2024屆全國18名校大聯(lián)考高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆全國18名校大聯(lián)考高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．將一個總體分為甲、乙、丙三層，其個體數(shù)之比為，若用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，則應從丙層中抽取的個體數(shù)為（）A．20 B．40 C．60 D．1002．若，且，則“”是“函數(shù)有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．《趣味數(shù)學·屠夫列傳》中有如下問題：“戴氏善屠，日益功倍。初日屠五兩，今三十日屠訖，問共屠幾何？”其意思為：“有一個姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？”（）A． B． C． D．4．已知，集合，則A． B． C． D．5．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．6．角的終邊經(jīng)過點，那么的值為（）A． B． C． D．7．將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位后，所得到的圖象關于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．8．在正四棱柱中，，，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，此函數(shù)的圖象如圖所示，則點的坐標是（）A． B． C． D．10．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）A．平面B．C．平面D．異面直線與所成的角為二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．正方體中，異面直線和所成角的余弦值是________.12．已知，則的最小值為_______．13．如圖中，，，，M為AB邊上的動點，，D為垂足，則的最小值為______；14．已知數(shù)列的通項公式，那么使得其前項和大于7.999的的最小值為______.15．已知是第二象限角，且，且______.16．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線的右支與焦點為F的拋物線交于A，B兩點若，則該雙曲線的漸近線方程為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．從全校參加科技知識競賽初賽的學生試卷中，抽取一個樣本，考察競賽的成績分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小組的小長方形的高之比是，最后一組的頻數(shù)是6.請結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問題：（1）樣本的容量是多少?（2）求樣本中成績在分的學生人數(shù)；（3）從樣本中成績在90.5分以上的同學中隨機地抽取2人參加決賽，求最高分甲被抽到的概率.18．某大橋是交通要塞，每天擔負著巨大的車流量.已知其車流量（單位：千輛）是時間（，單位：）的函數(shù)，記為，下表是某日橋上的車流量的數(shù)據(jù)：03691215182124（千輛）3.01.02.95.03.11.03.15.03.1經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖象可以近似地看做函數(shù)（其中，，，）的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)的近似解析式；(2)為了緩解交通壓力，有關交通部門規(guī)定：若車流量超過4千輛時，核定載質(zhì)量10噸及以上的大貨車將禁止通行，試估計一天內(nèi)將有多少小時不允許這種貨車通行？19．已知函數(shù)(1)若關于的不等式的解集為,求的值;(2)若對任意恒成立,求的取值范圍.20．向量函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值及取最值時的值．21．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求與的值；（2）設的三個角、、所對的邊依次為、、，如果，且，試求的取值范圍；（3）求函數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

求出丙層所占的比例，然后求出丙層中抽取的個體數(shù)【題目詳解】因為甲、乙、丙三層，其個體數(shù)之比為，所以丙層所占的比例為，所以應從丙層中抽取的個體數(shù)為，故本題選B.【題目點撥】本題考查了分層抽樣中某一層抽取的個體數(shù)的問題，考查了數(shù)學運算能力.2、A【解題分析】

結(jié)合函數(shù)零點的定義，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷，即可得出答案．【題目詳解】由題意，當時，，函數(shù)與有交點，故函數(shù)有零點；當有零點時，不一定取，只要滿足都符合題意．所以“”是“函數(shù)有零點”的充分不必要條件．故答案為：A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)零點的概念，以及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用，其中解答中熟記函數(shù)零點的定義，以及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．3、D【解題分析】

根據(jù)題意，得到該屠戶每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項為，公比為，前項和為，由題中熟記，以及等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意，該屠戶每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項為，公比為，前項和為，所以，，因此.故選：D【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的應用，熟記等比數(shù)列的求和公式即可，屬于基礎題型.4、D【解題分析】

先求出集合A，由此能求出?UA．【題目詳解】∵U＝R，集合A＝{x|1﹣2x＞0}＝{x|x}，∴?UA＝{x|x}．故選：D．【題目點撥】本題考查補集的求法，考查補集定義、不等式性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5、C【解題分析】

去掉絕對值將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式后可得其圖象的大體形狀．【題目詳解】由題意得，所以其圖象的大體形狀如選項C所示．故選C．【題目點撥】解答本題的關鍵是去掉函數(shù)中的絕對值，將函數(shù)化為基本函數(shù)后再求解，屬于基礎題．6、C【解題分析】，故選C。7、B【解題分析】

試題分析：由題意得，，令，可得函數(shù)的圖象對稱軸方程為，取是軸右側(cè)且距離軸最近的對稱軸，因為將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位后得到的圖象關于軸對稱，的最小值為，故選B．考點：兩角和與差的正弦函數(shù)及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【方法點晴】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，將三角函數(shù)圖象向左平移個單位，所得圖象關于軸對稱，求的最小值，著重考查了三角函數(shù)的化簡、三角函數(shù)圖象的對稱性等知識的靈活應用，本題的解答中利用輔助角公式，化簡得到函數(shù),可取出函數(shù)的對稱軸，確定距離最近的點，即可得到結(jié)論．8、A【解題分析】

連結(jié)，結(jié)合幾何體的特征，直接求解與所成角的余弦值即可．【題目詳解】如圖所示：在正四棱柱中，＝1，＝2，連結(jié)，則與所成角就是中的，所以與所成角的余弦值為：＝＝．故選A．【題目點撥】本題考查正四棱柱的性質(zhì)，直線與直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力，屬于基礎題．9、B【解題分析】

根據(jù)確定的兩個相鄰零點的值可以求出最小正周期，進而利用正弦型最小正周期公式求出的值，最后把其中的一個零點代入函數(shù)的解析式中，求出的值即可.【題目詳解】設函數(shù)的最小正周期為，因此有，當時，，因此的坐標為：.故選：B【題目點撥】本題考查了通過三角函數(shù)的圖象求參數(shù)問題，屬于基礎題．10、D【解題分析】

在正方體中與

平行，因此有與平面

平行，A正確；在平面

內(nèi)的射影垂直于，因此有，B正確；與B同理有與

垂直，從而

平面

，C正確；由知與所成角為45°，D錯．故選D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由，可得異面直線和所成的角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】因為，所以異面直線和所成角，設正方體的棱長為，則直角三角形中，，，故答案為.【題目點撥】本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角，先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對值.12、【解題分析】

運用基本不等式求出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以，，所以，所以最小值為【題目點撥】本題考查了基本不等式的運用求最小值，需要滿足一正二定三相等.13、【解題分析】

以為坐標原點建立平面直角坐標系，用坐標表示出的值，然后利用換元法求解出對應的最小值即可.【題目詳解】如圖所示，設，所以，根據(jù)條件可知：，所以，設，，，所以，所以，所以，所以當時，有最小值，最小值為.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用坐標法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運算求解的能力，屬于較難題(1)利用換元法求解最值時注意，換元后新元的取值范圍；(2)三角函數(shù)中的一組“萬能公式”：，.14、1【解題分析】

直接利用數(shù)列的通項公式，建立不等式，解不等式求出結(jié)果．【題目詳解】解：數(shù)列的通項公式，則：，所以：當時，即：，當時，成立，即：的最小值為1．故答案為：1【題目點撥】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題型．15、【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關系求出，然后利用誘導公式可求出的值.【題目詳解】是第二象限角，則，由誘導公式可得.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關系和誘導公式求值，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解題分析】

根據(jù)題意到，聯(lián)立方程得到，得到答案.【題目詳解】，故.，故，故，故.故雙曲線漸近線方程為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查了雙曲線的漸近線問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）48；（2）30；（3）【解題分析】

（1）設樣本容量為，列方程求解即可；（2）根據(jù)比例列式求解即可；（3）根據(jù)比例得成績在90.5分以上的同學有6人，抽取2人參加決賽，列舉出總的基本事件個數(shù)，然后列舉出最高分甲被抽到的基本事件個數(shù)，根據(jù)概率公式可得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）設樣本容量為，則，解得，所以樣本的容量是48；（2）樣本中成績在分的學生人數(shù)為：人；（3）樣本中成績在90.5分以上的同學有人，設這6名同學分別為，其中就是甲，從這6名同學中隨機地抽取2人參加決賽有：共15個基本事件，其中最高分甲被抽到的有共5個基本事件，則最高分甲被抽到的概率為.【題目點撥】本題考查頻率，頻數(shù)，樣本容量間的關系，考查古典概型的概率公式，重點是列舉出總的基本事件和滿足題目要求的基本事件，是基礎題.18、（1）（2）8個小時【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)的最大最小值可求出和，根據(jù)周期求出，根據(jù)一個最高點的橫坐標可求得；

（2）解不等式可得．【題目詳解】(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得:由，,解得：

由當時，有最大值，則即，得.

所以函數(shù)的近似解析式（2）若車流量超過4千輛時，即

所以，則所以，且.所以和滿足條件.所以估計一天內(nèi)將有8小時不允許這種貨車通行．【題目點撥】本題考查了根據(jù)一些特殊的函數(shù)值觀察周期特點，求解三角函數(shù)解析式以及簡單應用，屬中檔題．19、（1）；（2）【解題分析】

(1)不等式可化為，而解集為，可利用韋達定理或直接代入即可得到答案；（2）法一：討論和時，分離參數(shù)利用均值不等式即可得到取值范圍；法二：利用二次函數(shù)在上大于等于0恒成立，即可得到取值范圍.【題目詳解】（1）法一：不等式可化為，其解集為，由根與系數(shù)的關系可知，解得，經(jīng)檢驗時滿足題意.法二：由題意知，原不等式所對應的方程的兩個實數(shù)根為和4，將（或4）代入方程計算可得，經(jīng)檢驗時滿足題意.（2）法一：由題意可知恒成立，①若，則恒成立，符合題意。②若，則恒成立，而，當且僅當時取等號，所以，即.故實數(shù)的取值范圍為.法二：二次函數(shù)的對稱軸為.①若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，故；②若，即，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由得.故；③若，即，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，由得，與矛盾，故不存在.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的性質(zhì)，不等式恒成立中含參問題，意在考查學生的分析能力，計算能力及轉(zhuǎn)化能力，難度較大.20、（1），（2），最大值為；，最小值為0【解題分析】

（1）用已知的向量表示出，再進行化簡整理，可得；（2）由正弦函數(shù)的值域可得?！绢}目詳解】（1）由題得，，化簡整理得，因此的最小正周期為，由得，則單調(diào)增區(qū)間為.（2）若，則，當，即時，取最大值，當，即時，取最小值0.綜上，當時，取最大值，當時，取最小值0.【題目點撥】本題考查向量的運算和函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間以及最值，知識點考查全面，難度不大。21、（1），；（2）；（3）.【解題分析】

（1）由圖象有，可得的值，然后根據(jù)五點法