高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練50 離散型隨機(jī)變量的均值與方差（含解析）新人教A版-新人教A版高三數(shù)學(xué)試題

考點(diǎn)規(guī)范練50離散型隨機(jī)變量的均值與方差一、基礎(chǔ)鞏固1.已知X的分布列如下表,設(shè)Y=2X+3,則E(Y)的值為()X-101P111A.73 B.4 C.-1 D.2.袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有10個(gè)白球,5個(gè)紅球,從袋中任取1個(gè)球,記下顏色后放回.若連續(xù)取三次,用X表示取出紅球的個(gè)數(shù),則均值E(X)與方差D(X)的和為()A.2 B.23 C.53 D3.已知ξ~B4,13,并且η=2ξ+3,則方差D(η)=A.329 B.89 C.439 4.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ123P0.5xy若E(ξ)=158,則D(ξ)等于(A.3364 B.5564 C.732 5.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為23,乙在每局中獲勝的概率為13,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立,則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)X的期望E(X)為(A.24181 B.26681 C.27481 6.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1000粒,對(duì)于沒有發(fā)芽的種子,每粒需再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的均值為.

7.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下:ξ012Pba21則E(ξ)的最小值為,此時(shí)b=.

8.光伏發(fā)電是將光能直接轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿囊环N技術(shù),具有資源的充足性及潛在的經(jīng)濟(jì)性等優(yōu)點(diǎn),在長(zhǎng)期的能源戰(zhàn)略中具有重要地位,2015年起,國家能源局、國務(wù)院扶貧辦聯(lián)合在6省的30個(gè)縣開展光伏扶貧試點(diǎn).在某縣居民中隨機(jī)抽取50戶,統(tǒng)計(jì)其年用電量得到以下統(tǒng)計(jì)表.以樣本的頻率作為概率.用電量(單位:度)(0,200](200,400](400,600](600,800](800,1000]戶數(shù)7815137(1)在該縣居民中隨機(jī)抽取10戶,記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望;(2)在總結(jié)試點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,將村級(jí)光伏電站穩(wěn)定為光伏扶貧的主推方式.已知該縣某自然村有居民300戶.若計(jì)劃在該村安裝總裝機(jī)容量為300千瓦的光伏發(fā)電機(jī)組,該機(jī)組所發(fā)電量除保證該村正常用電外,剩余電量國家電網(wǎng)以0.8元/度的價(jià)格進(jìn)行收購.經(jīng)測(cè)算,每千瓦裝機(jī)容量的發(fā)電機(jī)組年平均發(fā)電1000度,試估計(jì)該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接收益多少元?9.在一袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4),現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號(hào).(1)求X的分布列、期望和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,試求a,b的值.10.甲、乙、丙三人射擊同一目標(biāo),各射擊一次,已知甲擊中目標(biāo)的概率為35,乙與丙擊中目標(biāo)的概率分別為m,n(m>n),每人是否擊中目標(biāo)是相互獨(dú)立的.記目標(biāo)被擊中的次數(shù)為ξ,且ξξ0123P1ab1(1)求m,n的值;(2)求ξ的均值.二、能力提升11.為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時(shí)間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“”表示服藥者,“+”表示未服藥者.(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人,記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ);(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)12.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為34,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為23,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求該射手恰好命中一次的概率;(2)求該射手的總得分X的分布列及均值E(X).三、高考預(yù)測(cè)13.某學(xué)校為鼓勵(lì)家校互動(dòng),與某手機(jī)通訊商合作,為教師辦理流量套餐.為了解該校教師手機(jī)流量使用情況,通過抽樣,得到100位教師近2年每人手機(jī)月平均使用流量L(單位:M)的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如下:若將每位教師的手機(jī)月平均使用流量分別視為其手機(jī)月使用流量,并將頻率視為概率,回答以下問題.(1)從該校教師中隨機(jī)抽取3人,求這3人中至多有1人手機(jī)月使用流量不超過300M的概率;(2)現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐,詳情如下:套餐名稱月套餐費(fèi)/元月套餐流量/MA20300B30500C38700這三款套餐都有如下附加條款:套餐費(fèi)月初一次性收取,手機(jī)使用流量一旦超出套餐流量,系統(tǒng)就自動(dòng)幫用戶充值200M流量,資費(fèi)20元;如果又超出充值流量,那么系統(tǒng)就再次自動(dòng)幫用戶充值200M流量,資費(fèi)20元,以此類推.如果當(dāng)月流量有剩余,那么系統(tǒng)將自動(dòng)清零,無法轉(zhuǎn)入次月使用.學(xué)校欲訂購其中一款流量套餐,為教師支付月套餐費(fèi),并承擔(dān)系統(tǒng)自動(dòng)充值的流量資費(fèi)的75%,其余部分由教師個(gè)人承擔(dān),問學(xué)校訂購哪一款套餐最經(jīng)濟(jì)?說明理由.

考點(diǎn)規(guī)范練50離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.A解析∵E(X)=-12+1∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=72.C解析由題意可知,每次取到紅球的概率都是515設(shè)X為取得紅球的次數(shù),則X~B3,則E(X)=3×13=D(X)=3×13故E(X)+D(X)=533.A解析由題意知,D(ξ)=4×13∵η=2ξ+3,∴D(η)=4·D(ξ)=4×894.B解析由分布列的性質(zhì)得x+y=0.5,又E(ξ)=158,所以2x+3y=11解得x=18,y=3故D(ξ)=1-5.B解析依題意,知X的所有可能值為2,4,6,設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為232+132=59.若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時(shí),該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響.從而有P(X=2)=59,P(X=4)=49×59=2081,P(X=6)=496.200解析記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y,則Y~B(1000,0.1),∴E(Y)=1000×0.1=100.又X=2Y,∴E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200.7.3412解析由題意可得,b+a2即b+a2-a2=12,b∈[0,1],a∈E(ξ)=0+a2+212-a2=a2-a+1=a故E(ξ)的最小值為34.此時(shí)b=18.解(1)記在抽取的50戶居民中隨機(jī)抽取1戶,其年用電量不超過600度為事件A,則P(A)=35由已知可得從該縣居民中隨機(jī)抽取10戶,記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X,則X服從二項(xiàng)分布,即X~B10,故E(X)=10×35=6(2)設(shè)該縣居民戶年均用電量為E(Y),由抽樣可得E(Y)=100×750+300×850+500×1550+700×1350+900×又該村所裝發(fā)電機(jī)組年預(yù)計(jì)發(fā)電量為300000度,故該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能剩余電量約144000度,能為該村創(chuàng)造直接收益144000×0.8=115200元.9.解(1)X的取值為0,1,2,3,4,其分布列為X01234P11131∴E(X)=0×12+1×120+2×110+3×320+4×1D(X)=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×15(2)由D(Y)=a2D(X),得2.75a2=11,得a=±2,又E(Y)=aE(X)+b,∴當(dāng)a=2時(shí),由1=2×1.5+b,得b=-2;當(dāng)a=-2時(shí),由1=-2×1.5+b,得b=4,∴a10.解(1)設(shè)甲、乙、丙各自擊中目標(biāo)分別為事件A,B,C.由題設(shè)可知當(dāng)ξ=0時(shí),甲、乙、丙三人均未擊中目標(biāo),即P(ξ=0)=P(AB=25(1-m)(1-n)=1化簡(jiǎn)得mn-(m+n)=-56.①同理,P(ξ=3)=35×m×n=1即mn=13.②聯(lián)立①②可得m=23,n=1(2)由題設(shè)及(1)可知,a=P(ξ=1)=35b=1-115故E(ξ)=0×115+1×310+2×1330+311.解(1)由題圖知,在服藥的50名患者中,指標(biāo)y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,此人指標(biāo)y的值小于60的概率為1550=0.3(2)由題圖知,A,B,C,D四人中,指標(biāo)x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值為0,1,2.P(ξ=0)=C2P(ξ=1)=C2P(ξ=2)=C2所以ξ的分布列為ξ012P121故ξ的期望E(ξ)=0×16+1×23+2×16(3)在這100名患者中,服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差.12.解(1)記:“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊命中甲靶”為事件B,“該射手第一次射擊命中乙靶”為事件C,“該射手第二次射擊命中乙靶”為事件D.由題意知P(B)=34P(C)=P(D)=23由于A=BCD+BC根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(A)=P(BCD)+P(BCD)+P(BC=P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)·P(D)=34(2)根據(jù)題意,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的對(duì)立性和互斥性得P(X=0)=P(BCD)=P(X=1)=P(BCD)=3P(X=2)=P(BCD+BCD)=P(BCD)+P(BCDP(X=3)=P(BCD)+P(BCD)=34P(X=4)=P(BCD)=1-P(X=5)=P(BCD)=34故X的分布列為X012345P111111所以E(X)=0×136+1×112+2×19+3×13+4×1913.解(1)記“從該校隨機(jī)抽取1位教師,該教師手機(jī)月使用流量不超過300M”為事件D.依題意,P(D)=(0.0008+0.0022)×100=0.3.從該校教師中隨機(jī)抽取3人,設(shè)這3人中手機(jī)月使用流量不超過300M的人數(shù)為X,則X~B(3,0.3),所以從該校教師中隨機(jī)抽取3人,至多有1人手機(jī)月使用流量不超過300M的概率為P(X=0)+P(X=1)=C30×0.30×(1-0.3)3+C31×0.3×(1-0.3)2=0.343+0.441=(2)依題意,從該校隨機(jī)抽取1位教師,該教師手機(jī)月使用流量L∈(300,500]的概率為(0.0025+0.0035)×100=0.6,L∈(500,700]的概率為(0.0008+0.0002)×100=0.1.當(dāng)學(xué)校訂購A套餐時(shí),設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為X1元,則X1的所有可能取值為20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)=0.1,所以X1的分布列為X1203550P0.30.60.1所以數(shù)學(xué)期望E(X1)=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32(元).當(dāng)學(xué)校訂購B套餐時(shí)