳解】（1）原式；（2）原式，∵，∴原式．【點睛】本題