小學(xué)奧數(shù)-寒假三年級（寒假共7講）- 第5講

＞本講內(nèi)容

單變量還原問題；多變量還原問題；列表法

A前鋪知識(shí)

和差倍——三年級寒假（第六級上）

＞后續(xù)知識(shí)

方陣問題——三年級寒假（第六級上）

課前測試

1.計(jì)算：77x26+25x99

【答案】4477

2.10個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大4,這些數(shù)的和是210,求

最大的數(shù)是多少？

【答案】39

【分析】第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)的和是210+5=42,貝U第6個(gè)數(shù)是（42+4）+2=23,23+4x4=39

模塊1單個(gè)量的還原問題

梏、更X與、需歸―-不句子少K?

【答案】59只

【分析】黃雞18+（2-1）=18只，白雞18x2=36只，黑雞18-13=5只，18+36+5=59只

三年級寒假第5講倒推與圖示（C版）

三個(gè)等等吃一棵樹上的桃子.等等1號(hào)吃了一個(gè)桃子并繼續(xù)吃了剩下桃子的一半，然后等等2號(hào)吃了兩

個(gè)桃子并繼續(xù)吃了剩下桃子的一半，最后等等3號(hào)吃了三個(gè)桃子并繼續(xù)吃了剩下桃子的一半.這時(shí)樹上

剛好還有四個(gè)桃子.那么原來樹上一共有兒個(gè)桃子？

【答案】49

【分析】第三只吃之前有：4x2+3=11（個(gè)）；第二只吃之前有：11x2+2=24（個(gè)）

第一只吃之前有：24x2+1=49（個(gè)）

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電工組買來一捆電線，工人第一天用去全長的一半多5米，第二天用去余下的一半少8米，第三天用去

14米，最后還剩10米.這捆電線原來有多少米？

【答案】74

【分析】第三天用之前有：10+14=24（米）；第二天用之前有（24-8）x2=32（米”

所以這捆電線原來有：（32+5）x2=74（米）

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在電腦里先輸入一個(gè)數(shù)，它會(huì)按照給定的指令進(jìn)行如下運(yùn)算：如果輸入的數(shù)是偶數(shù)，就把它除以2,如

果輸入的數(shù)是奇數(shù)，就把它加上3.這樣的運(yùn)算進(jìn)行了3次，得出結(jié)果為27,那么原來輸入的數(shù)是多少？

【答案】216,105,102

【分析】除以2,反過來即乘2；加上3,反過來即減去3,注意減去3以后是奇數(shù)才符合題意：

三—24(x)

?48(x)

^->51-

27《>102

馬一》54<

^-?105

J108,

J216

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100個(gè)人站成一橫排，自1起按順序報(bào)數(shù)，凡報(bào)奇數(shù)的人出列，凡報(bào)偶數(shù)的人留下；留下的人再自1起

按順序報(bào)數(shù)，凡報(bào)奇數(shù)的人出列，凡報(bào)偶數(shù)的人留下.這樣反復(fù)下去，直到最后留下1個(gè)人，這個(gè)人第

一次報(bào)的數(shù)是幾？

【答案】64

【分析】考慮最后留下的人，在倒數(shù)第一輪必報(bào)2,在倒數(shù)第二輪必報(bào)4,在倒數(shù)第三輪必報(bào)8……容易倒推

出此人報(bào)過的數(shù)必是2、4、8、16、32、64.即第一輪這個(gè)人報(bào)的是64.

模塊2多個(gè)量的還原問題

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3個(gè)籠子里共有48只兔子，如果從第1個(gè)籠子里取出8只放到第2個(gè)籠子里，再從第2個(gè)籠子里取出6

只放到第3個(gè)籠子里，那么3個(gè)籠子里的兔子一樣多.算一算，3個(gè)籠子里原來各有多少只兔子？

【答案】24,14,10

【赤j最后三個(gè)籠子堂用手6淳量二祥一均有48%16只，還原過程如下表：

三年級寒假第5講倒推與圖示（C版）

還原過程第一個(gè)籠子第二個(gè)籠子第三個(gè)蘢子

最后狀態(tài)161616

第二次拿之前162210

第一次拿之前241410

一共有26個(gè)桃子，小一搶先拿走了一些，小二只好拿了剩下的.小二看小一拿的太多，就從小一那搶

過來一半；小一不肯，又從小二那搶走了一半；小二不開心，小一只好再給小二5個(gè)，此時(shí)小二比小一

多2個(gè)桃子.請問小一最初拿了幾個(gè)桃子？

【答案】16

【分析】最后小二比小一多2個(gè)，所以最后小二有(26+2)+2=14個(gè)，小一有26-14=12個(gè)：

還原過程小二小一

最后狀態(tài)1412

小二還給小一5個(gè)917

小一^還給小二(9)個(gè)188

小二還給小一(8)個(gè)1016

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有三堆火柴，共48根，現(xiàn)從第一堆里拿出與第二堆根數(shù)相同的火柴并入第二堆；再從第二堆里拿出與

第三堆根數(shù)相同的火柴并入第三堆；最后，從第三堆里拿出與這時(shí)的第一堆根數(shù)相同的火柴并入第一堆,

經(jīng)過這樣的變動(dòng)后，三堆火柴的根數(shù)恰好完全相同.原來第一、二、三堆各有火柴、、

__________根.

【答案】22,14,12

【分析】最后三堆火柴根數(shù)相同，所以每堆有48+3=16根：

還原過程第一堆第二堆第三堆

最后狀態(tài)161616

第一堆還給第三堆(8)根81624

第三堆還給第二堆(12)根82812

第二堆還給第一堆(14)根221412

兄弟三人分24個(gè)桔子，每人所得的個(gè)數(shù)分別等于他們?nèi)昵案髯缘哪挲g.如果老三先把所得的桔子的

一半平分給老大與老二，接著老二把現(xiàn)有的桔子的一半平分給老三與老大，最后老大把現(xiàn)有的桔子的一

半平分給老二與老三，這時(shí)每人的桔子數(shù)恰好相同.問：兄弟三人的年齡各是多少？

【答案】16,10,7

【分析】共24個(gè)桔子，最后每人桔子數(shù)相同，所以每人有24+3=8個(gè)：

還原過程老大老二老三

最后狀態(tài)888

老二、老三還給老大1644

老大、老三還給老二1482

老大、老二還給老三1374

三年前三人的年齡分別為13,7,4,所以現(xiàn)在三人的年齡分別是16,10,7.

A、B、C、D四個(gè)人共有64塊磚塊，A拿出若干塊磚塊給B、C,使得他們的磚塊數(shù)目增加了一倍；然

后B拿出若干塊磚塊給C、D,使他們的磚塊數(shù)目增加了一倍：C也拿出若干塊磚塊給D、A,使他們的

磚塊數(shù)目增加了一倍；最后D也拿出若干塊磚塊給A、B,使他們的磚塊數(shù)目也增加了一倍，這時(shí)他們

四人手中的磚塊數(shù)目相等.那么A、B、C、D四人原來各有磚塊多少塊？

【答案】30,17,9,8

【分析】最后四人手中的磚塊相等，所以每人有64+4=16個(gè)：

還原過程ABCD

最后狀態(tài)16161616

A、B還給D881632

A、D還給C483616

C、D還給B434188

B、C還給A301798

A、B、C三人共有玻璃球96個(gè)，先從A分別拿出與8、C同樣多的球給8、C；再從B分別拿出與這時(shí)

A、C同樣多的球給A、C；最后從C分別拿出與這時(shí)A、B同樣多的球給4、B.最后三人的玻璃球一樣

多.三人原來各有多少個(gè)？

【答案】52,28,16

【分析】三人共有96個(gè)，最后三人一樣多，所以每人有96+3=32個(gè)：

還原過程ABC

最后狀態(tài)323232

A、B還給C161664

A、C還給B85632

B、C還給A522816

知識(shí)點(diǎn)睛

已知一個(gè)數(shù)，經(jīng)過某些運(yùn)算之后，得到了一個(gè)新數(shù)，求原來的數(shù)是多少的應(yīng)用問題，它的解法常常

是以新數(shù)為基礎(chǔ)，按運(yùn)算順序倒推回去，解出原數(shù)，這種方法叫做逆推法或還原法，這種問題就是還原

問題.

倒推問題主要分為兩類：

一、單個(gè)變量的還原問題：畫出順序圖，再逐步逆推回去

二、多個(gè)變量的還原問題：列表法

拓展練習(xí)

1.☆☆工程隊(duì)要修一條小路，第一天修了全長的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天

修了30米，此時(shí)還剩下14米沒有修，則這條小路長米.

【答案】108米

三年級寒假第5講倒推與圖示（C版）

【分析】全長為：[（14+30-20）x2+6]x2=108米.

2.☆☆貨場原有煤若干噸.第一次運(yùn)出原有煤的一半，第二次運(yùn)進(jìn)450噸，第三次又運(yùn)出現(xiàn)有煤的一

半又50噸，結(jié)果剩余煤的2倍是1200噸.貨場原有煤多少噸？

【答案】1700噸

【分析】最后剩余煤：1200+2=600（噸），第三次運(yùn)出前有：（600+50）x2=1300,第二次運(yùn)進(jìn)前有：

1300-450=850（噸），原有煤的噸數(shù)是：850x2=1700（噸）

3.☆☆☆小白和小花見到一種神奇的蟲子，它每小時(shí)就長一倍，1天能長到20厘米，聰明的小朋友，

你知道小蟲長到5厘米時(shí)需要多少小時(shí)嗎？

【答案】22

【分析】用倒推法解:20—2+2=5（厘米）,24-1一1=22（小時(shí)）

4.☆☆☆盒子里有若干個(gè)球.小明每次拿出盒中的一半再放回一個(gè)球.這樣共操作了7次，袋中還有個(gè)3

個(gè)球.袋中原有多少個(gè)球？

【答案】130

【分析】倒推法：第7次操作前，還剩（3-l）x2=4個(gè)球.第6次操作前，還剩（4-l）x2=6個(gè)球.第5次操作

前，還剩（67）x2=10個(gè)球.第4次操作前，還剩（10-1）x2=18個(gè)球.第3次操作前，還剩（18-1）x2=34

個(gè)球.第2次操作前，還剩（34-1）x2=66個(gè)球.第1次操作前，還剩（66-1）x2=130個(gè)球.

5.☆☆☆某人發(fā)現(xiàn)了一條魔道，下面有一個(gè)存錢的小箱子，當(dāng)他從魔道走過去的時(shí)候，箱子里的一些

錢會(huì)飛到人的身上使人身上的錢增加一倍，這人很高興；當(dāng)他從魔道走回來時(shí)，身上的錢會(huì)飛到箱

子里，使箱子里的錢增加一倍；這人一連走了3個(gè)來回后，箱子里的錢和人身上的錢都是64枚一

元的硬幣，那么原來這人身上有多少元？箱子里有多少元？

【答案】43元，85元

【分析】已知這個(gè)人和錢箱里最后都有64元，采用倒推法解題，列表如下：

D袋錢數(shù)箱子錢數(shù)

第三次回來后6464

第三次過去后9632

第二次回來后4880

第二次過去后8840

第一次回來后4484

第一次過去后8642

開始4385

所以最開始這個(gè)人身上有43元，箱子里有85元.

6.☆☆有一個(gè)財(cái)迷總想使自己的錢成倍增長，一天他在一座橋上碰見一個(gè)老人，老人對他說：“你只

要走過這座橋再回來，你身上的錢就會(huì)增加一倍，但作為報(bào)酬，你每走一個(gè)來回要給我32個(gè)銅板.”

財(cái)迷算了算挺合算，就同意了.他走過橋去又走回來，身上的錢果然增加了一倍，他很高興地給了

老人32個(gè)銅板.這樣走完第五個(gè)來回，身上的最后32個(gè)銅板都給了老人，一個(gè)銅板也沒剩下.問：

財(cái)迷身上原有多少個(gè)銅板？

【答案】31個(gè)

【分析】第五次回來時(shí)有32個(gè)銅板，表明第五次走時(shí)有16個(gè)銅板（因?yàn)樽叩綐驅(qū)γ驽X數(shù)要增加一倍），又

表明第四次回來時(shí)有48個(gè)銅板（因?yàn)橐o老人32個(gè)銅板）依次類推即可.推算過程可列表如下：

往返次數(shù)回來時(shí)身上錢數(shù)過去時(shí)身上錢數(shù)

第五次3216

第四次4824

第三次5628

第二次6030

第一次6231

所以原來有31個(gè)銅板.

7.☆☆一個(gè)書架分上中下三層，一共放書384本，如果從上層取出與中層同樣多的本數(shù)放入中層，再

從中層取出與下層同樣多的本數(shù)放入下層，最后又從下層取出與現(xiàn)在上層同樣多的本數(shù)放入上層，

這時(shí)三層書架中書的本數(shù)相等，這個(gè)書架原來上層中層下層各放書多少本？

【答案】上層放176本書，中層放112本書，下層放96本書

【分析】如下表：

上層中層下層

第三次取書前64128192

第二次取書前6422496

第一次取書前17611296

8.☆☆解放軍某部參加抗震救災(zāi)，從第一隊(duì)抽調(diào)一半人支援第二隊(duì)，抽調(diào)35人支援第三隊(duì)，又抽調(diào)

剩下的一半支援第四隊(duì)，后來又調(diào)進(jìn)8人，這時(shí)第一隊(duì)還有30人，求第一隊(duì)原有多少人？

【答案】158人

【分析】由條件“后來又調(diào)進(jìn)8人”和“這時(shí)第一隊(duì)還有30人”，可知不調(diào)進(jìn)8人有30-8=22人.由“又

抽調(diào)剩下的一半支援第四隊(duì)”后還有22人，可知如果不抽調(diào)人去支援第四隊(duì)，一隊(duì)有22x2=44人；由

“抽調(diào)35人支援第三隊(duì)”后還有44人，可知之前有44+35=79人；由“從第一隊(duì)抽調(diào)一半人支援第二

隊(duì)”后還有79人，可知第一隊(duì)原有79x2=158人.

列式為：［（30-8）x2+351x2=79x2=158A

9.☆☆☆口渴的三個(gè)和尚分別捧著一個(gè)水罐.最初，老和尚的水最多，并且有一個(gè)和尚沒水喝.于是，

老和尚把自己的水全部平均分給了大、小兩個(gè)和尚；接著，大和尚又把自己的水全部平均分給了老、

小兩個(gè)和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分給了另外兩個(gè)和尚.就這樣，三人輪流謙讓了

一陣.結(jié)果太陽落山時(shí)，老和尚的水罐里有10升水,大和尚沒水了，小和尚的水罐則裝著20升水.請

問：最初大和尚的水罐里有多少升水？

【答案】10升

【分析】首先，因?yàn)槊看畏炙际侨科椒纸o另外兩個(gè)人，所以每次分完水以后分水的人自己一定沒有水

了.于是太陽落山時(shí)老和尚、大和尚和小和尚分別有水10、0、20升.列表分析如下：

老和尚大和尚小和尚

最后10020

最后一次分水前02010

倒數(shù)第二次分水前20100

倒數(shù)第二次分水前10020

三年級寒假第5講倒推與圖示（C版）

回到最后的狀態(tài)，于是發(fā)現(xiàn)三個(gè)人的水量是循環(huán)變化的，一共只有這三種狀態(tài).又因?yàn)橐阎畛趵虾蜕?/p>

水最多，所以最初的狀態(tài)與倒數(shù)第二次分水前相同.所以大和尚的水罐里最初有10升水.

10.☆☆☆有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去兩份和另一枚，將剩下的棋子再三等份后還是剩下

一枚，再拿去兩份和另一枚，最后將剩下的棋子再三等份后還是剩下一枚，問原來至少有多少枚棋

子？

【答案】40枚

【分析】采用倒推法，再結(jié)合列表法——列舉進(jìn)行分析推理.

一份一份一份剩余

最后棋子數(shù)1111

倒數(shù)第二次4441

倒數(shù)第三次1313131

最初13+13+13+1=40

本講鞏固

1.有一個(gè)賣雞蛋的老奶奶，第一次賣出籃子里雞蛋的一半又半個(gè)，第二次又賣出了剩下雞蛋的一半又半個(gè),

籃子里還有一個(gè)雞蛋.這位老奶奶原來共有多少個(gè)雞蛋？

【答案】7

【分析】第二次賣出之前有(1+0.5)X2=3個(gè)，所以原來有(3+0.5)x2=7個(gè)

2.有一位老人說：“把我的年齡加上14后除以3,再減去26,最后用25乘，恰巧是100歲.”這位老人今

年多少歲？

【答案】76

【分析】倒推，即100除以25,再加上26,再乘3,再減去14：(100+25+26)x3-14=76

3.三只猴子分一堆桃，大猴子先拿了這堆桃的一半少1個(gè)；第二只猴子拿了余下的桃子的一半多1個(gè)；小

猴子分得余下的8個(gè)桃，桃子就被全分完了.問，這堆桃子共多少個(gè)？

【答案】34

【分析】第二只猴子分之前有(8+l)x2=18個(gè)，所以原有桃子(18-1)x2=34個(gè).

4.300個(gè)人站成一橫排，自1起按順序報(bào)數(shù)，凡報(bào)奇數(shù)的人出列，凡報(bào)偶數(shù)的人留下；留下的人再自1起按

順序報(bào)數(shù)，凡報(bào)奇數(shù)的人出列，凡報(bào)偶數(shù)的人留下.這樣反復(fù)下去，直到最后留下1個(gè)人，這個(gè)人第一

次報(bào)的數(shù)是幾？

【答案】256

【分析】最后一個(gè)人最后報(bào)2,倒數(shù)第2次報(bào)4,以此類推，第一次報(bào)256.

5.3個(gè)籠子里共養(yǎng)了36只兔子，如果從第1個(gè)籠子里取出8只放到第2個(gè)籠子里，再從第2個(gè)籠子里取出

6只放到第3個(gè)籠子里，那么3個(gè)籠子里的兔子一樣多.求3個(gè)籠子里原來各養(yǎng)了多少只兔子.

【答案】20,10,6

【分析】最后3個(gè)籠子里的兔子一樣多，所以每個(gè)籠子里有36+3=12個(gè)：

還原過程第1個(gè)籠子第2個(gè)籠子第3個(gè)籠子

最后狀態(tài)121212

3回212186

2回120106

6.甲、乙、丙三個(gè)班共有學(xué)生144人，先從甲班調(diào)出與乙班相同的人數(shù)給乙班，再從乙班調(diào)出與丙班相同

的人數(shù)到丙班.再從丙班調(diào)出與這時(shí)甲班相同的人數(shù)給甲班，這樣，甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)相等.原來

甲班比乙班多多少人？

【答案】24

【分析】最后每班人數(shù)為144+3=48人: