高斯小學(xué)奧數(shù)五年級(jí)下冊(cè)含答案第05講-計(jì)數(shù)綜合

第五講計(jì)數(shù)綜合

從三年級(jí)開(kāi)始到現(xiàn)在，我們已經(jīng)學(xué)了很多有關(guān)計(jì)數(shù)的講次，其中包括枚舉法、加乘原理、排列組合、容斥原理等．我們先來(lái)做一個(gè)簡(jiǎn)單的小結(jié)和復(fù)習(xí)．枚舉法是萬(wàn)能的方法，只要有足夠多的時(shí)間和精力．并且往往在一些復(fù)雜棘手的題目中，別的方法都不能適用，此時(shí)就能體會(huì)到枚舉法的“威力”．使用枚舉法時(shí)一定要注意有序思考．加法原理強(qiáng)調(diào)的是分類，計(jì)數(shù)時(shí)我們只需選擇其中的某一類即可以滿足要求，類與類之間可以相互替代．乘法原理強(qiáng)調(diào)的是分步，每一步只是整個(gè)事情的一部分，必須全部完成才能滿足結(jié)論，缺一不可．在乘法原理中，步驟順序的安排往往非常重要．排列與組合：排列的計(jì)算公式由乘法原理推導(dǎo)而來(lái)，組合的計(jì)算公式由排列公式推導(dǎo)而來(lái)．從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)（），并按照一定的順序排成一列，其方法數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)的排列數(shù)，記作．從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)（）作為一組（不計(jì)順序），可選擇的方法數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)的組合數(shù)，記作．在運(yùn)用排列組合時(shí)，有特殊要求的我們往往優(yōu)先考慮，有時(shí)還會(huì)用到“捆綁法”和“插空法”.我們今天主要來(lái)學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)中的分類思想，以及正面分類和反面排除的合理選擇．分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問(wèn)題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，將整體問(wèn)題劃分為局部問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單一問(wèn)題，然后分而治之、各個(gè)擊破，最后綜合各類的結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答．例題1．五張卡片上分別寫有0、1、2、3、5，每張卡片各用一次可以組成一些五位數(shù)．其中5的倍數(shù)有多少個(gè)？4的倍數(shù)有多少個(gè)？分析：一個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)，它要滿足什么條件？4的倍數(shù)呢？

練習(xí)1．五張卡片上分別寫有0、1、2、3、5，每張卡片只能用一次可以組成多少個(gè)三位偶數(shù)？

例題2．（1）用2個(gè)1、2個(gè)2和1個(gè)3可以組成多少個(gè)不同的五位數(shù)？

（2）用1個(gè)0、2個(gè)1和2個(gè)2可以組成多少個(gè)不同的五位數(shù)？

（3）用1個(gè)0、2個(gè)1和2個(gè)2可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？分析：先選好1的位置，再選好2的位置，最后選好3的位置，就可以組成五位數(shù)．那么有多少種不同的選法？練習(xí)2．（1）用1個(gè)1、1個(gè)2、2個(gè)3可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？

（2）用1個(gè)0、1個(gè)2、2個(gè)3可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？

（3）用1個(gè)0、1個(gè)2、2個(gè)3可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？例題3．?dāng)?shù)1447、1225、1031有某些相同的特點(diǎn)，每一個(gè)數(shù)都是以1為首的四位數(shù)，且每個(gè)數(shù)恰好只有兩個(gè)數(shù)字相同（1112，1222，1122這樣的數(shù)不算），這樣的數(shù)共有多少個(gè)？分析：根據(jù)題意可知這樣的四位數(shù)由三種數(shù)字組成，其中有一種數(shù)字出現(xiàn)了2次．那么可以根據(jù)這個(gè)數(shù)字所在的數(shù)位來(lái)分類．練習(xí)3．用1、2、3、4這4個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，至多允許有1個(gè)數(shù)字重復(fù)一次．例如1234、1233和2434是滿足條件的，而1212、3331和4444就是不滿足條件的．那么，所有這樣的四位數(shù)共有多少個(gè)？

例題4和2468相加至少會(huì)發(fā)生一次進(jìn)位的四位數(shù)有多少個(gè)？分析：和2486相加發(fā)生進(jìn)位有好多種情況，比如發(fā)生一次進(jìn)位、發(fā)生兩次進(jìn)位、發(fā)生三次進(jìn)位等等，不同的類型太多了．這時(shí)不妨考慮下反面．練習(xí)4．和250相加至少會(huì)發(fā)生一次進(jìn)位的三位數(shù)有多少個(gè)？例題5．有10名外語(yǔ)翻譯，其中5名是英語(yǔ)翻譯，4名日語(yǔ)翻譯，另外1名英語(yǔ)和日語(yǔ)都很精通，從中找出7人，使他們可以組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英語(yǔ)，另3人翻譯日語(yǔ)，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作，則不同的分配方案共有多少種？分析：這個(gè)英語(yǔ)和日語(yǔ)都很精通的人很麻煩，應(yīng)該優(yōu)先考慮他．例題6．將右圖中的“○”分別用四種顏色染色，只要求有實(shí)線段連接的兩個(gè)相鄰的“○”都涂成不同的顏色，共有多少種涂法？如果還要求虛線段連接的兩個(gè)“○”也涂成不同的顏色，共有多少種涂法？分析：染色時(shí)順序很重要，要遵循“前不影響后”的原則．

四色定理四色定理指出每個(gè)可以畫出來(lái)的無(wú)\o"飛地"飛地地圖（飛地是指與本土不相連的土地）都可以至多用4種\o"顏色"顏色來(lái)上色，而且沒(méi)有兩個(gè)相鄰的區(qū)域會(huì)是相同的顏色．被稱為相鄰的兩個(gè)區(qū)域是指它們共有一段邊界，而不是一個(gè)點(diǎn)．這一定理最初是由\o"FrancisGuthrie"FrancisGuthrie在1853年提出的猜想．很明顯，3種顏色不會(huì)滿足條件，而且也不難證明5種顏色滿足條件且綽綽有余．但是，直到1977年四色猜想才最終由\o"KennethAppel"KennethAppel和\o"WolfgangHaken"WolfgangHaken證明．他們得到了J.Koch在算法工作上的支持．證明方法將地圖上的無(wú)限種可能情況減少為1,936種狀態(tài)（稍后減少為1,476種），這些狀態(tài)由計(jì)算機(jī)一個(gè)挨一個(gè)的進(jìn)行檢查．這一工作由不同的程序和計(jì)算機(jī)獨(dú)立的進(jìn)行了復(fù)檢．在1996年，\o"NeilRobertson"NeilRobertson、\o"DanielSanders"DanielSanders、\o"PaulSeymour"PaulSeymour和\o"RobinThomas"RobinThomas使用了一種類似的證明方法，檢查了633種特殊的情況．這一新證明也使用了計(jì)算機(jī)，如果由人工來(lái)檢查的話是不切實(shí)際的．四色定理是第一個(gè)主要由計(jì)算機(jī)證明的理論，這一證明并不被所有的數(shù)學(xué)家接受，因?yàn)樗荒苡扇斯ぶ苯域?yàn)證．最終，人們必須對(duì)計(jì)算機(jī)編譯的正確性以及運(yùn)行這一程序的硬件設(shè)備充分信任．參見(jiàn)\o"實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)"實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)．缺乏數(shù)學(xué)應(yīng)有的規(guī)范成為了另一個(gè)方面；以至于有人這樣評(píng)論“一個(gè)好的數(shù)學(xué)證明應(yīng)當(dāng)像一首詩(shī)——而這純粹是一本電話簿！”雖然四色定理證明了任何地圖可以只用四種顏色著色，但是這個(gè)結(jié)論對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用卻相當(dāng)有限．現(xiàn)實(shí)中的地圖常會(huì)出現(xiàn)\o"飛地"飛地，即兩個(gè)不相連的土地屬于同一個(gè)國(guó)家的情況（例如\o"美國(guó)"美國(guó)的\o"阿拉斯加州"阿拉斯加州），而制作地圖時(shí)我們?nèi)詴?huì)要求這兩個(gè)區(qū)域被涂上同樣的顏色，在這種情況下，四個(gè)顏色將會(huì)是不夠用的．

計(jì)算：（1）_________； （2）_________；

（3）_________； （4）_________．王老師家裝修新房，需要2個(gè)木匠和2個(gè)電工．現(xiàn)有木匠3人、電工4人，另有1人既能做木匠也能做電工．要從這8人中挑選出4人完成這項(xiàng)工作，共有多少種不同的選法？用2個(gè)3、3個(gè)1和1個(gè)0可以組成多少個(gè)不同的六位數(shù)？用2個(gè)5、1個(gè)2和1個(gè)0可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？與1357相加會(huì)發(fā)生進(jìn)位的四位數(shù)有多少個(gè)？第五講計(jì)數(shù)綜合答案：42，18

詳解：5的倍數(shù)分為兩類，末位是5的有個(gè)，末位是0的有個(gè)，共42個(gè)．4的倍數(shù)：末兩位是20的有6個(gè)，末兩位是12的有4個(gè)，末兩位是32的有4個(gè)，末兩位是52的有4個(gè)，共有18個(gè)．

答案：（1）30；（2）24；（3）24

詳解：（1）先給1選位置，再給2選位置，再給3選位置，共可組成個(gè)不同的五位數(shù)．（2）先給0選位置，再給1選位置，再給2選位置，共可組成個(gè)不同的五位數(shù)．（3）注意這個(gè)地方是要組成四位數(shù)，所以有一個(gè)數(shù)字不會(huì)用到．如果有1個(gè)1沒(méi)用，可以組成個(gè)不同的四位數(shù)；如果有1個(gè)2沒(méi)用，可以組成個(gè)不同的四位數(shù)；如果0沒(méi)有用，可以組成6個(gè)不同的四位數(shù)．一共可以組成24個(gè)不同的四位數(shù)．

答案：432

詳解：按重復(fù)的數(shù)字是不是1可以分成兩類，若重復(fù)的數(shù)字是1，則有個(gè)，若重復(fù)的數(shù)字不是1，則有個(gè)，一共是432個(gè)．

答案：8661

詳解：一共有9000個(gè)四位數(shù)．考慮與2468相加不會(huì)進(jìn)位的四位數(shù)，個(gè)位可以是0~1，有2種可能；十位可以是0~3，有4種可能；百位可以是0~5，有6種可能；千位可以是1~7，有7種可能．那么這樣的四位數(shù)有個(gè)．那么至少會(huì)發(fā)生一次進(jìn)位的四位數(shù)有個(gè)．

答案：90

詳解：按“自由人”的歸屬來(lái)分類：不選這個(gè)“自由人”，有種；讓“自由人”翻譯英語(yǔ)，有種；讓“自由人”翻譯日語(yǔ)，有種；一共是90種．

答案：432，336

詳解：如果不考慮虛線，有種涂法．

如果考慮虛線，先染四邊形頂點(diǎn)上的四個(gè)“○”，有84種染法，然后再染剩下的2個(gè)“○”，有種染法．

答案：21

簡(jiǎn)答：末尾數(shù)字可以是0或2．末尾數(shù)字是0的三位偶數(shù)有個(gè)，末尾數(shù)字是2的三位偶數(shù)有個(gè)，一共有21個(gè)．

答案：（1）12；（2）9；（3）9

簡(jiǎn)答：（1）；（2）；（3）4個(gè)數(shù)字中有一個(gè)沒(méi)有被選．如果沒(méi)有選0，有個(gè)．如果沒(méi)有選2，有個(gè)．如果沒(méi)有選的是3，有個(gè)．一共有9個(gè)．

答案：168

簡(jiǎn)答：根據(jù)相同數(shù)字所在的位置來(lái)分類即可．

答案：550

簡(jiǎn)答：所有的三位數(shù)有900個(gè)，其中與250相加不會(huì)發(fā)生進(jìn)位的有個(gè)，那么會(huì)發(fā)生進(jìn)位的有個(gè)．

答案：