高考第一輪復習講義 第16講 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算（原卷版+解析版 ）

第16講變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)，，則a=(

)A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其導函數(shù)記為，則（

）A．2 B． C．3 D．3．（2022·全國·高三專題練習）下列函數(shù)求導運算正確的個數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤．A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）函數(shù)的圖象在處的切線對應的傾斜角為，則sin2=（

）A． B．± C． D．±5．（2022·湖北·黃岡中學模擬預測）已知a，b為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．136．（2022·湖北·襄陽五中模擬預測）過點作曲線C：的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．7．（2022·遼寧·沈陽二中模擬預測）函數(shù)的圖像如圖所示，下列不等關系正確的是（

）A． B．C． D．8．（2022·重慶一中高三階段練習）已知偶函數(shù)，當時，，則的圖象在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．9．（2022·江蘇·南京外國語學校模擬預測）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．（多選）（2022·江蘇·高三專題練習）下列求導數(shù)運算正確的有（

）A． B．C． D．11．（多選）（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）下列曲線在x=0處的切線的傾斜角為鈍角的是（

）A．曲線 B．曲線C．曲線 D．曲線12．（2022·福建省福州格致中學模擬預測）已知函數(shù)，則函數(shù)___________.13．（2022·廣東·模擬預測）已知，則曲線在處的切線方程為________．14．（2022·北京市第一六一中學模擬預測）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)f(x)=___________：①：②當時，；③是偶函數(shù)．15．（2022·全國·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為____________，____________．16．（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．17．（2022·山東威海·三模）已知曲線，若有且只有一條直線同時與，都相切，則________．18．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù).（1）求這個函數(shù)的導數(shù)；（2）求這個函數(shù)的圖象在點處的切線方程.19．（2022·全國·高考真題（文））已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【素養(yǎng)提升】1．（2022·湖北·模擬預測）若過點可作曲線三條切線，則（

）A． B． C． D．2．（2022·山東濰坊·三模）過點有條直線與函數(shù)的圖像相切，當取最大值時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2022·湖南·長沙市南雅中學高三階段練習）已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，過點作曲線的切線.下列說法正確的是（

）A．當時，若只能作兩條切線，則B．當，時，則可作三條切線C．當時，可作三條切線，則D．當，時，有且只有兩條切線4．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））若曲線與曲線存在2條公共切線，則a的值是_________．5．（2022·河北邯鄲·二模）已知點P為曲線上的動點，O為坐標原點．當最小時，直線OP恰好與曲線相切，則實數(shù)a＝___．第16講變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)，，則a=(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由，得，又，所以，則．故選：D.2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其導函數(shù)記為，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】由已知得，則，顯然為偶函數(shù).令，顯然為奇函數(shù).又為偶函數(shù)，所以，，所以.故選：A.3．（2022·全國·高三專題練習）下列函數(shù)求導運算正確的個數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①,故錯誤;②,故正確;③,故正確;④,故錯誤;⑤,故錯誤;故選：B.4．（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）函數(shù)的圖象在處的切線對應的傾斜角為，則sin2=（

）A． B．± C． D．±【答案】C【解析】因為所以當時，，此時，∴．故選：C.5．（2022·湖北·黃岡中學模擬預測）已知a，b為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．13【答案】B【解析】設切點為，的導數(shù)為，由切線的方程可得切線的斜率為1，令，則，故切點為，代入，得，、為正實數(shù)，則，當且僅當，時，取得最小值9，故選：B6．（2022·湖北·襄陽五中模擬預測）過點作曲線C：的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，，，所以在A點處的切線方程為，將代入得，因為，化簡得，同理可得，所以直線AB的方程為，故選：A．7．（2022·遼寧·沈陽二中模擬預測）函數(shù)的圖像如圖所示，下列不等關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】從的圖象可以看出，點處切線的斜率大于直線的斜率，直線的斜率大于點處切線的斜率，點處切線的斜率大于0，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得，即.故選：C8．（2022·重慶一中高三階段練習）已知偶函數(shù)，當時，，則的圖象在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，，解得：，當時，；當時，，，又為偶函數(shù)，，即時，，則，.故選：A.9．（2022·江蘇·南京外國語學校模擬預測）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設切線：，即切線：，即，令在上單調遞增，在上單調遞減，所以故選：A．10．（多選）（2022·江蘇·高三專題練習）下列求導數(shù)運算正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】A：，故正確；B：，故錯誤；C：，故錯誤；D：，故正確.故選：AD11．（多選）（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）下列曲線在x=0處的切線的傾斜角為鈍角的是（

）A．曲線 B．曲線C．曲線 D．曲線【答案】BC【解析】若，則，當時，，故選項A不符合題意；若，則，當時，，故選項B符合題意；若，則，當時，，故選項C符合題意；若，則，當時，，故選項D不符合題意，故選：BC12．（2022·福建省福州格致中學模擬預測）已知函數(shù)，則函數(shù)___________.【答案】【解析】由題意得，且，令，得，故故答案為：13．（2022·廣東·模擬預測）已知，則曲線在處的切線方程為________．【答案】【解析】因為所以，所以，∴切線方程為，即．故答案為：.14．（2022·北京市第一六一中學模擬預測）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)f(x)=___________：①：②當時，；③是偶函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【解析】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是偶函數(shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一）15．（2022·全國·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為____________，____________．【答案】

【解析】解：因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；16．（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【解析】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：17．（2022·山東威海·三模）已知曲線，若有且只有一條直線同時與，都相切，則________．【答案】1【解析】設與相切于，與相切于點，由，得，則與相切于點的切線方程為：，即，由，，則與相切于點的切線方程為：，即，，因為兩切線重合，所以，①，②，由①得，代入②得，，化簡得，，明顯可見，，時等式成立.故答案為：118．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù).（1）求這個函數(shù)的導數(shù)；（2）求這個函數(shù)的圖象在點處的切線方程.【解】（1）因為，則；（2）所求切線斜率為，當時，，切點坐標為，因此，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.19．（2022·全國·高考真題（文））已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【解】(1)由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設該切線與切于點，，則，解得，則，解得；(2)，則在點處的切線方程為，整理得，設該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.【素養(yǎng)提升】1．（2022·湖北·模擬預測）若過點可作曲線三條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設切點為，由，故切線方程為，因為在切線上，所以代入切線方程得，則關于t的方程有三個不同的實數(shù)根，令，則或，所以當，時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，且時，，時，，所以只需，解得故選：A2．（2022·山東濰坊·三模）過點有條直線與函數(shù)的圖像相切，當取最大值時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，故當時，，單調遞減，且；當時，，單調遞增，結合圖象易得，過點至多有3條直線與函數(shù)的圖像相切，故.此時，設切點坐標為，則切線斜率，所以切線方程為，將代入得，存在三條切線即函數(shù)有三個不同的根，又，易得在上，，單調遞增；在和上，，單調遞減，畫出圖象可得當，即時符合題意故選：B3．（多選）（2022·湖南·長沙市南雅中學高三階段練習）已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，過點作曲線的切線.下列說法正確的是（

）A．當時，若只能作兩條切線，則B．當，時，則可作三條切線C．當時，可作三條切線，則D．當，時，有且只有兩條切線【答案】AC【解析】函數(shù)，所以，設切點，則切線的斜率為，則切線方程為：，選項A，當時，則，設，所以，所以，當，，單調遞減，當，，單調遞增，如圖：當時，取得極小值，極小值為0，當時，取得極大值，極小值為，若只能做兩條切線，與有且只有兩個交點，則，故選項正確；選項B，當時，時，則與有且只有一個交點，因此可做一條切線，故該選項錯誤；選項C，當時，則，設，所以，因為，所以，當，，單調遞減，當，，單調遞增，如圖：所以，當時，取得極小值，極小值為，當時，取得極大值，極小值為，由可作三條切線，則與有3個交點，則，故該選項正確；選項D，當時，則，此時，設，所以，，所以單調遞減，且，如圖：所以，當時，與只有1個交點，因此有且只有1條切線，故該選項錯誤.故選：AC.4．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））若曲線與曲線存在2條公共切線，則a的值是_________．【答案】【解析】設公切線在上的切點為，在上的切點為，則曲線在切點的切線方程的斜率分別為，，對應的切線方程