離散數(shù)學(xué)課件

離散數(shù)學(xué)引入人有思維

研究思維的形式和規(guī)律

形式邏輯:以思維形式及其規(guī)律為主要研究對(duì)象，同時(shí)也涉及一些簡(jiǎn)單的邏輯方法的科學(xué)。概念、判斷、推理是形式邏輯三大基本要素邏輯學(xué)辨證邏輯:研究人類辯證思維的科學(xué)

數(shù)理邏輯

第一章數(shù)理邏輯前言數(shù)理邏輯用數(shù)學(xué)方法研究推理的形式結(jié)構(gòu)和推理規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。主要研究?jī)?nèi)容：推理

著重于推理過(guò)程是否正確

著重于語(yǔ)句之間的關(guān)系主要研究方法：數(shù)學(xué)方法

引進(jìn)一套符號(hào)體系的方法，所以數(shù)理邏輯又叫符號(hào)邏輯第一章數(shù)理邏輯前言

先看著名物理學(xué)家愛(ài)因斯坦出過(guò)的一道題：

一個(gè)土耳其商人想找一個(gè)十分聰明的助手協(xié)助他經(jīng)商，有兩人前來(lái)應(yīng)聘，這個(gè)商人為了試試哪個(gè)更聰明些，就把兩個(gè)人帶進(jìn)一間漆黑的屋子里，他打開(kāi)燈后說(shuō)：“這張桌子上有五頂帽子，兩頂是紅色的，三頂是黑色的，現(xiàn)在，我把燈關(guān)掉，而且把帽子擺的位置弄亂，然后我們?nèi)齻€(gè)人每人摸一頂帽子戴在自己頭上，在我開(kāi)燈后，請(qǐng)你們盡快說(shuō)出自己頭上戴的帽子是什么顏色的?！闭f(shuō)完后，商人將電燈關(guān)掉，然后三人都摸了一頂帽子戴在頭上，同時(shí)商人將余下的兩頂帽子藏了起來(lái)，接著把燈打開(kāi)。這時(shí)，那兩個(gè)應(yīng)試者看到商人頭上戴的是一頂紅帽子，其中一個(gè)人便喊道：“我戴的是黑帽子?！?/p>

第一章數(shù)理邏輯前言

請(qǐng)問(wèn)這個(gè)人說(shuō)得對(duì)嗎？他是怎么推導(dǎo)出來(lái)的呢？要回答這樣的問(wèn)題，實(shí)際上就是看由一些諸如“商人戴的是紅帽子”這樣的前提能否推出“猜出答案的應(yīng)試者戴的是黑帽子”這樣的結(jié)論來(lái)。這又需要經(jīng)歷如下過(guò)程：

(1)什么是前提？有哪些前提？

(2)結(jié)論是什么？

(3)根據(jù)什么進(jìn)行推理？

(4)怎么進(jìn)行推理？

下面的第1,2,3節(jié)回答第一個(gè)問(wèn)題。第6節(jié)回答第三、四個(gè)問(wèn)題。第一部分命題邏輯1

命題符號(hào)化及其聯(lián)結(jié)詞2

命題公式及分類3

等值演算4

聯(lián)結(jié)詞全功能集5

對(duì)偶與范式6推理理論1.命題符號(hào)化及其聯(lián)結(jié)詞命題的定義命題分類命題的記法聯(lián)結(jié)詞命題的符號(hào)化簡(jiǎn)單命題復(fù)合命題命題的概念所謂命題，是具有真假意義的陳述句，也就是能夠確定或分辨其真假的陳述句，且真與假必居其一。簡(jiǎn)言之，命題是非真即假的陳述句。例如中國(guó)是一個(gè)國(guó)家。作為命題的陳述句所表達(dá)的判斷結(jié)果稱為命題的真值。命題真值只有“真”和“假”兩種，分別用“T”（或“1”）和“F”（或“0”）表示。真值為真的命題稱為真命題，真值為假的命題稱為假命題。真命題表達(dá)的判斷正確，假命題表達(dá)的判斷錯(cuò)誤，任何命題的真值都是唯一的。命題的舉例

判斷下列句子是否是命題，并判斷其真假?1）加拿大是一個(gè)國(guó)家。（√T）

2）北京是中國(guó)的首都。（√T）

3）這個(gè)語(yǔ)句是假的。（×）

4）1+101=110。（√？）

5）3+2≥10。（√？）

6）請(qǐng)你把門(mén)關(guān)上?。ā粒?/p>

7）你要出去嗎？（×）

8）我喜歡踢足球。

（√？）

關(guān)于命題的注記命題一定是陳述句，但并非一切陳述句都是命題。那些‘自稱謂’的陳述句可能產(chǎn)生自相矛盾的結(jié)論。例如：某人說(shuō):‘我正在說(shuō)謊’；某些命題可能無(wú)法查明其真值，命題真假會(huì)因環(huán)境因條件因?qū)嶋H情況時(shí)間而異。例如：現(xiàn)在是上午；火星上有人.請(qǐng)注意:數(shù)理邏輯的任務(wù)不在于研究某個(gè)具體命題的真假問(wèn)題，而在于它可以賦予真或假的可能性，特別是研究各命題規(guī)定其真值后它們之間的聯(lián)系。命題的分類

例:

2是偶素?cái)?shù)；2或4是素?cái)?shù)；如果2是素?cái)?shù)，則3也是素?cái)?shù)；2是素?cái)?shù)當(dāng)且僅當(dāng)3也是素?cái)?shù)。全是命題。上述命題都是通過(guò)諸如“或”，“如果……，則……”等連詞聯(lián)結(jié)而成，這樣命題，稱為復(fù)合命題。相對(duì)地，不構(gòu)成復(fù)合命題的命題稱為簡(jiǎn)單命題。

命題的分類一般命題可分為兩類：1）不能再分解為更簡(jiǎn)單命題的命題稱為原子命題（簡(jiǎn)單命題）。2）原子命題?？赏ㄟ^(guò)一些命題聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成新命題，這種命題稱為復(fù)合命題。明天下雪。明天下雨。原子命題明天下雪或明天下雨。復(fù)合命題命題的分類舉例

將下列復(fù)合命題分成若干個(gè)原子命題：（1）天氣炎熱且正在下雨。

p：天氣炎熱；q：天正在下雨。（2）天正在下雨或濕度很高。

p：天正在下雨；q：天濕度很高。（3）如果你不看電影，那么我也不看電影。

p：你不看電影；q：我不看電影。（4）控制臺(tái)打字機(jī)既可作為輸入設(shè)備，又可作為輸出設(shè)備。

p：控制臺(tái)打字機(jī)可作為輸入設(shè)備；q：控制臺(tái)打字機(jī)可作為輸出設(shè)備。

命題的記法通常用小寫(xiě)的帶或不帶下標(biāo)的英文字母a、b、c、…p、q、r、…ai、bi、ci、…pi、qi、ri、…等表示簡(jiǎn)單命題明天下雪。p

明天下雨。q

設(shè)p：明天下雪；q：明天下雨；則：明天下雪或者下雨。p或者q。命題聯(lián)結(jié)詞

命題聯(lián)結(jié)詞又稱為邏輯運(yùn)算符，常用的有五種，它們是：否定詞、合取詞、析取詞、蘊(yùn)涵詞和等價(jià)詞。1否定詞

?設(shè)p表示命題，則‘p不真’是另一命題，記為?

p，讀為

‘非p’否定詞可用右表定義，此表稱為

?

p的真值表p?p01102合取詞∧若p,q表示命題,則‘p并且q’也是命題,記為p∧q,讀為‘p合取q’.p∧q的真值表如右表所示。由真值表可知

p∧q真,當(dāng)且僅當(dāng)p,q俱真pqp∧q0001101100013析取詞∨若p,q表示命題,則‘p或者q’也是命題,記為p∨q,讀為‘p析取q’.p∨q的真值表如右表所示。由真值表可知

p∨q真當(dāng)且僅當(dāng)p,q至少有一個(gè)真pqp∨q000110110111關(guān)于p∨q的說(shuō)明“相容或”與“排斥或”

日常語(yǔ)言中“或”有這幾種用法，例如：（1）小王是游泳冠軍或者百米賽跑冠軍；（2）小王現(xiàn)在在宿舍或者在圖書(shū)館里；（3）選小王或者小李中的一人當(dāng)班長(zhǎng)。（1）為“相容或”，（2）、（3）稱為“排斥或”，但兩者不同，（2）為不可能同時(shí)為真的排斥或，（3）為可能同時(shí)為真的排斥或。（1）（2）可表示為p∨q，（3）卻不能。4蘊(yùn)涵詞→若p,q表示命題，則‘如果p，則q’也是命題，記為p→q,讀為‘p蘊(yùn)涵q’.p→q的真值表如右表所示。由真值表可知p→q為假,當(dāng)且僅當(dāng)p為假而q為真.只要p，就q;p僅當(dāng)q;

只有q才ppqp→q0001101111015等價(jià)詞?若p,q表示命題，則‘p當(dāng)且僅當(dāng)q’

也是命題,記為p?q,讀為‘p等價(jià)于q’.p?q的真值表如右表所示.由真值表可知

p?q為真,當(dāng)且僅當(dāng)p與q有相同的真值.pqp?q000110111001五個(gè)邏輯運(yùn)算符強(qiáng)弱順序運(yùn)算符結(jié)合力的強(qiáng)弱順序約定為：

?,∧,∨,→,?；同級(jí)的聯(lián)結(jié)詞，按其出現(xiàn)的先后次序（從左到右）；若運(yùn)算要求與優(yōu)先次序不一致時(shí)，可使用括號(hào)；同級(jí)符號(hào)相鄰時(shí)，也可使用括號(hào)。括號(hào)中的運(yùn)算為最優(yōu)先級(jí)。說(shuō)明聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)的是句子，而不是單個(gè)的詞語(yǔ)聯(lián)結(jié)詞是兩個(gè)句子真值之間的聯(lián)結(jié)，而非句子的具體含義的聯(lián)結(jié)，兩個(gè)句子之間可以無(wú)任何地內(nèi)在聯(lián)系聯(lián)結(jié)詞與自然語(yǔ)言之間的對(duì)應(yīng)并非一一對(duì)應(yīng)命題符號(hào)化—自然語(yǔ)言翻譯為邏輯式符號(hào)化應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①確定句子是否為命題.不是就不必翻譯.②確定句中連接詞是否能對(duì)應(yīng)于并且對(duì)應(yīng)于哪一個(gè)命題連接詞.③正確表示原子命題和選擇命題連接詞.④要按邏輯關(guān)系翻譯而不能憑字面翻譯.例如令：p:林芬做作業(yè)q:林芳做作業(yè).則‘林芬和林芳同在做作業(yè)’可譯為p∧q;但‘林芬和林芳是姐妹’不能譯為p∧q，因?yàn)檫@是一個(gè)原子命題.命題符號(hào)化舉例1

設(shè)命題p：明天上午七點(diǎn)下雨；

q：明天上午七點(diǎn)下雪；

r：我將去學(xué)校。符號(hào)化下列語(yǔ)句。

1）如果明天上午七點(diǎn)不是雨夾雪，則我將去學(xué)校。明天上午七點(diǎn)雨夾雪p∧q明天上午七點(diǎn)不是雨夾雪?(p∧q)則我將去學(xué)?！鷕如果明天上午七點(diǎn)不是雨夾雪，則我將去學(xué)校。

?(p∧q)→r命題符號(hào)化舉例1

2）如果明天上午七點(diǎn)不下雨并且不下雪，則我將去學(xué)校。明天上午七點(diǎn)不下雨?p

明天上午七點(diǎn)不下雪?q明天上午七點(diǎn)不下雨并且不下雪?p∧?q則我將去學(xué)校→r如果明天上午七點(diǎn)不下雨并且不下雪，則我將去學(xué)校(?p∧?q)→r

3）如果明天上午七點(diǎn)下雨或下雪，則我將不去學(xué)校。明天上午七點(diǎn)下雨或下雪p∨q則我將不去學(xué)校→?r如果明天上午七點(diǎn)下雨或下雪，則我將不去學(xué)校。(p∨q)→?r命題符號(hào)化舉例1

4）明天上午七點(diǎn)我將風(fēng)雪無(wú)阻一定去學(xué)校。明天上午七點(diǎn)下雨并且下雪并且我一定去學(xué)校p∧q∧r明天上午七點(diǎn)不下雨并且下雪并且我一定去學(xué)校?p∧q∧r明天上午七點(diǎn)下雨并且不下雪并且我一定去學(xué)校p∧?q∧r明天上午七點(diǎn)不下雨并且不下雪并且我一定去學(xué)校?p∧?q∧r明天上午七點(diǎn)下雨并且下雪并且我一定去學(xué)?；蛘呙魈焐衔缙唿c(diǎn)不下雨明天上午七點(diǎn)不下雨并且下雪并且我一定去學(xué)?；蛘呙魈焐衔缙唿c(diǎn)下雨并且不下雪并且我一定去學(xué)校或者明天上午七點(diǎn)不下雨并且不下雪并且我一定去學(xué)校。

(p∧q∧r)∨(?p∧q∧r)∨(p∧?q∧r)∨(?p∧?q∧r)或（(p∧q)∨(?p∧q)∨(p∧?q)∨(?p∧?q))∧r小練習(xí)

將下列命題符號(hào)化,并給出各命題的真值:

(1)若3＋2＝4，則地球是靜止不動(dòng)的。

（2)若2＋2≠4，則3＋3≠6，反之亦然。

答案:

（1）p→q，其中，p：3＋2＝4，q：地球靜止不動(dòng)，真值為1。

（2）┐p?┐q，其中，p：2＋2＝4，q：3＋3＝6，真值為1。

總結(jié)

1、掌握命題的定義

2、弄清命題和陳述句之間的關(guān)系

3、掌握并熟練運(yùn)用5個(gè)基本的聯(lián)結(jié)詞對(duì)復(fù)合命題進(jìn)行翻譯2.命題公式及分類命題常元命題變?cè)}公式真值表命題公式分類永真式永假式可滿足式命題公式命題常元一個(gè)特定的，具有確切真值的命題命題變?cè)粋€(gè)任意的，沒(méi)有賦予具體內(nèi)容的簡(jiǎn)單陳述句由下列遞歸規(guī)則生成的公式稱為命題公式:(1)單個(gè)命題常元或變?cè)敲}公式.(2)若A和B是命題公式，則（?A）,（A∧B）,（A∨B）,（A→B）,（A?B）是命題公式.(3)只有有限步應(yīng)用(1)和(2)生成的公式(稱為合式公式)才是命題公式.命題公式舉例

判別下列符號(hào)串哪些是命題公式，哪些不是命題公式。（1）(?(p∨q))；(命題公式)（2）(p→(?(p∧q)))；(命題公式)（3）(p→q；(不是命題公式)（4）p∨q∨；(不是命題公式)（5）

rs→t

(不是命題公式)命題公式的賦值與真值表公式的賦值

設(shè)G是命題變?cè)猵1、p2、p3、…、pn是出現(xiàn)在公式G中的所有命題變?cè)?，指定p1、p2、p3、…、pn一組真值，則這組真值稱為G的一個(gè)賦值\解釋，常記為I。若指定的一組值使G的值為真，則稱這組值為G的成真賦值；若指定的一組值使G的值為假，則稱這組值為G的成假賦值；一般來(lái)說(shuō)，若有n個(gè)命題變?cè)?，則應(yīng)有2n個(gè)不同的解釋。命題公式的賦值舉例

給出下列命題公式的所有賦值

(1)

?(p∨q)p、q兩個(gè)命題變?cè)?，?2個(gè)不同的解釋。

p=0,q=0;p=0,q=1;p=1,q=0;p=1,q=1.(2)(p→(?(q∧r)))p、q、r三個(gè)命題變?cè)?，?3個(gè)不同的解釋。

p=0,q=0,r=0;p=0,q=0,r=1;p=0,q=1,r=0;p=0,q=1,r=1;p=1,q=0,r=0;p=1,q=0,r=1;p=1,q=1,r=0;p=1,q=1,r=1;真值表

公式G在其所有可能的解釋下所取真值的表，稱為G的真值表。真值表的計(jì)算步驟1、根據(jù)公式中聯(lián)結(jié)詞和命題變?cè)膫€(gè)數(shù)畫(huà)出表格，設(shè)聯(lián)結(jié)詞的個(gè)數(shù)為m個(gè)，命題變?cè)膫€(gè)數(shù)為n個(gè)，則表格的行數(shù)為2n＋1，列數(shù)為m＋n；2、找出公式中所有的命題變?cè)捌渌胁煌慕忉?，放在表格前n列；3、按照聯(lián)結(jié)詞的運(yùn)算次序依次完成剩下的表格。真值表舉例1

設(shè)有公式：G＝(p∧q)→r

其中，p、q、r是G的所有命題變?cè)?、→是G的所有命題聯(lián)結(jié)詞則其真值表如下pqrp∧q(p∧q)→r0000111111111111111111111000000000000000真值表舉例11

列出公式：G＝┐(p∧┐q)的真值表。

公式G僅含兩個(gè)命題變?cè)?，三個(gè)命題聯(lián)結(jié)詞所以真值表如下：pq┐qp∧┐q┐(p∧┐q)00000000001111111111命題公式的分類

設(shè)G是一個(gè)命題公式

1)重言式(永真式)

若G在它的各種賦值下取值均為真

例p∨(?p)

2)矛盾式(永假式)

若G在它的各種賦值下取值均為假

例p∧(?p)

3)可滿足式若G至少存在一組賦值是成真賦值例q∨(?p)

結(jié)論

從上述定義可知三種特殊公式之間的關(guān)系:1)G是永真式當(dāng)且僅當(dāng)?G是永假式；

2)當(dāng)G是永真式，則G一定是可滿足式，反之則不然；

3)如果公式G在解釋I下是真的，則稱I滿足G；如果G在解釋I下是假的，則稱I弄假于G。命題公式舉例

列出下列公式的真值表，并驗(yàn)證其是否是永真式。

(1)(p→q)?(?p∨q)；

(1)的真值表如下：

永真式pq00011011?p1100p→q1110?p∨q1110(p→q)?(?p∨q)1111命題公式舉例(續(xù))

(2)p?(r∧q)；

(2)的真值表如下:

pqrr∧qp?(r∧q)0000100101010010111010000101001100011111可滿足式3.等值演算

等值的定義等值演算真值表24個(gè)等值式置換定理等值判斷等值

兩公式什么時(shí)候代表了同一個(gè)命題呢？抽象地看，它們的真假取值完全相同時(shí)即代表了相同的命題。

設(shè)公式A,B共同含有n個(gè)命題變項(xiàng)，若A與B有相同的真值表，則說(shuō)明在2n個(gè)賦值的每個(gè)賦值下，A與B的真值都相同。于是等價(jià)式A?B應(yīng)為重言式。

等值

定義：若A?B是重言式,則記為A

B,稱為邏輯恒等式,讀為‘A恒等于B’。

易見(jiàn):A

B,當(dāng)且僅當(dāng)A,B真值表相同,故邏輯恒等式常用真值表來(lái)證明。等值判斷舉例

判斷下列命題公式是否等值：

?(p∨q)

?p∧?qpq?p?qp∨q?(p∨q)?p∧?q000000000000000111111111111124個(gè)等值式

雖然用真值法可以判斷任何兩個(gè)命題公式是否等值，但當(dāng)命題變項(xiàng)較多時(shí)，工作量是很大的。可以先用真值表驗(yàn)證一組基本的又是重要的重言式，以它們?yōu)榛A(chǔ)進(jìn)行公式之間的演算，來(lái)判斷公式之間的是否等值。24個(gè)等值式設(shè)A、B、C代表任意的命題公式：1、A

??A（雙重否定律）2、A

A∨A3、A

A∧A4、A∨B

B∨A5、A∧B

B∧A6、(A∨B)∨C

A∨(B∨C)7、(A∧B)∧C

A∧(B∧C)（等冪律）（交換律）（結(jié)合律）牢牢記住24個(gè)等值式8、A∨(B∧C)

(A∨B)∧(A∨C)9、A∧(B∨C)

(A∧B)∨(A∧C)10、?(A∨B)

?A∧?B11、?(A∧B)

?A∨?B12、A∨(A∧C)

A13、A∧(A∨C)

A14、A∨1

115、A∧0

0（分配律）（吸收律）（零律）（摩根律）24個(gè)等值式16、A∨0

A17、A∧1

A18、A∨?A

1(排中律)19、A∧?A

0(矛盾律)20、A→B

?A∨B(蘊(yùn)涵等值式)21、A?B

(A→B)∧(B→A)(等價(jià)等值式)22、A→B

?B→?A(假言易位)23、A?B

?A??B(等價(jià)否定等值式)24、(A→B)∧(B→A)

?A

(歸謬論)（同一律）24個(gè)等值式建議大家記住并使用它們的稱謂,

例如:雙否定律,等冪律,交換律,結(jié)合律,分配律,摩根律,吸收律,蘊(yùn)涵表達(dá)式,等值表達(dá)式,零律,同一律,排中律,矛盾律,歸謬律等等.用真值表證明分配律PQRA=P∧(Q∨R)B=(P∧Q)∨(P∧R)

000001010011100101110111

00000

01

000

0

1000

010

00

0

0000

1

101

1

11110

1

11

11等值演算

根據(jù)已知的等值式，推演出另外一些等值式的過(guò)程稱為等值演算。

置換定理

定義：如果A是命題公式￠(A)的一部分，且A本身也是一個(gè)命題公式，則稱A為公式￠(A)的子公式。

設(shè)A是命題公式￠(A)的子公式，若A

B，如果將￠(A)中的A用B來(lái)置換（不必每一處），所得到的公式￠(B)與公式￠(A)等價(jià)，即￠(A)

￠(B)

。這條規(guī)則之所以正確是由于對(duì)相應(yīng)變?cè)娜我环N指派，A與B真值相同，故以B取代A后，￠(B)在相應(yīng)指派下真值與￠(A)相同，所以￠(A)

￠(B)

。

置換定理說(shuō)明已知命題公式為p∧?(p∨r)，根據(jù)德摩根律，可用?p∧?r置換命題公式中?(p∨r)，則p∧?(p∨r)變成p∧?p∧?r已知命題公式為(b∧c∧a)∨(b∧c∧?a)，運(yùn)用分配律，該公式變成(b∧c)∧(a∨?a)運(yùn)用排中律，該公式變成(b∧c)∧1運(yùn)用同一律，該公式變成(b∧c)證明G=p∨?((p∨?q)∧q)是永真式。方法一：p∨?((p∨?q)∧q)

p∨?((p∧q)∨(?q∧q))（分配律）

p∨?((p∧q)∨0)（矛盾律）

p∨?(p∧q)（同一律）

p∨(?p∨?q)（摩根律）

(p∨?p)∨?q（結(jié)合律）

1∨?q（排中律）

1（零律）等值演算舉例1方法二：p∨?((p∨?q)∧q)

p∨?(p∨?q)∨?q（摩根律）

(p∨?q)∨?(p∨?q)（交換律）

T（排中律）等值演算舉例1等值演算舉例2試證(p∧(q∨r))∨(p∧?q∧?r)

p

證明:(p∧(q∨r)∨(p∧?q∧?r)

(p∧(q∨r))∨(p∧?(q∨r))（摩根律）

p∧((q∨r))∨?(q∨r))（分配律）

p∧T（排中律）

p（同一律）等值演算應(yīng)用舉例3甲、乙、丙、丁四人參加考試后，有人問(wèn)他們，誰(shuí)的成績(jī)最好，甲說(shuō)“不是我”，乙說(shuō)“是丁”，丙是“是乙”，丁說(shuō)“不是我”。四人的回答只有一人符合實(shí)際，問(wèn)是只有一人成績(jī)最好是誰(shuí)。解：設(shè)a：甲的成績(jī)最好；b：乙的成績(jī)最好；c：丙的成績(jī)最好；d：丁的成績(jī)最好因?yàn)橹挥幸粋€(gè)人的回答符合實(shí)際，故：(?a∧?d∧?b∧d)∨(a∧d∧?b∧d)∨(a∧?d∧b∧d)∨(a∧?d∧?b∧?d)T

(矛盾律,零律,等冪律)即(a∧?b∧d)∨(a∧?b∧?d)T但

(a∧?b∧d)∨(a∧?b∧?d)

((a∧?b∧d)∧1)∨((a∧?b∧?d)∧1)

(同一律)((a∧?b∧d)∧(c∨?c))∨((a∧?b∧?d)∧(c∨?c))

(排中律)(a∧?b∧d∧c)∨(a∧?b∧d∧?c)∨(a∧?b∧?d∧c)∨(a∧?b∧?d∧?c)(分配律)(1)甲、丙、丁三人成績(jī)最好.(2)甲、丁成績(jī)最好.(3)甲、丙成績(jī)最好.(4)甲成績(jī)最好只有一人成績(jī)最好是甲成績(jī)最好.等值演算舉例4

將下列推理符號(hào)化，并判斷推理是否正確。（1）若一個(gè)數(shù)為整數(shù)，則它為有理數(shù)；若一個(gè)數(shù)為有理數(shù)，則它為實(shí)數(shù)，有一個(gè)數(shù)為整數(shù)，所以它為實(shí)數(shù)。設(shè)p：一個(gè)數(shù)為整數(shù)；q：一個(gè)數(shù)為有理數(shù)；r：一個(gè)數(shù)為實(shí)數(shù)。故本題的推證為：

((p→q)∧(q→r)∧p)→r

((?p∨q)∧(?q∨r)∧p)→r(蘊(yùn)涵等值式)

(p∧?q)∨(q∧?r)∨?p∨r(蘊(yùn)涵等值式,德摩根律)

(p∧?q)∨?p∨(q∧?r)∨r(交換律)

(?p∨?q)∧(p∨?p)∨(q∨r)∧(r∨?r)(分配率)

(?p∨?q)∧1∨(q∨r)∧1(排中律)T(同一律,排中律,零律)((p→q)∧(q→r)∧p)→r為永真式，故本題推理成立．等值演算舉例4（２）若一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)，則它是復(fù)數(shù)，若一個(gè)數(shù)是虛數(shù)，則它也是復(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)既不是實(shí)數(shù)，也不是虛數(shù)，所以它不是復(fù)數(shù)。設(shè)r：一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)；h：一個(gè)數(shù)是虛數(shù)；g：一個(gè)數(shù)是復(fù)數(shù)。本題的推證為：

(r→g)∧(h→g)∧(?r∧?h)→?g

((?r∨g)∧(?h∨g)∧(?r∧?h))→?g(蘊(yùn)涵等值式)

?((?r∨g)∧(?h∨g)∧(?r∧?h))∨?g(蘊(yùn)涵等值式)

(r∧?g)∨(h∧?g)∨(r∨h)∨?g(德摩根律)

(r∧?g)∨?g∨(h∧?g)∨h∨r(交換律)

?g∨h∨r(吸收律)當(dāng)g為T(mén)，h為F，r為F，(r→g)∧(h→g)∧(?r∧?h)→?g為F，所以不是重言式，本題推理不成立。等值演算舉例4小練習(xí)

證明下列等價(jià)式(采用等值演算法)

(1)a→(b→a)

?a→(a→?b)(2)?(a→b)

a∧?b總結(jié)1、掌握命題公式的定義

2、能熟練求出給定命題公式的真值表

3、等值演算和置換規(guī)則定義，24個(gè)等值式

4、掌握運(yùn)用基本的等值式及置換定理進(jìn)行等值演算的方法。

４．聯(lián)結(jié)詞全功能集聯(lián)結(jié)詞分類極小全功能集聯(lián)結(jié)詞全功能集常用三種聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)詞記號(hào)復(fù)合命題讀法記法真值結(jié)果異或∨P不可兼或QP異或QP∨QP∨Q=1

P=1，Q=0P=0，Q=1與非↑P和Q的與非P與非QP↑QP↑Q=0

P=1，Q=1或非↓P和Q的或非P或非QP↓QP↓Q=1

P=0，Q=0異或的性質(zhì)①P

Q

Q

P

交換律②P

(Q

R)

(P

Q)

R

結(jié)合律③P∧(Q

R)

(P∧Q)

(P∧R)分配律④(P

P)

F⑤T

P

?P;F

P

P與非的性質(zhì)①P

Q

Q

P

②P

P

?P

左邊

?(P∧P)③(P

Q)

(P

Q)

P∧Q

左邊

?(P

Q)

?(?(P∧Q))④(P

P)

(Q

Q)

P∨Q

左邊

(?P)

(?Q)

?((?P)∧(?Q))或非的性質(zhì)①P

Q

Q

P

②P

P

?P

左邊

?(P∨P)③(P

Q)

(P

Q)

P∨Q

左邊

?(P

Q)

?(?(P∨Q))④(P

P)

(Q

Q)

P∧Q

左邊

(?P)

(?Q)

?((?P)∨(?Q))與非和或非使用舉例證明:1)

?(BC)

?B

?C2)?(BC)

?B

?C證:1)

?(BC)

?

(?(B∧C))

?

(?B∨?C)

?B

?C2)?(BC)

?

(?(B∨C))

?

(?B∧?C)

?B

?C聯(lián)結(jié)詞分類冗余聯(lián)結(jié)詞在一個(gè)聯(lián)結(jié)詞的集合中，如果一個(gè)聯(lián)結(jié)詞可由集合中其他聯(lián)結(jié)詞定義獨(dú)立聯(lián)結(jié)詞在一個(gè)聯(lián)結(jié)詞的集合中，如果一個(gè)聯(lián)結(jié)詞不可由集合中其他聯(lián)結(jié)詞定義聯(lián)結(jié)詞分類舉例

找出聯(lián)結(jié)詞集{?,∨,∧,→,?}中的冗余聯(lián)結(jié)詞和獨(dú)立聯(lián)結(jié)詞。

p→q

?p∨qp?q

(p→q)∧(q→p)

(?p∨q)∧(?q∨p)p∨q

??(p∨q)

?(?p∧?q)

∨,→,?為冗余聯(lián)結(jié)詞;?,∧為獨(dú)立聯(lián)結(jié)詞。聯(lián)結(jié)詞極小全功能集設(shè)S是聯(lián)結(jié)詞集合，如果1、用S中的聯(lián)結(jié)詞表示的等價(jià)公式，可以表示任何命題公式，稱S為全功能集；2、從S中刪除任何一個(gè)聯(lián)結(jié)詞而得到的新聯(lián)結(jié)詞集合S1，至少存在一個(gè)命題公式不能用S1中的聯(lián)結(jié)詞表示的等價(jià)公式表示出來(lái)，稱S為極小全功能集。極小全功能集舉例由于：P→Q=?P∨Q；

P?Q=(?P∨Q)∧(P∨?Q)；

P∧Q=?(?P∨?Q)。所以，{?，∨}可以構(gòu)成極小全功能集。同理，{?，∧}可以構(gòu)成極小全功能集。(2)由于:P∨Q=?P→Q；

P?Q=(P→Q)∧(Q→P)；

P∧Q=?(?P∨?Q)=?(P→?Q)。所以，{?，→}可以構(gòu)成極小全功能集。極小全功能集舉例(3)由于：?P=?(P∧P)=P↑P；

P∨Q=(P∧P)∨(Q∧Q)=?(?(P∧P)∧?(Q∧Q))=?((P↑P)∧(Q↑Q))=(P↑P)↑(Q↑Q)

所以，{↑}可以構(gòu)成極小全功能集。同理，{↓}可以構(gòu)成極小全功能集。5.對(duì)偶與范式簡(jiǎn)單析取式簡(jiǎn)單合取式析取范式合取范式極大項(xiàng)極小項(xiàng)主合取范式主析取范式

公式化歸法真值表法對(duì)偶式在僅含聯(lián)結(jié)詞?、∧、∨的命題公式A中，將∨換成∧，將∧換成∨，若A中含0或1，就將0換成1，1換成0，所得命題公式稱為A的對(duì)偶式，記為A*。對(duì)偶式舉例求出下列命題公式的對(duì)偶式（１）?p∨q

?p∧q（２）p∨?q∧0p∧?q∨1對(duì)偶定理

對(duì)偶定理

設(shè)A、B為僅含命題變?cè)猵1,…,pn

及?、∧、∨的命題公式。若A

B，則A*

B*，反之亦真。簡(jiǎn)單析取式與簡(jiǎn)單合取式

簡(jiǎn)單析取式僅由有限個(gè)命題變項(xiàng)或其否定構(gòu)成的析取式

簡(jiǎn)單合取式僅由有限個(gè)命題變項(xiàng)或其否定構(gòu)成的合取式

注意:

單個(gè)命題變項(xiàng)或其否定是一個(gè)簡(jiǎn)單析取式、簡(jiǎn)單合取式析取范式與合取范式

析取范式:

僅由有限個(gè)簡(jiǎn)單合取式構(gòu)成的析取式即形如A1∨A2∨…∨An，其中，Ai是由命題變?cè)蛎}變?cè)姆穸ㄋM成的簡(jiǎn)單合取式例如：(p∧q)∨(?p∧q)

合取范式:

僅由有限個(gè)簡(jiǎn)單析取式構(gòu)成的合取式即形如A1∧A2∧…∧An，其中，Ai是由命題變?cè)蛎}變?cè)姆穸ㄋM成的簡(jiǎn)單析取式例如：(p∨q)∧(?p∨q)

注意:

單個(gè)簡(jiǎn)單析(合)取式是一個(gè)析取范式、合取范式求析取范式和合取范式的方法

求一個(gè)命題公式的與之等價(jià)的析取范式和合取范式，其步驟如下：

1）利用等價(jià)公式中的等價(jià)式和蘊(yùn)涵式將公式中的→、?用聯(lián)結(jié)詞?、∧、∨來(lái)取代；

2）利用雙重否定律、摩根定律將否定聯(lián)結(jié)詞?移到各個(gè)命題變?cè)那岸嘶蛳ィ?/p>

3）利用分配律將公式化成其等價(jià)的析取范式和合取范式。如果是求析取范式用A∧(B∨C)

(A∧B)∨(A∧C)

如果是求合取范式用A∨(B∧C)

(A∨B)∧(A∨C)求析取范式和合取范式舉例

求((p∨q)→r)→p析取范式和合取范式

((p∨q)→r)→p

(?(p∨q)∨r)→p

?(?(p∨q)∨r)∨p

?((?p∧?q)∨r)∨p

((??p∨??q)∧?r)∨p

((p∨q)∧?r)∨p

((p∨q)∧?r)∨p

(p∨q∨p)∧(?r∨p)合取范式

(p∧?r)∨(q∧?r)∨p析取范式極小項(xiàng)和極大項(xiàng)

設(shè)p1，p2，…，pn是n個(gè)命題變?cè)?，一個(gè)簡(jiǎn)單合取式(或簡(jiǎn)單析取式)如果恰好包含所有個(gè)n個(gè)命題變?cè)蛎}變?cè)姆穸?，且排列順序與p1，p2，…，pn的順序一致，則稱此簡(jiǎn)單合取式(或簡(jiǎn)單析取式)為一個(gè)極小項(xiàng)(或極大項(xiàng))。

注：在極小(大)項(xiàng)中，任何命題變?cè)猵i和?pi二者有且僅有一個(gè)出現(xiàn)。例如對(duì)兩個(gè)命題變?cè)猵、q的情形

其極小項(xiàng)有：(?p∧?q)、(?p∧q)、(p∧?q)、(p∧q)

其極大項(xiàng)有：(p∨q)、(p∨?q)、(?p∨q)、(?p∨?q)問(wèn)題：3個(gè)變?cè)猵、q、r的極小項(xiàng)和極大項(xiàng)？說(shuō)明：對(duì)于n個(gè)命題變?cè)灿?n個(gè)不同的極小項(xiàng)和2n個(gè)不同的極大項(xiàng)，分別記為

m0、m1、…m2n-1和M0、M1、…M2n-1

。

?p∧?q∧?r、?p∧?q∧r、?p∧q∧?r?p∧q∧r、p∧?q∧?r、p∧?q∧rp∧q∧rp∨q∨

r、p∨

q∨?

r、p∨?

q∨

rp∨?

q∨

?

r、?

p∨

q∨

r、?

p∨

q∨

?r?

p∨

?

q∨

?

r極小項(xiàng)、極大項(xiàng)的編碼方式

對(duì)極小項(xiàng)，使其為“T”的那組解釋為其對(duì)應(yīng)的極小項(xiàng)的編碼如?p∧?q，僅在p、q分別取真值0、0時(shí)才為真，所以可用m00(m0)來(lái)表示；如?p∧q，僅在p、q分別取真值0、１時(shí)才為真，所以可用m0１(m１)來(lái)表示；如p∧?q，僅在p、q分別取真值１、0時(shí)才為真，所以可用m１0(m２)來(lái)表示；如p∧q，僅在p、q分別取真值１、1時(shí)才為真，所以可用m11(m3)來(lái)表示；

極小項(xiàng)、極大項(xiàng)的編碼方式

對(duì)極大項(xiàng)，使其為“F”的那組解釋為其對(duì)應(yīng)的極大項(xiàng)的編碼如?p∨?q，僅在p、q分別取真值1、1時(shí)才為假，所以可用M11(M3)來(lái)表示；如?p∨q，僅在p、q分別取真值１、０時(shí)才為假，所以可用M１０(M２)來(lái)表示；如p∨?q，僅在p、q分別取真值０、1時(shí)才為假，所以可用M０1(M１)來(lái)表示；如p∨q，僅在p、q分別取真值０、０時(shí)才為假，所以可用M００(M０)來(lái)表示；主析取范式與主合取范式

主析取范式設(shè)命題公式A中含n個(gè)命題變?cè)绻鸄的析取范式中的簡(jiǎn)單合取式全是極小項(xiàng)

主合取范式設(shè)命題公式A中含n個(gè)命題變?cè)?，如果A的合取范式中的簡(jiǎn)單析取式全是極大項(xiàng)任何非永假(真)命題A都有主析(合)取范式

求主析(合)范式的兩種常用方法:

①公式化歸法

②真值表法主析(合)取范式公式化歸法步驟

①把給定命題公式化成析(合)取范式

②若化成的析(合)取范式中的某個(gè)簡(jiǎn)單合(析)取式中不含命題變?cè)?，也不含該命題變?cè)姆穸ǎ猛宦?，排中?矛盾律)，分配律等對(duì)該簡(jiǎn)單合(析)取式進(jìn)行展開(kāi)

③將重復(fù)出現(xiàn)的命題變?cè)?，矛盾式及重?fù)出現(xiàn)的極小(大)項(xiàng)都消去

④將極小(大)項(xiàng)按由小到大的順序排列，用

(

)表示。用公式化歸法求A=(p→q)∧q的主析取范式解

A

(?p∨q)∧q

(?p∧q)∨(q∧q)分配律

(?p∧q)∨(T∧q)等冪,同一律

(?p∧q)∨((?p∨p)∧q)排中律

(?p∧q)∨(?p∧q)∨(p∧q)分配律

(?p∧q)∨(p∧q)

等冪律

m1∨

m3

(1,3)用公式化歸法求A=(p→q)∧q的主合取范式解A

(?p∨q)∧q

(?p∨q)∧(F∨q)

(?p∨q)∧((?p∧p)∨q)

(?p∨q)∧(?p∨q)∧(p∨q)

(p∨q)∧(?p∨q)

M0∧

M2

(0,2)主析(合)取范式真值表法步驟:①列出給定命題的真值表②從真值表中選出公式結(jié)果為真(假)的所有行,將選出的各行中值為“1”者還原成對(duì)應(yīng)的原變量(對(duì)應(yīng)的原變量的否定)，值為“0”者還原成對(duì)應(yīng)的原變量的否定(對(duì)應(yīng)的原變量)，所得到的合取式(析取式)為對(duì)應(yīng)的極小項(xiàng)(極大項(xiàng))③將這些極小項(xiàng)的析取(極大項(xiàng)的合取)即為給定公式的主析取范式(主合取范式)用真值表法求A=(p→q)∧q的主析取范式由下表得答案:A

(?

p∧q)∨(p∧q)

pq?p∧?q?p∧qp∧?qp∧q

(p→q)∧q00011011100010010011001000000111

用真值表法求A=(p→q)∧q的主合取范式由下表得答案:A

(?

p∨q)∧(p∨q)

pq?p∨?q?p∨qp∨?qp∨q

(p→q)∧q00011011111010110111101100011111主析取范式的應(yīng)用11、判斷兩個(gè)命題公式是否等值由于任何命題公式的主析取范式都是唯一的，因而若AB，說(shuō)明A與B有相同的主析取范式。反之若A、B有相同的主析取范式，必有AB。主析取范式的應(yīng)用舉例1

求證p→q

?p∨(p∧q)p→q

?p∨q

?p∧(?q∨q)∨(?p∨p)∧q(?p∧?q)∨(?p∧q)∨(p∧q)

m0∨m1∨m3

?p∨(p∧q)

?p∧(?q∨q)∨(p∧q)

(?p∧?q)∨(?p∧q)∨(p∧q)

m0∨m1∨m3

主析取范式的應(yīng)用2

2、判斷命題公式的類別設(shè)Ａ含有n個(gè)命題變?cè)拿}公式，

A為重言式當(dāng)且僅當(dāng)A的主析取范式中含全部2n個(gè)極小項(xiàng)；

A為矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)A的主析取范式中不含極小項(xiàng)；

A為可滿足式若A的主析取范式中至少含一個(gè)極小項(xiàng)；

主析取范式的應(yīng)用舉例２

利用主析取范式判斷命題公式的類別（1）q∧(p∨?q)(q∧p)∨(q∧?q)

q∧p

3q∧(p∨?q)為可滿足式（2）p→(p∧(q→p))

?p∨(p∧(?q∨p))

(?p∧(?q∨q))∨((p∧?q))∨(p∧(?q∨q))

(?p∧?q)∨(?p∧q)∨(p∧?q)∨(p∧q)

(0,1,2,3)p→(p∧(q→p))為重言式主析取范式的應(yīng)用33、求命題公式的成真和成假賦值主析取范式中出現(xiàn)的極小項(xiàng)編碼的二進(jìn)制表示為原公式的成真賦值，而主析取范式中沒(méi)出現(xiàn)的極小項(xiàng)編碼的二進(jìn)制表示為原公式的成假賦值。因此只要知道一個(gè)命題公式A的主析取范式就可以求出A的真值表。主合取范式的應(yīng)用

通過(guò)主合取范式也可以判斷公式之間是否等價(jià)，判斷公式類別（A為重言式當(dāng)且僅當(dāng)主合取范式不含任何極大項(xiàng)），求成假賦值（所含極大項(xiàng)的二進(jìn)制表示）任何非永假(真)命題公式A的主析(合)取范式都是唯一的

證(反證法)設(shè)A有兩個(gè)不同的主析取范式:A1和A2,則A1

A2.由于A1和A2不同,故有極小項(xiàng)m只出現(xiàn)在它們的一個(gè)當(dāng)中.不妨令m在A1而不在A2中.取A1和A2的所有小項(xiàng)除m為成真外全為成假指派，于是對(duì)應(yīng)這個(gè)指派,A1為真而A2為假,便與A1

A2矛盾。主析、合取范式的關(guān)系

只要求出了命題公式A的主析取范式，也就求出了主合取范式（反之亦然）。極小項(xiàng)與極大項(xiàng)之間的關(guān)系：

?mi

Mi?Mi

mi

主析范式求主合取范式的步驟

（1）求出A的主析范式中沒(méi)有包含的極小項(xiàng)；（2）求出與（1）中極小項(xiàng)編碼相同的極大項(xiàng)；（3）由以上極大項(xiàng)構(gòu)成的合取式為A的主合取范式。例如：A中含3個(gè)命題變項(xiàng)，主析取范式為

A

m0∨m1∨m5∨m7

(0，1，5，7)

則主合取范式

AM2∧M3

∧M4

∧M6

(2，3，4，6)小練習(xí)

求(p→(q∧r))∧(?p→(?q∧?r))的主合取范式和主析取范式

(1,2,3,4,5,6)主合取范式

(0,7)主析取范式總結(jié)

1、掌握對(duì)偶式的定義

2、掌握簡(jiǎn)單析取式,簡(jiǎn)單合取式,析取范式,合取范式,極大項(xiàng),極小項(xiàng),主析取范式,主合取范式的定義

3、掌握求析取范式,合取范式,主析取范式,主合取范式的方法

4、理解主析取范式,主合取范式的關(guān)系和相互互求的方法6.推理理論24個(gè)等值式推理規(guī)則推理理論兩個(gè)技巧推理理論推理從前提推出結(jié)論的思維過(guò)程。前提已知的命題公式。結(jié)論從前提出發(fā)應(yīng)用推理規(guī)則推出的命題公式。推理理論A1∧A2∧…∧Ak→B是永真式,稱為A1

A2…Ak推出B,記為A1∧A2∧…∧Ak

B.易見(jiàn):A1∧A2∧…∧Ak

B,當(dāng)且僅當(dāng)A為真時(shí)B必為真。推理定律(1)A(A∨B)；附加(2)(A∧B)A；化簡(jiǎn)(3)((A→B)∧A)B；假言推理(4)((A→B)∧?B)?A；拒取式(5)((A∨

B)∧?A)B；析取三段式(6)((A→B)∧(B→C))(A→C)；假言三段式(7)((A?B)∧(B?C))(A?C)；等價(jià)三段式(8)(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D)；構(gòu)造性兩難推理規(guī)則(1)前提引入規(guī)則(2)結(jié)論引入規(guī)則(3)置換規(guī)則(4)假言推理規(guī)則：A→B，A︱=B(5)附加規(guī)則：A︱=A∨B(6)化簡(jiǎn)規(guī)則：A∧B︱=A(7)拒取式規(guī)則：A→B，?B︱=?

A推理規(guī)則(8)假言三段論規(guī)則：

A→B，B→C︱=A→C(9)析取三段論規(guī)則：A∨

B，?B︱=A(10)構(gòu)造性兩難規(guī)則

A→B，C→D，A∨C︱=B∨D(11)合取引入規(guī)則：A，B︱=A∧B形式推理舉例

(p∨q)∧(p

?r)∧(s

t)∧(?s

r)∧?tq

步驟斷言根據(jù)

.

1s

t

前提引入

2?t前提引入

3?s1,2拒取式

4

?s

r

前提引入

5

r

3,4假言推理

6p

?r

前提引入

7?p5,6拒取式

8p∨q

前提引入

9q7,8析取三段論附加前提證明法

結(jié)論以蘊(yùn)涵式的形式出現(xiàn)，即推理的形式為

(A1∧A2∧…∧An)→(A→B)

以A為附加前提引入，變推理形式為

(A1∧A2∧…∧An∧A)→B附加前提證明法例(p

(qr))∧(?s∨p)∧q(sr)步驟斷言根據(jù)

.

1

?s∨p

前提引入

2s

附加前提引入

3p

1,2析取三段論

4

p

(qr)

前提引入

5

qr

3,4假言推理

6

q

前提引入

7

r

5,6假言推理

反證法基礎(chǔ)(歸謬定理):若

H1∧…∧Hn有成真指派,且

H1∧…∧Hn∧?CR∧?R,則

H1∧…∧HnC.證:H1∧…∧Hn∧?CR∧?R(

F)表明H1∧…∧Hn∧?C為永假(矛盾式),即對(duì)任何使H1∧…∧Hn

為真的指派必使?C為假,即C為真.H1∧…∧Hn

C.證明(p

(?(r∧s)

?q)∧p∧?s

?q

步驟斷言根據(jù)

.

1p

(?(r∧s)

?q)

前提引入

2

p

前提引入

3?(r∧s)

?q

1,2假言推理

4

?(?q)

否定結(jié)論引入

5q4置換

6

(r∧s)

3,5拒取式

7?s前提引入

8s6化簡(jiǎn)

9

(s∧?s)

7,8合取

小練習(xí)

證明?

(p∧?q)、?q∨r、?r

?p

步驟斷言根據(jù).1?r

前提引入

2

?q∨r

前提引入

3?q

1,2析取三段論

4

?

(p∧?q)

前提引入

5

?p∨q

摩根律

6

?p

3,5析取三段論

總結(jié)

1、掌握前提,結(jié)論,推理的定義

2、掌握推理定律和推理規(guī)則

3、掌握進(jìn)行推理的方法第二部分一階邏輯1

一階邏輯基本概念2一階邏輯合式公式及解釋1.一階邏輯的基本概念

個(gè)體詞謂詞一階邏輯命題符號(hào)化聯(lián)結(jié)詞量詞謂詞的基本概念與表示例如有句子

張華是一個(gè)電子科技大學(xué)的學(xué)生；王南是一個(gè)電子科技大學(xué)的學(xué)生；

李華是一個(gè)電子科技大學(xué)的學(xué)生；則在命題中必須要用三個(gè)命題P、Q、R來(lái)表示，但是它們都具有一個(gè)共同的特征：“…是一個(gè)電子科技大學(xué)的學(xué)生”因此若將句子分解成：“主語(yǔ)+謂語(yǔ)”用P表示“是一個(gè)大學(xué)生”，P后緊跟“某某人”。則上述句子可以寫(xiě)為：P(張紅);P(王南);P(李華)。一般地，P(x)：x是個(gè)大學(xué)生P：謂詞x：個(gè)體詞P(x)命題函數(shù)個(gè)體詞\謂詞

在句子中，可以獨(dú)立存在的客體稱為個(gè)體詞刻化客體的性質(zhì)或客體之間的關(guān)系即謂詞個(gè)體常量,個(gè)體變量,個(gè)體域表示具體或特定的個(gè)體詞稱為個(gè)體常量用帶或不帶下標(biāo)的小寫(xiě)英文字母a,b,…,a1,a2,…表示；表示抽象或泛指的個(gè)體詞稱為個(gè)體變量用帶或不帶下標(biāo)的小寫(xiě)英文字母x,y,…,x1,y2,…表示。個(gè)體詞的取值范圍稱為個(gè)體域或論域，常用D表示。而宇宙間的所有個(gè)體域聚集在一起所構(gòu)成的個(gè)體域稱為全總個(gè)體域。謂詞常量,謂詞變量表示具體或特定的謂詞稱為謂詞常量用帶或不帶下標(biāo)的大寫(xiě)英文字母F,G,H…,表示；表示抽象或泛指的謂詞稱為謂詞變量用帶或不帶下標(biāo)的大寫(xiě)英文字母F,G,H…表示。F,G,H…等表示謂詞常量還是謂詞變量由上下文而定。例找出下列句子中的個(gè)體詞和謂詞1)成都是一個(gè)省會(huì)城市。P(成都)2)離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課程。P(離散數(shù)學(xué))3)X是一個(gè)游泳健將。P(X)2)人是聰明的。P(人)個(gè)體常量個(gè)體變量n元謂詞、0元謂詞謂詞中所含有的個(gè)體詞數(shù)稱為元數(shù)。含n個(gè)個(gè)體詞的謂詞稱為n元謂詞，記為P(x1,…,xn)。定義域：個(gè)體變量x1,…,xn的個(gè)體域

值域：P(x1,…,xn)∈{0，1}。不帶個(gè)體變項(xiàng)的謂詞稱為0元謂詞命題0元謂詞符號(hào)化設(shè)有如下命題：P：上海是一個(gè)現(xiàn)代化的城市；Q：甲是乙的父親。R：3介于2和5之間。T：李蘭和高翔是同班同學(xué)。設(shè)有如下謂詞變項(xiàng)：C(x)：x是一個(gè)現(xiàn)代化的城市；F(x,y)：x是y的父親；B(x,y,z)：x介于y和z之間；S(x,y)：x與y是同班。設(shè)：a:上海；b:甲；c:乙：d:3；e:2；f:5；g:李蘭；h:高翔。則上述命題又可表示為：P：C(a)Q：F(b,c)R:B(d,e,f)T:S(g,h)n元謂詞舉例設(shè)謂詞S(x)：x是大學(xué)生。D：某大學(xué)班級(jí)中的學(xué)生，則S(x)是永真式。D：某中學(xué)里班級(jí)中的學(xué)生，則S(x)是永假式。D：x是所有的中國(guó)人，則這些人中有的是大學(xué)生，有的不是大學(xué)生，那么對(duì)有些人來(lái)講，S(x)為真，對(duì)另外一些人來(lái)講S(x)為假。說(shuō)明：一個(gè)n元謂詞中的個(gè)體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值決定其是否成為命題和其真值。幾個(gè)結(jié)論1)謂詞中個(gè)體詞的順序十分重要，不能隨意變更。2)一元謂詞用以描述一個(gè)個(gè)體的某種特征或性質(zhì)，而n元謂詞則用以描述n個(gè)個(gè)體之間的關(guān)系。3)0元謂詞(不含個(gè)體詞)實(shí)際上就是一般命題。4)具體命題的謂詞表示形式和n元謂詞是不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真值不確定。量詞在有的命題中，除了有個(gè)體詞和謂詞外，還需要表示數(shù)量的詞，稱為量詞。量詞有兩種：(1)全稱量詞，對(duì)應(yīng)“所有的”、“一切的”、