泛函分析2018第四章 Hilbert空間

PAGE1Hilbert空間§4.1內(nèi)積空間的定義及其性質(zhì)4.1.1XK上的線性空間，如果有泛函(,XXK滿足如下內(nèi)積公理：xX，有(xx)0，(xx)0x0，xyX，有(x,y)(y,x)，其中yx表示yx的共軛，（3）1,2,yX，有(x1x2,y)(x1,y)(x2,y)，（4）x,yX,K,有(x,y)(x,y)，則稱(x,yxyXK為實(shí)數(shù)域?（或復(fù)數(shù)域X為實(shí).由定義不難看出，內(nèi)積運(yùn)算關(guān)于第一變元是線性的.X為實(shí)內(nèi)積空間，內(nèi)積關(guān)于第二個(gè)變元也是線性的.Xxy1y2X12K,有1(x,y1)2(x,y2).X為復(fù)內(nèi)積空間.4.1.1（Schwarz不等式）XxyX，不等式|(x,y)|2(x,x)(y,y)恒成立PAGE3證如果y0，則不等式顯然成立.y0，則對任意K，有0(xy,xy)(x,x)(x,y)(x,y)(y,y)，特別取(x,y)，代入上式，得|x,y|2xxy,y.(y,y)(x,x)定理4.1.2設(shè)X為內(nèi)積空間，對任意xX，令||x|| ，則||x||是(x,x)(x,x)證對于||x|| 驗(yàn)證它滿足次可加性.對任意x,yX(x,x)||xy||2(xy,xy)(x,x)(x,y)(y,x)(y,y)||x||22||x||||y||||y||2(||x||||y||)2，(x,x)故||xy||||x||||y||.從而||x|| 確實(shí)定義了內(nèi)積空間(x,x)(x,x)注我們通常稱||x|| (x,x)XX為Hilbert空間.Hilbert空間的例子.n4.1Kn表示（實(shí)或復(fù)）n維向量空間，定義內(nèi)積n(x,y)ii，x1,2,,n)，y12,n)，i1Kn在此內(nèi)積下成為一個(gè)內(nèi)積空間.由于該內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)就是我們以前給出的Kn還是Hilbert空間.例4.2l2空間.x,,,,,y,,,,l2，定義內(nèi)積1 2 n 1 2 n(x,y)ii，i1由赫爾德不等式知l2l2是內(nèi)積空間.由于該內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)就是我們以前給出的l2范數(shù)，故l2Hilbert空間.PAGE54.3L2[a,b空間.f(xg(xL2[a,b]，定義內(nèi)積b(f,g)abL2[a,bHilbert空間.4.1.3X為內(nèi)積空間，則有

f(x)g(x)dx，內(nèi)積(,XXK是連續(xù)泛函；（2x,yX，當(dāng)X(x,y)1(||xy||2||xy||2i||xiy||2i||xiy||2)4X為實(shí)內(nèi)積空間時(shí)，等式(x,y)1(||xy||2||xy||2)4

(4.1.1)(4.1.2)恒成立.（3）x,yX，等式||xy||2||xy||22||x||22||y||2

(4.1.3)恒成立.證（1）xxn,y,ynXn12,)滿足limxnxlimyny，則由Schwarz不n n等式，我們有|(xn,yn)(x,y)||(xn,yn)(x,yn)||(x,yn)(x,y)||(xnx,yn)||(x,yny)|||xnx||||yn||||x||||yny||0(n)，故(x,yxy連續(xù).X為復(fù)內(nèi)積空間時(shí)，由內(nèi)積和范數(shù)的定義，有||xy||2||xy||22(x,y)2(y,x)2[(x,y)(x,y)]4Re(x,y)，i||xiy||2i||xiy||22i[(x,iy)(iy,x)]2i[i(x,y)i(x,y)]4Im(x,y)i，等式(4.1.2)成立.PAGE7xyX，由內(nèi)積和范數(shù)的定義，有||xy||2||xy||22||x||2(x,y)(y,x)(x,y)(y,x)2||y||22||x||22||y||2.注中線公式又稱為平行四邊形公式，這是因?yàn)樵谄矫?2中，該公式揭示了平行四邊.事實(shí)上，可以證明中線公式是XxyX，中線公式（4.1.3）X中定義內(nèi)積(x,y如等式(4.1.1)X成為內(nèi)積空X的范數(shù)是由此內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù).也就是說，一個(gè)賦范線性空間是由內(nèi)積空間導(dǎo)出的充分必要條件是其范數(shù)要滿足中線公式.導(dǎo)出.p1p2時(shí)，取lp0,)p則||x||||y||21p，且||xy||||xy||2，顯然lpp2的范數(shù)不滿足中線公式，從而lpp2不是內(nèi)積空間.§4.2Hilbert空間的正交系§4.2.1正交投影4.2.1Xx,yX(x,y)0xyxy；xXMXxMxMxM；設(shè)MXNXxMyNxyMNMN；MXM{xX|xM為M的正交補(bǔ).零向量0Xx正交；MX0MMM0M

MM{0}；PAGE9（3）xyX正交，則勾股公式||xy||2||x||2||y||2成立；MXxMx0；MXMX的閉子空間.證（1））.）（5.n （4設(shè)M是XxM{x}Mimxxn n利用內(nèi)積的連續(xù)性，我們得到(x,x)(limxn,x)lim(xn,x)0，x0.

n

n（5）yyMK，由于有1 2 1 2(x1y12y21(xy12(xy20，MX的線性子空間.設(shè)點(diǎn)列{yM，且滿足limyy，由正交補(bǔ)的定義及內(nèi)積的連續(xù)性，對任意nxM，有

nn(x,y)(x,limyn)lim(x,yn)0，n nyMM為閉集.MX的閉子空間.4.2.2MX的一個(gè)線性子空間，xXyMzM，x有正交分解

xyz，yxM上的正交投影，簡稱為投影.（1）xX的某個(gè)空間M上不一定存在投影.但當(dāng)投影存在時(shí)，由正交的性質(zhì)（2）易見，投影是惟一的.（2）xyzx的正交分解.4.2.3MX的一個(gè)非空子集，xX，我們稱inf(xyx到集yMM(xM.yM(x,y)(xMyx在MPAGE11中最佳逼近元.MXx,yM[0,1]，都有(1)xyM，MX的凸集.如果凸集M又是閉集，則稱M是閉凸集.4.2.1MHilbertXxX，在M中必存在惟一的最佳逼近元.n 證令d(xM(xM的定義知，存在{yM，使得lim||yx||dn nM是凸集，故對任意nm，有ynym2M，從而必有||xynym||d.2||yy||22||yx||22||yx||24||xynym||2n m n m 2n yx||22||yx||24d20(n,m)n n 這表明{yXCauchyXyX，使得limyyn nM是閉集且{ynMyM，且||xy||||xlimyn||lim||xyn||d，n nyxM中的最佳逼近元.zMxM中的最佳逼近元，則由中線公式，有2 2

yz20||yz||2||yx||2||zx||

||x

||0，2zy.xM中的最佳逼近元是惟一的.4.2.2（投影定理）MXxX，在MyyxM中的最佳逼近元.PAGE134.2.1xM中有惟一的最佳逼近yM.MzMK，有||xy||2||xyz||2||xy||2(xyz(zxy)||2||z||2，z0xyz||z||2，代入上述不等式，得|xyz|20，由此得(xyz)0xyM，從而xyxy)yMxyM，xMy4.2.2的注得證.XHilbertMX上投影定理成立，這時(shí)，我們可XXMMXX的正交分解，因此，投影定理有時(shí)也稱為正交分解定理..例4.4Xx1x2,xnXnxX，存在1,2,,nK，使得n ||xixi||inf||xixi||. （n i1

1in

i1x1x2,xn線性相關(guān)，則我們?nèi)∑錁O大無關(guān)組來討論.x1x2,xn是線性無關(guān)的.Mspan{x1x2,xn}MXnK的完MX的完備子空間.因此，由投影定理知，對任意xX，必存在惟一的nyiiM，使得|xyf|xz|（42..ni1

zMnn下面我們討論求解最佳逼近元y的方法.設(shè)yii是x在M中的投影，由于i1PAGE15n xkMk12,nn (xy,k)(xii,k)(x,k)i(i,k)0，k,,,n，i1 i1y的存在惟一性知，上述線性方程組有惟一解(1,2,,n.4.2.3MHilbertXM中必有非零向量，且有M(M).MXxXMyMzM，使得xyzz必不為0xyMxXMM中必有非零向量..X的閉子空間因XM和(MX的完備子空間.x(M，由投影定理知，存在yMzMxyz，由此得0(x,z)(y,z)(z,z)(z,z)，z0xyMMM.MM.§4.2.2正交系定義4.2.4MXM中任意兩個(gè)不同向MXM中每個(gè)向量的范數(shù)都為1M為標(biāo)準(zhǔn)正交系.4.5nEuclidKn中，標(biāo)準(zhǔn)基是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系.4.6在內(nèi)積空間l2中，en(0,,0,1,0,)，n1,2,，PAGE17是其一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，其中enn個(gè)分量為1，其余分量均為0的向量.nn1nn1

XxX，稱(x,en)nn1x關(guān)于{e}nn1(x,en)enn1nn1x關(guān)于{e}nn1 注一般情況下，F(xiàn)ourier級數(shù)(xen)en不一定收斂，即使(xen)en收斂，也不n1 n1x.如果x(x,en)en，n1nn1x可以展成關(guān)于{e}nn1nn1x展成關(guān)于{nn1

Fourier級數(shù)的充分必要條件是nn||x(x,ek)ek||0(n).nn1nn1

X一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，記Xnspan{e1,e2,,en}，n1,2,，nxXxXn上的投影為nyn(x,ei)ei.i1證對任意給定的n，由于ynXnx可寫成xynxynn n xyXn n (xyn,ek)(x(x,ei)ei,ek)(x,ek)(x,ei)(ei,ek)0，k1,2,,n，i1 i1PAGE19Xspan{ee,e}xyX.n 12 n n nnn14.2.5（Bessel不等式設(shè){e}Xxnn1Bessel不等式||(x,e)|||x||2 2ii1恒成立.nn證由定理4.2.4ynxynyn(xei)ein12,.由勾股定理i1得||y

||2||xy

nn nn n i i ||2||(x,e)e||2|(x,e)|2,nn n i i n，可得Bessel不等式.

i1

i1注由Besselx在每個(gè)en上的投影(xen)enx的范數(shù)平方.nn1nn1

是HilbertXxX，x的Fourier級數(shù)(xen)enX中收斂.nn1nxXy

n(x,ei)eii1

nn12,，由于級數(shù)|xe|收斂，故nn1對任意自然數(shù)nm(mn，有||yy

nn m n m i i i i ||2||(x,e)e(x,e)e||2|(x,e)|2n m i i i i i1

i1

in1n 從而{yX的一個(gè)Cauchy列.XyX滿足limyyn n n(x,ei)eilim(x,ei)eilimynyX.i1

ni1

n注在推論4.2.6yx.PAGE2112例4.7L2[,12

，1cost，1sint，，cosnt，1sinnt，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系.xL2[,Fourier系數(shù)為12a012

x(t)dt,1an1

,bn

1x(t)sinntdt,n1,2,14.2.6知，三角函數(shù)級數(shù)2a0 12

(acosntb

sinnt)L2[,].n nn1{e{e設(shè)nn1

XxXBessel不等式可知，F(xiàn)ourier系數(shù)構(gòu)成點(diǎn)列(cc,c,l2，其中cxen12,.定義1 2 n n n映射T:Xl2，Tx(c,c,,c,)，xX，1 2 n則不難驗(yàn)證TX到l2的線性映射.nn1nn1

HilbertX的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，則對任意(c,c,,c,)l2，1 2 nxX，使得cnxenn12,，且滿足|cn

|2||x||2.n1n

cen,,|

|2nm(mn，n iii1

nn1有||yy

nn m n m ii iii||2||cece||2|c|20(n m ii iiii1

i1

in1PAGE23n 從而{yXCauchy列.XxX滿足limyxn n有)lim(yn,ek)ck，k1,2,，n n以及n ||x||2||limy

||2lim||y

||2lim|c|2|c|2.nn

n

n

ii1

ii1yX，也滿足c

(y,e)，n1,2,，

|c

，則由n

n nn||2n

nn1lim||yy

||2lim||yce||2lim(||y||2|c|2)0yx.

n

n n

iin in

n

ii1nn1nn1

Xx0時(shí)，才有(x,en)0，n1,2,，nn1則稱{e}nn1nn1定理）{nn1

HilbertX的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，則下列各命題等價(jià).nn1（1）{nn1

是完全的；xX，Parseval等式||||x|||(x,e)|2 2ii1恒成立；xX，有x(x,en)en；n1xyX，有PAGE25

(x,y) (x,en)(y,en).n1nn1xnn1cn(x,en)，n1,2,，4.2.7(cc,c,l2yX，使得1 2 nc(y,e)，n1,2,，|c

y||2，n n nn1由此得(xye0n12,.由于{e}xy，從而有n nn1||||x||||y|||(x,e)|.2 2 2ii1n（3）設(shè)命題（2）xX，令nyn(x,ei)ei，n1,2,，i1則有||xy

nn nn i i ||2||x(x,e)e||2||x||2|(x,e)|20(nn i i i1 i1故命題（3）成立.（4）設(shè)命題（3）xyX，由于n nxlim(x,ei)ei，ylim(y,ej)ej，n1,2,，ni1 nj1故由內(nèi)積的連續(xù)性知，n (x,y)(lim(x,ei)ei,lim(y,ej)ejn ni1 nj1 n n lim( (x,ei)ei, (y,ej)ej)lim (x,ei) (y,ej)(ei,ej)n

i1

ni1

n lim(x,ei)(y,ei)(x,ei)(y,ei)，ni1

i1（4）成立.PAGE27（1）設(shè)命題（4）xX，使得(x,en)0，n1,2,，yX，有 (x,y) (x,en)(y,en)0，n1xXx0，從而命題（1）成立.nn1nn1

HilbertXParsevalX的某nn1M{nn1

是完全的.證令

X0X的閉線性子空間.xMnnnn1||x|||(x,e)|，2 2ii14.2.8的證明可知， i xlim (x,e)e，ni1xX0MX0.X0是閉集，MXXcl(MX0X，XX0.X0xXX0，有 i xlim (x,e)e，ni1nn1nn1

是完全的.nn1X中已知的線性無關(guān)點(diǎn)列{xnn1也可以實(shí)施GramSchmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化過程，從而獲得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系.其具體過程為：span{e1}=span{x1}；span{e1}x2X1上的投影為(x2e1)e1，取,e1)e1，PAGE29.0span{e1,e2}=span{x1,x2}；（3記X21,2}.2.43在X2上的投影為(3,11(3,22，記(x3,e1)e1(x3,e2)e2，y3eii12.x3e1e2y30，令e3y3||y3||，易知x2,x3}；?（n）Xn1span{e1e2,en1}4.2.4xnXn1上的投影為n1(x,ei)ei，i1記n1ynxn (x,ei)ei，i1由投影定理知，則yneii12,n1.又因?yàn)閤ne1,en1線性無關(guān)，所以enyn/||yn|，易知span{e1,e2,,en}=span{x1,x2,,xn}；?nn1上述程序無限進(jìn)行下去，我們就得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系{enn11 dn 2 n例4.8Pn(t2nndtn[(t1)]稱為n階勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式，可以證明

e(t) 2n1P(t)，n1,2,n 2 nL2[1,1]的一個(gè)完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系.它是通過對線性無關(guān)的函數(shù)列{xn(t實(shí)PAGE31nSchmidtx(t)tnn12,.n4.2.10X是Hilbert空間，我們有如下命題.XX必有至多可列的完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系；XX的每個(gè)完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系都是可列集.（1）X存在至多可列個(gè)向量{xk}Xcl(span{xk，不妨設(shè){xk為線性無關(guān)向量的集合.利用GramSchmidt{ek}，使得span{xkspan{ek}.Xcl(span{ek.而在span{ekParseval等式顯然成立，4.2.9知，標(biāo)準(zhǔn)正交系{ek}是完全的.（2）XM，則對任意eiejMeiej，都有||eiej

2，記Si{xX|||xei||

11}，Sj{xX|||xej||}，12 2SiSj.X中存在可列稠密子集{xk}xiSixjSj，且xixj，M的勢不大于{xk的勢，這表明M必為可列集.4.2.7X,YTXYx,yX，總有(Tx,Ty)(x,y)，X與Y是酉同構(gòu)的.4.2.11任意可分的HilbertX都是與?n（n）或l2是酉同構(gòu)的..下面我們證明無限維的情形.nn1X{nn1

.定義映射T:Xl2，Tx(c,c,,c,)，xX，1 2 n其中PAGE33cn(x,en)，n1,2,，前面已經(jīng)說明TX到l24.2.7T是滿射.xyX4.2.8知， x(x,n)nann，y(y,n)nnn，n1

n1

n1

n1故Txa1a2,an,Tyb1,b2,,bn,4.2.8，我們有 (Tx,Ty) anbn (x,en)(y,en)(x,y)，n1 n1yx時(shí)，有||Tx||||x||，即T是等距映射，從而是單射.X與l2是酉同構(gòu)的.§4.3Hilbert空間的有界線性算子§4.3.1自共軛空間與共軛算子使得f(x)(x,y)xX都成立，且有||f||||y||.證存在性.f0X*y0X即可.f0，令M{xX|f(x)0}f的零空間.fMXf0MX的真子空間.zMf(z)0.xXf(x

f(x)z0xf(z)

f(x)zM，故f(z)PAGE35(x

f(x)f(z)

z,z)0，由此得f(x)

f(z)z||2

(x,z)(x,

f(z)z||2

z).

f(z)zf(x)(x,yxX都成立.惟一性.yXfx)(x,y')xX，則有(x,yy')0對任意xXyy.保范性.y0時(shí)，顯然有||0||X*0||0||X.y0xy，則有||f||sup|f(x)||f(y)|(y,y)||y||，x0 ||x|| ||y|| ||y||Schwarz不等式，有|f(x||x,y|||y||||x||xX，故||f||||y||，于是，我們得||f||||y||.注43.1Hbet空間X示出來.事實(shí)上，其逆命題也成立.yX，定義泛函fy:XK，fy(x)(x,y)，xX，fy:XK4.3.1||fy||||y||.

T:XX*，Tyfy，yX，從前面的討論可知，TXX*是雙射，且||Ty||||fy||||y||.對任意y1y2X，12K，有PAGE37即映射TXX*是可加且共軛齊次的，我們稱這樣的映射T為復(fù)共軛線性映射，由于T是一個(gè)等距映射，故稱映射TXX*上的復(fù)共軛等距映射.XX*（等距已經(jīng)保證了單射XX*是XX*XX*，稱為自共軛空間.定義4.3.1XY是兩個(gè)內(nèi)積空間，TXY是一個(gè)有界線性算子，又設(shè)T*:YX是有界線性算子.xXyY，都有(Tx,y)(x,T*y，則稱T*是T的共軛算子或伴隨算子.4.3.1所陳述的共軛4.3.1，分別有

.4.9設(shè)n和mEuclid空間，對于有界線性算子1 mTnmTxAxxn，Aaijmn復(fù)矩陣，我們來考察其共軛算子T1 mx(1,2

,,n

)n，y(,,

m，則有m n n m iji j ijj (Tx,y)(Ax,y)(a)(a)(x,ATy)(iji j ijj j1

i1

i1

由此看到，共軛算子T*xATxATA的共軛轉(zhuǎn)置矩陣.Xn維（實(shí)或復(fù)）e1e2,en是其一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，Ym維（實(shí)或復(fù)）f1,f2,,fm是其一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.設(shè)TXY是一個(gè)線性算子，從而T一定有界.令PAGE39mmTejaijfi，j1,2,,n，ni1nxjejX，有n n nn n n m m xT(jej)jejj(jfi)(jj)fi，j1

j1

j1

i1

i1

j1mmyifiY，有i1 m n (Tx,y) ( ( aiji)j ( aiji)j，i1

i1

i1由此得n mT*y ( )ej.i1T:XY由一個(gè)mnA(aijT的共軛算子T*:YXAT決定.定理43.2設(shè)X是HbetYT:XY，必存在惟一的共軛算子T*:YX.yYXfy(x)TxyxX.Schwarz不等式知y||||x||，xX，fyX*，且||||y||.RieszzXfyxz，即有(Tx,y)(x,z).于是，我們得到了算子

T*:YX，T*yz，PAGE41xXyY，有(Tx,y)(x,T*y).下面證明T*:YX是有界線性算子.y1y2Y及復(fù)數(shù)12，由于1(x,T*y1)2(x,T*y2)(x,1T*y12T*y2)，故即T*是線性算子.再由T*yY，有故||T*||||T||，即T*為有界線性算子.而T*的惟一性易見.b例4.10XL2[a,bK(tsDab][ab上平方可積函數(shù)，則由K(tsL2[a,b上的有界線性算子TL2[a,bL2[a,b如下：bTxt)aKt,s)x(s)s，

xL2[a,b]，TFredholm型積分算子.下面求T的共軛算子.xyL2[a,b]Fubini定理，我們有b (x,T*y)Tx,y)ayt[aKt,s)x(s)sb ax(s)aKt,s)ytsax(s)aKt,s)yt)s，bb b b 故有T*y)(s)aKt,s)yt)t，即T*是以Kt,s)為核的edhombb b b 置共軛矩陣的性質(zhì).定理4.3.3XZ是HilbertY是內(nèi)積空間TSLX,YRL(ZX，，則下列命題成立：（1）(T)*T*；PAGE43（2）(TS)*T*S*；（3）(T*)*T；（4）||T||2||T*||2||T*T||||TT*||；（5）(TR)*R*T*；（6）T*存在有界線性逆算子的充分必要條件是T存在有界線性逆算子，且有(T*)1(T1)*；（7）(T*){|(T)}.證（1）xX,yY，有(xT*y)(x,Ty)(Txy)Txy)x,(T)*y)，故(T)*T*.xX,yY，有(x,(TS)*y)((TS)x,y)(Tx,y)(Sx,y)(x,T*y)(x,S*y)(x,T*yS*y)(x,(T*S*)y)，故有(TS)*T*S*.xX,yY，由于(Tx,y)(x,T*y，故有y,Tx)(T*yx)y,(T*)*x)，xy(T*)*T.（4）4.3.2的證明知||T*||||T||，因此也有||T||||T*)*||||T*||，于是||T||||T*||.xX,由于||T*Tx||||T*||||Tx||||T*||||T||||x||，故有||T*T||||T*||||T||||T||2.PAGE45另一方面，我們有||T||2sup||Tx||2sup(Tx,Tx)sup(x,T*Tx)sup||x||||T*Tx||||T*T||，||x||1 ||x||1 ||x||1 ||x||1故||T*T||||T||2，利用性質(zhì)（3）可得||TT*||||T||2.由假設(shè)知TRL(Z,Y)zZ,yY，由于(z,(TR)*y)(TRz,y)(Rz,T*y)(z,R*T*y)，z,y(TR)*R*T*.分.設(shè)T存有線性算子T1則T1 I

X X 可得，

X X Y T*(T1)*(I)*I，(T1)*T*(I)*X X Y (T1)*是T*的逆算子，即(T*)1T1)*.必要性.設(shè)T*存在有界線性逆算子，則由T(T*)*T存在有界線性逆算子，且有(T*)1T1)*.由性質(zhì)（6）IT存在有界線性逆算子當(dāng)且僅當(dāng)(IT)*IT*存在有界線性逆算子，即(T當(dāng)且僅當(dāng)(T*(T(T*分別是(T和(T*的補(bǔ)集，故有(T*)|(T)}..4.3.2XHilbertTLXX.如果T*T，則稱T為自共軛算子或自伴算子.4.3.4XHilbertT,T1,T2L(XX，則下列命題成立：X是復(fù)空間時(shí)，T為自共軛算子的充分必要條件是：對任意xX，(Tx,x)是實(shí)數(shù).PAGE47若T1,T2均為自共軛算子，則對任意，T1T2也是自共軛算子.若.證（1）充分性.xX(Txx是實(shí)數(shù)，則有(Tx,x)(x,Tx)(x,Tx)(T*x,x),故((TT*)xx)0xX.STT*x,yX，有(S(xy),xy)(Sx,x)(Sy,x)(Sx,y)(Sy,y)0，(S(xiy),xiy)(Sx,x)i(Sy,x)i(Sx,y)(Sy,y)0，注意到(Sxx)(Sy,y)0(Sx,y)0x,yXS0，從而T*T.必要性.設(shè)T*T，則(Tx,x)(x,Tx)(x,T*x)(Tx,x)，這表明(Txx是實(shí)數(shù).設(shè)T1,T2均為自共軛算子，則對任意xX，內(nèi)積T2)x,x)(T1x,x)(T2x,x)即是自共軛算子，則有4.3.5XHilbert空間，TLXX是自共軛算子，則T的零空間ker(T是T的值域TX的正交補(bǔ)，即ker(TTX).xker(TyX，有(x,Ty)(Tx,y)(0,y)0，PAGE49這表明ker(T)與TX)正交，故ker(T)T(X).xTX)，則對任意yX，有(Tx,y)(x,Ty)0，yXTx0xker(T，從而TX)ker(T.綜上，得ker(T)T(X).4.3.6X是HilbertT,TnLXXn12,，且{Tn是自共軛算子列.xX，都有TnxTx(n，則T是自共軛算子.xyX，由定理的條件及內(nèi)積的連續(xù)性，我們有(Tx,y)(limTnx,y)lim(Tnx,y)lim(x,Tny)(x,limTny)(x,Ty)，n故T是自共軛算子.

n

n

n4.3.7XHilbert空間，如果TLXX是自共軛算子，則T的每個(gè)譜點(diǎn)都是實(shí)數(shù).證設(shè)Ti(0，下面證明(T.SIT，由于||Sx||||IT)x||||x||||Tx||||||T||||x||，SLXX.xX，有(Sx,x)(xTx,x)(x,x)(Tx,x)(x,x)(Tx,x)i(x,x)，（4.3.1）

|x||x|(,x)(,),2[(,]2/2|||x|2（4.32）x0時(shí)，有||Sx||||||x||S是單射.n設(shè){ynSXlimyny，則存在{xnXynSxnn12,.n(4.3.2)知，

||ynym||||||xnxm||PAGE51對任意nm成立，因此，{xnX中的Cauchy列.XxX，使得nlimxx.S的連續(xù)性，有nnnSx，nnySX.SXX的閉子空間.yXyuvuSXvSX)，故由等式(4.3.1)有0(Svv)(vvTvvi(vv，這意味著v0yuSXSXX.SLXXXBanachS1L(XX，從而(T.4.3.8XHilbertTLXX是自共軛算子，令minf(Tx,x)，Msup(Tx,x)，||x||1

||x||1則有如下結(jié)論：（1）||T||max{|m|,|M|}；（2）(T)mM且mM(T).證（1）對于||x||1，有|(Tx,x)|||Tx||||T||.Kmax{|m|,|M|K||T||.另一方面，任取0，利用T的自共軛性，我們有||Tx||21[(T(x1Tx),x1Tx)(T(x1Tx),x1Tx)]4 1K(||x1Tx||2||x1Tx||2)1K(2||x||21

||Tx||2)，4 2 2x0，特別取2||Tx||，則有||x||PAGE53||Tx||2K||Tx||||x||，故||T||K，因此||T||K.（2）當(dāng)mxX，有((IT)x,x)(x,x)(Tx,x)(x,x)(m)，完全仿定理4.3.7的證明，可得(T.M時(shí)，亦可得(T.于是(T)[m,M].

inf((mIT)x,x)inf[m(Tx,x)]msup(Tx,x)mM,||x||1 ||x||1 ||x||1sup((mIT)x,x)sup[m(Tx,x)]minf(Tx,x)0,||x||1 ||x||1

||x||1我們得到||mIT||Mm.X的單位球上取點(diǎn)列{xn}，使得((mIT)xn,xn)mM(n)，||xn||1，n1,2,.由于n n n n ||(MIT)x||2(MxTx,n n n n ((Mm)xn(mIT)xn,(Mm)xn(mIT)xn)n n (Mm)22(Mm)((mIT)x,x)||(mIT)n n n 2(Mm)22(Mm)((mIT)x,x)0(n)n MIT不存在有界線性逆算子，若不然，則有1||x||||(MIT)1(MIT)x||||(MIT)1||||(MIT)x||0(n)，n n nM(T).同理可證m(T.4.3.9XHilbert空間，如果TLXX是緊自共軛算子，則T有特征值.證不妨設(shè)T0且||T|||M|，M4.3.8M0.X的單位球上取點(diǎn)列{xn}，使得(Txn,xn)M||T||(n).PAGE55k因T是緊算子，故{Txn有收斂子列.設(shè)Txny(k，則有knTxnkMxnkn

nkn

nnk knn

)M2nn2M22M(Tx,xnnk k

)0(k)，n由此得TyMy.由于||x||1k12,y0M是T的特征值.nkxuv,uMvM.我們稱算子P:XM，Pxu，xXPM.PxxxMPx0xM.且由uv，有勾股定理||x||2(uv,uv)||u||2||v||2.4.3.10M是HilbertX的一個(gè)非空閉子空間，則P是有界線性算子.P是自共軛算子.（3）M0||P||1.（4）P2PP是冪等算子.證（1）對任意12Kx1x2X，有

M，v1,v2

M.MM都是線性子空間，故有PxPxM，vv

M，1 1 2 2 11 22且滿足

因此，

P是線性算子.xX，由PAGE57知||Px||||x||P是有界算子，且||P||1.（2）xyX，有xPxv，yPyv，Px,PyM，v,v

M.1 2 1 2由此得

(Px,y)(Px,Pyv2)(Px,Py)(Pxv1,Py)(x,Py)，P*PP是自共軛算子.綜上||P||1.

||P||sup||Px||||Px0||||x0||1.||x||1（4）由投影算子的定義易見.4.3.11X是Hilbert空間，

PLXXP是投影算子的充分必要條件為P是冪等的自共軛算子.4.3.9立刻得到.下面證明充分性.MPX)PMX的子空間.任給{ynM滿足nlimyny0xnXynPxnn12,Pnn n n n yPxP2xP(Px)Py，nn n n n Py0Py0M.這表明MX的閉子空間.xyX，由定理的充分條件，我們得(xPx,Py)(P(xPx),y)(PxPx,y)0，xPxMxPxPxxPxxPx.因此，PX到M的投影算子.PAGE594.3.12X是復(fù)HilbertPLXX是投影算子的充分必要條件是等式||Px||2(Px,x)xX都成立.證必要性.PxX，有||Px||2(Px,Px)(P2x,x)(Px,x)..||Px||2Pxx4.3.4（1）P是自共軛算子.因此，

(Px,x)(Px,Px)(P2x,x)xX成立，即((PP2xx0xX成立.PP2是自共軛算子，4.3.8||PP2||0P2P..設(shè)1:XM1,2:XM2P12M1M2PXM1M2的投影算子.設(shè)1:XM1,2:XM2P121221，此時(shí)P是由X到M1M2..4.3.4XHilbertTLXX是自共軛算子.xX，都有(Tx,x)0，則稱T為正算子，記為T0.T1,T2是兩個(gè)自共軛算子，如果T1T20，則記T1T2.PAGE61X上的任何有界線性算子TTT*和T*T都是正算子，這是因?yàn)閷θ我鈞X，都有(T*Tx,x)(Tx,Tx)0，(TT*x,x)(T*x,T*x)0.如果TS是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，則TS也是正算子.（3）如果T1T2S1S2是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，則T1S1T2S2.如果T是正算子，則Tkk12,.這是因?yàn)椋簁2mxX，有(TkxxT2mxx(Tmx,Tmx)0；k2m1xX，有(Tkxx)T2m1xx)T(Tmx),Tmx0.P是正算子.xX，有(Px,x)(P2x,x)(Px,Px)0.如果T是正算子，則廣義Schwarz不等式|(Tx,y)|2(Tx,x)(Ty,y)xyX都成立.證設(shè)T是正算子，則對任意KxyX，有0(T(xy),xy)(Tx,x)(Ty,x)(Tx,y)||2(Ty,y)，如果(Ty,y)0，則取(Txy，并代入上述不等式，可得廣義Schwarz不等式.如(Ty,y)果(Ty,y)04.3.15Ty0，從而廣義Schwarz不等式仍成立.4.3.13XHilbert空間，{TnLXX為自共軛算子列，如果TnTn1，n12,M0，滿足sup||Tn||M，則存在自共軛算子T，使得{Tn強(qiáng)收nn斂于TxX，有l(wèi)imTxTx.nn證由定理的條件知，對任意自然數(shù)nm(mn，有(Tmx,x)(Tnx,x)((TmTn)x,x)0，且PAGE63n (Tx,x)||Tx||||x||M||x||2，n1,2,n 故{(Tnxx.由正算子的廣義Schwarzx,yX及自然數(shù)nm(mn，有|((TT)x,y)|2((TT)x,x)((TT)y,y)M||y||2((TT)x,x)，m n m n m n m n由此得

||TxTx||2sup|((T

T)x,y)|2M((T

T)x,x)，m n m n m n||y||1nT:XX，TxlimTx，xX，nn易見T是線性算子，且

n故有TLXX.再內(nèi)積的連續(xù)性，有(Tx,y)(limTnx,y)lim(Tnx,y)lim(y,Tnx)(y,limTnx)(y,Tx)，n這表明T是自共軛算子.

n

n

n的結(jié)論對單調(diào)遞減算子且有下界的算子列也成立.4.3.4XHilbert空間，TLXXSLXX，使得TS2S是T的正平方根算子，記為T1/2.4.3.14X是Hilbert空間，TLXX是正算子，則必存在惟一的正平方根算S.證因正算子滿足0(Txx)||T||xx，設(shè)T0，則有0(

T x,x)(x,x).||T||因此，我們不妨設(shè)0TI.如果TS，則由TS2得到恒等式2(IS)IT(IS)2. (4.3.3)BIT0，利用等式(4.3.3)構(gòu)造迭代格式PAGE65A0,A1(BA2

)，n1,2,. (4.3.4)0 n 2

n1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明{An是單調(diào)遞增的正算子列，且||An||1n12,.1且||A||1||IT||1(1||T||)1，

1 2 2nkAk1AkAkAk1B的非負(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，且nk1時(shí)，有||A ||1||BA2||1(||B||||A

||2)1，2 k 2 k且A A1(BA2)1(BA2

1(A2A2

)1(AA

)(AA )，1 k 2 k 2

k

2 k

k 這樣，我們得到了是單調(diào)遞增的正算子列{An，且||An||1n12,.故由定理4.3.13A，使得{AnA，顯然||A||1.xX，當(dāng)n時(shí)，有||An(Ax)A(Ax)||0，||A(AnxAx)||||(AnxAx)||0，故xX，有

lim||(AAAA)x||0.n n ||A2xA2x||||(AA)(AA)x||||(AAAA)x||n n n n n2||(AnA)x||||(AnAAAn)x||0(n)，PAGE67n故{A2A2.xX，在nAx1(BxA2x)兩邊取極限，得

n 2 n1

Ax1(BxA2x)，2A1(BA2)，2SIABITS2TxX，有(Sx,x)(x,x)(Ax,x)(1||A||)(x,x)0，這樣我們就證明了正平方根算子的存在性.T可交換的算子都S可交換.下面證惟一性.R，使得TR2R與TRS可交換.xXySR)x，則有0(Sy,y)(Ry,y)((TSR)x,y)((TSR)x,y)0，由此知(Sy,y)(Ry,y)0.S是正算子，故存在正算子USU2，于是0SyyU2yy||Uy||2，即Uy0Sy0.Ry0.因此，我們有||y||2SR)x,y)x,(SRy)0，y0xXRS.推論4.3.15X是HilbertTLXXyX，使得(Ty,y0，則Ty0.證由于TS，使得TS2.因此0Tyy)S2yy)SySy)，Sy0，從而TyS2yS(Sy0.PAGE69推論4.316設(shè)X是Hbet1,2L(X,X)212也是正算子.證由于T,TSS，使得TS2TS2.由于T,T可交換，1 2 1 2 1 1 2 2 1 2S1S2xX，有12 12 2112 12 12(TTxxS2S2xxSSSSxxSS12 12 2112 12 12Hilbert空間上的一類等距同構(gòu)算子——酉算子.定義4.3.5X是HilbertT:XX是線性算子.如果T為滿射且對任意xX，有||Tx||||x||，則稱T是酉算子.4.3.17XHilbertTXX是線性算子，則T為酉算子的充分必要條件是

T*TTT*I.證必要性.設(shè)TxyX，由極化恒等式，得(Tx,Ty)xy，故(T*Tx,y)(x,y)，x,yX的任意性知T*TI.又因T是雙射，由逆算子定理知T1存在，故T*T1，從而TT*I.充分性.由TT*I知T是滿射.而由(x,x)(T*Tx,x)(Tx,Tx)知||Tx||||x||.我們還可以證明：（1）X0時(shí)，酉算子T的范數(shù)||T||1.（2）設(shè){Tn是一個(gè)酉算子列，如果{Tn一致收斂于T，則T也是酉算子.