中考數(shù)學全面突破：第四講 方程（組）及其應用

第四講方程(組)及其應用命題點分類集訓命題點1一次方程(組)及其應用【命題規(guī)律】1.考查內容：①解一元一次方程；②解二元一次方程組；③一次方程(組)的實際應用.2.實際應用題背景主要有：購買分配類問題；3.三大題型均有設題，解答題居多．【命題預測】一次方程(組)及其應用是命題主流趨勢之一，解答題考查一次方程(組)的解法應做到不丟分，實際應用問題會與不等式(組)結合，也應引起重視．1.方程2x＋3＝7的解是()A.x＝5B.x＝4C.x＝3.5D.x＝21.D【解析】2x＋3＝7，2x＝4，x＝2，∴選項D正確．2.某車間有26名工人，每人每天可以生產(chǎn)800個螺釘或1000個螺母，1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，設安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則下面所列方程正確的是()A.2×1000(26－x)＝800xB.1000(13－x)＝800xC.1000(26－x)＝2×800xD.1000(26－x)＝800x2.C【解析】本題要求螺釘和螺母配套，且1個螺釘需要配2個螺母，所以螺母的數(shù)量是螺釘?shù)?倍.不難得出，x名工人生產(chǎn)螺釘?shù)膫€數(shù)為800x個，則(26－x)名工人生產(chǎn)螺母的個數(shù)是1000×(26－x)個，根據(jù)其等量關系得：1000×(26－x)＝2×800x，故選C.3.有一根40cm的金屬棒，欲將其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段，剩余部分作廢料處理，若使廢料最少，則正整數(shù)x、y應分別為()A.x＝1，y＝3B.x＝4，y＝1C.x＝3，y＝2D.x＝2，y＝33.C【解析】根據(jù)題意得：7x＋9y≤40，則x≤eq\f(40－9y,7)，∵40－9y≥0，且y是正整數(shù)，∴y的值可以是1或2或3或4.當y＝1時，x≤eq\f(31,7)，則x＝4，此時，所剩的廢料是：40－1×9－4×7＝3cm；當y＝2時，x≤eq\f(22,7)，則x＝3，此時，所剩的廢料是：40－2×9－3×7＝1cm；當y＝3時，x≤eq\f(13,7)，則x＝1，此時，所剩的廢料是：40－3×9－1×7＝6cm；當y＝4時，x≤eq\f(4,7)，則x＝0(舍去)．則符合題意的是：x＝3，y＝2.4.為了改善辦學條件，學校購置了筆記本電腦和臺式電腦共100臺，已知筆記本電腦的臺數(shù)比臺式電腦的臺數(shù)的eq\f(1,4)還少5臺，則購置的筆記本電腦有________臺．4.16【解析】設購置的筆記本電腦有x臺，則購置的臺式電腦為4(x＋5)臺，根據(jù)兩種電腦的臺數(shù)共100臺，列方程得4(x＋5)＋x＝100，解得x＝16臺．5.解方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝2,x－y＝y(tǒng)＋1)).5.解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝2①,x－y＝y(tǒng)＋1②))解法一：把①代入②，得2＝y(tǒng)＋1，則y＝1，把y＝1代入①，得x－1＝2，∴x＝3，∴原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝1)).解法二：由②－①，得0＝y(tǒng)＋1－2，∴y＝1.(1分)把y＝1代入①，得x－1＝2，∴x＝3，∴原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝1)).6.為了響應“足球進校園”的目標，某校計劃為學校足球隊購買一批足球，已知購買2個A品牌的足球和3個B品牌的足球共需380元，購買4個A品牌的足球和2個B品牌的足球共需360元．(1)求A、B兩種品牌的足球的單價；(2)求該校購買20個A品牌的足球和2個B品牌的足球的總費用．6.解：(1)設A品牌的足球的單價為x元/個，B品牌的足球的單價為y元/個，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝380,4x＋2y＝360))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝40,y＝100))，∴A品牌的足球的單價為40元/個，B品牌的足球的單價為100元/個．(2)40×20＋100×2＝1000(元)．∴總費用為1000元．命題點2一元二次方程及其應用【命題規(guī)律】考查題型及形式：①一元二次方程解法常在選擇題或解答題中考查，?？嫉慕夥ㄊ且蚴椒纸夂团浞椒?；②根的判別式一般在選擇題和填空題中設題，求方程中某個參數(shù)的取值范圍；③根與系數(shù)關系常為根據(jù)一元二次方程，在不求解方程根的情況下，利用方程根與系數(shù)的關系，求兩根之和(積)或某個參數(shù)；④一元二次方程實際應用考查增長(下降)率．【命題預測】一元二次方程的解法和實際應用是一種命題趨勢；而根的判別式為2011版新課標選學內容，在練習中應逐漸滲透．7.一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可變形為()A.(x－3)2＝14B.(x－3)2＝4C.(x＋3)2＝14D.(x＋3)2＝47.A8.一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情況是()A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根8.B9.一元二次方程x2－3x－2＝0的兩根為x1，x2，則下列結論正確的是()A.x1＝－1，x2＝2B.x1＝1，x2＝－2C.x1＋x2＝3D.x1x2＝29.C10.若x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的兩個根，則xeq\o\al(2,1)－x1＋x2的值為()A.－1B.0C.2D.310.D【解析】由題意可得xeq\o\al(2,1)－2x1－1＝0，x1＋x2＝2，即xeq\o\al(2,1)－2x1＝1，所以原式＝xeq\o\al(2,1)－2x1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))＝1＋2＝3.11.方程eq\r(x－1)＝2的解是________．11.x＝5【解析】方程兩邊平方得，x－1＝4，解得x＝5，經(jīng)檢驗，x＝5是原方程的解12.若關于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________．12.k＞－eq\f(9,4)【解析】∵一元二次方程x2＋3x－k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴b2－4ac＝32－4×1×(－k)＞0，即9＋4k＞0，解得k＞－eq\f(9,4).13.某種藥品原來售價100元，連續(xù)兩次降價后售價為81元，若每次下降的百分率相同，則這個百分率是________．13.10%【解析】設降價的百分率是x，則100(1－x)2＝81，解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)，故這兩次降價的百分率是10%.14.解方程：2(x－3)2＝x2－9.14.解：原方程可化為2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，(x－3)(x－9)＝0，∴x－3＝0或x－9＝0，∴x1＝3，x2＝9.【一題多解】原方程可化為x2－12x＋27＝0，這里a＝1，b＝－12，c＝27，∵b2－4ac＝(－12)2－4×1×27＝36>0，∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(12±\r(36),2×1)＝eq\f(12±6,2)，∴原方程的根為x1＝3，x2＝9.15.某地區(qū)2014年投入教育經(jīng)費2900萬元，2016年投入教育經(jīng)費3509萬元．(1)求2014年至2016年該地區(qū)投入教育經(jīng)費的年平均增長率．(2)按照義務教育法規(guī)定，教育經(jīng)費的投入不低于國民生產(chǎn)總值的百分之四，結合該地區(qū)國民生產(chǎn)總值的增長情況，該地區(qū)到2018年需投入教育經(jīng)費4250萬元．如果按(1)中教育經(jīng)費投入的增長率，到2018年該地區(qū)投入的教育經(jīng)費是否能達到4250萬元？請說明理由．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(1.21)＝1.1，eq\r(1.44)＝1.2，eq\r(1.69)＝1.3，eq\r(1.96)＝1.4)15.解：(1)設2014年至2016年該地區(qū)投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x，由題意得：2900(1＋x)2＝3509，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不符合題意舍去)．答：2014年至2016年該地區(qū)投入教育經(jīng)費的年平均增長率為10%.(2)按10%的增長率，到2018年投入教育經(jīng)費為3509(1＋10%)2＝4245.89(萬元)．因為4245.89＜4250，所以教育經(jīng)費不能達到4250萬元．答：按此增長率到2018年該地區(qū)投入的教育經(jīng)費不能達到4250萬元．eq\x(方法指導)求平均變化率的方法為：若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為a(1±x)2＝b.命題點3分式方程及其應用【命題規(guī)律】考查形式：1.分式方程的解法主要考查可化為一元一次方程的分式方程；2.實際應用常考類型——行程問題(關系式中存在兩個量的乘積等于第三量)；3.三大題型中均有設題，解答題居多．【命題預測】分式方程的解法和實際應用的考查是一種主流命題趨勢，做題時要熟練掌握解分式方程的步驟和實際應用常考類型的關系式．16.方程eq\f(2x＋1,x－1)＝3的解是()A.－eq\f(4,5)B.eq\f(4,5)C.－4D.416.D【解析】本題考查解分式方程，原方程兩邊同時乘以x－1，得2x＋1＝3(x－1)，解得x＝4，把x＝4代入x－1＝3≠0，所以x＝4是原分式方程的根．17.關于x的方程eq\f(3x－2,x＋1)＝2＋eq\f(m,x＋1)無解，則m的值為()A.－5B.－8C.－2D.517.A【解析】方程eq\f(3x－2,x＋1)＝2＋eq\f(m,x＋1)轉化為整式方程為(3x－2)＝2(x＋1)＋m，解得x＝4＋m，根據(jù)題意，方程無解，即是方程的增根是使得分母為0的根，令x＋1＝0，解得x＝－1，即x＝4＋m＝－1，解得m＝－5，故選A.18.甲、乙兩個搬運工搬運某種貨物，已知乙比甲每小時多搬運600kg，甲搬運5000kg所用時間與乙搬運8000kg所用時間相等，求甲、乙兩人每小時分別搬運多少kg貨物．設甲每小時搬運xkg貨物，則可列方程為()A.eq\f(5000,x－600)＝eq\f(8000,x)B.eq\f(5000,x)＝eq\f(8000,x＋600)C.eq\f(5000,x＋600)＝eq\f(8000,x)D.eq\f(5000,x)＝eq\f(8000,x－600)18.B【解析】甲每小時搬運xkg貨物，則乙每小時搬運(x＋600)kg貨物，甲搬運5000kg貨物所用時間為eq\f(5000,x)小時，乙搬運8000kg貨物所用時間為eq\f(8000,x＋600)小時，根據(jù)等量關系“甲搬運5000kg所用時間與乙搬運8000kg所用時間相等”列方程：eq\f(5000,x)＝eq\f(8000,x＋600).19.若關于x的方程eq\f(ax＋1,x－1)－1＝0有增根，則a的值為________．19.－1【解析】將方程兩邊同時乘以x－1，得ax＋1－x＋1＝0，則(a－1)x＋2＝0，∵原方程有增根，∴x＝1，將x＝1代入(a－1)x＋2＝0中，得a－1＋2＝0，a＝－1.20.解方程：eq\f(1,x－2)－eq\f(4,x2－4)＝1.20.解：去分母，得x＋2－4＝x2－4，移項、整理得x2－x－2＝0，解方程，得x1＝2，x2＝－1，經(jīng)檢驗：x1＝2是增根，舍去；x2＝－1是原方程的根，所以原方程的根是x＝－1.21.eq\f(x－3,x－2)＋1＝eq\f(3,2－x).21.解：去分母得x－3＋x－2＝－3，解得x＝1，檢驗：x＝1時，x－2＝－1≠0，2－x＝2－1＝1≠0，∴原方程的解為x＝1.22.甲、乙兩同學的家與學校的距離均為3000米．甲同學先步行600米，然后乘公交車去學校．乙同學騎自行車去學校．已知甲步行速度是乙騎自行車速度的eq\f(1,2)，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍．甲乙兩同學同時從家出發(fā)去學校，結果甲同學比乙同學早到2分鐘．(1)求乙騎自行車的速度；(2)當甲到達學校時，乙同學離學校還有多遠？22.解：(1)設乙騎自行車的速度為2x米/分，則甲步行的速度為x米/分，公交車的速度為4x米/分．由題意列方程為：eq\f(600,x)＋eq\f(3000－600,4x)＋2＝eq\f(3000,2x)，解得：x＝150，經(jīng)檢驗得：當x＝150時，等式成立，∴2x＝2×150＝300，答：乙騎自行車的速度為300米/分．(2)甲到達學校的時間為eq\f(600,x)＋eq\f(3000－600,4x)＝eq\f(600,150)＋eq\f(3000－600,4×150)＝8，∴乙8分鐘內騎車的路程為：300×8＝2400(米)，∴乙離學校還有3000－2400＝600(米)．答：當甲到達學校時，乙同學離學校還有600米．

中考沖刺集訓一、選擇題1.方程2x－1＝3x＋2的解為()A.x＝1B.x＝－1C.x＝3D.x＝－32.在解方程eq\f(x－1,3)＋x＝eq\f(3x＋1,2)時，方程兩邊同時乘以6，去分母后，正確的是()A.2x－1＋6x＝3(3x＋1)B.2(x－1)＋6x＝3(3x＋1)C.2(x－1)＋x＝3(3x＋1)D.(x－1)＋6x＝3(x＋1)3.下列選項中，能使關于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有實數(shù)根的是()A.a＞0B.a＝0C.c＞0D.c＝04.已知關于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一個實數(shù)根為2，則另一實數(shù)根及m的值分別為()A.4，－2B.－4，－2C.4，2D.－4，25.已知關于x，y的方程x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，則m，n的值為()A.m＝1，n＝－1B.m＝－1，n＝1C.m＝eq\f(1,3)，n＝－eq\f(4,3)D.m＝－eq\f(1,3)，n＝eq\f(4,3)6.為了綠化校園，30名學生共種78棵樹苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，設男生有x人，女生有y人，根據(jù)題意，所列方程組正確的是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝78,3x＋2y＝30))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝78,2x＋3y＝30))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30,2x＋3y＝78))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30,3x＋2y＝78))7.隨著居民經(jīng)濟收入的不斷提高以及汽車業(yè)的快速發(fā)展，家用汽車已越來越多地進入普通家庭，抽樣調查顯示，截止至2015年底某市汽車擁有量為16.9萬輛．已知2013年底該市汽車擁有量為10萬輛．設2013年底至2015年底該市汽車擁有量的年平均增長率為x.根據(jù)題意列方程得()A.10(1＋x)2＝16.9B.10(1＋2x)＝16.9C.10(1－x)2＝16.9D.10(1－2x)＝16.98.有x支球隊參加籃球比賽，共比賽了45場，每兩隊之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是()A.eq\f(1,2)x(x－1)＝45B.eq\f(1,2)x(x＋1)＝45C.x(x－1)＝45D.x(x＋1)＝45二、填空題9.方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝2,2x＋y＝4))的解是________．10.方程eq\f(1,2x)＝eq\f(2,x－3)的解是________．11.已知等腰三角形的一邊長為9，另一邊長為方程x2－8x＋15＝0的根，則該等腰三角形的周長為________．12.方程2x－4＝0的解也是關于x的方程x2＋mx＋2＝0的一個解，則m的值為________．13.關于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的兩實數(shù)根之積為負，則實數(shù)m的取值范圍是________．三、解答題14.解方程：eq\f(x＋1,x－1)＋eq\f(4,1－x2)＝1.15.世界讀書日，某書店舉辦“書香”圖書展，已知《漢語成語大詞典》和《中華上下五千年》兩本書的標價總和為150元，《漢語成語大詞典》按標價的50%出售，《中華上下五千年》按標價的60%出售，小明花80元買了這兩本書，求這兩本書的標價各多少元．16.A、B兩種型號的機器加工同一種零件，已知A型機器比B型機器每小時多加工20個零件，A型機器加工400個零件所用時間與B型機器加工300個零件所用時間相同，求A型機器每小時加工零件的個數(shù)．17.為滿足市場需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購進價格為3元/個的某品牌粽子．根據(jù)市場預測，該品牌粽子每個售價為4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個．為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定，該品牌粽子售價不能超過進價的200%.請你利用所學知識幫助超市給該品牌粽子定價，使超市每天的銷售利潤為800元．18.某工程隊修建一條長1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，結果提前4天完成任務．(1)求這個工程隊原計劃每天修建道路多少米？(2)在這項工程中，如果要求工程隊提前2天完成任務，那么實際平均每天修建道路的工效比原計劃增加百分之幾？1.D2.B3.D【解析】該方程是一元二次方程，則有a≠0，該一元二次方程根的判別式為b2－4ac＝16－4ac，要使原方程一定有實數(shù)根，只需b2－4ac≥0即可．A選項中a＞0，若c＞0，16－4ac可能小于0，不符合題意；B選項中一元二次方程a不能為0，不符合題意；C選項同A選項，不符合題意；D選項中當c＝0時，b2－4ac＝16＞0，符合題意，故選D.4.D5.A6.D【解析】∵男生有x人，女生有y人，學生人數(shù)是30，∴x＋y＝30.∵男生每人種3棵，女生每人種2棵，共種78棵，∴3x＋2y＝78.因此所列方程組是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30,3x＋2y＝78))，故選D.7.A【解析】因為年平均增長率為x，從2013年到2015年連續(xù)增長兩年，開始量為10萬輛，結束量為16.9萬輛，則可列方程10(1＋x)2＝16.9.8.A【解析】根據(jù)題意：每兩隊之間都比賽一場，每隊參加x－1場比賽，共比賽eq\f(1,2)x(x－1)場比賽，根據(jù)題意列出一元二次方程eq\f(1,2)x(x－1)＝45.故選A.9.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝0)))10.x＝－1【解析】化簡eq\f(1,2x)＝eq\f(2,x－3)得x－3＝4x，則－3x＝3，所以x＝－1，經(jīng)檢驗x＝－1是原方程的根．11.19或21或23【解析】解方程x2－8x＋15＝0，得x1＝3或x2＝5，等腰三角形的一邊為9，則有這樣幾種情況：3、9、9；5、9、9；5、5、9，周長分別為21或23或19.12.－3【解析】∵2x－4＝0，解得x＝2，把x＝2代