新高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓8 高考中的文化題 高考中的創(chuàng)新應用題（含解析）-人教版高三數(shù)學試題

專題限時集訓(八)高考中的數(shù)學文化題高考中的創(chuàng)新應用題1．(2020·全國卷Ⅱ)如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12，設1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為()A．5B．8C．10D．15C[法一：由題意，知ai，aj，ak構成原位大三和弦時，j＝k－3，i＝j－4，所以ai，aj，ak為原位大三和弦的情況有：k＝12，j＝9，i＝5；k＝11，j＝8，i＝4；k＝10，j＝7，i＝3；k＝9，j＝6，i＝2；k＝8，j＝5，i＝1共5種．a(chǎn)i，aj，ak構成原位小三和弦時，j＝k－4，i＝j－3，所以ai，aj，ak為原位小三和弦的情況有：k＝12，j＝8，i＝5；k＝11，j＝7，i＝4；k＝10，j＝6，i＝3；k＝9，j＝5，i＝2；k＝8，j＝4，i＝1共5種．所以用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10，故選C．法二：由題意，知當ai，aj，ak為原位大三和弦時，k－j＝3且j－i＝4，又1≤i<j<k≤12，所以5≤j≤9，所以這12個鍵可以構成的原位大三和弦的個數(shù)為5.當ai，aj，ak為原位小三和弦時，k－j＝4且j－i＝3，又1≤i<j<k≤12，所以4≤j≤8，所以這12個鍵可以構成的原位小三和弦的個數(shù)為5.所以用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10，故選C．]2．(2020·新高考全國卷Ⅰ)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B[∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(It1＝eeq\s\up10(0.38t1)，,It2＝eeq\s\up10(0.38t2)，,It2＝2It1，))則eeq\s\up10(0.38(t2－t1))＝2，0.38(t2－t1)＝ln2≈0.69，t2－t1≈1.8，故選B．]3．(2019·全國卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通信聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：eq\f(M1,R＋r2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3).設α＝eq\f(r,R).由于α的值很小，因此在近似計算中eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，則r的近似值為()A．eq\r(\f(M2,M1))R B．eq\r(\f(M2,2M1))RC．eq\r(3,\f(3M2,M1))R D．eq\r(3,\f(M2,3M1))RD[由eq\f(M1,R＋r2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3)，得eq\f(M1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(r,R)))\s\up10(2))＋eq\f(M2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,R)))\s\up10(2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(r,R)))M1.因為α＝eq\f(r,R)，所以eq\f(M1,1＋α2)＋eq\f(M2,α2)＝(1＋α)M1，得eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)＝eq\f(M2,M1).由eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，得3α3≈eq\f(M2,M1)，即3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,R)))eq\s\up10(3)≈eq\f(M2,M1)，所以r≈eq\r(3,\f(M2,3M1))·R，故選D．]4．(2019·全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A．eq\f(5,16)B．eq\f(11,32)C．eq\f(21,32)D．eq\f(11,16)A[由6個爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在所有重卦中隨機取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的種數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝20.根據(jù)古典概型的概率計算公式得，所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故選A．]5．(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞B[設塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，∴S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.故選B．]6．(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于eq\r(12,2).若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為()A．eq\r(3,2)fB．eq\r(3,22)fC．eq\r(12,25)fD．eq\r(12,27)fD[由題意知，十三個單音的頻率構成首項為f，公比為eq\r(12,2)的等比數(shù)列，設該等比數(shù)列為{an}，則a8＝a1q7，即a8＝eq\r(12,27)f，故選D．]7．(2019·北京高考)在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.1A[依題意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，所以eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)＝－1.45－(－26.7)＝25.25，所以lgeq\f(E1,E2)＝25.25×eq\f(2,5)＝10.1，所以eq\f(E1,E2)＝1010.1.故選A．]8．(2015·全國卷Ⅰ)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛B[設米堆的底面半徑為r尺，則eq\f(π,2)r＝8，所以r＝eq\f(16,π)，所以米堆的體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π·r2·5＝eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))eq\s\up10(2)×5≈eq\f(320,9)(立方尺)．故堆放的米約有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．故選B．]9．(2017·全國卷Ⅰ)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是()A．440B．330C．220D．110A[設首項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依此類推，則第n組的項數(shù)為n，前n組的項數(shù)和為eq\f(n1＋n,2).由題意知，N>100，令eq\f(n1＋n,2)＞100?n≥14且n∈N*，即N出現(xiàn)在第13組之后．第n組的各項和為eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，前n組所有項的和為eq\f(21－2n,1－2)－n＝2n＋1－2－n.設N是第n＋1組的第k項，若要使前N項和為2的整數(shù)冪，則第n＋1組的前k項的和2k－1應與－2－n互為相反數(shù)，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)?n最小為29，此時k＝5，則N＝eq\f(29×1＋29,2)＋5＝440.故選A．]10．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：____________.若l⊥m，l⊥α，則m∥α(答案不唯一)[把其中兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，共有三種情況．對三種情況逐一驗證．①②作為條件，③作為結論時，還可能l∥α或l與α斜交；①③作為條件，②作為結論和②③作為條件，①作為結論時，容易證明命題成立．]11．(2020·北京高考)為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改．設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為W＝f(t)，用－eq\f(fb－fa,b－a)的大小評價在[a，b]這段時間內企業(yè)污水治理能力的強弱．已知整改期內，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如圖所示．結出下列四個結論：①在[t1，t2]這段時間內，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在t2時間，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力最強．其中所有正確結論的序號是________．①②③[由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在t1時刻高于乙企業(yè)，而在t2時刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在[t1，t2]這段時間內，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故①正確；由題圖知在t2時刻，甲企業(yè)對應的關系圖象斜率的絕對值大于乙企業(yè)的，故②正確；在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達標排放量，故都已達標，③正確；甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力明顯低于[t1，t2]時的，故④錯誤．]12．[一題兩空](2019·全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有__________個面，其棱長為__________．圖1圖226eq\r(2)－1[依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個面都在正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個正方形，8個正三角形組成，因此題中的半正多面體共有26個面．注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個正八邊形，設題中的半正多面體的棱長為x，則eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1，解得x＝eq\r(2)－1，故題中的半正多面體的棱長為eq\r(2)－1.]1．(2020·廈門模擬)《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為()A．eq\f(1,14)B．eq\f(1,7)C．eq\f(5,28)D．eq\f(5,14)D[觀察八卦圖可知，含有3根陰線的共有1卦，含有3根陽線的共有1卦，含有2根陰線1根陽線的共有3卦，含有1根陰線2根陽線的共有3卦，故從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線恰有三根陽線和三根陰線的概率為eq\f(C\o\al(1,1)×C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,3)×C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，故選D．]2．(2020·江西紅色七校第一次聯(lián)考)我國南北朝數(shù)學家何承天發(fā)明的“調日法”是程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設實數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為eq\f(b,a)和eq\f(d,c)(a，b，c，d∈N*)，則eq\f(b＋d,a＋c)是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值．我們知道e＝2.71828…，若令eq\f(27,10)＜e＜eq\f(14,5)，則第一次用“調日法”后得eq\f(41,15)是e的更為精確的過剩近似值，即eq\f(27,10)＜e＜eq\f(41,15)，若每次都取最簡分數(shù)，那么第三次用“調日法”后可得e的近似分數(shù)為()A．eq\f(109,40)B．eq\f(68,25)C．eq\f(19,7)D．eq\f(87,32)C[第一次用“調日法”后得eq\f(41,15)是e的更為精確的過剩近似值，即eq\f(27,10)＜e＜eq\f(41,15)，第二次用“調日法”后得eq\f(68,25)是e的更為精確的過剩近似值，即eq\f(27,10)＜e＜eq\f(68,25)，第三次用“調日法”后得eq\f(19,7)是e的更為精確的不足近似值，故選C．]3．(2020·濟寧模擬)《九章算術》一書中衰分、均輸、盈不足等卷中記載了一些有關數(shù)列的問題．齊去長安三千里，今有良馬發(fā)長安至齊，駑馬發(fā)齊至長安，同日相向而行．良馬初日行一百五十五里，日增十二里；駑馬初日行一百里，日減二里．問幾日相遇()A．十日 B．十一日C．十二日 D．六十日A[設良馬每天行走的里數(shù)構成數(shù)列{an}，駑馬每天行走的里數(shù)構成數(shù)列{bn}，則{an}，{bn}均為等差數(shù)列，公差分別為d1，d2，且a1＝155，d1＝12，b1＝100，d2＝－2，設n日相遇，則由題意知155n＋eq\f(nn－1,2)×12＋100n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝3000，解得n＝10.]4．(2020·日照模擬)中國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還粟a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是()A．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且a＝eq\f(50,7)B．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且c＝eq\f(50,7)C．a(chǎn)，b，c成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，且a＝eq\f(50,7)D．a(chǎn)，b，c成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，且c＝eq\f(50,7)D[由題意可得，a，b，c構成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，b＝eq\f(1,2)a，c＝eq\f(1,2)b，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝eq\f(50,7).故選D．]5．(2020·鄭州模擬)我國南宋著名數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜求積術”．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積術”為S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up10(2)))).若c2sinA＝4sinC，B＝eq\f(π,3)，則用“三斜求積術”求得△ABC的面積為()A．eq\r(3)B．eq\r(5)C．eq\r(6)D．eq\r(7)A[根據(jù)正弦定理，由c2sinA＝4sinC，可得ac＝4.結合B＝eq\f(π,3)，可得a2＋c2－b2＝4，則S△ABC＝eq\r(\f(1,4)16－4)＝eq\r(3)，故選A．]6．[多選](2020·棗莊模擬)設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果對任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．下列為“H函數(shù)”的是()A．y＝sinxcosx B．y＝lnx＋exC．y＝2x D．y＝x2－2xAB[由題意，得“H函數(shù)”的值域關于原點對稱．A中，y＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，其值域關于原點對稱，故A是“H函數(shù)”；B中，函數(shù)y＝lnx＋ex的值域為R，故B是“H函數(shù)”；C中，因為y＝2x>0，故C不是“H函數(shù)”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不關于原點對稱，故D不是“H函數(shù)”．綜上所述，A，B是“H函數(shù)”，故選AB．]7．[多選](2020·濟寧模擬)在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，若函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過n(n∈N*)個整點，則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)．則下列函數(shù)是一階整點函數(shù)的是()A．f(x)＝sin2x B．g(x)＝x3C．h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up10(x) D．φ(x)＝lnxAD[對于函數(shù)f(x)＝sin2x，它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個整點(0，0)，所以它是一階整點函數(shù)，A正確；對于函數(shù)g(x)＝x3，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一階整點函數(shù)，B錯誤；對于函數(shù)h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up10(x)，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一階整點函數(shù)，C錯誤．對于函數(shù)φ(x)＝lnx，它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個整點(1，0)，所以它是一階整點函數(shù)，D正確．故選AD．]8．(2020·南寧模擬)中國古代數(shù)學經(jīng)典《九章算術》系統(tǒng)地總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD＝2，ED＝1，若鱉臑P-ADE的體積為1，則陽馬P-ABCD的外接球的表面積等于()A．17πB．18πC．19πD．20πA[設PA＝x，∵三棱錐P-ADE的體積為1，AD⊥DE且AD＝2，ED＝1，∴VP-ADE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×x＝1，解得PA＝x＝3.又∵PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，∴四棱錐P-ABCD補形為正四棱柱(圖略)，則陽馬P-ABCD的外接球直徑等于體對角線PC，∵PC＝eq\r(22＋22＋32)＝eq\r(17)，∴外接球半徑r＝eq\f(\r(17),2)，∴外接球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17),2)))eq\s\up10(2)＝17π.]9．[多選](2020·淄博模擬)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若對于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0，則稱集合M是“垂直對點集”．則下列四個集合是“垂直對點集”的為()A．M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}B．N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)))))C．P＝{(x，y)|y＝ex－2}D．Q＝{(x，y)|y＝log2x}AC[對于A，C中的函數(shù)，結合它們的圖象可知，過原點的任意一條直線l都與它們的圖象相交，且存在過原點的直線l′，使得l′⊥l，并與A，C中的函數(shù)的圖象相交，故A，C滿足題意；對于B，y＝eq\f(1,x)的圖象是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，所以對于任意的(x1，y1)∈N，不存在{x2，y2)∈N，使得x1x2＋y1y2＝0，所以B不滿足題意；對于D，在函數(shù)y＝log2x的圖象上取點(1，0)，找不到(x2，y2)∈Q，使得1×x2＋0×y2＝0，所以D不滿足題意，所以答案為AC．]10．(2020·南昌模擬)古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方法．如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置(兩圓錐的軸重合)，已知兩個圓錐的底面半徑均為1，母線長均為2，記過圓錐軸的平面ABCD為平面α(α與兩個圓錐側面的交線為AC，BD)，用平行于α的平面截圓錐，該平面與兩個圓錐側面的交線即雙曲線Γ的一部分，且雙曲線Γ的兩條漸近線分別平行于AC，BD，則雙曲線Γ的離心率為()A．eq\f(2\r(3),3)B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2A[設與平面α平行的平面為β，以AC，BD的交點在平面β內的射影為坐標原點，兩圓錐的軸在平面β內的射影為x軸，在平面β內與x軸垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系(圖略)．根據(jù)題意可設雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由題意可得雙曲線Γ的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up10(2))＝eq\f(2\r(3),3).故選A．]11．(2020·廣東四校聯(lián)考)已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推，若該數(shù)列前N項和為M，且滿足：①N＞80，②M是2的整數(shù)次冪，則滿足條件的最小的N為()A．21B．91C．95D．101C[由題意，數(shù)列分段給出，第n段是首項為1、公比為2的n項等比數(shù)列，因此前n段包含的項數(shù)為1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，這些項的和為20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋2n－1)＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.設所求的N項中包含完整的n段等比數(shù)列以及第n＋1段等比數(shù)列的前k項，則N＝eq\f(nn＋1,2)＋k＞80，20＋21＋…＋2k－1＝n＋2，k＜n＋1，且使得N取值最?。@等價于求n和k滿足N＝eq\f(nn＋1,2)＋k>80，n＋3＝2k，k<n＋1，且使得N取值最?。谑?，n＝2k－3，故N＝(2k－3)(2k－1－1)＋k.要使得N>80且取值最小，只需求k的最小值，使得N>80，當k＝3時，N＝18<80，不符合題意；當k＝4時，N＝95>80，此時，n＝13.故滿足條件的最小的N為95.故選C．]12．(2020·長春模擬)莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系．在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2)，下列關系中正確的是()A．eq\o(BP,\s\up7(→))－eq\o(TS,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up7(→))B．eq\o(CQ,\s\up7(→))＋eq\o(TP,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(TS,\s\up7(→))C．eq\o(ES,\s\up7(→))－eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BQ,\s\up7(→))D．eq\o(AT,\s\up7(→))＋eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up7(→))A[在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2).在A中，eq\o(BP,\s\up7(→))－eq\o(TS,\s\up7(→))＝eq\o(TE,\s\up7(→))－eq\o(TS,\s\up7(→))＝eq\o(SE,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up7(→))，故A正確；在B中，eq\o(CQ,\s\up7(→))＋eq\o(TP,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(TP,\s\up7(→))＝eq\o(TA,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(ST,\s\up7(→))，故B錯誤；在C中，eq\o(ES,\s\up7(→))－eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(RC,\s\up7(→))－eq\o(QC,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(QB,\s\up7(→))，故C錯誤；在D中，eq\o(AT,\s\up7(→))＋eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\o(SD,\s\up7(→))＋eq\o(RD,\s\up7(→))，eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up7(→))＝eq\o(RS,\s\up7(→))＝eq\o(RD,\s\up7(→))－eq\o(SD,\s\up7(→))，若eq\o(AT,\s\up7(→))＋eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up7(→))，則eq\o(SD,\s\up7(→))＝0，不合題意，故D錯誤．故選A．]13．(2020·太原模擬)某電動汽車“行車數(shù)據(jù)”的兩次記錄如下表：記錄時間累計里程(單位：公里)平均耗電量(單位：kW·h/公里)剩余續(xù)航里程(單位：公里)2019年1月1日40000.1252802019年1月2日41000.126146(注：累計里程指汽車從出廠開始累計行駛的路程，累計耗電量指汽車從出廠開始累計消耗的電量，平均耗電量＝eq\f(累計耗電量,累計里程)，剩余續(xù)航里程＝eq\f(剩余電量,平均耗電量))下面對該車在兩次記錄時間段內行駛100公里的耗電量估計正確的是()A．等于12.5 B．12.5到12.6之間C．等于12.6 D．大于12.6D[法一：在兩次記錄的時間段內，累計里程差為100公里，所以這100公里的耗電量應估計為兩次記錄的累計耗電量的差．由已知可知：累計耗電量＝平均耗電量×累計里程，所以100公里耗電量估計為：0.126×4100－0.125×4000＝16.6(kW·h)．法二：利用1月1日和1月2日兩天的剩余電量差也可以進行估計，因為兩次記錄的累計里程差為100公里．由題意知，剩余電量＝剩余續(xù)航里程×平均耗電量，所以100公里耗電量估計為：0.125×280－0.126×146＝16.604(kW·h)．故選D．]14．(2020·南昌模擬)自然界中具有兩種穩(wěn)定狀態(tài)的組件普遍存在，如開關的開和關、電路的通和斷等，非常適合表示計算機中的數(shù)，所以現(xiàn)在使用的計算機設計為二進制計算機．二進制以2為基數(shù)，只用0和1兩個數(shù)碼表示數(shù)，逢2進1，二進制數(shù)同十進制數(shù)遵循一樣的運算規(guī)則，它們可以相互轉化，如(521)10＝1×29＋0×28＋0×27＋0×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝(1000001001)2.我國數(shù)學史上，對數(shù)制的研究不乏其人，清代汪萊的《參兩算經(jīng)》是較早系統(tǒng)論述非十進制數(shù)的文獻，總結出了八進制乘法口訣：(7×7)8＝(61)8，(7×6)8＝(52)8，(7×5)8＝(43)8，….類比二進制與十進制轉化的運算，數(shù)(1010011100)2對應八進制數(shù)為()A．(446)8B．(1134)8C．(1234)8D．(4321)8C[(1010011100)2＝1×29＋1×27＋1×24＋1×23＋1×22＝(668)10，(668)10＝1×83＋2×82＋3×81＋4×80＝(1234)8.]15．(2020·淄博模擬)中國古代近似計算方法源遠流長，早在八世紀，我國著名數(shù)學家張遂在編制《大衍歷》時，發(fā)明了二次不等間距插值算法：若函數(shù)y＝f(x)在x＝x1，x＝x2，x＝x3(x1＜x2＜x3)處的函數(shù)值分別為y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，y3＝f(x3)，則在區(qū)間[x1，x3]上f(x)可以用二次函數(shù)來近似代替，即f(x)≈y1＋k1(x－x1)＋k2(x－x1)(x－x2)，其中k1＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，k＝eq\f(y3－y2,x3－x2)，k2＝eq\f(k－k1,x3－x1).若令x1＝0，x2＝eq\f(π,2)，x3＝π，請依據(jù)上述算法，估算sineq\f(π,5)的值是()A．eq\f(14,25)B．eq\f(3,5)C．eq\f(16,25)D．eq\f(17,25)C[令y＝f(x)＝sinx，則k1＝eq\f(sin\f(π,2)－sin0,\f(π,2)－0)＝eq\f(2,π)，keq\f(sinπ－sin\f(π,2),π－\f(π,2))＝－eq\f(2,π)，k2＝eq\f(－\f(2,π)－\f(2,π),π－0)＝－eq\f(4,π2)，所以sinx≈0＋eq\f(2,π)(x－0)－eq\f(4,π2)(x－0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝－eq\f(4,π2)x2＋eq\f(4,π)x，故sineq\f(π,5)≈－eq\f(4,π2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))eq\s\up10(2)＋eq\f(4,π)×eq\f(π,5)＝eq\f(16,25)，故選C．]16．(2020·東營模擬)2019年10月20日，第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會發(fā)布15項“世界互聯(lián)網(wǎng)領先科技成果”，有5項成果屬于芯片領域，分別為華為高性能服務器芯片“鯤鵬920”、清華大學“面向通用人工智能的異構融合天機芯片”、特斯拉“特斯拉全自動駕駛芯片”、寒武紀云端AI芯片“思元270”、賽靈思“Versal自適應計算加速平臺”．若從這15項“世界互聯(lián)網(wǎng)領先科技成果”中任選3項，則至少有一項屬于“芯片領域”的概率為()A．eq\f(67,91)B．eq\f(24,91)C．eq\f(75,91)D．eq\f(16,91)A[法一：由已知得，這15項“世界互聯(lián)網(wǎng)領先科技成果”中有5項成果屬于芯片領域．記“從這15項‘世界互聯(lián)網(wǎng)領先科技成果’中任選3項，至少有一項屬于‘芯片領域’”為事件A，則eq\x\to(A)為“選出的3項都不屬于‘芯片領域’”，因為P(eq\x\to(A))＝eq\f(C\o\al(3,10),C\o\al(3,15))＝eq\f(24,91)，所以P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(24,91)＝eq\f(67,91).法二：由已知得，這15項“世界互聯(lián)網(wǎng)領先科技成果”中有5項成果屬于芯片領域．記“從這15項‘世界互聯(lián)網(wǎng)領先科技成果’中任選3項，至少有一項屬于‘芯片領域’”為事件A，x為選出的3項中，屬于“芯片領域”的項數(shù)，則P(A)＝P(x＝1)＋P(x＝2)＋P(x＝3)＝eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,5),C\o\al(3,15))＋eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(2,5),C\o\al(3,15))＋eq\f(C\o\al(0,10)C\o\al(3,5),C\o\al(3,15))＝eq\f(67,91).]17．[多選](2020·泰安模擬)在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間并構成了一般不動點定理的基石．簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，存在一個點x0，使得f(x0)＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是()A．f(x)＝lnx B．f(x)＝x2＋2x－3C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－1，x≤1，,|2－x|，x＞1)) D．f(x)＝x＋eq\f(1,x)BC[對于選項A，由于x＞x－1≥lnx，所以lnx＝x無解，因而該函數(shù)不是“不動點”函數(shù)；對于選項B，令x2＋2x－3＝x，得x2＋x－3＝0，因為Δ＝1－4×(－3)＞0，所以方程有兩個不等的實數(shù)根，所以該函數(shù)為“不動點”函數(shù)；對于選項C，當x≤1時，令2x2－1＝x，得x＝－eq\f(1,2)或x＝1，從而該函數(shù)為“不動點”函數(shù)；對于選項D，令x＋eq\f(1,x)＝x，得eq\f(1,x)＝0，無解，因而該函數(shù)不是“不動點”函數(shù)．故選BC．]18．(2020·濱州模擬)我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)3[如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．因為積水深9寸，所以水面半徑為eq\f(14＋6,2)＝10寸，則盆中水的體積為eq\f(1,3)π×9×(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)，所以平均降雨量為eq\f(588π,π×142)＝3(寸)．]19．(2020·貴陽模擬)數(shù)式1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))中省略號“…”代表無限重復，但該式是一個固定值，可以用如下方法求得：令原式＝t(t＞0)，則1＋eq\f(1,t)＝t，t2－t－1＝0，取正值得t＝eq\f(\r(5)＋1,2).用類似方法可得eq\r(12＋\r(12＋\r(12＋…)))＝________.4[根據(jù)已知代數(shù)式的求值方法，令eq\r(12＋\r(12＋\r(12＋…)))＝m(m＞0)，兩邊平方得，12＋eq\r(12＋\r(12＋\r(12＋…)))＝m2，即12＋m＝m2，解得m＝4(－3舍去)．]20．(2020·威海模擬)“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”用現(xiàn)在的語言表述為：如圖所示，一圓柱形木材埋在墻壁中，AB＝1尺，D為AB的中點，AB⊥CD，CD＝1寸，則圓柱底面圓的直徑為________寸．(1尺＝10寸)26[如圖，設圓柱底面圓的圓心為O，連接AO，OD，由題意知OD⊥AB，AD＝5寸，CD＝1寸．在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，∴OA2＝(OA－1)2＋52，∴OA＝13寸，∴圓柱底面圓的直徑為2AO＝26寸．]21．(2020·洛陽尖子生第一次聯(lián)考)水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點A(3eq\r(3)，－3)出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時60秒，經(jīng)過t秒后，水斗旋轉到點P，設點P的坐標為(x，y)，其縱坐標滿足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≥0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，則下列敘述正確的是________．(填序號)①R＝6，ω＝eq\f(π,30)，φ＝－eq\f(π,6)；②當t∈[35，55]時，點P到x軸的距離的最大值為6；③當t∈[10，25]時，函數(shù)y＝f(t)單調遞減；④當t＝20時，|PA|＝6eq\r(3).①②④[由題意可知T＝60，所以eq\f(2π,ω)＝60，解得ω＝eq\f(π,30)，又從點A(3eq\r(3)，－3)出發(fā)，所以R＝6，6sinφ＝－3，又|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6)，故①正確；y＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))，當t∈[35，55]時，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,3)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))∈[－1，0]，y∈[－6，0]，點P到x軸的距離為|y|，所以點P到x軸的距離的最大值為6，故②正確；當t∈[10，25]時，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以函數(shù)y＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))在[10，25]上不單調，故③不正確；當t＝20時，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，則y＝6si