高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（45）第七章 立體幾何 第四講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案45]第四講直線、平面平行的判定與性質(zhì)A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2020·河南省開封市模擬)已知直線m，n和平面α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的(D)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]n?α，m∥n，當m?α?xí)r，m∥α，m∥α，n?α?m∥n或m、n異面即m∥n，故“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要條件．2．(2020·遼寧沈陽東北育才學(xué)校模擬)在空間中，下列命題中為真命題的是(D)A．垂直于同一直線的兩條直線平行B．平行于同一平面的兩條直線平行C．垂直于同一平面的兩個平面平行D．平行于同一平面的兩個平面平行3．(2019·陜西西安模擬)在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點，且AE︰EB＝AF︰FD＝1︰4，H，G分別是BC，CD的中點，則(B)A．BD∥平面EFG，且四邊形EFGH是平行四邊形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是梯形[解析]如圖，由條件知EF∥BD，EF＝eq\f(1,5)BD，HG∥BD，HG＝eq\f(1,2)BD，∴EF∥HG且EF＝eq\f(2,5)HG，∴四邊形EFGH為梯形，∵EF∥BD，EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF∥平面BCD.故選B.4．(2019·青島二模)已知m，n是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個不重合的平面，則α∥β的一個充分條件是(D)A．m∥α，m∥βB．α⊥γ，β⊥γC．m?α，n?β，m∥nD．m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α[解析]A中，α，β可能相交，故錯誤；B不正確，如正方體中過同一個頂點的三個平面的關(guān)系；C中α，β可能相交，故錯誤；根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理及平面與平面平行的判定定理可知D正確．5．(2019·山東泰安期末)有兩條不同的直線m，n與兩個不同的平面α，β，下列命題正確的是(A)A．m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥nC．m∥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥nD．m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥n[解析]對于A，由m⊥α，n∥β，且α∥β得m⊥n，故正確；對于B，由m⊥α，n⊥β，α⊥β得m⊥n，故錯誤；對于C，由m∥α，n⊥β，且α⊥β得m∥n或m，n相交或異面，故錯誤；對于D，由m∥α，n∥β，且α∥β得m，n的關(guān)系可以是相交或平行或異面，故錯誤．故選A.6．若P為異面直線a，b外一點，則過P且與a，b均平行的平面(B)A．不存在 B．零個或一個C．可以有兩個 D．有無數(shù)多個[解析]記a與P所確定的平面為α，當b∥α?xí)r，與a，b均平行的平面不存在，當b不平行α?xí)r，與a，b均平行的平面有一個，故選B.7．(2019·衡水中學(xué)調(diào)研卷)如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F(xiàn)為PC上—點，當PA∥平面EBF時，eq\f(PF,FC)＝(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析]連接AC交BE于點G，連接FG，因為PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).因為AD∥BC，AD＝BC，E為AD的中點，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).8．(2017·課標全國Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(A)[解析]B選項中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；C選項中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；D選項中，AB∥NQ，且AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ.故選A.二、多選題9．已知平面α∥β，點A，C∈α，B，D∈β，直線AB與直線CD交于點S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，則CS的長可能為(AC)A．16 B．18C．272 D．252[解析]本題主要考查兩平面平行的性質(zhì)定理．①當點S在兩平行平面之間時，如圖1所示，∵直線AB與直線CD交于點S，直線AB與直線CD可確定一個平面γ，且α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD，∴eq\f(AS,AB)＝eq\f(CS,CD)，即eq\f(AS,AS＋BS)＝eq\f(CS,CD)，得eq\f(CS,34)＝eq\f(8,17)，解得CS＝16.②當點S在兩平行平面的同側(cè)時，如圖2所示，由①知AC∥BD，則有eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,DS)，即eq\f(8,9)＝eq\f(CS,CS＋34)，解得CS＝272.故選AC.10．(2020·山東樂陵一中模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列直線或平面與平面ACD1A．直線A1B B．直線BB1C．平面A1DC1 D．平面A1BC1[解析]如圖，A1B∥D1C，又A1B?平面ACD1∴A1B∥平面ACD1，A正確；BB1與平面ACD1相交，B錯誤；DC1與CD1相交，∴平面ACD1與平面A1DC1相交，C錯誤；∵A1C1∥AC，A1C1?平成ACD∴A1C1∥平面ACD1，又A1B∩A1C1＝∴平面ACD1∥平面ABC1，D正確；故選AD.11．(2020·安徽安慶模擬改編)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、Q分別是棱D1C1，A1D1、BC的中點，點P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1.則下列四個說法中正確的是(BC)A．MN∥平面APC B．C1Q∥平面APCC．A、P、M三點共線 D．平面MNQ∥平面APC[解析]A．連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM、CN，易得AM、CN交于點P，即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是錯誤的；B．由A知M、N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正確的；C．由A知，A，P，M三點共線是正確的；D．由A知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的．故選B、C.三、填空題12．(2019·桂林二模)已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，給出下列四個命題：①a∥b，b∥c?a∥c；②a∥α，b∥α?a∥b；③a∥α，β∥α?a∥β；④a?α，b?α，a∥b?a∥α.其中正確的命題是__①④__.(寫出所有正確命題的序號)[解析]根據(jù)線線平行的傳遞性，可知①正確；若a∥α，b∥α，則a，b可能平行、相交、異面，故②不正確；若a∥α，β∥α，則a∥β或a?β，故③不正確；由線面平行的判定定理可知④正確．故正確的命題是①④.13.如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件__點M在線段FH上(或點M與點H重合)__時，就有MN∥平面B1BDD1[解析]連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.四、解答題14．如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點．證明：EF∥平面PAB.[解析]證明：如圖，取PB的中點M，連接MF，AM.因為F為PC的中點，故MF∥BC且MF＝eq\f(1,2)BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD.因為E為AD的中點，即AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC，所以MF∥AE且MF＝AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF∥AM.又AM?平面PAB，而EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.注：本題也可取BC的中點H，通過證平面EFH∥平面PAB得結(jié)論；也可連CE并延長交BA的延長線于H，證EF∥PH即可．15．(2020·四省八校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，點M在線段PC上，PD＝BD＝BC＝eq\r(3)，N是線段PB的中點，且三棱錐M－BCD的體積是四棱錐P－ABCD的體積的eq\f(1,6).(1)若H是PM的中點，證明：平面ANH∥平面BDM；(2)若PD⊥平面ABCD，求點D到平面BCM的距離．[解析](1)證明：連接AC交BD于點O，連接OM，由題可知：由VM－DCD＝eq\f(1,6)VP－ABCD可知：MC＝eq\f(1,3)PC，則MC＝eq\f(1,2)HC，所以O(shè)M∥AH，且NH∥BM，且AH∩NH＝H，所以平面ANH∥平面MDB.(2)由題可知，M到平面BCD的距離為eq\f(\r(3),3)，VM－BCD＝eq\f(1,4)，在Rt△PDC中，PD＝CD＝eq\r(3)，∴PC＝eq\r(6)，在△PBC中，由余弦定理可知：cos∠PCB＝eq\f(\r(2),4)，sin∠PCB＝eq\f(\r(14),4)，在△BCM中，CM＝eq\f(\r(6),3)，BC＝eq\r(3)，設(shè)點D到平面BCM的距離為h，則VM－DCD＝VD－DCM＝eq\f(1,4)?h＝eq\f(3\r(7),7)，所以點D到平面BCM的距離為eq\f(3\r(7),7).16．(2019·合肥質(zhì)檢)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點．(1)求證：平面BDM∥平面EFC；(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱錐A－CEF的體積．[解析](1)證明：如圖，連AC，設(shè)AC與BD交于點N，則N為AC的中點，連接MN，又M為棱AE的中點，∴MN∥EC.∵MN?平面EFC，EC?平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF∥DE且BF＝DF，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴BD∥EF.∵BD?平面EFC，EF?平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，MN，BD?平面BDM，∴平面BDM∥平面EFC.(2)連接EN，F(xiàn)N.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.又BF∩BD＝B，BF，BD?平面BDEF，∴AC⊥平面BDFF，又N是AC的中點，∴V三棱錐A－NEF＝V三棱錐C－NEF，∴V三棱錐A－CEF＝2V三棱錐A－NEF＝2×eq\f(1,3)×AN×S△NEF＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\f(2,3)，∴三棱錐A－CEF的體積為eq\f(2,3).B組能力提升1．(2019·安徽滁州期末)已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法中正確的是(B)A．若m?α，n?β，α∥β，則m∥nB．若m?α，α∥β，則m∥βC．若n⊥β，α⊥β，則n∥αD．若m?α，n?β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，則α⊥β2．(2019·甘肅蘭州診斷)已知直線m，n和平面α，則m∥n的一個必要條件是(D)A．m∥α，n∥α B．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n?α D．m，n與平面α成等角[解析]A中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不一定在平面內(nèi)，必要性不成立；D中，m，n平行，則m，n與α成的角一定相等，但反之如果兩直線m，n與α成的角相等則不一定平行，所以是必要不充分條件，故選D.3．(多選題)(2020·宜昌調(diào)研)如圖，在棱長均相等的四棱錐P－ABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點，則下列結(jié)論正確的是(ABC)A．PC∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥PAD．直線PD與MN所成角的大小為90°[解析]如圖，連接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，結(jié)論A正確．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，結(jié)論B正確．由于四棱錐的棱長均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以O(shè)M⊥PA，結(jié)論C正確．由于M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點，所以MN∥AB，又四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD，又三角形PDC為等邊三角形，所以∠PDC＝60°，所以直線PD與MN所成的角即∠PDC，故D錯誤．故正確的結(jié)論為A、B、C.4.(2019·江西吉安一模)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面αA．eq\r(2) B．eq\f(9,8)C.eq\r(3) D．eq\f(\r(6),2)[解析]如圖1，取B1C1的中點E，C1D1的中點F，連接EF，BE，DF，B1D1，則EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面內(nèi)，連接ME，因為M，E分別為A1D1，B1C1的中點，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四邊形所以AM∥BE，又因為BE?平面BDFE，AM?平面BDFE.所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因為AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，所以平面BDFE為平面α，BD＝eq\r(2)，EF＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\f(\r(2),2)，DF＝BE＝eq\f(\r(5),2)，等腰梯形BDFE如圖2，過E，F(xiàn)作BD的垂線，則四邊形EFGH為矩形，∴FG＝eq\r(DF2－DG2)＝eq\r(\f(5,4)－\f(1,8))＝eq\f(3\r(2),4)，故所得截面的面積為eq\f(1,2)×(eq\f(\r(2),2)＋eq\r(2))×e