八年級數(shù)學(xué)（第十三章 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明）13.2 命題與證明（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

13.2命題與證明第十三章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2命題互逆命題定理與證明三角形內(nèi)角和定理推論1，2三角形內(nèi)角和定理推論3、4知1－講感悟新知知識點(diǎn)命題11.定義對某一事件作出正確或不正確判斷的語句(或式子)叫做命題.感悟新知知1－講特別解讀：(1)命題只是對事件進(jìn)行判斷，判斷的結(jié)果可能是正確的，也可能是錯誤的；(2)命題必須是一個完整的句子，不能是一個詞語；(3)命題必須具有“判斷”作用，要對事件作出肯定或否定的判斷，故命題不能是祈使句或疑問句.感悟新知知1－講2.命題的結(jié)構(gòu)?命題由題設(shè)(條件)和結(jié)論兩部分組成.題設(shè)(條件)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).知1－講感悟新知特別提醒◆命題?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?，其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論.◆有些命題的條件和結(jié)論不明顯，可將它經(jīng)過適當(dāng)變形，改寫成“如果……那么……”的形式.感悟新知知1－講3.命題的種類(1)真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題.(2)假命題：題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.感悟新知知1－講4.反例符合命題的條件，但不滿足命題結(jié)論的例子稱之為反例.知1－練感悟新知例1把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式并判斷命題的真假.(1)互為補(bǔ)角的兩個角相等；(2)同角的余角相等；(3)垂直于同一條直線的兩條直線平行.知1－練感悟新知解題秘方：緊扣命題的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行改寫.解：(1)如果兩個角互為補(bǔ)角，那么這兩個角相等.假命題.(2)如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等.真命題.(3)如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.假命題.知1－練感悟新知解法提醒◆命題改寫的原則：不改變命題的原意.◆命題改寫的方法：理清命題的題設(shè)與結(jié)論部分，改寫命題時將題設(shè)放在“如果”后面，將結(jié)論放在“那么”后面.說明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可.這個反例必須符合命題的題設(shè)，但不滿足命題的結(jié)論.而說明一個命題是真命題，則需要從已知出發(fā)，經(jīng)過推理，最后得出正確結(jié)論.感悟新知知2－講知識點(diǎn)互逆命題2如果兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么這兩個命題稱為互逆命題，如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做原命題的逆命題.感悟新知知2－講特別提醒：(1)“題設(shè)、結(jié)論正好相反”是指：第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè).(2)“互逆命題”是說明兩個命題之間的關(guān)系，兩個命題的地位可以互換，可以確定其中任何一個為原命題，另一個為逆命題.感悟新知知2－講(3)寫一個命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的題設(shè)和結(jié)論，把題設(shè)和結(jié)論互換，并用通順的語句將它們連接起來即可得到它的逆命題.(4)原命題的真假和其逆命題的真假沒有必然聯(lián)系，原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題；原命題是假命題，其逆命題也不一定是假命題.知2－講感悟新知特別警示?判斷一個命題是真命題，需要經(jīng)過推理說明其正確性，而判斷一個命題是假命題，只需舉一個反例即可.感悟新知知2－練判斷下列命題的真假，寫出逆命題，并判斷逆命題的真假：(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個交點(diǎn)；(2)如果a

＞b，那么a2

＞b2；(3)如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；(4)如果ab

＜0，那么a＞0，b＜0.例2

知2－練感悟新知解題秘方：緊扣互逆命題“題設(shè)、結(jié)論正好相反”這一特征改寫命題.知2－練感悟新知解：(1)原命題是真命題.逆命題：如果兩條直線只有一個交點(diǎn)，那么它們相交.逆命題是真命題.(2)原命題是假命題.逆命題：如果a2

＞

b2，那么

a

＞b.逆命題是假命題.(3)原命題是真命題.逆命題：如果兩個數(shù)的和為零，那么它們互為相反數(shù).逆命題是真命題.(4)原命題是假命題.逆命題：如果a

＞0，b

＜0，那么ab＜0.逆命題是真命題.知2－練感悟新知解法提醒寫出逆命題的關(guān)鍵是分清楚原命題的題設(shè)和結(jié)論，然后將它的題設(shè)和結(jié)論交換位置就可得到這個命題的逆命題.判斷一個命題是真命題需要進(jìn)行邏輯推理，判斷一個命題是假命題只需要舉出一個反例就可以了.感悟新知知3－講知識點(diǎn)定理與證明31.定理有些命題，是從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用推理方法判斷為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù).這樣的真命題叫做定理.感悟新知知3－講2.證明從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、基本事實(shí)、已證定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論，這一方法稱為演繹推理(或演繹法).演繹推理的過程，就是演繹證明，簡稱證明.(1)證明一個命題是真命題的依據(jù)可以是已知條件，也可以是學(xué)過的定義、基本事實(shí)(公理)、定理等.(2)證明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可.知3－講感悟新知特別解讀定義、命題、基本事實(shí)（公理）、定理之間的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：這四者都是命題.區(qū)別：定義、基本事實(shí)(公理)、定理都是真命題，都可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，只不過基本事實(shí)(公理)是最原始的依據(jù)；而命題不一定是真命題，因而不一定能作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù).感悟新知知3－講3.證明的一般步驟(1)審題，分清命題的題設(shè)和結(jié)論；(2)畫圖，結(jié)合圖形寫出已知和求證；(3)分析因果關(guān)系，找出證明途徑；(4)有條理地寫出證明過程.知3－練感悟新知填寫下列證明過程中推理的依據(jù).如圖13.2-1，已知AC，BD

相交于點(diǎn)O，DF

平分∠CDO與AC相交于點(diǎn)F，BE

平分∠ABO

與AC

相交于點(diǎn)E，∠A=∠C.求證：∠1=∠2.例3解題秘方：根據(jù)推理過程一步一步寫出推理的依據(jù).知3－練感悟新知

已知內(nèi)錯角相等，兩直線平行兩直線平行，內(nèi)錯角相等已知角平分線的定義等量代換知3－練感悟新知方法點(diǎn)撥證明是從條件出發(fā)，經(jīng)過一步一步推理，最后推出結(jié)論的過程.證明的每一步推理都要有依據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些依據(jù)可以是已知條件，也可以是定義、基本事實(shí)、已學(xué)過的定理.在初學(xué)證明時要把依據(jù)寫在每一步推理后面的括號里，如本例中的“已知”“等量代換”等.感悟新知知4－講知識點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理推論1，241.推論1

直角三角形的兩銳角互余.幾何語言：在△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.感悟新知知4－講2.直角三角形的表示直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC

可以寫成Rt△ABC.注意：“Rt△”后必須緊跟表示直角三角形的三個頂點(diǎn)的大寫字母，不能單獨(dú)使用．如“直角三角形的邊”不能寫成“Rt△的邊”.感悟新知知4－講3.推論2

有兩個角互余的三角形是直角三角形.幾何語言：在△ABC

中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC

為直角三角形.知4－講感悟新知特別解讀1.直角三角形的性質(zhì)和判定的理論依據(jù)是三角形的內(nèi)角和定理.2.在直角三角形中，若已知兩個銳角之間的關(guān)系，可結(jié)合兩個銳角互余求出每個銳角的大小，不需要再利用三角形內(nèi)角和定理求解.感悟新知知4－練如圖13.2-2，AB∥CD，直線EF

分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P，求證：△EFP

是直角三角形.例4

知4－練感悟新知解題秘方：三角形中有兩個角的和等于90°(互余)就可說明該三角形為直角三角形.知4－練感悟新知

知4－練感悟新知特別提醒?直角三角形的判定方法：1.證明三角形中有一個內(nèi)角為90°(或證明三角形的兩條邊互相垂直)；2.證明一個三角形中有兩個內(nèi)角互余；3.證明三角形中有一個內(nèi)角與已知的直角相等.感悟新知知4－練如圖13.2-3，在△ABC

中，∠ACB=90°，∠ACD=∠B，求證：CD⊥AB.例5知4－練感悟新知解題秘方：利用直角三角形的性質(zhì)與判定推導(dǎo)出CD，AB的夾角為直角.知4－練感悟新知證明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°.∴∠CDA=90°.∴CD⊥AB.知4－練感悟新知教你一招?證明兩條直線垂直的方法：1.定義法：推導(dǎo)相交的兩直線的夾角中有一個角為直角.2.證明直角三角形法：在三角形中，推導(dǎo)出兩個角的和為90°，從而得此三角形為直角三角形.感悟新知知5－講知識點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理推論3、451.定義由三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.知5－講感悟新知特別解讀1.位置：在三角形的外部.2.與相鄰內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角.3.三角形每一個頂點(diǎn)處都有兩個外角，它們是對頂角，因此三角形共有六個外角，通常每一個頂點(diǎn)處取一個外角．4.三角形的外角和等于360°.感悟新知知5－講2.推論3

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.常見應(yīng)用：(1)已知一個外角及與它不相鄰的兩個內(nèi)角中的一個，求另一個內(nèi)角；(2)證明一個角等于另兩個角的和或差；(3)作為中間關(guān)系式證明兩個角相等.3.推論4

三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.感悟新知知5－練如圖13.2-4，CE

是△ABC的外角∠ACD

的平分線，且CE

交BA的延長線于點(diǎn)E．例6

知5－練感悟新知解題秘方：(1)根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠E；感悟新知知5－練

(1)若∠B=30°，∠ACB=40°，求∠E

的度數(shù)；解：∵∠ACB=40°，∴∠ACD=180°－40°=140°.∵CE

是△ABC的外角∠ACD

的平分線，∴∠ACE=70°.∵∠B=30°，∴∠CAE=∠B+∠ACB=70°.∴∠E=180°－70°－70°=40°.知5－練感悟新知解題秘方：(2)緊扣“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”將∠BAC

轉(zhuǎn)化為∠B

與∠E

的關(guān)系，即可解決問題．感悟新知知5－練

(2)求證：∠BAC=∠B+2∠E．證明：∵CE

平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE.∵∠DCE=∠B+∠E，∴∠ACE=∠B+∠E.∵∠BAC=∠ACE+∠E，∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.知5－練感悟新知解法提醒三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，拓展了求角的問題的研究方向.在求三角形的某一個角的度數(shù)或某些角的關(guān)系時