2024年普通高考數(shù)學科一輪復習學案第14講直線、圓位置關系教學研究

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2023年一般高考數(shù)學科一輪復習精品學案

第14講直線、圓的位置關系

一．課標要求：

1．能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標；

2．探究并把握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離；3．能依據(jù)給定直線、圓的方程，推斷直線與圓、圓與圓的位置關系；4．能用直線和圓的方程解決一些簡潔的問題；

5．在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。

二．命題走向

本講考察重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題、直線與圓的位置關系（特殊是弦長問題），此類問題難度屬于中等，一般以選擇題的形式消失，有時在解析幾何中也會消失大題，多考察其幾何圖形的性質(zhì)或方程學問。

猜測2023年對本講的考察是：

（1）一個選擇題或一個填空題，解答題多與其它學問聯(lián)合考察；

（2）熱點問題是直線的位置關系、借助數(shù)形結合的思想處理直線與圓的位置關系，注意此種思想方法的考察也會是一個命題的方向；

（3）本講的內(nèi)容考察了同學的理解力量、規(guī)律思維力量、運算力量。

三．要點精講

1．直線l1與直線l2的的平行與垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2k1=k2；②l1l2k1k2=－1。（2）若l1:A1xB1yC10,若A1、A2、B1、B2都不為零。

①l1//l2

A1A2

B1B2

C1C2

l2:A2xB2yC20

；

②l1l2A1A2+B1B2=0；③l1與l2相交

A1A2A1A2

B1B2B1B2

C1C2

；

④l1與l2重合

；

留意：若A2或B2中含有字母，應留意爭論字母=0與0的狀況。兩條直線的交點:兩條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)。2．距離

（1）兩點間距離：若A(x1,y1),B(x2,y2)，則AB

(x2x1)(y2y1)

2

2

特殊地：AB//x軸，則AB|x1x2|、AB//y軸，則AB|y1y2|。

（2）平行線間距離：若l1:AxByC10,l2:AxByC20，

則：d

C1C2AB

2

2

。留意點：x，y對應項系數(shù)應相等。

（3）點到直線的距離：P(x,y),l:AxByC0，則P到l的距離為：Ax

d

By

2

C

2

AB

3．直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系有三種

AaBbCAB

2

2

（1）若d，dr相離0；

（2）dr相切0；（3）dr相交0。

AxByC0

還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組2求解，通過解2

xyDxEyF0

的個數(shù)來推斷：

（1）當方程組有2個公共解時（直線與圓有2個交點），直線與圓相交；（2）當方程組有且只有1個公共解時（直線與圓只有1個交點），直線與圓相切；（3）當方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點），直線與圓相離；

即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設它的判別式為Δ，圓心C到直線l的距離為d,則直線與圓的位置關系滿意以下關系：

相切d=rΔ＝0；相交drΔ0；相離drΔ0。4．兩圓位置關系的判定方法

設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2d。dr1r2外離4條公切線；dr1r2外切3條公切線；

r1r2dr1r2相交2條公切線

；

dr1r2內(nèi)切1條公切線；0dr1r2內(nèi)含無公切線；

外離外切

相交內(nèi)切內(nèi)含

推斷兩個圓的位置關系也可以通過聯(lián)立方程組推斷公共解的個數(shù)來解決。

四．典例解析

題型1：直線間的位置關系

例1．（1）若三點A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab0)共線，則,于。

（2）已知兩條直線l1:ax3y30,l2:4x6y10.若l1//l2，則a____。解析：（1）答案：

12

1a1b

的值等

；（2）2。

點評：（1）三點共線問題借助斜率來解決，只需保證kABkAC；（2）對直線平行關系的推斷在一般式方程中留意系數(shù)為零的狀況。

例2．（1）已知兩條直線yax2和y(a2)x1相互垂直，則a等于（）A．2B．1C．0D．1

（2）若曲線yx的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為A．4xy30B．x4y50C．4xy30D．x4y30解析：（1）答案為D；（2）與直線x4y80垂直的直線l為4xym0，即yx

3

4

4

4

在某一點的導數(shù)為4，而y4x，所以yx在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為

4xy30，故選A。

點評：直線間的垂直關系要充分利用好斜率互為負倒數(shù)的關系，同時兼顧到斜率為零和

不存在兩種狀況。

題型2：距離問題

例3．到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是A．x－y=0B．x+y=0C．|x|－y=0D．|x|－|y|=0解析：設到坐標軸距離相等的點為（x，y）∴|x|＝|y|∴|x|－|y|＝0。答案：D

點評：本題較好地考查了考生的數(shù)學素養(yǎng)，尤其是考查了思維的靈敏性與清楚的頭腦，通過不等式解等學問探究解題途徑

例4．已知點P到兩個定點M（－1，0）、N（1，0）距離的比為的距離為1．求直線PN的方程。

解析：設點P的坐標為（x，y），由題設有

2，點N到直線PM

|PM||PN|

2，

即

(x1)y

22

2(x1)y。

22

整理得x2+y2－6x+1=0①

由于點N到PM的距離為1，|MＮ|＝2，所以∠PMN＝30，直線PM的斜率為33

，

直線PM的方程為y33

（x＋1）②

將②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0。解得x＝2＋3，x＝2－3。

代入②式得點P的坐標為（2＋3，1＋3）或（2－－3）或（2－3，1－3）。

直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1。

點評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關學問，充分體現(xiàn)了“注意學科學問的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設計新奇脫俗，能較好地考查考生綜合運用數(shù)學學問解決問題的力量.比較深刻地考查了解析法的原理和應用，以及分類爭論的思想、方程的思想。該題對思維的目的性、規(guī)律性、周密性、敏捷性都進行了不同程度的考查.對運算、化簡力量要求也較高，有較好的區(qū)分度。題型3：直線與圓的位置關系

例5．（1）直線xy1與圓xy2ay0(a0)沒有公共點，則a的取值范圍是

A

．1)B

．1)C

．(1,1)D

．1)（2）圓(x1)2(y3)21的切線方程中有一個是（）

2

2

3，－1＋3）；（2＋3，－1

A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x＝0D．y＝0

解析：（1）解析：由圓x2y22ay0(a0)的圓心(0,a)到直線xy1大于a，且a0，選A。

點評：該題考察了直線與圓位置關系的判定。

（2）直線ax+by

=0與(x1)2(y

1相切

2

1，由排解法，

選C，本題也可數(shù)形結合，畫出他們的圖象自然會選C,用圖象法解最省事。

點評：本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑。直線與圓相切可以有兩種方式轉化(1)幾何條件：圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件：直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉化成判別式等于零來解。例6．已知圓M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1，直線l：y＝kx，下面四個命題：（A）對任意實數(shù)k與，直線l和圓M相切；

（B）對任意實數(shù)k與，直線l和圓M有公共點；

（C）對任意實數(shù)，必存在實數(shù)k，使得直線l與和圓M相切；（D）對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)，使得直線l與和圓M相切。其中真命題的是______________（寫出全部真命題的）

解析：圓心坐標為（－cos，sin）d＝

－－＝|sin（＋）|1

故選（B）（D）

點評：該題復合了三角參數(shù)的形式，考察了分類爭論的思想。題型4：直線與圓綜合問題

22

例7．直線3x+y－23=0截圓x＋y＝4得的劣弧所對的圓心角為

A．

6

B．

4

C．

3

D．

2

解析：如圖所示：

3xy230由

22xy4

消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。

∴A（2，0），B（1，3）∴|AB|=(21)(0又|OB|＝|OA|=2，

2

3)=2

2

∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=

3

，故選C。

點評：本題考查直線與圓相交的基本學問，及正三角形的性質(zhì)以及規(guī)律思維力量和數(shù)形結合思想，同時也體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的簡捷性。假如留意到直線AB的傾斜角為120，則等腰△OAB的底角為60.因此∠AOB=60.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義。

例8．過點（1，）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝。

解析：過點

(1,

的直線l將圓(x2)y4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最

2

22

小時，直線l

的斜率

k

解析(數(shù)形結合)由圖形可知點

A在圓

(x2)y4

22

的內(nèi)部,圓心為O(2,0)要使得

2

劣弧所對的圓心角最小,只能是直線l

OA，所以

kl

1kOA

。

點評：本題主要考察數(shù)形結合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關系，難度中等。題型5：對稱問題

例9．一束光線l自A（－3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到⊙C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上。(Ⅰ)求反射線通過圓心C時，光線l的方程；(Ⅱ)求在x軸上，反射點M的范圍．

解法一：已知圓的標準方程是

(x－2)2+(y－2)2=1，它關于x軸的對稱圓的方程是(x－2)2+(y+2)2=1。設光線L所在的直線的方程是y－3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題設知對稱圓的圓心C′（2，-2）到這條直線的距離等于1，即d=

|5k5|k

2

=1。整理得12k+25k+12=0，解得k=－

43

2

34

或k=－

43

。故所

求直線方程是y－3=－

43

(x+3)，或y－3=－(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。

解法二：已知圓的標準方程是(x－2)+(y－2)=1，設交線L所在的直線的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題意知k≠0，于是L的反射點的坐標是（－

3(1k)k

3(1k)

k

22

，0），)，即

由于光線的入射角等于反射角，所以反射光線L′所在直線的方程為y=－k(x+

y+kx+3(1+k)=0。這條直線應與已知圓相切，故圓心到直線的距離為1，即d=以下同解法一。

|5k5|1k

2

=1。

點評：圓復合直線的對稱問題，解題思路兼顧到直線對稱性問題，重點關注對稱圓的幾何要素，特殊是圓心坐標和圓的半徑。

例10．已知函數(shù)f(x)=x－1(x≥1)的圖像為C1，曲線C2與C1關于直線y=x對稱。（1）求曲線C2的方程y=g(x)；

（2）設函數(shù)y=g(x)的定義域為M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求證|g(x1)－g(x2)||x1－x2|;（3）設A、B為曲線C2上任意不同兩點，證明直線AB與直線y=x必相交。解析：（1）曲線C1和C2關于直線y=x對稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù)?！遹=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=y1，則曲線C2的方程為g(x)=（2）設x1，x2∈M，且x1≠x2，則x1－x2≠0。又x1≥0，x2≥0，∴|g(x1)－g(x2)|=|

x11－x21|=

x1x2x11

x21

x1(x≥0)。

2

≤

x1x2

2

|x1－x2|。

（3）設A(x1，y1)、B（x2，y2）為曲線C2上任意不同兩點，x1，x2∈M，且x1≠x2，由（2）知，|kAB|=|

y1y2x1x2

|=

|g(x1)g(x2)|

|x1x2|

1

∴直線AB的斜率|kAB|≠1，又直線y=x的斜率為1，∴直線AB與直線y=x必相交。點評：曲線對稱問題應從方程與曲線的對應關系入手來處理，最終轉化為點的坐標之間的對應關系。

題型6：軌跡問題

例11．已知動圓過定點

x

p2

p

,0，且與直線2

相切，其中p0。

x（I）求動圓圓心C的軌跡的方程；

（II）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為和，當,變化

且為定值(0)時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標。

p

,0為記為F，過點M作直線x的垂

22

解析：（I）如圖，設M為動圓圓心，

p

線，垂足為N，由題意知：MFMN即動點M到定點F與定直線x

p

p2

的距離相等，

由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，其中F軌跡方程為y22px(P0)；

p

,0為焦點，x為準線，所以

22

（II）如圖，設Ax1,y1,Bx2,y2，由題意得x1x2（否則）且x1,x20所以直線AB的斜率存在，設其方程為ykxb，明顯x1

y2px(P0)聯(lián)立消去xy1y2

2pk

,y1y2

2pbk

2

y1

2

2p

,x2

y2

2

2p

，將ykxb與

，得k2y2

py2由p0b韋達定理知

①

2

（1）當

2

時，即時，tantan1所以

y1x1

y2x2

1,x1x2y1y20，

y1y24p

2

22

知：y1y20所以y1y24p由①

2

2pbk

4p所以。因此直線AB的方程可表示為

2

ykx2Pk，即k(x2P)y0，所以直線AB恒過定點2p,0。

（2）當

2

時，由，

tantan1tantan

2p(y1y2)y1y24p

2

得tantan()==，

將①式代入上式整理化簡可得：tan

2pb2pk

2p

，所以b

2ptan

2pk，

此時，直線AB的方程可表示為ykx

2p

2pk即k(x2p)y0，tantan

所以直線AB恒過定點2p,

2p

。tan

所以由（1）（2）知，當

2p

。tan

2

時，直線AB恒過定點2p,0，當

2

時直線AB恒

過定點2p,

點評：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。

例12．如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O24.過動點P分別作圓O2、圓O2的切線PM，PN（M，N分別為切點）

，使得PM.試建立適當?shù)淖鴺讼?，并求動點P的軌跡方程。

解析：以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則

O1(2，0)，O2(2，0)。

由已知PM，得PM22PN2。

由于兩圓半徑均為1，所以PO1212(PO221)。

2222

設P(x，y)，則(x2)y12[(x2)y1]，

即(x6)2y233(或x2y212x30)。

點評：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運算力量。題型7：課標創(chuàng)新題

例13．已知實數(shù)x、y滿意(x2)2(y1)21，求z

解析：

2

y1x

的最大值與最小值。

y1x

2

表示過點A（0，－1）和圓

(x2)(y1)1上的動點（x，y）的直線的斜率。如下圖，當且僅當直線與圓相切時，直線的斜率分別取得最大值和最小值。

設切線方程為ykx1，即kxy10，則|2k2|k

2

1，解得k

437

7

。

1

43

因此，zmax，zmin

43

7

點評：直線學問是解析幾何的基礎學問，敏捷運用直線學問解題具有構思奇妙、直觀性強等特點，對啟迪思維大有裨益。下面舉例說明其在最值問題中的奇妙運用。

例14．設雙曲線xy1的兩支分別為C1、C2，正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。若P1，1在C2上，Q、R在C1上，求頂點Q、R的坐標。

分析：正三角形PQR中，有P，則以PPQ1，1PR為半

徑的圓與雙曲線交于R、Q兩點。依據(jù)兩曲線方程可求出交點Q、R坐標。

2

解析：設以P為圓心，PRr(r0)為半徑的圓的方程為：x1y1r，

2

2

22

x1y1r222

1r1x10由得：x。

xy1

（其中，可令

tx

1x

進行換元解之）

2x1x2r11設Q、R兩點的坐標分別為x，則。，y，x，y1122

x1x21

yy114同理可得：，且由于△PQRr

xxxx4xxr114即，121212

2

2

2

2

1

2

2

2

2

是正三角形，則

，

2

2

即r，得r224。xxyyr1141212

2

2

2

1r1x10代入方程x，即x。4x10

2

2

2

x24x10x12由方程組，得：

xy1y12

3

x22

或3y223，2

33

，

所以，所求Q、R的坐標分別為2

3，2

3，23

點評：圓是最簡潔的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學分支中都有廣泛的應用。對一些數(shù)學問題，若能作一個幫助圓，可以溝通題設與結論之間的關系，從而使問題得解，起到

鋪路搭橋的作用。

五．思維總結

1．關于直線對稱問題：

（1）關于l：Ax＋By＋C＝0對稱問題：不論點，直線與曲線關于l對稱問題總可

以轉化為點關于l對稱問題，由于對稱是由平分與垂直兩部分組成，如求P（x0，y0）關于l：Ax＋By＋C＝0對稱點Q（x1，y1）．有＋C＝0。

（2）解出x1與y1；若求C1：曲線f（x，y）＝0（包括直線）關于l：Ax＋By＋C1＝0對稱的曲線C2，由上面的（1）、（2）中求出x0＝g1（x1，y1）與y0＝g2（x1，y1），然后代入C1：f[g1（x1，y1），g2（x2，y2）]＝0，就得到關于l對稱的曲線C2方程：f[g1（x，y），g2（x，y）]＝0。

（3）若l：Ax＋By＋C＝0中的x，y項系數(shù)|A|＝1，|B|＝1．就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線C1：y＝4x－2關于l：x－y－4＝0對稱的曲線l2的方程為：(x－4)2＝4（y＋4）－2．即y用x－4代，x用y＋4代，這樣就比較簡潔了。

（4）解有關入射光線與反射光線問題就可以用對稱問題來解決。點與圓位置關系：P（x0，y0）和圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2。①點P在圓C外有(x0－a)＋(y0－b)＞r；②點P在圓上：(x0－a)＋(y0－b)＝r；③點P在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。

3．直線與圓的位置關系：l：f1（x，y）＝0．圓C：f2（x，y）＝0消y得F（x2）＝0。

（1）直線與圓相交：F（x，y）＝0中＞0；或圓心到直線距離d＜r。直線與圓相交的