自動控制原理 第五章

第五章線性系統(tǒng)頻域分析法洛陽理工學院電氣工程與自動化系第五章線性系統(tǒng)頻域分析法1.頻率特性法與時域分析法區(qū)別

時域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)零點和極點來分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能(階躍輸入信號響應(yīng))。

頻率特性是根據(jù)控制系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即頻率特性來分析系統(tǒng)的頻域性能指標。

頻域特性雖是系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可間接研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性能和動態(tài)性能。2.頻率特性法與時域分析法聯(lián)系時域性能指標與頻域性能指標之間可以相互轉(zhuǎn)化。

3.頻率特性法優(yōu)點

1)突出的優(yōu)點是可通過解析法、實驗法得到系統(tǒng)頻率特性，定性、定量分析系統(tǒng)的品質(zhì)；頻域法分析系統(tǒng)可利用曲線、圖表及經(jīng)驗公式。2)頻率特性具有明顯的物理含義。兼顧動態(tài)響應(yīng)及噪音抑制兩方面的要求3)頻率特性不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。

一、頻率特性的定義：

在正弦輸入下，系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入量的復數(shù)之比。一般閉環(huán)系統(tǒng)用Φ(j

)表示。開環(huán)系統(tǒng)用G(j

)表示.即：——系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)分量5.1頻率特性5.1.1頻率特性的概念1）實驗法設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:40不結(jié)論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。輸入輸出輸入輸出決然不同的輸入，為什么盡會得到如此相似的輸出!？2)頻率特性的推導Φ(-jω)Φ(jω)C(s)=Φ(s)R(s)=s2+ω2Arω∏(s-si)∏(s-zj)kΦ*1nm1s-siai∑1n=++s+jωB1s-jωB2Cs(s)=ct(t)=∑aies

tict(∞)=0∵系統(tǒng)穩(wěn)定，∴2j(s-jω)Φ(jω)Ar+=ArΦ(-jω)-2j(s+jω)cs(t)=Φ(s)(s+jω)(s-jω)Arωs+jωB1+s-jωB2Φ(jω)=a(ω)+jb(ω)c(ω)+jd(ω)Φ(-jω)=c(ω)-jd(ω)a(ω)-jb(ω)∠Φ(-jω)-∠Φ(jω)設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，時的輸出為：Φ(jω)ejωt

Φ(-jω)e-jωtAr2j

Φ(jω)

Arej∠Φ(jω)

ejωte-j∠Φ(jω)

e-jωt2jΦ(jω)

Arsin(ωt+∠Φ(jω))3)幾點說明①[][][]ej輸出幅值與輸入幅值之比為幅頻特性

A(ω)

=為相頻特性φ(ω)=Φ(jω)=稱為頻率特性輸出相角與輸入相角之差②Φer(s)=E(s)R(s),當系統(tǒng)穩(wěn)定時友情提醒③[][]友情提醒例：無源RC網(wǎng)絡(luò)輸入：r(t)=Asin

t電容C的等效復阻抗為則輸出量：式中：電路輸出電壓與輸入電壓的復數(shù)比：

（RC=T） 這就是無源RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。二、頻率特性

何謂頻率響應(yīng)

系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。開環(huán)系統(tǒng)對正弦輸入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為開環(huán)頻率響應(yīng)；閉環(huán)系統(tǒng)對正弦輸入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為閉環(huán)頻率響應(yīng)；頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相的形式

比較三、頻率特性的性質(zhì)1、與傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也是一種數(shù)學模型。它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素無關(guān)。當系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定，則頻率特性也完全確定。2、頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的。從理論上講，系統(tǒng)動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總可分離出來，且其規(guī)律不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，仍可用頻率特性來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。3、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。

當頻率

改變，則輸出、輸入量的幅值之比A（

）和相位移

（

）隨之改變。這是系統(tǒng)中的儲能元件引起的。

4、實際系統(tǒng)輸出量都隨頻率的升高而出現(xiàn)失真，幅值衰減。因此，可以將它們看成為一個“低通”濾波器。

5、頻率特性可應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)的分析中去。

四、頻率特性的求?。?/p>

1、根據(jù)定義求取。對已知系統(tǒng)的微分方程，把正弦輸入函數(shù)代入，求出其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復數(shù)比即可得到。

2、根據(jù)傳遞函數(shù)求取。用s=j

代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即可得到。

3、通過實驗的方法直接測得。頻率特性是系統(tǒng)的一種數(shù)學模型；頻率特性的三種圖形：1)幅相頻率特性曲線（又稱極坐標或Nyquist曲線）;2)對數(shù)頻率特性曲線（又稱Bode圖）;3)對數(shù)幅相頻率特性曲線（又稱Nichols曲線）。

5.1.2

頻率特性的幾何表示法

最小相位系統(tǒng)的幅頻和相頻特性之間存在唯一的對應(yīng)關(guān)系，

利用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可由開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，用相角裕量和幅值裕量來反映系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

利用等M圓和等N圓可由開環(huán)頻率特性求閉環(huán)頻率特性，進而定性或定量分析系統(tǒng)的時域響應(yīng)。

極坐標圖示法是頻率特性法分析中常采用的一種圖解法。

當輸入信號的頻率ω由0→

變化時，向量G(jω)的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點在復平面上移動而形成的軌跡，稱為極坐標圖，又稱為G(jω)的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲線，簡稱奈氏圖。

實頻特性虛頻特性相頻特性幅頻特性(1)極坐標圖(Polarplot)幅相頻率特性曲線A（

）——幅頻特性；G（j

）的模，它等于穩(wěn)態(tài)的輸出分量與輸入分量幅值之比.

（

）——相頻特性；G（j

）的幅角，它等于穩(wěn)態(tài)輸出分量與輸入分量的相位差。X（

）——實頻特性；Y（

）——虛頻特性；都是

的函數(shù)，之間的關(guān)系用矢量圖來表示。(2)對數(shù)坐標圖(Bodediagramorlogarithmicplot)對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性(

)縱坐標均按線性分度橫坐標是角速率10倍頻程，用dec

按分度對數(shù)坐標系對數(shù)幅頻特性對數(shù)坐標系對數(shù)相頻特性對數(shù)坐標系對數(shù)相頻特性對數(shù)幅頻特性退出

(3)對數(shù)幅相圖(Log-magnitudeversusphaseplot)又稱尼氏(Nichols)

曲線尼氏圖又稱為對數(shù)幅相圖：采用直角坐標系，以頻率ω為參變量.縱坐標為對數(shù)幅頻特性G(jw)的20lg|G(jw)|，單位為分貝（dB），線性分度。橫坐標取相頻特性∠G(jw)，單位為度(°)，線性分度。退出頻率特性的三種圖示法1、極坐標圖

——Nyquist圖（又叫奈奎斯特圖、簡稱奈氏圖或幅相頻率特性）。2、對數(shù)坐標圖——Bode圖（又叫伯德圖，簡稱伯氏圖）3、復合坐標圖——Nichocls圖（又叫尼柯爾斯圖，簡稱尼氏圖）；一般常用于閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性分析。5.2典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性一、典型環(huán)節(jié)的極坐標圖

1、放大環(huán)節(jié)

G(jω)=K=X+jY

放大環(huán)節(jié)是復平面實軸上的一個點，它到原點的距離為K。2、微分環(huán)節(jié)的幅相曲線G(s)=s這是一個純虛矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]01234矢量的模隨著ω的增大而增大3、積分環(huán)節(jié)的幅相曲線這是一個負的純虛矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0矢量的模隨著ω的增大而減小G(s)=s14、一階微分的幅相曲線這是一個實部衡為1虛部隨ω增大而增大的矢量矢量的模隨著ω的增大從1變化到無窮G(s)=Ts+1jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0123415、慣性環(huán)節(jié)G(s)=0.5s+110.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)

A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76-840.450.370.240.05

極坐標圖則有可以證明該一階因子的Nyquist圖是以（0.5,j0）為圓心，直徑為1的半圓.G(s)=Ts+116、二階微分的幅相曲線G(s)=T2s2+2ξTs+1矢量的虛部始終為正Tω<1時，實部為正，矢量在第一象限Tω＝1時，實部為零，矢量在正虛軸上Tω>1時，實部為負，矢量在第二象限jIm[G(jω)]Re[G(jω)]017、振蕩環(huán)節(jié)G(jω)分析(0<ξ<1)(0<ξ<0.707)振蕩環(huán)節(jié)G(jω)曲線0j1(0<ξ<1)（Nyquist曲線）8、延遲環(huán)節(jié)

幅頻特性：與ω無關(guān)的常量，其值為1。相頻特性：與ω成線性變化。其極坐標圖是一個單位圖。典型環(huán)節(jié)相角小結(jié)G(s)=s微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)一階微分二階微分慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1G(s)=T2s2+2ξTs+1G(s)=s1G(s)=Ts+11G(s)=T2s2+2ξTs+11恒定正90o恒定負90o0o~+90o0o~-90o0o~90o~180o0o~-90o~-180o非最小相角環(huán)節(jié)相角小結(jié)G(s)=k(k<0)G(s)=-Ts+1G(s)=T2s2-2ξTs+1G(s)=-Ts+11G(s)=T2s2-2ξTs+11不穩(wěn)定的不穩(wěn)定的不穩(wěn)定的不穩(wěn)定的不穩(wěn)定的比例環(huán)節(jié)一階微分慣性環(huán)節(jié)二階微分振蕩環(huán)節(jié)名稱G(s)恒定-180o0o~-90o0o~+90o0o~-180o0o~+180o奈氏曲線的起點奈氏曲線的終點極坐標圖的一般形狀二、開環(huán)極坐標頻率特性曲線的繪制例題1：繪制

的幅相曲線。解：求交點：

曲線如圖所示：0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]開環(huán)幅相曲線的繪制無實數(shù)解，所以與虛軸無交點MATLAB繪制的圖1、積分環(huán)節(jié)L(ω)①G(s)=1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-20][-20]②G(s)=10s1③G(s)=5s三、開環(huán)對數(shù)坐標頻率特性曲線的繪制斜率例題:求交接頻率ωcωc=0.4L(ω)dBω0dB-7.96-21.94ωc15斜率=-7.96lg1∴∵ω=1時,則有令=1得：–(-21.94)–lg5L(1)=-7.96=20lgk,∴k=0.4①G(s)=s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20][+20][+20]2、微分環(huán)節(jié)L(ω)②G(s)=2s③G(s)=0.1s3、慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻漸近曲線的分析水平線斜率為[-20]的斜線①G(s)=10.5s+1100②G(s)=s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-20201003、慣性環(huán)節(jié)L(ω)[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90o①G(s)=0.5s+10.3②G(s)=(0.25s+0.1)L(ω)dB100.2210.1ω0dB2040-40-20201004、一階微分L(ω)0o+30o+45o+60o+90o[+20][+20]5、振蕩環(huán)節(jié)L(ω)漸近線分析或或<<<注意：ξ這項總是去掉的！要在ωn或ωr處修正!!!漸近線

幅頻特性與

關(guān)系[-40DB/dec]二階振蕩環(huán)節(jié)頻率響應(yīng)曲線以漸近線表示引起的對數(shù)幅值誤差幅值誤差與

關(guān)系令諧振頻率諧振峰值

下圖

與

關(guān)系曲線諧振頻率諧振峰值

nn22n22SS(s)Gw+xw+w=/dB諧振頻率諧振峰值與關(guān)系

振蕩環(huán)節(jié)L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]振蕩環(huán)節(jié)再分析0dBL(ω)dBω20lgk(0＜ξ＜0.707)[-40]0＜ξ＜0.5

ξ=0.50.5＜ξ＜1相頻特性：φ(ωn)=-90oω=

r夸張圖形L(ω)ω0dB[-40]L(ω)ω0dB[-40]L(ω)ω0dB[-40]L(ω)ω0dB[-40]6二階微分j01幅相曲線對數(shù)幅頻漸近曲線0dBL(ω)dBω[+40]0<ξ<0.707時有峰值：

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成,即系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性(伯德圖)為：系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性為繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性一般步驟:1.將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積的形式。2.畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和相頻特性曲線。3.在同一個橫坐標下,分別將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和相頻特性曲線相加。四、系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)伯德圖疊加疊加典型環(huán)節(jié)斜率小結(jié)G(s)=s微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)一階微分二階微分慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1G(s)=T2s2+2ξTs+1G(s)=s1G(s)=Ts+11G(s)=T2s2+2ξTs+11恒定20db/dec020db/dec0-20db/dec040db/dec0-40db/dec恒定-

20db/dec典型環(huán)節(jié)相角小結(jié)G(s)=s微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)一階微分二階微分慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1G(s)=T2s2+2ξTs+1G(s)=s1G(s)=Ts+11G(s)=T2s2+2ξTs+11恒定正90o恒定負90o0o~+90o0o~-90o0o~90o~180o0o~-90o~-180o開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖步驟如下12寫出開環(huán)頻率特性表達式，將所含各因子的轉(zhuǎn)折頻率由大到小依次標在頻率軸上.

繪制開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的漸近線。

低頻段的斜率為

漸近線由若干分段直線組成

在處，

每遇一轉(zhuǎn)折頻率，就改變一次分段直線的斜率

因子的轉(zhuǎn)折頻率分段直線斜率的變化量為

因子的轉(zhuǎn)折頻率當分段直線斜率的變化量為

時，當時，

43高頻漸近線，其斜率為n為極點數(shù)，m為零點數(shù)

作出以分段直線表示的漸近線后，如需要，按典型因子的誤差曲線對相應(yīng)的分段直線進行修正

作相頻特性曲線。根據(jù)表達式，在低頻、中頻和高頻區(qū)域中各選擇若干個頻率進行計算，然后連成曲線.

高頻相位，其趨勢為低頻相位，其趨勢為開環(huán)傳遞函數(shù)L(ω)曲線的繪制例題5-1100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]繪制的L(ω)曲線時為38db時為52db轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-40-20-40[-20][-40]0.5低頻段：繪制的對數(shù)曲線。解：對數(shù)相頻：相頻特性的畫法為：起點，終點，轉(zhuǎn)折點。例5-2-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o對數(shù)幅頻：低頻段：20/s[-20]轉(zhuǎn)折頻率：1510斜率:-400-40修正值：各環(huán)節(jié)角度：低頻段：20/s[-20]轉(zhuǎn)折頻率：1510斜率:-400-40-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o[-20][-40][-40]ω0dB20dB-20dBL(ω)-90o-120o-150o-180oφ(ω)1510繪制曲線例5-3由L(ω)求G(s)0ωL(ω)-20203[+20][-20]0ωL(ω)[-20][-40]1002000ωL(ω)[-20][-40]114200ωL(ω)-203.06[+40]-28例5-4由L(ω)求G(s)1L(ω)dBω0dB40-1.9424.08[-20][-40][-40][-20]8基本思想：利用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。一、預備知識——幅角定理由復變函數(shù)可知，對S復平面上除奇點外的任一點，經(jīng)過復變函數(shù)F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到對應(yīng)的象。設(shè)輔助函數(shù)5.3頻率域穩(wěn)定判據(jù)

令：s從s1開始沿任一閉合路徑Γs

（不經(jīng)過F(s)的零點和極點）順時針旋轉(zhuǎn)一圈，F(xiàn)(s)的相角變化情況如下：

零點(-zi)極點(-pj)1)–zi在Γs外。2)–pj在Γs外。

結(jié)論：相角無變化

1)–zi在Γs內(nèi)，。(順時針)2)–pj在Γs內(nèi)，。(逆時針)

結(jié)論：若F(s)在Γs中有Z個零點和P個極點，則當s沿Γs順時針方向旋轉(zhuǎn)一圈時，F(xiàn)(s)相角有變化（順時針）：

二、幅角定理：

F(s)是s的單值有理函數(shù)，在s平面上任一閉合路徑包圍了F(s)的Z個零點和P個極點，并且不經(jīng)過F(s)的任一零點和極點，則當s沿閉合路徑順時針方向旋轉(zhuǎn)一圈時，映射到F(s)平面內(nèi)的F(s)曲線順時針繞原點（Z–P）圈。即

N=Z-P

（或逆時針繞原點N=P-Z圈）其中：N為圈數(shù)，正、負表示的旋轉(zhuǎn)方向：

逆時針為正，順時針為負。三、奈魁斯特穩(wěn)定性判據(jù)1．奈氏路徑

順時針方向包圍整個s右半面。當F(s)有若干個極點處于s平面虛軸（包括原點）上時，則以這些點為圓心，作半徑為無窮小的半圓，按逆時針方向從右側(cè)繞過這些點。

2.奈氏判據(jù)設(shè)：

——閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式顯然：F(s)的零點就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點。

(1)1＋G(S)H(S)平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析假如s沿著奈氏路徑繞一圈，根據(jù)幅角定理，F(xiàn)(s)平面上繪制的F(s)曲線ΓF逆時針方向繞原點的圈數(shù)N則為F(s)在s右半平面內(nèi)極點個數(shù)P與零點個數(shù)Z之差：

N=P-Z

當Z=0時，說明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無極點在s右半開平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。（2）G(s)H(s)平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析--奈氏判據(jù)

因1+G(s)H(s)與G(s)H(s)相差1，所以系統(tǒng)穩(wěn)定性可表述為：

奈氏判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：s沿著奈氏路徑繞一圈，G(jω)H(jω)曲線逆時針繞（-1，j0）點的P圈。

P——為G(s)H(s)位于s右半平面的極點數(shù)。

a.若P=0，且N=0，即GH曲線不包圍（-1，j0）點，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

b.若P≠0，且N=P，即GH曲線逆時針繞（-1，j0）點P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則N≠P閉環(huán)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。

不穩(wěn)定系統(tǒng)分布在s右半平面極點的個數(shù)可按下式求?。篫=P-N

c.若GH曲線通過（-1，j0）點L次，則說明閉環(huán)系統(tǒng)有L個極點分布在s平面的虛軸上。例:一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：本系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

當變化時，系統(tǒng)的幅相曲線如圖所示。因系統(tǒng)有一開環(huán)極點位于s右半面，即：P=1。奈氏曲線逆時針方向繞（-1，j0）點的1圈，即N=1。根據(jù)奈氏判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)在s右半面極點數(shù)

Z=P-N=1-1=0

所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

a.

當s=0為開環(huán)極點時，奈氏路徑：s=-j0→+j0時，以原點為圓心，作半徑無窮小的半圓，按逆時針方向從右側(cè)繞過原點。令,ε→0當從s=-j0轉(zhuǎn)到+j0時，θ從-90°變到+90°（Ⅰ型系統(tǒng)）所以，從變到。

結(jié)論:

當s從-j0轉(zhuǎn)到+j0時，G(s)H(s)的奈氏曲線以無窮大半徑，順時針轉(zhuǎn)過。

b．s→∞的奈氏曲線因R→∞，則

所以，對n-m>0的系統(tǒng)，ε就趨向于零。

從-(n-m)90°變到+(n-m)90°。

結(jié)論:

當s沿奈氏曲線從+j∞到-j∞時，對n>m的系統(tǒng)，G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲線以無窮小半徑，繞原點逆時針轉(zhuǎn)過(n–m)π。奈氏判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：S沿著奈氏路徑繞一圈，G(jω)H(jω)曲線逆時針繞（-1，j0）點的P圈。

Z=P-NP——G(s)H(s)位于s右半平面的極點數(shù)；

N——G(jω)H(jω)曲線逆時針繞（-1，j0）點的圈數(shù)；

Z——閉環(huán)系統(tǒng)位于s右半平面的極點數(shù)。例試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：解：先作+j0到+j∞時G(jω)H(jω)曲線。再根據(jù)對稱性，作出-j0到-j∞時的

G(jω)H(jω)曲線。當s從-j0到+j0時，G(jω)H(jω)曲線以無窮大半徑，順時針轉(zhuǎn)π（虛線）。

=

1時，G(j

)H(j

)與實軸交K1?？梢姡篏(s)H(s)曲線順時針繞(-1,j0)點一圈，N=-1，又因P=0，所以Z=P-N=1，說明穩(wěn)定不系統(tǒng)，有一個閉環(huán)極點在s的右半平面。例

分析如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)中，

T5<T1<T2、T3和T4

解：某K值下GH曲線如圖，因N=0，且P=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。

1.

K增大，（-1，j0）位于c、d間，曲線順時針包圍（-1，j0）兩圈，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2.K減小，（-1，j0）位于a、b之間，曲線順時針包圍（-1，j0）點兩圈，系統(tǒng)仍不穩(wěn)定。

K再減小，使（-1，j0）點位于a點左邊，那么閉環(huán)系統(tǒng)又穩(wěn)定。

條件穩(wěn)定系統(tǒng)3.一種簡易的奈氏判據(jù)

（1）正、負穿越的概念

G(jω)H(jω)曲線對稱實軸。只畫部分。所謂“穿越”是指軌跡穿過段。正穿越：從上而下穿過該段一次（相角增加），用表示。負穿越：由下而上穿過該段一次（相角減少），用表示。

正穿越負穿越N=N＋-N－G(jω)H(jω)

逆時針方向繞(-1,j0)

一周，則必正穿越一次。反之，順時針方向包圍點(-1,j0)

一周，則必負穿越一次。這種正負穿越之和即為G(jω)H(jω)包圍的圈數(shù)。

若G(jω)H(jω)軌跡起始于或終止于(-1,j0)以左的負軸上，則穿越次數(shù)為半次，有+1/2次穿越和-1/2次穿越。關(guān)于半次穿越-1-1

奈氏判據(jù)又可表述為：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當ω由0變化到∞時，G(jω)H(jω)曲線在（-1，j0）點以左的負實軸上的正負穿越之和為P/2圈。

P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)。此時Z=P-2N

若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點分布在S右半平面，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是N=0.

注意：這里對應(yīng)的ω變化范圍z=p_2N閉環(huán)特征根在s右半平面的個數(shù)開環(huán)極點在s右半平面的個數(shù)N=N＋-N－z=0系統(tǒng)穩(wěn)定

解：系統(tǒng)有2個開環(huán)極點分布在s的右半平面（P=2），G(jω)H(jω)軌跡在點(-1,j0)以左的負實軸有2次正穿越，1次負穿越，因為：N=,

求得：Z=P-2N=2-2=0所以系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。.

例:

某系統(tǒng)G(jω)H(jω)軌跡如下，已知有2個開環(huán)極點分布在s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解:(a):N=N+-N–=（0-1）=-1，且已知P

=0，所以

Z=P-2N=2系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(b)K>1時，N=N+-N-=1-1/2=1/2，且已知P=1，所以

Z=P-2N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

K<1時，N

=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P

=1，所以Z=P-2N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；

K=1時，奈氏曲線穿過(-1,j0)點兩次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。例:

兩系統(tǒng)取一半奈氏曲線，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。圖a圖b

奈氏判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：s沿著奈氏路徑繞一圈，G(jω)H(jω)曲線逆時針繞（-1，j0）點P圈。

Z=P-N

P:

為G(s)H(s)位于s右半平面的極點數(shù)；

N:

G(jω)H(jω)曲線逆時針繞（-1，j0）點圈數(shù)；

Z:

閉環(huán)系統(tǒng)位于s右半平面的極點數(shù)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當ω由0變化到∞，G(jω)H(jω)曲線在（-1，j0）點以左的負實軸上的正負穿越之和為P/2圈。Z=P-2N四、伯德圖上(對數(shù)頻率)的奈氏判據(jù)

極坐標圖 伯德圖 單位圓 0db線（幅頻特性圖） 單位圓以內(nèi)0db線以下區(qū)域 單位圓以外0db線以上區(qū)域 負實軸 -1800線（相頻特性圖）

因此，奈氏曲線自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）點左邊的負實軸，相當于在伯德圖中當L(ω)>0db時相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越-180°線。

（1）穿越點確定

截止頻率

穿越頻率單位圓負實軸即對數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)j-1ABCD0ωz=p2N在L(ω)>0dB的頻段，從上向下為負穿越ωdL(ω)-90-180φ(ω)-2700dBωωωbωc0o看φ(ω)穿越(2k+1)π線的次數(shù)。

在半對數(shù)坐標下ΓGH分為

對數(shù)幅頻特性曲線ΓL和對數(shù)相頻曲線。

ΓL=L(ω);??（2）確定1)開環(huán)系統(tǒng)無虛軸上的極點時，2)開環(huán)系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié)3)開環(huán)系統(tǒng)存在震蕩環(huán)節(jié)（3）穿越次數(shù)的確定正穿越一次、負穿越一次、正穿越半次、負穿越半次

對數(shù)坐標下的奈氏判據(jù)可表述如下：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當ω由0變到∞時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性的頻段內(nèi)，相頻特性穿越的次數(shù)（正穿越與負穿越次數(shù)之差）為。

P:開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)。開環(huán)傳遞函數(shù)無極點分布在S右半面，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在的頻段內(nèi)，相頻特性在線上正負穿越次數(shù)代數(shù)和為零?；蛘卟淮┰骄€。例：某系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點在S右半平面（P=2）N+-N-=1-2=-1不等于P/2（=1）所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對數(shù)判據(jù)例題1對數(shù)判據(jù)例題2最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線改變系統(tǒng)開環(huán)增益可使系統(tǒng)截止頻率變化，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時截止頻率ωc的范圍。對數(shù)判據(jù)例題3最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線改變系統(tǒng)開環(huán)增益可使系統(tǒng)截止頻率變化，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時截止頻率ωc的范圍。對數(shù)判據(jù)例題4z=1-=2不穩(wěn)定注意補角度主要內(nèi)容

控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

增益裕度

相角裕量

用幅相頻率特性曲線分析系統(tǒng)穩(wěn)定性

5.4穩(wěn)定裕量5.4.1

控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面的極點且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則

開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點越遠，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高

開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低，這就是通常所說的相對穩(wěn)定性

通過奈氏曲線對點(-1,j0)的靠近程度來度量其定量表示為相角裕量γ和增益裕度Kg

5.4.2相角裕量

意義：為了表示系統(tǒng)相角變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，引入相角裕量的概念引入：增益穿越頻率，也稱剪切頻率或截止頻率，G(jω)H(jω)曲線與單位元交于C

點，此時|G(jωc)H(jωc)|=1

定義：使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，尚可增加的滯后相角，稱為系統(tǒng)的相角裕度或相角裕量，表示為j01ωcωxG(jω)∠G(jωc)-1相角裕度=180o+∠G(jωc)

應(yīng)用：

相角裕量γ為增益穿越頻率ωc處相角與-180°線之距離

對于最小相位系統(tǒng)當γ＞0時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當γ＜0時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定增益裕度和相角裕度通常作為設(shè)計和分析控制系統(tǒng)的頻域指標，如果僅用其中之一都不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

5.4.3增益裕度

意義：增益裕度表示G(jω)H(jω)曲線在負實軸上相對于(-1,j0)點的靠近程度

定義：G(jω)H(jω)曲線與負實軸交于G點時，G點頻率ωg

稱為相位穿越頻率，ωg處相角為-180°，幅值為|G(jω)H(jω)|，開環(huán)頻率特性幅值|G(jω)H(jω)|的倒數(shù)稱為增益裕度(或幅值裕度)，用Kg表示。見下圖（a）最小相位系統(tǒng)的Nyquist圖（b）對數(shù)頻率特性

表示：

式中ωg滿足下式∠G(jωg)H(jωg)=-180°

增益裕度用分貝數(shù)來表示:Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|dB

應(yīng)用：對于最小相位系統(tǒng)當|G(jωg)H(jωg)|<1或20lg

|G(jωg)H(jωg)|<0時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定

當|

G(jωg)H(jωg)|>1或20lg|

G(jωg)H(jωg)|>0時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定當|G(jωg)H(jωg)|=1或20lg

|G(jωg)H(jωg)|=0時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)

對于開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，G(jω)H(jω)曲線應(yīng)包圍(-1,j0)點，此時Kg=-20lg

|G(jωg)H(jωg)|<0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定

結(jié)論

增益裕度Kg表示系統(tǒng)到達臨界狀態(tài)時，系統(tǒng)增益所允許增大的倍數(shù)0dB-180ocωgωcg∠

G(jωc)20lg幅值裕度:hdB=－20lg對數(shù)曲線中穩(wěn)定裕度的定義=180+∠

G(jωc)相角裕度:結(jié)論：一般而言

L(