高考試題的探究(一)：鱉臑幾何體的試題賞析與探究文章

如圖6，為⊙的直徑，⊙所在平面與平面所成的角為，直線與平面所成的角為，直線與平面所成的角為.5鱉臑幾何體模型的應(yīng)用5.12015湖北真題評(píng)析圖9例1（同1.1文科試題圖9解析（=1\*ROMANI）因?yàn)榈酌?，所以，由底面為長方形，有，而，所以.而平面，所以.又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.而，所以平面.由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，,,.（=2\*ROMANII）因?yàn)榈酌?，是陽馬的高，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到底面的距離為的，圖10由于，所以．圖10例2（同1.2理科試題）解析（=1\*ROMANI）同例1證明平面.而平面，所以平面平面.而平面平面，，所以平面.由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為.（=2\*ROMANII）因?yàn)槠矫妫酌?，則平面與平面所成二面角的平面角即為與所成的角，不妨設(shè)，則，在中,，故．5.2鱉臑在手，橫掃立體幾何試題鱉臑幾何體不僅覆蓋了立體幾何中點(diǎn)、線、面的各種位置關(guān)系，以及各種空間角的計(jì)算，又突出了“垂直”這個(gè)橫貫立體幾何知識(shí)的“紅線”，因此，鱉臑幾何體是探求空間中線線、線面、面面垂直關(guān)系的十分重要的基本圖形，也是研究棱錐、棱臺(tái)的基本模型。圖11例3已知在內(nèi)，于，于，，，求證：在的平分線上（即）．圖11解析因?yàn)?，由三垂線定理逆定理知：，因?yàn)?，所以≌，則，又因?yàn)?，所以，故．圖12評(píng)注經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線與這個(gè)角兩邊夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個(gè)角的平分線所在直線．本題圖形中的三棱錐就是鱉臑幾何體，顯然，這個(gè)三棱錐中蘊(yùn)含著棱錐、棱臺(tái)的所有要素。圖12例4（2015新課標(biāo)=1\*ROMANI）如圖12，四邊形為菱形，為與交點(diǎn)，平面.(1)證明：平面平面；(2)若，，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.解析(1)因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又平面，所以幾何體是鱉臑，由鱉臑幾何體的垂直關(guān)系性質(zhì)1可知平面,又平面，所以平面平面.(2)因?yàn)?，，，所以，因?yàn)槿忮F的體積為，所以鱉臑幾何體的體積為.設(shè),則,，，圖13所以的體積為，所以，圖13所以△的面積為，△的面積與△的面積均為.故三棱錐的側(cè)面積為.例5（2015新課標(biāo)Ⅱ）如圖13，長方體中，，，，點(diǎn)，分別在上，，過點(diǎn)，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．圖14Q(I圖14Q(II)求直線與平面所成角的正弦值.解析(I)交線圍成的正方形如圖14.(II)如圖14，作于,則，；因?yàn)樗倪呅螢檎叫?所以，于是，所以.作于，連接，則三棱錐就是鱉臑幾何體，其中就是與平面所成角，設(shè)由鱉臑幾何體的性質(zhì)，則，圖15又，則，圖15故與平面所成角的正弦值為.例6（2015山東）如圖15，在三棱臺(tái)中，，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若平面，，，，求平面與平面所成的角（銳角）的大小．解析(1)略.(2)由，分別為，的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)?，所以，又平面，所以幾何體是鱉臑幾何體；假設(shè)平面與平面所成的角為，，則由鱉臑幾何體的性質(zhì)可知：，又，所以，故平面與平面所成的角（銳角）為．6結(jié)束語除此之外，在2015年的高考題中還有很多以鱉臑這一幾何體為背景的立體幾何問題，限于篇幅，忍痛割愛，不再贅述。命題者之所以對(duì)鱉臑這一幾何體如此青睞，正是因?yàn)轺M臑幾何體中有著豐富的垂直關(guān)系，是討論線線垂直、線面垂直、面面垂直以及三種垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的非常好的載體；正是因?yàn)轺M臑幾何體蘊(yùn)含著棱錐、棱臺(tái)的所有要素，可以破解立體幾何