2024年新高中考試數(shù)學(xué)解答題模擬訓(xùn)練-概率統(tǒng)計(jì)（答案版）

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】專題03概率統(tǒng)計(jì)1．（2023·陜西寶雞·校考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)池塘里的魚的數(shù)目記為N，從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標(biāo)識(shí)，然后把魚放回池塘里，過一小段時(shí)間后再從池塘里撈出500尾魚，表示撈出的500尾魚中有標(biāo)識(shí)的魚的數(shù)目．(1)若，求的數(shù)學(xué)期望；(2)已知撈出的500尾魚中15尾有標(biāo)識(shí)，試給出N的估計(jì)值（以使得最大的N的值作為N的估計(jì)值）．【答案】(1)20(2)6666【分析】（1）首先求出標(biāo)魚占總體的比例，再分析其符合超幾何分布，根據(jù)超幾何分布期望的計(jì)算公式即可得到答案.（2）首先計(jì)算出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，計(jì)算，從而得到的單調(diào)性，最后得到其最大值.【詳解】（1）依題意X服從超幾何分布，且，故．（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，則．由，當(dāng)且僅當(dāng)，則可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，最大，所以N的估計(jì)值為6666．2．（2023春·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且上場(chǎng)順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）(1)求甲隊(duì)明星隊(duì)員在前四局比賽中不出場(chǎng)的前提下，甲乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；(2)求甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；(3)若已知甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場(chǎng)的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）事件“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件“甲隊(duì)第局獲勝”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；（2）討論上場(chǎng)或不上場(chǎng)兩種情況，應(yīng)用全概率公式求甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；（3）利用貝葉斯公式求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場(chǎng)的概率.【詳解】（1）事件“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件“甲隊(duì)第局獲勝”，其中相互獨(dú)立.又甲隊(duì)明星隊(duì)員前四局不出場(chǎng)，故，，所以.（2）設(shè)為甲3局獲得最終勝利，為前3局甲隊(duì)明星隊(duì)員上場(chǎng)比賽，由全概率公式知，，因?yàn)槊棵?duì)員上場(chǎng)順序隨機(jī)，故，，所以.（3）由（2），.3．（2023春·江蘇連云港·高二?？计谥校榱送卣箤W(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生對(duì)航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識(shí)答題競(jìng)賽，每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對(duì)得20分，答錯(cuò)得10分：從第2次答題開始，答對(duì)則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯(cuò)得10分.學(xué)生甲參加答題競(jìng)賽，每次答對(duì)的概率為，各次答題結(jié)果互不影響.(1)求甲前3次答題得分之和為40分的概率；(2)記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.①寫出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫出結(jié)果，不必證明）：②若，求i的最小值.【答案】(1)；(2)①，，且；②5.【分析】（1）甲甲前3次答題得分之和為40分的事件是甲前3次答題中恰答對(duì)一次的事件，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算作答.（2）①求出，再分析、寫出與滿足的等量關(guān)系式作答；②利用構(gòu)造法求出的通項(xiàng)，列出不等式并結(jié)合單調(diào)性作答.【詳解】（1）甲前3次答題得分之和為40分的事件是：甲前3次答題中僅只答對(duì)一次的事件，所以甲前3次答題得分之和為40分的概率.（2）①甲第1次答題得20分、10分的概率分別為，則，甲第2次答題得40分、20分、10分的概率分別為，則，顯然，，甲第次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，因此第次答對(duì)題所得分?jǐn)?shù)為，答錯(cuò)題所得分?jǐn)?shù)為10分，其概率分別為，于是甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以與滿足的等量關(guān)系式是：，，且；②由①知，，當(dāng)時(shí)，，而，因此數(shù)列以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，于是，由得：，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，而，則有正整數(shù)，所以i的最小值是5.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)新投入（單位：千萬元）對(duì)每件產(chǎn)品成本（單位：元）的影響，對(duì)近年的年技術(shù)創(chuàng)新投入和每件產(chǎn)品成本的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下散點(diǎn)圖，并計(jì)算得：，，，，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知，可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程；(2)已知該產(chǎn)品的年銷售額（單位：千萬元）與每件產(chǎn)品成本的關(guān)系為.該企業(yè)的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入，還要投入其他成本千萬元，根據(jù)（1）的結(jié)果回答：當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？（注：年利潤=年銷售額一年投入成本）參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小乘估計(jì)分別為：，.【答案】(1)(2)當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為千萬元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值取最大值【分析】（1）令，可得出關(guān)于的線性回歸方程為，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出關(guān)于的回歸方程；（2）由可得，可計(jì)算出年利潤關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值及其對(duì)應(yīng)的值.【詳解】（1）解：令，則關(guān)于的線性回歸方程為，由題意可得，，則，所以，關(guān)于的回歸方程為.（2）解：由可得，年利潤，當(dāng)時(shí)，年利潤取得最大值，此時(shí)，所以，當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為千萬元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值取最大值.5．（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目之一．冰壺比賽的場(chǎng)地如圖所示，其中左端（投擲線MN的左側(cè)）有一個(gè)發(fā)球區(qū)，運(yùn)動(dòng)員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺?cái)S出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場(chǎng)上冰壺最終靜止時(shí)距離營壘區(qū)圓心O的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)，甲、乙兩人進(jìn)行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓O中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)A中，得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．(1)求甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之和為X，求X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由兩人同時(shí)得0分、1分、2分、3分計(jì)算概率并相加即可；（2）由題意X可能取值為0，1，2，3，4，5，6，分別計(jì)算出概率的分布列，由期望公式計(jì)算期望．【詳解】（1）由題意知甲得0分的概率為，乙得0分的概率為，所以甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)相同的概率為．（2）X可能取值為0，1，2，3，4，5，6，則，，，，，，，所以，隨機(jī)變量X的分布列為：X0123456P所以．6．（2023春·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？计谀┤斯ぶ悄苁茄芯坑糜谀M和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個(gè)基本原理：首先確定先驗(yàn)概率，然后通過計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對(duì)，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ?；有完全相同的甲、乙兩個(gè)袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球.從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再從該袋子中等可能摸出一個(gè)球，稱為一次試驗(yàn).若多次試驗(yàn)直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗(yàn)概率）.(1)求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；(2)在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對(duì)選到甲袋或乙袋的概率（先驗(yàn)概率）進(jìn)行調(diào)整.①求選到的袋子為甲袋的概率，②將首次試驗(yàn)摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案；方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個(gè)袋子中摸球.請(qǐng)通過計(jì)算，說明選擇哪個(gè)方案第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.【答案】(1)(2)①；②方案二中取到紅球的概率更大.【分析】（1）根據(jù)全概率公式，解決抽簽問題；（2）利用條件概率公式計(jì)算，根據(jù)數(shù)據(jù)下結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)試驗(yàn)一次，“取到甲袋”為事件，“取到乙袋”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為紅球”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為白球”為事件，（1）.所以試驗(yàn)一次結(jié)果為紅球的概率為.（2）①因?yàn)椋菍?duì)立事件，，所以，所以選到的袋子為甲袋的概率為.②由①得，所以方案一中取到紅球的概率為：，方案二中取到紅球的概率為：，因?yàn)?，所以方案二中取到紅球的概率更大.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年冬奧會(huì)在北京舉行，冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評(píng)不斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀(jì)念品在專賣店進(jìn)行售賣.已知這款紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價(jià)格，調(diào)查了對(duì)這款紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者（以下把對(duì)該紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者簡(jiǎn)稱為消費(fèi)者）的心理價(jià)位，并將收集的100名消費(fèi)者的心理價(jià)位整理如下：心理價(jià)位（元/件）90100110120人數(shù)10205020假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格小于或等于某位消費(fèi)者的心理價(jià)位時(shí)，該消費(fèi)者就會(huì)購買該紀(jì)念品.公司為了滿足更多消費(fèi)者的需求，規(guī)定每位消費(fèi)者最多只能購買一件該紀(jì)念品.設(shè)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格為x（單位：元/件），，且每位消費(fèi)者是否購買該紀(jì)念品相互獨(dú)立.用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，頻率視為概率.(1)若，試估計(jì)消費(fèi)者購買該紀(jì)念品的概率；已知某時(shí)段有4名消費(fèi)者進(jìn)店，X為這一時(shí)段該紀(jì)念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)假設(shè)共有M名消費(fèi)者，設(shè)該公司售賣這款紀(jì)念品所得總利潤為Y（單位：元），當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格x定為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【答案】(1)分布列見解析，期望為3.6；(2)當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格定為110元多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值．【分析】（1）由調(diào)查表得出每個(gè)人購買紀(jì)念品的概念為，而，由二項(xiàng)分布計(jì)算概率的分布列，由二項(xiàng)分布的期望公式得期望；（2）利用二項(xiàng)分布的期望公式求出時(shí)的期望，比較得最大值．【詳解】（1）時(shí)，消費(fèi)者購買該紀(jì)念品的概率，由題意，，，，同理，，，，的分布列為：01234；（2）由（1）知時(shí)，（時(shí)等號(hào)成立），時(shí)，（時(shí)等號(hào)成立），時(shí)，（時(shí)等號(hào)成立），，因此最大，此時(shí)．所以當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格定為110元多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值．8．（2023春·安徽安慶·高二安慶一中?？茧A段練習(xí)）口袋中共有7個(gè)質(zhì)地和大小均相同的小球，其中4個(gè)是黑球，現(xiàn)采用不放回抽取方式每次從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，直到將4個(gè)黑球全部取出時(shí)停止.(1)記總的抽取次數(shù)為X，求E（X）；(2)現(xiàn)對(duì)方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個(gè)球分裝在甲乙兩個(gè)口袋中，甲袋裝3個(gè)小球，其中2個(gè)是黑球；乙袋裝4個(gè)小球，其中2個(gè)是黑球.采用不放回抽取方式先從甲袋每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)甲袋的2個(gè)黑球被全部取出后再用同樣方式在乙袋中進(jìn)行抽取，直到將乙袋的2個(gè)黑球也全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求E（Y）并從實(shí)際意義解釋E（Y）與（1）中的E（X）的大小關(guān)系.【答案】(1)(2)6，答案見解析【分析】（1）確定X可能取值為4，5，6，7，分別求出概率后，由期望公式計(jì)算出期望；（2）Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和，利用獨(dú)立事件概率公式求得的概率，再由期望公式計(jì)算出期望，根據(jù)白球?qū)θ〉胶谇虻挠绊懻f明期望的大小關(guān)系．【詳解】（1）X可能取值為4，5，6，7，，；（2）Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和

，，，，，.在將球分裝時(shí)，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此時(shí)甲袋中還有其它球，則該球的干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是要取出4個(gè)黑球，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我市為了解學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長度是否與性別因素有關(guān)，從某幾所學(xué)校中隨機(jī)調(diào)查了男?女生各100名的平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間，得到如下數(shù)據(jù)：分鐘性別（0，40]（40，60]（60，90]（90，120]女生10404010男生5254030根據(jù)學(xué)生課余體育運(yùn)動(dòng)要求，平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（60，120]內(nèi)認(rèn)定為“合格”，否則被認(rèn)定為“不合格”，其中，平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（90，120]內(nèi)認(rèn)定為“良好”.(1)完成下列22列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別因素有無關(guān)聯(lián)；不合格合格合計(jì)女生男生合計(jì)(2)從女生平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的100人中用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機(jī)抽取2人，記為2人中平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為“良好”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，其中平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為“良好”的人數(shù)設(shè)為，記“平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為'良好'的人數(shù)為”的概率為，視頻率為概率，用樣本估計(jì)總體，求的表達(dá)式，并求取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的值.附：，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(3)，【分析】（1）通過題意可得列聯(lián)表，計(jì)算的值，可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣的比例可得抽取的女生平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的人數(shù)，確定的取值，根據(jù)超幾何分布可求得每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即得分布列，從而計(jì)算數(shù)學(xué)期望；（3）通過題意可得滿足二項(xiàng)分布，能得到，然后通過作商法可得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可得到答案【詳解】（1）由題意可知，22列聯(lián)表如下表不合格合格合計(jì)女生5050100男生3070100合計(jì)80120200零假設(shè)為：性別與學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立即認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于；（2）抽取的20人中，女生平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的人數(shù)分別為2人，8人，8人，2人，易知的所有可能取值為，，，，所以的分布列為012所以數(shù)學(xué)期望為；（3）平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的頻率為，由題意可知，所以，由，得，所以，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，即取最大值時(shí)，.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年，全國政協(xié)十四屆一次會(huì)議于3月4日下午3時(shí)在人民大會(huì)堂開幕，3月11日下午閉幕，會(huì)期7天半；十四屆全國人大一次會(huì)議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會(huì)期8天半.為調(diào)查學(xué)生對(duì)兩會(huì)相關(guān)知識(shí)的了解情況，某高中學(xué)校開展了兩會(huì)知識(shí)問答活動(dòng)，現(xiàn)從全校參與該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取320名學(xué)生，他們的得分（滿分100分）的頻率分布折線圖如下.(1)若此次知識(shí)問答的得分，用樣本來估計(jì)總體，設(shè)，分別為被抽取的320名學(xué)生得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，求的值；(2)學(xué)校對(duì)這些被抽取的320名學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：用頻率估計(jì)概率，得分小于或等于55的學(xué)生獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分高于55的學(xué)生獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽獎(jiǎng)抽到價(jià)值10元的學(xué)習(xí)用品的概率為，抽到價(jià)值20元的學(xué)習(xí)用品的概率為.從這320名學(xué)生中任取一位，記該同學(xué)在抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（用分?jǐn)?shù)表示），并估算此次抽獎(jiǎng)要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額.參考數(shù)據(jù)：，，，，.【答案】(1)(2)分布列見解析，，元【分析】（1）先根據(jù)頻率分布折線圖求平均值及方差，再根據(jù)正態(tài)分布公式計(jì)算概率即可；（2）先分析獲獎(jiǎng)金額的情況，再列出相關(guān)分布列計(jì)算即可.【詳解】（1）由折線圖可知：，，所以，，所以.（2）由題意可知的可能取值為10，20，30，40，則，，，，，，所以的分布列為10203040P，故此次抽獎(jiǎng)要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額約為元.11．（2023春·福建南平·高二福建省南平市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┠硨W(xué)校為了迎接黨的二十大召開，增進(jìn)全體教職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，組織開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，比賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中.(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個(gè)題目，求第2題抽到的是填空題的概率；(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時(shí)，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個(gè)題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個(gè)選擇題的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，分別求出概率，根據(jù)全概率公式即可（2）設(shè)事件為“第三支部從乙箱中抽1個(gè)選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，則??彼此互斥，求出相關(guān)的概率，再根據(jù)條件概率求解即可.【詳解】（1）設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，，2，，，由全概率公式得：第2次抽到填空題的概率為：；（2）設(shè)事件為“第三支部從乙箱中抽1個(gè)選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，則??彼此互斥，且，，，，，，，所求概率即是發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國風(fēng)云系列衛(wèi)星可以監(jiān)測(cè)氣象和國土資源情況．某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測(cè)雨量x（單位：dm）與遙測(cè)雨量y（單位：dm）的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如下：樣本號(hào)i12345678910人工測(cè)雨量xi5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遙測(cè)雨量yi5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49|xiyi|0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并計(jì)算得(1)求該地區(qū)汛期遙測(cè)雨量y與人工測(cè)雨量x的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)規(guī)定：數(shù)組（xi，yi）滿足|xiyi|<0.1為“Ⅰ類誤差”；滿足0.1≤|xiyi|<0.3為“Ⅱ類誤差”；滿足|xiyi|≥0.3為“Ⅲ類誤差”．為進(jìn)一步研究，該地區(qū)水文研究人員從“Ⅰ類誤差”、“Ⅱ類誤差”中隨機(jī)抽取3組數(shù)據(jù)與“Ⅲ類誤差”數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，記抽到“Ⅰ類誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．附：相關(guān)系數(shù)【答案】(1)0.98，汛期遙測(cè)雨量y與人工測(cè)雨量x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)公式求出樣本相關(guān)系數(shù)，由數(shù)據(jù)判斷線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；（2）由的所有可能取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，得到分布列，再求數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因?yàn)?，…代入已知?shù)據(jù)，得．所以汛期遙測(cè)雨量y與人工測(cè)雨量x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.（2）依題意，“I類誤差”有5組，“II類誤差”有3組，“III類誤差”有2組．若從“I類誤差”和“II類誤差”數(shù)據(jù)中抽取3組，抽到“I類誤差”的組數(shù)的所有可能取值為.

則，，，.

所以的概率分布為0123P所以X的數(shù)學(xué)期望.

另解：因?yàn)?，所?13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校為全面加強(qiáng)和改進(jìn)學(xué)校體育工作，推進(jìn)學(xué)校體育評(píng)價(jià)改革，建立了日常參與，體質(zhì)監(jiān)測(cè)和專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能測(cè)試相結(jié)合的考查機(jī)制，在一次專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能測(cè)試中，該校班機(jī)抽取60名學(xué)生作為樣本進(jìn)行耐力跑測(cè)試，這60名學(xué)生的測(cè)試成績等級(jí)及頻數(shù)如下表成績等級(jí)優(yōu)良合格不合格頻數(shù)711411(1)從這60名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，這2名學(xué)生中耐力跑測(cè)試成績等級(jí)為優(yōu)或良的人數(shù)記為X，求；(2)將樣本頻率視為概率，從該校的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生參加野外拉練活動(dòng)，耐力跑測(cè)試成績等級(jí)為優(yōu)或良的學(xué)生能完成該活動(dòng)，合格或不合格的學(xué)生不能完成該活動(dòng)，能完成活動(dòng)的每名學(xué)生得100分，不能完成活動(dòng)的每名學(xué)生得0分．這3名學(xué)生所得總分記為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)；(2)90.【分析】（1）由題意根據(jù)古典概率公式可求得答案；（2）由題得Y可以取0，100，200，300，分別求得Y取每一個(gè)隨機(jī)變量的概率得出Y的分布列，由期望公式可求得答案．【詳解】（1）解：由題意得；（2）解：能完成活動(dòng)的概率為，不能完成活動(dòng)的概率為，由題得Y可以取0，100，200，300，則，，，，所以Y的分布列為：Y0100200300P則Y的數(shù)學(xué)期望為．14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（The

XXIV

OlympicWinterGames），即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕．北京冬季奧運(yùn)會(huì)設(shè)7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng)．北京賽區(qū)承辦所有的冰上項(xiàng)目；延慶賽區(qū)承辦雪車、雪橇及高山滑雪項(xiàng)目；張家口賽區(qū)的崇禮區(qū)承辦除雪車、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上項(xiàng)目．某運(yùn)動(dòng)隊(duì)擬派出甲、乙、丙三人去參加自由式滑雪．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽．已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和，其中．(1)甲、乙、丙三人中，誰進(jìn)入決賽的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)入決賽的概率為，求p的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)進(jìn)入決賽的人數(shù)為，求的分布列．【答案】(1)甲進(jìn)入決賽可能性最大(2)(3)分布列見解析【分析】（1）分別求出甲、乙、丙三人初賽的兩輪均獲勝的概率，然后比較即可；（2）利用相互獨(dú)立事件的概率的求法分別求出甲和乙進(jìn)入決賽的概率、乙和丙進(jìn)入決賽的概率、甲和丙進(jìn)入決賽的概率，即可通過甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)入決賽的概率為，列方程求解；（3）先確定進(jìn)入決賽的人數(shù)為的取值，依次求出每一個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率，列表即可.【詳解】（1）甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：∵，∴，∴∴甲進(jìn)入決賽可能性最大．（2）整理得，解得或，又∵，∴；（3）由（2）得，丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：，進(jìn)入決賽的人數(shù)為可能取值為，，，，，，，，∴的分布列為0123P15．（2023春·江蘇徐州·高二徐州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某地舉行象棋比賽，淘汰賽階段的比賽規(guī)則是：兩人一組，先勝一局者進(jìn)入復(fù)賽，敗者淘汰.比賽雙方首先進(jìn)行一局慢棋比賽，若和棋，則加賽快棋；若連續(xù)兩局快棋都是和棋，則再加賽一局超快棋，超快棋只有勝與負(fù)兩種結(jié)果.在甲與乙的比賽中，甲慢棋比賽勝與和的概率分別為，，快棋比賽勝與和的概率均為，超快棋比賽勝的概率為，且各局比賽相互獨(dú)立.(1)求甲恰好經(jīng)過三局進(jìn)入復(fù)賽的概率；(2)記淘汰賽階段甲與乙比賽的局?jǐn)?shù)為X，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）前兩局和棋最后一局甲勝，按照乘法公式計(jì)算概率即可；（2）的所有可能取值為，依次計(jì)算出概率，列出分布列，再計(jì)算期望即可.【詳解】（1）前兩局和棋最后一局甲勝，.（2）的所有可能取值為，乙慢棋比賽勝概率，乙快棋比賽勝概率，乙超快棋比賽勝概率.，的分布列為1234.16．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進(jìn)行比賽，若甲每場(chǎng)比賽獲勝概率均為，且每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則由對(duì)稱性可知，在5場(chǎng)比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場(chǎng)的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．(1)若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；(2)若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，根據(jù)對(duì)稱性可知?jiǎng)t甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等可得答案；（2）分①出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)；②出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)；③出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，由對(duì)稱性可得答案．【詳解】（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，，由對(duì)稱性可知?jiǎng)t甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等，故；（2）可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，①如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，則第次甲必須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)；②如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然不大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為；③如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，由對(duì)稱性可知，故，而由，可得．17．（2023春·山西朔州·高二統(tǒng)考期末）某市舉行招聘考試，共有4000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過后參加復(fù)試．為了解考生的考試情況，隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，試求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；(2)若所有考生的初試成績X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試估計(jì)初試成績不低于88分的人數(shù)；(3)復(fù)試共三道題，第一題考生答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，后兩題考生每答對(duì)一道題得10分，答錯(cuò)得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績．已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復(fù)試成績?yōu)閅，求Y的分布列及均值．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則：，，．【答案】(1)(2)人(3)分布列見解析，均值為【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的估算公式即可求解；(2)由可知即可求解；(3)根據(jù)題意確定Y的取值分別為0，5，10，15，20，25，利用獨(dú)立性可求得分布列，進(jìn)而求得均值.【詳解】（1）樣本平均數(shù)的估計(jì)值為．（2）因?yàn)閷W(xué)生初試成績X服從正態(tài)分布，其中，，則，所以，所以估計(jì)初試成績不低于88分的人數(shù)為人．（3）Y的取值分別為0，5，10，15，20，25，則，，，，，，故Y的分布列為：Y0510152025P所以數(shù)學(xué)期望為．18．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽，競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng)，為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競(jìng)賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示．(1)現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率；(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：（i）若該市共有10000名學(xué)生參加了競(jìng)賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；（ii）若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機(jī)取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競(jìng)賽成績?cè)?4分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．附參考數(shù)據(jù)，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)；(2)（i）1587；（ii）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）根據(jù)樣本頻率分布直方圖確定獲獎(jiǎng)人數(shù)，再求得從該樣本中隨機(jī)抽取的兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績基本事件總數(shù)，與“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)”情況數(shù)，利用古典概型計(jì)算概率即可；（2）由樣本頻率分布直方圖得，求解樣本平均數(shù)的估計(jì)值，即可得正泰分布的均值，按照正態(tài)分布的性質(zhì)求解參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)；由樣本估計(jì)總體可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布確定概率分布列與數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由樣本頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎(jiǎng)的有6人，獲二等獎(jiǎng)的有8人，獲三等獎(jiǎng)的有16人，共有30人獲獎(jiǎng)，70人沒有獲獎(jiǎng)．從該樣本中隨機(jī)抽取的兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績，基本事件總數(shù)為，設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)”為事件A，則事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為，因?yàn)槊總€(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，所以，即抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為．（2）由樣本頻率分布直方圖得，樣本平均數(shù)的估計(jì)值，則所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布．（?。┮?yàn)椋裕蕝①悓W(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)為．（ⅱ）由，得，即從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生競(jìng)賽成績?cè)?4分以上的概率為．所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以，，，．所以隨機(jī)變量的分布列為：0123P均值．19．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟(jì)蒼生.中國工程院院士張伯禮在接受記者采訪時(shí)說：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展為重癥病人的幾率.對(duì)改善發(fā)熱?咳嗽?乏力等癥狀，中藥起效非?？欤瑢?duì)肺部炎癥的吸收和病毒轉(zhuǎn)陰都有明顯效果.”2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情，醫(yī)護(hù)人員對(duì)確診患者進(jìn)行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A，B兩組，A組服用甲種中藥，B組服用乙種中藥.服藥一個(gè)療程后，A組中每人康復(fù)的概率都為，B組3人康復(fù)的概率分別為，，.(1)設(shè)事件C表示A組中恰好有1人康復(fù)，事件D表示B組中恰好有1人康復(fù)，求；(2)若服藥一個(gè)療程后，每康復(fù)1人積2分，假設(shè)認(rèn)定：積分期望值越高藥性越好，請(qǐng)問甲?乙兩種中藥哪種藥性更好？【答案】(1)(2)甲種中藥藥性更好【分析】（1）分別計(jì)算出示A組中恰好有1人康復(fù)，B組中恰好有1人康復(fù)的概率，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的計(jì)算方法，求得答案;（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求得A組中服用甲種中藥康復(fù)人數(shù)積分的期望值，再計(jì)算出B組中服用乙種中藥康復(fù)人數(shù)積分的期望值，比較可得答案.【詳解】（1）依題意有，，.又事件C與D相互獨(dú)立，則，所以.（2）設(shè)A組中服用甲種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則，所以.設(shè)A組的積分為，則，所以.設(shè)B組中服用乙種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則的可能取值為：0,1,2,3,，，，，故的分布列為0123所以,設(shè)B組的積分為，則，所以,因?yàn)?，所以甲種中藥藥性更好.20．（2023春·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）乒乓球被稱為我國的國球，是一種深受人們喜愛的球類體育項(xiàng)目.某次乒乓球比賽中，比賽規(guī)則如下：比賽以11分為一局，采取七局四勝制.在一局比賽中，先得11分的選手為勝方；如果比賽一旦出現(xiàn)10平，先連續(xù)多得2分的選手為勝方.(1)假設(shè)甲選手在每一分爭(zhēng)奪中得分的概率為.在一局比賽中，若現(xiàn)在甲?乙兩名選手的得分為8比8平，求這局比賽甲以先得11分獲勝的概率；(2)假設(shè)甲選手每局獲勝的概率為，在前三局甲獲勝的前提下，記X表示到比賽結(jié)束時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)X1234p數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）分析出兩種情況，甲乙再打3個(gè)球，這三個(gè)均為甲贏和甲乙再打4個(gè)球，其中前三個(gè)球甲贏兩個(gè)，最后一個(gè)球甲贏，分別求出概率，相加即為結(jié)果；（2）求出X的可能取值為1，2，3，4，及對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，求出期望值.【詳解】（1）設(shè)這局比賽甲以先得11分獲勝為事件A，則事件A中包含事件B和事件C，事件B：甲乙再打3個(gè)球，甲先得11分獲勝，事件C：甲乙再打4個(gè)球，甲先得11分獲勝.事件B：甲乙再打3個(gè)球，這三個(gè)球均為甲贏，則，事件C：甲乙再打4個(gè)球，則前三個(gè)球甲贏兩個(gè)，最后一個(gè)球甲贏，則；則（2）X的可能取值為1，2，3，4.，，，，所以X的分布列為：X1234p其中.即數(shù)學(xué)期望為.21．（2023春·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為了解春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)大年初三上午9：20~10：40這一時(shí)間段內(nèi)有600輛車通過，將其通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻繪成頻率分布直方圖.其中時(shí)間段9：20~9：40記作區(qū)間，9：40~10：00記作，10：00~10：20記作，10：20~10：40記作，例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.(1)估計(jì)這600輛車在9：20~10：40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，記X為9：20~10：00之間通過的車輛數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9：20~10：40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9：46~10：40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）將直方圖中每個(gè)小長方形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)作為該組數(shù)據(jù)的代表值，頻率作為權(quán)重，加權(quán)平均即可．（2）抽樣比為，計(jì)算出各區(qū)間抽取的車輛數(shù)，找到隨機(jī)變量的所有可能的取值，計(jì)算出每個(gè)對(duì)應(yīng)的概率，列分布列，求期望即可．（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出方差，再結(jié)合（1）求出的期望，得到，再根據(jù)其對(duì)稱性處理即可．【詳解】（1）解：這600輛車在時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為，即（2）解：結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在前通過的車輛數(shù)就是位于時(shí)間分組中在，這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即，所以的可能的取值為0，1，2，3，4．所以，，，，，所以的分布列為：01234所以．（3）由（1）得，，所以，估計(jì)在之間通過的車輛數(shù)也就是在，通過的車輛數(shù)，由，，得，所以估計(jì)在之間通過的車輛數(shù)為輛．22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)證明見解析【分析】（1）運(yùn)用古典概型求概率即可.（2）根據(jù)已知條件計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的分布列及期望.（3）運(yùn)用條件概率及概率加法公式計(jì)算可證明結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，因?yàn)?0天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為，所以．（2）由題意知，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.3，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.4，記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為X12P0.10.9所以X的數(shù)學(xué)期望（3）證明：由題知，所以，所以，所以，即：，所以，即.23．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）某家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了近期連續(xù)120天蘋果的日銷售量(單位：)，并繪制頻率分布直方圖如下：（1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該水果店蘋果日銷售量的眾數(shù)和平均數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)（2）一次進(jìn)貨太多，水果會(huì)變得不新鮮；進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能80%地滿足顧客的需求(在10天中，大約有8天可以滿足顧客的需求).請(qǐng)問每天應(yīng)該進(jìn)多少千克蘋果？(精確到整數(shù)位)【答案】（1）眾數(shù)為為85，平均數(shù)為；（2）每天應(yīng)該進(jìn)98千克蘋果.【分析】（1）在圖中找最高的矩形對(duì)應(yīng)的值即為眾數(shù)，利用平均數(shù)公式求平均數(shù)；（2）由題意分析需要找概率為0.8對(duì)應(yīng)的數(shù)，類比在頻率分布直方圖中找中位數(shù)的方法即可求解.【詳解】（1）如圖示：區(qū)間頻率最大，所以眾數(shù)為85，平均數(shù)為：（2）日銷售量[60，90)的頻率為，日銷量[60，100)的頻率為，故所求的量位于由得故每天應(yīng)該進(jìn)98千克蘋果.【點(diǎn)睛】從頻率分布直方圖可以估計(jì)出的幾個(gè)數(shù)據(jù)：(1)眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)平均數(shù)：頻率分布直方圖每組數(shù)值的中間值乘以頻率后相加；(3)中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于y軸的直線橫坐標(biāo)．24．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）放行準(zhǔn)點(diǎn)率是衡量機(jī)場(chǎng)運(yùn)行效率和服務(wù)質(zhì)量的重要指標(biāo)之一.某機(jī)場(chǎng)自2012年起采取相關(guān)策略優(yōu)化各個(gè)服務(wù)環(huán)節(jié)，運(yùn)行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)與該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率（）（單位：百分比）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所作的散點(diǎn)圖及經(jīng)過初步處理后得到的一些統(tǒng)計(jì)量的值.2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中，(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y關(guān)于年份數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由此預(yù)測(cè)2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地的航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率.(2)已知2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地?B地和其他地區(qū)的航班比例分別為0.2、0.2和0.6.若以（1）中的預(yù)測(cè)值作為2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值，且2023年該機(jī)場(chǎng)飛往B地及其他地區(qū)（不包含A、B兩地）航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值分別為和，試解決以下問題：（i）現(xiàn)從2023年在該機(jī)場(chǎng)起飛的航班中隨機(jī)抽取一個(gè)，求該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機(jī)場(chǎng)準(zhǔn)點(diǎn)放行，判斷該航班飛往A地、B地、其他地區(qū)等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說明你的理由.附：（1）對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】(1)適宜，預(yù)測(cè)2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地的航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率(2)（i）0.778；（ii）可判斷該航班飛往其他地區(qū)的可能性最大，理由見解析【分析】（1）根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算公式，選擇合適的模型計(jì)算即可；（2）利用全概率公式和條件概率公式，即可根據(jù)概率判斷可能性最大的情況.【詳解】（1）由散點(diǎn)圖判斷適宜作為該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y關(guān)于年份數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.令，先建立y關(guān)于t的線性回歸方程.由于，，該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y關(guān)于t的線性回歸方程為，因此y關(guān)于年份數(shù)x的回歸方程為所以當(dāng)時(shí)，該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y的預(yù)報(bào)值為.所以2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y的預(yù)報(bào)值為.（2）設(shè)“該航班飛往A地”，“該航班飛往B地”，“該航班飛往其他地區(qū)”，“該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行”，則，，，，，.（i）由全概率公式得，，所以該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行的概率為0.778.（ii），，，因?yàn)椋钥膳袛嘣摵桨囡w往其他地區(qū)的可能性最大.25．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了調(diào)動(dòng)大家積極學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識(shí)的競(jìng)賽．初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)單位派出兩個(gè)小組，且每個(gè)小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格．某單位派出甲、乙兩個(gè)小組參賽，在初賽中，若甲小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且各個(gè)小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.(1)若該單位獲得決賽資格的小組個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)已知甲、乙兩個(gè)小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進(jìn)行．假設(shè)這兩組在決賽中對(duì)每個(gè)問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率．若最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個(gè)小組搶到該題的可能性分別是45%，55%，該題如果被答對(duì)，計(jì)算恰好是甲小組答對(duì)的概率．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先算出甲乙通過兩輪制的初賽的概率，的取值有分三種情況解決.(2)先算出一個(gè)題被答對(duì)的概率，然后再算出被甲答對(duì)的概率，然后再根據(jù)條件概率求解.【詳解】（1）設(shè)甲乙通過兩輪制的初賽分別為事件則由題意可得，的取值有則的分布列為：所以（2）設(shè)甲乙兩組對(duì)每個(gè)問題回答正確的概率分別為，兩組在決賽中對(duì)每個(gè)問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，則一個(gè)題被甲小組搶到為事件，則，設(shè)一個(gè)題答對(duì)為事件，則該題如果被答對(duì)，恰好是甲小組答對(duì)即為26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時(shí)代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.月份x12345銷售量y（萬件）4.95.86.88.310.2該公司為了預(yù)測(cè)未來幾個(gè)月的銷售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（的值精確到0.1）；(2)已知該公司的月利潤z（單位：萬元）與x，y的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司哪一個(gè)月的月利潤預(yù)報(bào)值最大？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1)；(2)第9個(gè)月的月利潤預(yù)報(bào)值最大【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)與回歸方程的公式進(jìn)行求解，得到回歸方程；（2）結(jié)合第一問所求得到關(guān)于的函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，極值及最值，求出答案.（1）令，則，，，，所以y關(guān)于x的回歸方程為；（2）由（1）知：，，令，令得：，令得：，令得：，所以在處取得極大值，也是最大值，所以第9個(gè)月的月利潤預(yù)報(bào)值最大.27．（2023春·江蘇南通·高二海門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）飛盤運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)入門簡(jiǎn)單，又具有極強(qiáng)的趣味性和社交性的體育運(yùn)動(dòng)，目前已經(jīng)成為了年輕人運(yùn)動(dòng)的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)該地區(qū)的年輕人進(jìn)行了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到如下列聯(lián)表:性別飛盤運(yùn)動(dòng)合計(jì)不愛好愛好男61622女42428合計(jì)104050(1)在上述愛好飛盤運(yùn)動(dòng)的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)解釋其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】(1)分別寫出對(duì)相應(yīng)概率列分布列求數(shù)學(xué)期望即可；(2)先求再根據(jù)數(shù)表對(duì)應(yīng)判斷相關(guān)性即可，對(duì)比兩次的值可以得出結(jié)論說明原因.【詳解】（1）樣本中愛好飛盤運(yùn)動(dòng)的年輕人中男性16人，女性24人，比例為，按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人.隨機(jī)變量的取值為:.,,隨機(jī)變量的分布列為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（2）零假設(shè)為:愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表重的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)聯(lián).列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍后，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián).所以結(jié)論不一樣，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化.28．（2023春·湖南長沙·高二長沙市長郡梅溪湖中學(xué)?？计谥校┠掣呖萍脊緦?duì)其產(chǎn)品研發(fā)年投資額x（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表和散點(diǎn)圖.x123456y0.511.53612-0.700.41.11.82.5(1)該公司科研團(tuán)隊(duì)通過分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃分別用①和②兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年投資額x的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（注：系數(shù)b，a，d，c按四舍五入保留一位小數(shù)）(2)根據(jù)下表中數(shù)據(jù)，用相關(guān)指數(shù)（不必計(jì)算，只比較大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪個(gè)更好，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)當(dāng)研發(fā)年投資額為8百萬元時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量是多少？經(jīng)驗(yàn)回歸方程殘差平方和18.290.65參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，.【答案】(1)，(2)30（千件）【分析】（1）求出，根據(jù)公式計(jì)算出得線性回歸方程；求出，再求得系數(shù)，，代入得非線性回歸方程；（2）根據(jù)（1）回歸方程分別求得相關(guān)指數(shù)，比較可得，然后估算銷售量即可．【詳解】（1）由題可得，，，，所以，，方案①回歸方程，對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得：，令，是一元線性回歸方程.

，，，方案②回歸方程；（2）方案①相關(guān)指數(shù)；方案②相關(guān)指數(shù)，（有此結(jié)論即給分），故模型②的擬合效果更好，精度更高.當(dāng)研發(fā)年投資額為8百萬元時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量（千件）.29．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）2020年以來，新冠疫情對(duì)商品線下零售影響很大．某商家決定借助線上平臺(tái)開展銷售活動(dòng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)平臺(tái)供選擇，且當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí)，從該商品在兩個(gè)平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷售量統(tǒng)計(jì)如下，商品日銷售量（單位：件）678910甲平臺(tái)的天數(shù)1426262410乙平臺(tái)的天數(shù)1025352010假設(shè)該商品在兩個(gè)平臺(tái)日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響，(1)求“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”的概率，并計(jì)算“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；(2)已知甲平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺(tái)收費(fèi)30元；乙平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費(fèi)，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費(fèi)40元，超過8件的部分，每件收費(fèi)35元．某商家決定在兩個(gè)平臺(tái)中選擇一個(gè)長期合作，從日銷售收入（單價(jià)×日銷售量-平臺(tái)費(fèi)用）的期望值較大的角度，你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策？說明理由．【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)古典概型求解即可得事件的概率，再結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式求解即可得事件的概率；（2）設(shè)甲平臺(tái)的日銷售收入為，乙平臺(tái)的日銷售收入為，進(jìn)而分別求其分布列，進(jìn)而根據(jù)分布列求期望，比較期望大小即可得答案.【詳解】（1）解：令事件“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”，則，令事件“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”，則（2）解：設(shè)甲平臺(tái)的日銷售收入為，則的所有可能取值為所以，的分布列為所以，，設(shè)乙平臺(tái)的日銷售收入為，則的所有可能取值為所以，的分布列為：所以，.所以，令得，令得所以，當(dāng)時(shí)，選擇甲平臺(tái)；當(dāng)時(shí)，甲乙平臺(tái)均可；當(dāng)時(shí)，選擇乙平臺(tái).30．（2023春·高二單元測(cè)試）學(xué)校舉辦學(xué)生與智能機(jī)器人的圍棋比賽，現(xiàn)有來自兩個(gè)班的學(xué)生報(bào)名表，分別裝入兩袋，第一袋有5名男生和4名女生的報(bào)名表，第二袋有6名男生和5名女生的報(bào)名表，現(xiàn)隨機(jī)選擇一袋，然后從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，讓他們參加比賽.(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；(2)比賽記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，兩人同時(shí)贏積2分，一贏一輸積0分，兩人同時(shí)輸積分.現(xiàn)抽中甲、乙兩位同學(xué)，每輪比賽甲贏概率為，乙贏概率為，比賽共進(jìn)行二輪.（i）在一輪比賽中，求這兩名學(xué)生得分的分布列；（ii）在兩輪比賽中，求這兩名學(xué)生得分的分布列和均值.【答案】(1)(2)（i）分布列見解析（ii）分布列見解析，均值為0【分析】（1）設(shè)“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“隨機(jī)抽取2張，恰好抽到一名男生和一名女生的報(bào)名表”，由條件概率公式結(jié)合全概率公式求解；（2）（i）的可能取值為－2，0，2，計(jì)算出相應(yīng)概率，即得分布列；（ii）的可能取值為－4，－2，0，2，4，計(jì)算出相應(yīng)概率，即得分布列和均值；【詳解】（1）設(shè)“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“隨機(jī)抽取2張，恰好抽到一名男生和一名女生的報(bào)名表”由全概率公式得（2）（i）設(shè)在一輪比賽中得分為，則的可能取值為－2，0，2，則得分為的分布列用表格表示－202P（ii）設(shè)在二輪比賽中得分為，則的可能取值為－4，－2，0，2，4，則得分為的分布列用表格表示為－4－2024P31．（2023春·廣東珠?！じ叨楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2022年是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某市團(tuán)委決定舉辦一次共青團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽．該市A縣團(tuán)委為此舉辦了一場(chǎng)選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表A縣參加市共青團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽．已知A縣甲、乙、丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為，，，通過初賽后再通過決賽的概率均為，假設(shè)他們之間通過與否互不影響．(1)求這3人中至少有1人通過初賽的概率；(2)求這3人中至少有1人參加市共青團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽的概率；(3)某品牌商贊助了A縣的這次共青團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽，給參加選拔賽的選手提供了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案：方案一：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎(jiǎng)，每人抽獎(jiǎng)1次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次獎(jiǎng)勵(lì)1000元；方案二：只參加了初賽的選手獎(jiǎng)勵(lì)300元，參加了決賽的選手獎(jiǎng)勵(lì)1000元．若品牌商希望給予選手更多的獎(jiǎng)勵(lì)，試從三人獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．【答案】(1)；(2)；(3)品牌商選擇方案二更好.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出3人都沒通過初賽的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算作答.（2）求出甲、乙、丙都通過決賽的概率，再借助對(duì)立事件的概率公式計(jì)算作答.（3）利用二項(xiàng)分布及期望的性質(zhì)求出方案一獎(jiǎng)金總額的期望，對(duì)方案二，列出獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量的分布列，求出其期望，比較大小作答.【詳解】（1）3人都沒通過初賽的概率為，所以這三人中至少有1人通過初賽的概率．（2）設(shè)事件B表示“甲參加市共青團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽”，事件C表示“乙參加市共青團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽”，事件D表示“丙參加市共青團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽”，則，，3人都不能參加市共青團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽的事件為，所以這3人中至少有1人參加市共青團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽的概率．（3）方案一：設(shè)三人中獎(jiǎng)人數(shù)為X，所獲獎(jiǎng)金總額為Y元，則，且，所以元，方案二：記甲、乙、丙三人獲得獎(jiǎng)金之和為Z元，則Z的所有可能取值為900，1600，2300，3000，，，，，所以Z的分布列為：Z900160023003000P則，因?yàn)?，所以從三人?jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案二更好．32．（2023春·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校食堂中午和晩上都會(huì)提供兩種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生中午選擇類套餐的概率為，選擇類套餐的概率為；在中午選擇類套餐的前提下，晩上還選擇類套餐的概率為，選擇類套餐的概率為；在中午選擇類套餐的前提下，晩上選擇類套餐的概率為，選擇類套餐的概率為.(1)若同學(xué)甲晩上選擇類套餐，求同學(xué)甲中午也選擇類套餐的概率；(2)記某宿舍的4名同學(xué)在晩上選擇類套餐的人數(shù)為，假設(shè)每名同學(xué)選擇何種套餐是相互獨(dú)立的，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）根據(jù)條件概率和全概率公式計(jì)算即可；（2）分別求出,1,2,3,4時(shí)的概率，得到分布列，然后求期望即可.【詳解】（1）設(shè)事件為同學(xué)甲晩上選擇類套餐，事件為同學(xué)甲中午選擇類套餐，事件為同學(xué)甲中午選擇類套餐，則，，所以，即同學(xué)甲晩上選擇類套餐，中午也選擇類套餐的概率為.（2）晩上選擇類套餐的概率；晩上選擇類套餐的概率.所以4名同學(xué)在晩上有個(gè)人選擇類套餐，的所有可能取值為，則，所以，，，，，所以的分布列為01234故.33．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙是北京2022冬奧會(huì)單板滑雪坡面障礙技巧項(xiàng)目的參賽選手，二人在練習(xí)賽中均需要挑戰(zhàn)3次某高難度動(dòng)作，每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有成功和失敗兩種．(1)甲在每次挑戰(zhàn)中，成功的概率都為．設(shè)X為甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)乙在第一次挑戰(zhàn)時(shí)，成功的概率為0.5，受心理因素影響，從第二次開始，每次成功的概率會(huì)發(fā)生改變其規(guī)律為：若前一次成功，則該次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失敗，則該次成功的概率比前一次成功的概率減少0.1．（?。┣笠以谇皟纱翁魬?zhàn)中，恰好成功一次的概率；（ⅱ）求乙在第二次成功的條件下，第三次成功的概率．【答案】(1)分布列見解析，(2)（?。?.4；（ⅱ）0.62．【分析】(1)由已知得，然后列出相應(yīng)分布列即可.(2)根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，列出相應(yīng)的計(jì)算公式，直接計(jì)算求解即可.【詳解】（1）由題意得，，則，其中，則X的分布列為：X0123P則.（2）設(shè)事件為“乙在第i次挑戰(zhàn)中成功”，其中．（?。┰O(shè)事件B為“乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次”，則，則．即乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次的概為0.4．（ⅱ）因?yàn)?，且，所以．即乙在第二次成功的條件下，第三次成功的概率為0.62．34．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）今天，中國航天仍然邁著大步向浩瀚宇宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就．某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的知曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知識(shí)測(cè)試（滿分100分），隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的測(cè)試成績，按照，，，分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測(cè)試成績的中位數(shù)；(2)用樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生的成績?cè)谏系母怕剩笕∽畲笾禃r(shí)對(duì)應(yīng)的k的值；(3)從測(cè)試成績?cè)诘耐瑢W(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機(jī)挑選出4道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽．現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對(duì)4道，乙能答對(duì)3道，且甲、乙兩人各題是否答對(duì)相互獨(dú)立．記甲、乙兩人中進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為，求的分布列及期望．【答案】(1)(2)(3)分布列見解析；【分析】（1）根據(jù)題意，由中位數(shù)的意義列出方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)取最大值時(shí)，則，然后求解，即可得到結(jié)果；（3）由題意可得，甲乙分別進(jìn)入復(fù)賽的概率，然后求得的概率，即可得到分布列與期望.【詳解】（1）因?yàn)榍皟蓚€(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形面積為，所以中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故中位數(shù)為.（2）由題意可得，成績?cè)谏系母怕蕿?，則不在的概率為，所以，即有，，當(dāng)取最大值時(shí)，則，即，解得，即，且，所以.（3）由題意可知，從6道題中選4題共有，因?yàn)榧啄艽饘?duì)6道題中的4道題，故甲能進(jìn)復(fù)賽的情況共有，所以甲能進(jìn)復(fù)賽的概率為，則甲不能進(jìn)復(fù)賽的概率為；因?yàn)橐夷艽饘?duì)6道題中的3道題，故乙能進(jìn)復(fù)賽的情況共有,所以乙能進(jìn)復(fù)賽的概率為，則乙不能進(jìn)復(fù)賽的概率為；依題可得，的可能取值為，所以，，，則分布列為:則.35．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？家荒＃┠嘲倏浦R(shí)競(jìng)答比賽的半決賽階段，每兩人一組進(jìn)行PK，勝者晉級(jí)決賽，敗者終止比賽.比賽最多有三局.第一局限時(shí)答題，第二局快問快答，第三局搶答.比賽雙方首先各自進(jìn)行一局限時(shí)答題，依據(jù)答對(duì)題目數(shù)量，答對(duì)多者獲勝，比賽結(jié)束，答對(duì)數(shù)量相等視為平局，則需進(jìn)入快問快答局；若快問快答平局，則需進(jìn)入搶答局，兩人進(jìn)行搶答，搶答沒有平局.已知甲?乙兩位選手在半決賽相遇，且在與乙選手的比賽中，甲限時(shí)答題局獲勝與平局的概率分別為，，快問快答局獲勝與平局的概率分別為，搶答局獲勝的概率為，且各局比賽相互獨(dú)立.(1)求甲至多經(jīng)過兩局比賽晉級(jí)決賽的概率；(2)已知乙最后晉級(jí)決賽，但不知甲?乙兩人經(jīng)過幾局比賽，求乙恰好經(jīng)過三局比賽才晉級(jí)決賽的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）分別求出甲第一局獲勝、第一局平局第二局獲勝的概率可得答案；（2）分別求出乙恰好經(jīng)過一局?兩局?三局比賽晉級(jí)決賽的概率，由三局比賽晉級(jí)決賽的概率除以經(jīng)過一局?兩局?三局比賽晉級(jí)決賽的概率和可得答案.【詳解】（1）設(shè)甲至多經(jīng)過兩局比賽晉級(jí)決賽為事件A，則甲第一局獲勝或第一局平局第二局獲勝，則.（2）記乙恰好經(jīng)過一局、兩局、三局比賽晉級(jí)決賽分別為事件B、C、D，則，，，故在乙最后晉級(jí)決賽的前提下，乙恰好經(jīng)過三局比賽才晉級(jí)決賽的概率為.36．（2023春·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）高性能計(jì)算芯片是一切人工智能的基礎(chǔ)．國內(nèi)某企業(yè)已快速啟動(dòng)AI芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期需進(jìn)行產(chǎn)品檢測(cè)，檢測(cè)包括智能檢測(cè)和人工檢測(cè)．智能檢測(cè)在生產(chǎn)線上自動(dòng)完成，包括安全檢測(cè)、蓄能檢測(cè)、性能檢測(cè)等三項(xiàng)指標(biāo)，且智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，，，人工檢測(cè)僅對(duì)智能檢測(cè)達(dá)標(biāo)（即三項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)）的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，且僅設(shè)置一個(gè)綜合指標(biāo)．人工檢測(cè)綜合指標(biāo)不達(dá)標(biāo)的概率為．(1)求每個(gè)AI芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)的概率；(2)人工檢測(cè)抽檢50個(gè)AI芯片，記恰有1個(gè)不達(dá)標(biāo)的概率為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，求；(3)若AI芯片的合格率不超過93%，則需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．以（2）中確定的作為p的值，試判斷該企業(yè)是否需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．【答案】(1)(2)(3)需要對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良【分析】（1）先求每個(gè)AI芯片智能檢測(cè)達(dá)標(biāo)的概率，再利用對(duì)立事件的概率求解；（2）先求，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可求解；（3）利用條件概率求出AI芯片的合格率，與93%比較可得結(jié)論.【詳解】（1）記事件A＝“每個(gè)AI芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)”，則

.（2）由題意，∴令，則，當(dāng)，，為增函數(shù)；當(dāng)，，為減函數(shù)；所以在處取到最大值．（3）記事件B＝“人工檢測(cè)達(dá)標(biāo)”，則，又，所以，所以需要對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．37．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測(cè)）某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x12345678y56.53122.7517.815.9514.51312.5根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點(diǎn)圖觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量間關(guān)系考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與x的相關(guān)系數(shù).(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；(2)用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好（精確到0.001），并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；(3)根據(jù)企業(yè)長期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，若非原料成本y在之外，說明該成本異常，并稱落在之外的成本為異樣成本，此時(shí)需尋找出現(xiàn)異樣成本的原因.利用估計(jì)值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因？參考數(shù)據(jù)（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，相關(guān)系數(shù).【答案】(1)(2)反比例函數(shù)模型擬合效果更好，產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元，