自動控制原理第五講

2024/1/20自動控制原理第五講

PrincipleofAutomaticControl

Lecture5AssociateProf.ZhaoXiao-Mei(趙小梅)Tel:51684265Email:xmzhao@Office:Room613TeachingBuildingNo.8(第8教學(xué)樓613室)2024/1/20第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

Chapter2MathematicalModelsofControlSystem

2024/1/20本章主要內(nèi)容

MainContent引言

Introduction時域數(shù)學(xué)模型——微分方程

TimeDomainModel——DifferentialEquation頻域數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)

FrequencyDomainModel——TransferFunction基本單元

Elements2024/1/20本章主要內(nèi)容

MainContent閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（上講）

TransferFunctionofClosed-loopSystem信號流圖與梅遜公式（本講）

Signal-flowGraphsandMasonFormula脈沖響應(yīng)與階躍響應(yīng)（本講）

PulseResponseandStepResponse小結(jié)（本講）

Summary2024/1/20重點(diǎn)掌握內(nèi)容

控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的列寫時域模型與頻域模型的轉(zhuǎn)換基本單元的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的等效變換2024/1/20上講小結(jié)回顧

BriefReview方框圖

-元素

-繪制閉環(huán)控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)

-前向通路傳遞函數(shù)

-反饋傳遞函數(shù)

-開環(huán)傳遞函數(shù)

-閉環(huán)傳遞函數(shù)

-誤差（對輸入）傳遞函數(shù)

-輸出對擾動傳遞函數(shù)方框圖的等效變換

-原則

-方法2024/1/206.信號流圖與梅遜公式

Signal-flowGraphsandMasonFormula控制系統(tǒng)的信號流圖（Signal-flowGraphs）信號流圖的等效變換（EquivalentTransform）梅遜公式（MasonFormula）2024/1/20信號流圖（Signal-flowgraph）可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便。

組成（Composite）：信號流圖由節(jié)點(diǎn)（Node）和支路（Path）組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。見下圖：

-+信號流圖(1)Signal-flowGraphs2024/1/20上圖中，兩者都具有關(guān)系:。支路對節(jié)點(diǎn)來說是輸出支路，對輸出節(jié)點(diǎn)y來說是輸入支路。

節(jié)點(diǎn)（Node）：節(jié)點(diǎn)表示變量。以小圓圈表示。支路（Path）：連接節(jié)點(diǎn)之間的有向線段。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸。信號流圖(2)SFGwasintroducedbyS.J.Masonforthecause-and-effectrepresentationoflinearsystems.2024/1/20

輸出節(jié)點(diǎn)(阱點(diǎn))：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。如：C

混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如：E，P，Q?；旌瞎?jié)點(diǎn)相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號相加點(diǎn)和分支點(diǎn)。

前向通路（

Forwardpath

）

：從輸入到輸出，與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，沿支路箭頭方向穿過各個相連支路的通路。

輸入節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如：R，N。信號流圖的術(shù)語（1）2024/1/20

回路(閉通路Loop)：通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，但起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)的通路稱為回路。

互不接觸回路（

Non-touchingloops）：兩回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時，這種回路稱為互不接觸回路。

通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益。

回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。信號流圖的術(shù)語（2）2024/1/20

串聯(lián)支路合并：

并聯(lián)支路的合并：

回路的消除：信號流圖的等效變換（1）EquivalentTransform自學(xué)2024/1/20

混合支路的清除：

自回路的消除：信號流圖的等效變換（2）自學(xué)2024/1/20節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點(diǎn)自左向右順序設(shè)置，每個節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號均用該節(jié)點(diǎn)的變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對于給定的系統(tǒng),節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的，因此信號流圖不是唯一的。信號流圖的性質(zhì)Characters2024/1/20

用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間的總傳輸(Theoverallgain)。（即總傳遞函數(shù)）其表達(dá)式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數(shù)）；從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道總數(shù)；第k個前向通道的總傳輸(Pathgain)；流圖特征式(Determinantofgraph)；

其計算公式為：梅遜公式（1）MasonFormula2024/1/20（正負(fù)號間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；

所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回路傳輸乘積之和；

所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；第k個前向通道的特征式的余子式；其值為中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分；梅遜公式（2）ProceduresFindallloops,twonontouchingloops,threenontouchingloops…tocalculateΔFindallforwardpath,andtheirgainPkRemovethekth

forwardpath(allnodesandpaths),calculatethecofactorofthekthforwardpathdeterminantofthegraphΔkCalculatetheoverallgainbytheMasonformula2024/1/20梅遜公式例R-CR(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?2024/1/20L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2R(s)[](1-G1H1)

N(s)梅遜公式求C(s)(1-G1H1)2024/1/20G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H22024/1/20G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2P1=1△1=1+G2H2(1+G2H2)P1△1=?+2024/1/20G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)+2024/1/20G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅遜公式求E(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)P2=-G3G2H3△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)+2024/1/20G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]N(s)P1=–G2H3△1=1(–G2H3)+N(s)P2=-G3G2H3+2024/1/20[解]：前向通道有一條；有一個回路；[例]求速度控制系統(tǒng)的總傳輸。（不計擾動）2024/1/20[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號流圖如下：[例]：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數(shù)。---2024/1/20圖中，有一個前向通道；有三個回路；有兩個互不接觸回路；（因?yàn)槿齻€回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：2024/1/20討論：信號流圖中，a點(diǎn)和b點(diǎn)之間的傳輸為1，是否可以將該兩點(diǎn)合并。使得將兩個不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。不能合并。因?yàn)閍、b兩點(diǎn)的信號值不一樣。上圖中，ui和ue，I1和I，a和b可以合并。為什么？2024/1/20[例]：使用Mason公式計算下述結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)[解]：在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上。然后畫出信號流圖，如下：++--2024/1/20回路有三，分別為：有兩個不接觸回路，所以：求：前向通道有二，分別為:2024/1/20注意：上面講不變，為什么？是流圖特征式，也就是傳遞函數(shù)的特征表達(dá)式。對于一個給定的系統(tǒng)，特征表達(dá)式總是不變的，可以試著求一下。求：（蘭線表示）

不變。（紅線表示）2024/1/20注意：梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益，即輸出對輸入的增益。而輸出對混合節(jié)點(diǎn)（中間變量）的增益就不能直接應(yīng)用梅森公式。也就是說對混合節(jié)點(diǎn)，不能簡單地通過引出一條增益為一的支路，而把非輸入節(jié)點(diǎn)變成輸入節(jié)點(diǎn)。對此問題有兩種方法求其傳遞函數(shù)：

把該混合節(jié)點(diǎn)的所有輸入支路去掉，然后再用梅森公式。分別用梅森公式求取輸出節(jié)點(diǎn)及該節(jié)點(diǎn)對輸入節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)，然后把它們的結(jié)果相比，即可得到輸出對該混合節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)。2024/1/20理想單位脈沖函數(shù)：[定義]：，且，其積分面積為1。

出現(xiàn)在時刻，積分面積為A的理想脈沖函數(shù)定義如下：且脈沖響應(yīng)函數(shù)表示零初始條件時，線性系統(tǒng)對理想單位脈沖輸入信號的響應(yīng)。它也是線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。7.脈沖響應(yīng)與階躍響應(yīng)PulseandStepResponse2024/1/20實(shí)際單位脈沖函數(shù)：和當(dāng)時，實(shí)際脈沖函數(shù)RealPulseFunction2024/1/20

以下討論線性控制系統(tǒng)在單位脈沖作用下的輸出響應(yīng)g(t)，稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。

從上式可以看出，g(t)是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，它等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換。g(t)與G(s)有一一對應(yīng)的關(guān)系。g(t)也是線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。故：[例]：設(shè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)是，求G(s)。[解]：脈沖響應(yīng)（1）PulseResponse2024/1/20

我們還可以不證明地表示出：利用脈沖響應(yīng)函數(shù)，可以求出在任何輸入x(t)下的輸出y(t)?；蚴街校琯(t)是脈沖響應(yīng)函數(shù)，上述兩式稱為卷積。表示為：

回憶拉氏變換的卷積定理，有L[y(t)]=L[x(t)*g(t)]，所以：Y(s)=X(s)G(s)脈沖響應(yīng)（2）2024/1/20則輸出：單位階躍響應(yīng)函數(shù)：單位階躍響應(yīng)函數(shù)：單位階躍響應(yīng)函數(shù)也是線性控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。它是在單位階躍函數(shù)1(t)的作用下的輸