線性定常系統(tǒng)的可控性和可測(cè)性

自動(dòng)控制原理Ⅱ

第四章線性定常系統(tǒng)的可控性〔能控性〕和可觀測(cè)性〔可觀性、能觀性〕一.概念可控性和可觀性是現(xiàn)代控制理論的兩個(gè)重要的根底概念.狀態(tài)空間表達(dá)式包括:1.狀態(tài)方程:描述了控制量及初始狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的影響,說明了系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性.2.輸出方程:描述了內(nèi)部狀態(tài)及控制量對(duì)輸出的影響.所以狀態(tài)空間法能描述全部系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)與特征。由于內(nèi)部狀態(tài)的引入,從而理論上產(chǎn)生了新的概念:狀態(tài)的可控性。而輸出是狀態(tài)的線性組合,產(chǎn)生了可觀性概念。(1).可控性簡(jiǎn)單來說,可控性問題就是系統(tǒng)的控制輸入是否具有影響系統(tǒng)中每一個(gè)狀態(tài)的能力.例如:結(jié)構(gòu)圖:就該系統(tǒng)而言,控制u只能影響而不能影響換言之無論參加何種控制量,u都無法改變的運(yùn)動(dòng)特性,顯然是不可控的.當(dāng)然如果改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),例如改變u的參加點(diǎn),即改變B陣為時(shí),那么可控,而是控制u通過而到達(dá)間接控制的目的.顯然,由于狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)性以及狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)特性的不同影響作用,所以可控性是十分重要的.(2)可觀性可觀性指的是,從系統(tǒng)的輸出中能否觀測(cè)到系統(tǒng)的內(nèi)部信息,或者說能否量測(cè)到狀態(tài)信息的一種特性,這無論對(duì)于了解系統(tǒng)的運(yùn)行情形還是取得狀態(tài)信息用作控制都是完全必要的.在上例中而并不包含的信息,因而通過對(duì)輸出y的測(cè)量,無法得到任何的信息,從而是不可觀的.二.線性定常系統(tǒng)的可控性根據(jù)可控性概念,一個(gè)系統(tǒng)是否可控,僅與狀態(tài)方程有關(guān),即只對(duì)進(jìn)行討論.其中u假設(shè)為內(nèi)的分段連續(xù)函數(shù),稱u為容許控制.1.可控性定義假設(shè)對(duì)狀態(tài)空間的任一狀態(tài)存在一個(gè)有限時(shí)刻和一個(gè)容許控制能在時(shí)刻使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移到零,那么稱狀態(tài)方程在時(shí)刻是可控的,反之稱為在時(shí)刻是不可控的.第二種定義見書.注意到這兩種定義是等價(jià)的因?yàn)樵跔顟B(tài)空間中的任意一點(diǎn)總可以通過坐標(biāo)變換把它變換為零點(diǎn),即坐標(biāo)原點(diǎn).因此,轉(zhuǎn)移到0或?qū)刂苼碇v是一樣的情形.對(duì)定義的說明:1).時(shí)刻的狀態(tài)應(yīng)是任意的,也即x(t)的各分量在時(shí)的值無論如何給定,都存在容許控制,在時(shí)刻將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零,系統(tǒng)方為可控,否那么系統(tǒng)不可控.2).應(yīng)為有限的時(shí)間,的選取與有關(guān),假設(shè)趨于無窮那么可控失去意義.3).只說明容許控制,與u的具體形式無關(guān).4).轉(zhuǎn)移到零,對(duì)轉(zhuǎn)移過程中的軌跡沒有規(guī)定對(duì)時(shí)變系統(tǒng)來說,是否可控與時(shí)間坐標(biāo)有關(guān),故應(yīng)說明在時(shí)刻可控.2.可控性判據(jù)可控性判據(jù)定理一(秩判據(jù))線性定常系統(tǒng)∑(A,B)其狀態(tài)完全可控的充要條件是由A,B組成的可控性判別矩陣

必須滿秩,即可控性判據(jù)定理二(對(duì)角形)線性定常系統(tǒng)∑(A,B)具有互不相同的特征值,那么其狀態(tài)完全可控的充分必要條件是:系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形方程中陣不包含元素全為零的行.可控性判據(jù)定理三(Jordan標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù))<見書>

三.線性定常系統(tǒng)的可觀性1.定義:線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:系統(tǒng)在給定控制輸入u(t)作用下,對(duì)任意初始時(shí)刻假設(shè)能在有限時(shí)間間隔之內(nèi),根據(jù)從到對(duì)系統(tǒng)輸出y(t)的觀測(cè)值和輸入u(t),唯一地確定系統(tǒng)在時(shí)刻的狀態(tài),那么稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的,簡(jiǎn)稱可觀測(cè)或可觀性.假設(shè)系統(tǒng)哪怕只有一個(gè)狀態(tài)變量在任意初始時(shí)刻時(shí)的值不能由系統(tǒng)輸出唯一地確定,那么稱系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀.2.可觀性判據(jù)判據(jù)定理1.線性定常系統(tǒng)或簡(jiǎn)稱為∑(A,B,C,D)狀態(tài)可觀的充要條件是可觀性矩陣必須滿秩,即判據(jù)定理2.線性定常系統(tǒng)∑(A,B,C,D).具有不相等的特征根,那么其狀態(tài)可觀測(cè)的充要條件是,系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣中不包含元素全為零的列.四.可控性和可觀性的不變性結(jié)論:系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后,其可控性和可觀性保持不變,這種性質(zhì)稱為可控性和可觀性的不變性.證明略,見書.五.傳函中零極對(duì)消與可控性和可觀性的關(guān)系.(自學(xué))要點(diǎn):1).通過非奇異變換轉(zhuǎn)化成對(duì)角形(Jordan)2).根據(jù)Jordan形求出G(s)3).根據(jù)G(s)找到零極點(diǎn)對(duì)消的特征4).由上述特征,并據(jù)Jordan可控可觀性判據(jù),建立特征值和可控可觀性的關(guān)系結(jié)論：狀態(tài)完全可控和可觀的必要條件是：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣中不出現(xiàn)相約現(xiàn)象?；颍合到y(tǒng)的傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣是不可約的六.線性系統(tǒng)可控性和可觀性的對(duì)偶關(guān)系1.對(duì)偶關(guān)系設(shè)為系統(tǒng)∑〔A,B,C,D)設(shè)為系統(tǒng)稱和對(duì)偶.2.性質(zhì)(1).對(duì)偶系統(tǒng)和的傳函陣互為轉(zhuǎn)置,即

(2).對(duì)偶系統(tǒng)的特征值是相同的3.對(duì)偶原理(1)假設(shè)可控那么有可觀(2)假設(shè)可觀那么有可控七.系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的可控和可觀標(biāo)準(zhǔn)形通過對(duì)動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行非奇異變換,系統(tǒng)的可控性和可觀性不變.因而尋找適當(dāng)?shù)膒使得,從而得到可控和可觀標(biāo)準(zhǔn)形.一種簡(jiǎn)化的矩陣表達(dá)形式.本節(jié)主要介紹單變量系統(tǒng)的可控,可觀標(biāo)準(zhǔn)形.1.單變量可控標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)線性定常系統(tǒng)A的特征多項(xiàng)式為定理1.設(shè)系統(tǒng)∑(A,b,c,d)可控,那么通過等價(jià)變換將其變換為如下所示的可控標(biāo)準(zhǔn)形其中由于{A,b}對(duì)可控,故p一定是非奇異的2.單變量系統(tǒng)的可觀標(biāo)準(zhǔn)形定理2.設(shè)系統(tǒng)∑(A,b,c,d)可觀,那么可通過等價(jià)變換將其化成如下可觀標(biāo)準(zhǔn)形式.其中p同前.

八.有理傳遞函數(shù)(陣)的實(shí)現(xiàn)問題(1).實(shí)現(xiàn)問題的定義:構(gòu)造一個(gè)動(dòng)態(tài)方程,使其傳遞函數(shù)(陣)與事先給定的某個(gè)傳遞函遞(陣)相等,稱為實(shí)現(xiàn)問題.其目的,主要用于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真,了解系統(tǒng)的內(nèi)部外部特性.(2).正那么有理傳遞函數(shù)(陣)假設(shè)傳函(陣)的分子多項(xiàng)式次數(shù)為m,分母多項(xiàng)式的次數(shù)為n.假設(shè)m<n稱傳函(陣)為嚴(yán)格正那么有理傳函(陣)假設(shè)稱傳函(陣)為正那么有理傳函(陣).(3).實(shí)現(xiàn)-------主要討論嚴(yán)格正那么有理傳函的實(shí)現(xiàn),并構(gòu)造下述標(biāo)準(zhǔn)形,即用下述標(biāo)準(zhǔn)形來完成實(shí)現(xiàn).1).對(duì)角形2).約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形3).可控標(biāo)準(zhǔn)形4).可觀標(biāo)準(zhǔn)形.(4).最小實(shí)現(xiàn)問題對(duì)單變量系統(tǒng)而言,只有當(dāng)(A,b,c)的維數(shù)等于給定傳遞函數(shù)分母的階數(shù)時(shí),才是最小實(shí)現(xiàn),這時(shí)不出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消,動(dòng)態(tài)方程既可觀又可控的,也稱為可控可觀實(shí)現(xiàn).(5).重點(diǎn)掌握和了解單變量實(shí)現(xiàn)問題.定義:對(duì)給定傳函陣W(s)假設(shè)有一狀態(tài)空間表達(dá)式∑(A,B,C,D)使之成立,那么稱該狀態(tài)空間表達(dá)式為傳函陣W(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn).九.線性定常連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解一.目的如果一個(gè)系統(tǒng)是不完全能控的，那么其狀態(tài)空間中所有能控狀態(tài)構(gòu)成能控子空間，其余為不能控子空間。如果一個(gè)系統(tǒng)是不完全能觀的，那么其狀態(tài)空間中所有能觀狀態(tài)構(gòu)成能觀子空間，其余為不能觀子空間。

但是在一般形式下，這些子空間并沒有明顯的區(qū)分，因此需要采取一些方法，將這些能控/能觀子空間分解出來。分解出來的目的是：1〕進(jìn)一步揭示系統(tǒng)的本質(zhì)特征；2〕為系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

二.方法通過非奇異變換即坐標(biāo)變換，將系統(tǒng)的狀態(tài)空間按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。具體來說⑴就是將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式分解為一局部狀態(tài)與輸入〔控制〕有關(guān)的局部，另一局部狀態(tài)那么在形式上就與輸入〔控制〕無關(guān)的局部。

顯然那些與輸入〔控制〕無關(guān)的狀態(tài)是不可控的，這些狀態(tài)構(gòu)成了不可控子空間。而與輸入〔控制〕有關(guān)的狀態(tài)是可控的，這些狀態(tài)構(gòu)成了可控子空間。上述方法稱為按能控性分解，顯然主要是對(duì)A和B進(jìn)行變換。⑵.另一種，那么是按能觀性分解，其方法是類似的。即將狀態(tài)空間表達(dá)式中的狀態(tài)分解為：一局部狀態(tài)與輸出有關(guān)，另一局部狀態(tài)那么與輸出是無關(guān)的。顯然這主要是通過對(duì)C的變換來到達(dá)。⑶.第三種方法是按能控性和能觀性進(jìn)行分解顯然如果系統(tǒng)不可控也不可觀，那么需要同時(shí)進(jìn)行可控和可觀性分解。A,B,C三.按可控性分解設(shè)定常系統(tǒng)

是狀態(tài)不完全能控，其能控性判別陣：的秩那么存在非奇異變換：〔3－2〕將狀態(tài)空間表達(dá)式3－1，變換為：〔3－3〕其中可以看出，狀態(tài)空間表達(dá)式變換為式3－3后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間就被分解成能控和不能控的局部，其中維子空間：是能控的，而維子系統(tǒng)：是不能控的.而對(duì)于非奇異變換陣：其中個(gè)列矢量可以按如下方法構(gòu)成：①前個(gè)列矢量是可控判別矩陣M中的個(gè)線性無關(guān)的列；②另外個(gè)列向量在確保為非奇異下，完全是任意的。結(jié)構(gòu)圖分解例：設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判別其能控性，假設(shè)不是完全能控，試將該系統(tǒng)進(jìn)行可控性分解。解：系統(tǒng)的可控性判別陣為：按列作秩判斷，那么得到：故為不可控.那么按M變換后的最后一個(gè)矩陣即檢查，故滿秩。那么那么能控子系統(tǒng)為：不能控子系統(tǒng)為：四、按可觀性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)：(4-1)其狀態(tài)不完全能觀，其可觀性判別陣的秩那么存在非奇異變換，將狀態(tài)空間表達(dá)式4－1，變換為其中可見，經(jīng)上述變換后系統(tǒng)分解為能觀的維子系統(tǒng)，和不能觀的維子系統(tǒng)假設(shè)不考慮維子系統(tǒng)，