隴南市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

隴南市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知直線與圓C相切于點(diǎn)，且圓C的圓心在y軸上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．2．若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最小值（）A． B．－1 C．0 D．23．給出下列四個(gè)命題：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③若直線滿足，則；④若直線，是異面直線，則與，都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44．用輾轉(zhuǎn)相除法，計(jì)算56和264的最大公約數(shù)是()．A．7 B．8 C．9 D．65．已知是球O的球面上四點(diǎn)，面ABC,，則該球的半徑為（）A． B． C． D．6．三棱錐中，平面且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．7．若不等式對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．，2 B．，1 C．，2 D．，19．把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，二面角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)椋趦?nèi)任取一點(diǎn)，的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若函數(shù)，則__________．12．兩等差數(shù)列{an}和{bn}前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且，則=__________．13．?dāng)?shù)列中，如果存在使得“，且”成立（其中，），則稱為的一個(gè)“谷值”。若且存在“谷值”則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．14．設(shè)直線與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點(diǎn)，若，則圓C的面積為________15．已知x，y滿足，則的最大值為________.16．若滿足約束條件則的最大值為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，，且.（1）求邊長(zhǎng)；（2）求邊上中線的長(zhǎng).18．等差數(shù)列中，，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）若，求的最小值.19．某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的人數(shù)；20．某城市交通部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評(píng)分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.（1）求圖中x的值；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）已知滿意度評(píng)分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)3:2，若在滿意度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為男生的概率.21．從高三學(xué)生中抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如圖所示的頻率分布直方圖.利用頻率分布直方圖求：（1）這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)；（2）這50名學(xué)生的平均成績(jī).（答案精確到0.1）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

先代入點(diǎn)可得，再根據(jù)斜率關(guān)系列式可得圓心坐標(biāo)，然后求出半徑，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．【題目詳解】將切點(diǎn)代入切線方程可得：，解得，設(shè)圓心為，所以，解得，所以圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．2、A【解題分析】

線性規(guī)劃問題，首先畫出可行域，再令z=0，畫出目標(biāo)函數(shù)，上下平移得到z的最值?！绢}目詳解】可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移到A點(diǎn)時(shí)z取最小值，故選A【題目點(diǎn)撥】線性規(guī)劃中線性的目標(biāo)函數(shù)問題，首先畫出可行域，再令z=0，畫出目標(biāo)函數(shù)，上下平移得到z的最值。3、B【解題分析】

利用空間直線的位置關(guān)系逐一分析判斷得解.【題目詳解】①為假命題.可舉反例，如a，b，c三條直線兩兩垂直；②平行于同一條直線的兩條直線平行,是真命題；③若直線滿足，則，是真命題；④是假命題，如圖甲所示，c，d與異面直線，交于四個(gè)點(diǎn)，此時(shí)c，d異面，一定不會(huì)平行；當(dāng)點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)（其余三點(diǎn)不動(dòng)），會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合的情形，如圖乙所示，此時(shí)c，d共面且相交.故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間直線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.4、B【解題分析】

根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算最大公約數(shù).【題目詳解】因?yàn)樗宰畲蠊s數(shù)是8，選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查輾轉(zhuǎn)相除法，考查基本求解能力.5、D【解題分析】

根據(jù)面，，得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)都在該球上，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)就是該球的直徑，從而得到答案。【題目詳解】面，三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，可以以三條側(cè)棱，，為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)都在該球上，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)就是該球的直徑，即則該球的半徑為故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查三棱錐外接球的半徑的求法，本題解題的關(guān)鍵是以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，三棱錐的外接球，即為該長(zhǎng)方體的外接球，利用長(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題。6、C【解題分析】根據(jù)已知中底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，平面，可得此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球

∵是邊長(zhǎng)為的正三角形，∴的外接圓半徑球心到的外接圓圓心的距離故球的半徑故三棱錐外接球的表面積故選C．7、B【解題分析】∵不等式對(duì)任意，恒成立，∴，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.8、B【解題分析】

將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，由此求得圓心和半徑.【題目詳解】由，得，所以圓心為，半徑為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓心和半徑的求法，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

當(dāng)平面ACD垂直于平面BCD時(shí)體積最大，得到答案.【題目詳解】取中點(diǎn)，連接當(dāng)平面ACD垂直于平面BCD時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)二面角為90°故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐體積的最大值，確定高的值是解題的關(guān)鍵.10、A【解題分析】作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，四邊形所示，作出直線，由幾何概型的概率計(jì)算公式知的概率，故選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式先求，再求即可.【題目詳解】因?yàn)?，所?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)求值問題，解題的關(guān)鍵是將自變量代入相應(yīng)范圍的解析式中，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】數(shù)列{an}和{bn}為等差數(shù)列，所以.點(diǎn)睛：等差數(shù)列的?？夹再|(zhì)：{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q,則.13、【解題分析】

求出,,,當(dāng),遞減,遞增,分別討論,,是否存在“谷值”,注意運(yùn)用單調(diào)性即可.【題目詳解】解：當(dāng)時(shí),有,,當(dāng),遞減,遞增,且.若時(shí),有,則不存在“谷值”；若時(shí),,則不存在“谷值”；若時(shí),①,則不存在"谷值"；②,則不存在"谷值"；③,存在"谷值"且為.綜上所述,的取值范圍是故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義及運(yùn)用,考查數(shù)列的單調(diào)性和運(yùn)用,正確理解新定義是迅速解題的關(guān)鍵,是一道中檔題.14、【解題分析】因?yàn)閳A心坐標(biāo)與半徑分別為，所以圓心到直線的距離，則，解之得，所以圓的面積，應(yīng)填答案．15、6【解題分析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，即可得到答案.【題目詳解】由題意，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)，可化為直線，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)在軸上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為.故答案為：6.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知當(dāng)時(shí)，.【題目詳解】不等式組表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)的最大值必在頂點(diǎn)處取得，易知當(dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】線性規(guī)劃問題是高考中?？伎键c(diǎn)，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，可以求出的值，利用三角形內(nèi)角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出長(zhǎng)；（2）利用余弦定理可以求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可以求出的長(zhǎng)，然后在中，再利用余弦定理求出邊上中線的長(zhǎng).【題目詳解】（1），，由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中點(diǎn)，故，在中，由余弦定理可知：【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系、以及三角形內(nèi)角和定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）等差數(shù)列中，由，，能求出通項(xiàng)公式．（2）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得到不等式，即可求出的最小值．【題目詳解】解：（1）等差數(shù)列中，，．通項(xiàng)公式，即（2），，解得（舍去或，，的最小值為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、項(xiàng)數(shù)的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）20.【解題分析】

（1）首先可以根據(jù)頻率分布直方圖得出樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率，然后算出樣本中分?jǐn)?shù)小于的頻率，最后計(jì)算出分?jǐn)?shù)小于的概率；（2）首先計(jì)算出樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率，然后計(jì)算出分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，最后計(jì)算出總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)。【題目詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于的頻率為．所以從總體的名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于的概率估計(jì)為。（2）根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為?！绢}目點(diǎn)撥】遇到頻率分布直方圖問題時(shí)需要注意：在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率/組距，而不是頻率；利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)，應(yīng)注意三點(diǎn)：①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。20、（1）0.02（2）平均數(shù)77，中位數(shù)（3）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程能求出x．（2）由頻率分布直方圖能求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)．（3）滿意度評(píng)分值在[50，60）內(nèi)有5人，其中男生3人，女生2人，記“滿意度評(píng)分值為[50，60）的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，2人均為男生”為事件A，利用古典概型能求出2人均為男生的概率．【題目詳解】（1）由，解得.（2）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.中位數(shù)設(shè)為m，則，解得.（3）滿意度評(píng)分值在內(nèi)有人，其中男生3人，女生2人.記為記“滿意度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，2人均為男生”為事件A則總基本事件個(gè)數(shù)為10個(gè)，A包含的基本事件個(gè)數(shù)為3個(gè)，利用古典概型概率公式可知.【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率平均數(shù)、中位數(shù)、概率的求法，考查頻率分布