2.1幾何證明概述

第二章幾何證明

本章研究的主要內(nèi)容：

一、幾何證明及其方法二、幾類(lèi)常見(jiàn)幾何問(wèn)題的證明三、幾個(gè)著名的幾何定理精選ppt§2.1幾何證明概述2.2.1命題及其結(jié)構(gòu)1、命題的四種形式〔變化〕★命題的構(gòu)成前提〔題設(shè)〕……結(jié)論……命題可分為真命題與假命題★數(shù)學(xué)命題的一般形式〔假言命題〕假設(shè)P，那么Q.或符號(hào)“〞表示推出.精選ppt命題的換質(zhì)——否命題★命題的換位★命題的四種形式——逆命題原命題：假設(shè)P,那么Q.逆命題：假設(shè)P,那么Q.逆否命題：假設(shè)P,那么Q.否命題：假設(shè)P,那么Q.(互逆)(互逆)互否互否互逆否精選ppt命題的四種形式的真假關(guān)系：互為逆否的命題同真假2、逆命題與逆定理★逆命題就是逆定理嗎？★一個(gè)定理的逆定理是唯一的嗎？.如“等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中垂線〞此命題有5個(gè)逆定理.精選ppt①②③④精選ppt⑤BADC精選ppt3、充分條件、必要條件與充要條件分析如下命題：

(1)平行四邊形對(duì)角線互相平分.(2)菱形對(duì)角線互相垂直.4、證明的意義★證明的含義和作用★證明的組成①論題——即要證明的問(wèn)題②論據(jù)——即為真的命題③論證——即一系列的推理精選ppt5、證明要嚴(yán)謹(jǐn)證明中常見(jiàn)的錯(cuò)誤有：論題錯(cuò)誤、論據(jù)缺乏、論證不充分等判斷一個(gè)命題不成立，通常是找反例.例1有一組對(duì)邊相等和一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形ADBC題設(shè)：四邊形ABCD中,AD=BC,∠A=∠C.求證：ABCD是平行四邊形.精選pptAFDEBC證明：如圖做輔助線(證明略)思考：以上證明有問(wèn)題嗎？問(wèn)題出在哪里？能舉出反例嗎？●EADBC●●如右以下圖所示，作等腰三角形DAE，在AB邊上任取一點(diǎn)B，作等腰梯形BEDC.得四邊形ABCD.顯然四邊形ABCD符合題目條件，但ABCD非平行四邊形.精選ppt例2設(shè)兩個(gè)三角形有兩邊及外接圓半徑成比例，那么必相似.(前蘇聯(lián)中學(xué)教材中定理)ABCMNO證法一：在如圖兩三角形中有(O,

是外心)那么同理可證：故精選ppt證法二：如圖，那么因表圓半徑)可見(jiàn)從而[證畢]思考：以上證明一定成立嗎？可考慮的特例，即得：“同園內(nèi)接兩三角形，假設(shè)有兩邊分別相等，那么必全等〞這顯然不成立！(如下頁(yè)圖)精選ppt例3一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊的高，同另一三角形的兩邊和其中一邊的高對(duì)應(yīng)相等，那么此兩個(gè)三角形全等.(這曾經(jīng)是我國(guó)初中課本上的一道習(xí)題)證題思路如以下圖：精選ppt作業(yè)：1．例3中的結(jié)論成立嗎？如不成立試舉出反例.2.寫(xiě)出命題“兩直線夾角的平分線上一點(diǎn)距此兩邊等遠(yuǎn)〞的逆命題、否命題及逆否命題，并證明其逆命題.3.證明：圓外切四邊形的一雙對(duì)邊之和等于另一雙對(duì)邊之和.表達(dá)并證明其逆定理.3題逆定理證明提示：(用反證法或同一法)精選ppt2.1.2直接證法與間接證法

1.直接證法與間接證法的意義⑴直接證法這種由原題入手的證明方法叫直接證法.⑵間接證法將一個(gè)命題改為它的等效命題來(lái)進(jìn)行證明，這樣的證明方法叫間接正法.精選ppt①反證法反證法就是證明一個(gè)命題時(shí)，直接證明不容易，而證明其逆否命題成的一種方法.運(yùn)用反證法證明的一般步驟是：Ⅰ否認(rèn)結(jié)論；Ⅱ由此結(jié)合推出矛盾；Ⅲ因此原結(jié)論不能為假，只能為真。精選ppt反證法的類(lèi)型：歸謬法——結(jié)論的反面只有一款。窮舉法——結(jié)論的反面有假設(shè)干款。應(yīng)用舉例：例4園內(nèi)不是直徑的兩弦，不能平分。：求證：證明：〔用歸謬法證〕精選ppt例5直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。：求證：證明：〔用窮舉法〕精選ppt②同一法

當(dāng)欲證某圖形具有某種性質(zhì)而又不易直接證明時(shí)，有時(shí)候可以作出具有所示性質(zhì)的圖形，然后證明所作圖形就是同一個(gè)，把它們等同起來(lái)。這種證法叫做同一法。能用同一法證明的命題，實(shí)際上是依據(jù)事實(shí)：具有所示性質(zhì)的圖形是唯一的。例5以正方形ABCD的一邊CD為底向形內(nèi)作等腰三角形ECD使其兩底角為，那么是等邊三角形。精選ppt證明方法直接證法間接正法反證法同一法歸謬法窮舉法〔3〕證明方法分類(lèi)證明：〔同一法〕精選ppt作業(yè)：1.兩圓相交，那么其交點(diǎn)不能在連心線的同側(cè).2.假設(shè)與有公共底邊，且，那么點(diǎn)在外部.3.設(shè)梯形兩腰之和等于一腰，那么此腰兩鄰角的平分線必通過(guò)另一腰的中點(diǎn).4.以正方形一邊為底在正方形所在的一側(cè)作等腰三角形，使其頂角為，那么將其頂點(diǎn)與正方形另兩頂點(diǎn)連接，必構(gòu)成正三角形.精選ppt2.1.3分析法與綜合法1.分析法

——執(zhí)果索因DCBA…………(因)(果)向下找結(jié)論的充分條件精選ppt例6外接于，那么它們的對(duì)角線共點(diǎn)。證法一：〔用分析法證〕欲證它們對(duì)角線共點(diǎn).只需證AC與EG互相平分.即只需證AECG是平行四邊形.又只需證AE=CG.又只需證，而此容易得證.精選ppt例7為的中線上任一點(diǎn)，且，求證：證明：(用分析法)欲證①只需證②(注意到與)只需證，③只需證，④④式顯然成立.精選ppt⑴選擇性分析法選擇性分析法解題，就是從要求解的結(jié)論B出發(fā)，希望能一步步把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，但又難以逆推轉(zhuǎn)化，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為分析要及到結(jié)論B需要什么樣〔充分〕的條件，并為此在探求的“三岔口〞作方向猜測(cè)和方向擇優(yōu)。假設(shè)有條件C就有結(jié)論B，即C就是選擇找到的使B成立的充分條件〔CB〕；同樣的，再分析在什么樣的條件下能選擇及到C，即DC；…；最終追溯到此結(jié)論成立或命題的某一充分條件〔或充分條件組〕恰好是條件或結(jié)論A為止。在運(yùn)用選擇性分析法解題時(shí)，常使用短語(yǔ)：“只需···即可〞來(lái)刻劃。精選ppt例8如圖，四邊形的一條對(duì)角線平行于兩對(duì)對(duì)邊之交點(diǎn)的連線，求證：平分.(1978年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)BMCNDEFA分析：欲證的是線段等量關(guān)系，可試運(yùn)用比例線段轉(zhuǎn)化來(lái)探討，但又不易直接證〔假設(shè)作輔助線證又另當(dāng)別論〕，從而運(yùn)用分析法來(lái)求解.證明：設(shè)AC交BD于M，交EF于N，那么.精選pptBMCNDEFA要證BM=MD,作方向猜測(cè)，只需證NE=NF或即可.事實(shí)上這不容易證，于是再作方向猜測(cè)，欲證BM=MD，只需證或即可.而,從而只需證即可.又只需證即可.精選ppt而,故欲證結(jié)論獲證.精選ppt⑵可逆性分析法如果在從結(jié)論向條件追溯的過(guò)程中，每一步都推求的充分必要條件，那么這種分析法又可叫可逆分析法。因而用可逆分析法命題用選擇性分析法一定能證明；反之，用選擇性分析法證明的命題，用可逆性分析法不一定能證明。在可逆性分析法的證明中，常用符號(hào)“〞來(lái)表示，或最后指出“上述每步可逆，故命題成立〞。精選ppt例9凸四邊形的四邊長(zhǎng)分別為，兩對(duì)角線長(zhǎng)為，那么四邊形的面積為：證明：欲證①，那么需證①注意到計(jì)算四邊形的另一形式的面積公式(由三角形面積公式推導(dǎo)而來(lái))，兩對(duì)角線夾角為時(shí)，，那么需證精選ppt即那么需證再注意到余弦定理，如圖有精選ppt那么上述步驟每步均可逆，故原結(jié)論獲證.注：此例結(jié)論成為布瑞須賴(lài)爾德(Bretschneider，1808~1878)公式.精選ppt⑶構(gòu)作性分析法如果在從結(jié)論向條件追溯過(guò)程中，在尋找新的充分條件的轉(zhuǎn)化“三岔口〞處，需采取相應(yīng)的構(gòu)作性措施：如假設(shè)一些條件，作某些輔助圖或式等，再進(jìn)行探索、推導(dǎo)，才能追溯到原命題的條件〔或稍作變形處理〕的分析法叫做構(gòu)作性分析法。精選ppt例10如圖，是的中線，任意引直線交于，交于.求證：.分析：注意到題中有中點(diǎn)，而求證式是一個(gè)比較特殊的比例式.需要轉(zhuǎn)化來(lái)求解.證法一：欲證，只需證即可.假設(shè)延長(zhǎng)AD至H，使，那么只需證EF∥BH.精選ppt而由題設(shè)，D為BC中點(diǎn)，那么BHCE為平行四邊形，即有EF∥BH.故原命題獲證.證法二：欲證，只需證即可.假設(shè)取FB的中點(diǎn)G，那么只需證EF∥DG即可.而由題設(shè)，D為BC中點(diǎn)，即DG為⊿BCF的中位線，即有EF∥DG.故原命題獲證.精選pptabcdefABCDEF例11如圖，設(shè)凸四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,d，兩對(duì)角線長(zhǎng)分別為e,f.求證：證明：(留作研究題目)注：(1)此例是布瑞須賴(lài)爾德發(fā)現(xiàn)的“四邊形余弦定理〞.(2)由此例可得托勒密(Ptolemy)定理：四邊形中，，并且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓時(shí)成立.精選ppt⑷設(shè)想型分析法(合情推理)在向條件的追溯過(guò)程中，借助于有根據(jù)的設(shè)想、假定，形成“言之成理〞的心構(gòu)思，再進(jìn)行“持之有據(jù)〞的驗(yàn)證逐步地找出正確途徑的分析法又稱(chēng)為設(shè)想型分析法.在求解一些關(guān)于位置關(guān)系、軌跡、作圖等問(wèn)題時(shí)，常采用這種方法.例12在銳角三角形的三邊上各找一點(diǎn)，使以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小.例13兩邊求作三角形，使這兩邊上的中線互相垂直.以上兩例在學(xué)習(xí)合情推理時(shí)再討論.精選ppt例14如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，求在此三角形內(nèi)部且到底邊的距離等于兩腰的距離的幾何平均值的點(diǎn)的軌跡.ABCEFHM精選ppt2.綜合法——由因?qū)Ч鸄BCD…………(果)(因)向下推精選ppt深入開(kāi)掘題設(shè)內(nèi)涵，充分運(yùn)用條件是熟練地運(yùn)用綜合法解題的關(guān)鍵.例15外接于，那么它們的對(duì)角線共點(diǎn)。證法二：〔用綜合法證〕把分析法與綜合法結(jié)合起來(lái)，在分析中有綜合法，在綜合法中有分析法或交叉使用去論證，求解命題的思維方法叫做分析綜合法。它通常是從一個(gè)例題的兩點(diǎn)向中間“擠〞，這樣，容易發(fā)現(xiàn)證題的突破口，收到事半功倍的效果。精選ppt作業(yè)：(用綜合法或分析法證明以下各題)1．中，在上任取一點(diǎn)E，在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使BD=EC.證明BC平分DE.2．證明等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為常量.3．證明等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之差為常量.4．證明等邊三角形內(nèi)部任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為常量.(又假設(shè)此點(diǎn)去在取在三角形外，命題將如何變化？)精選ppt2.1.4演繹法與歸納法1.什么是推理？推理是從一個(gè)或幾個(gè)判斷得出一個(gè)新的判斷的思維形式.★推理與證明的區(qū)別與聯(lián)系★最常見(jiàn)的三類(lèi)推理:歸納推理;演繹推理;類(lèi)比推理.在幾何中還常用到合情推理.2.歸納推理★歸納推理是從特殊到一般的思維方法(歸納法).精選ppt歸納推理完全歸納枚舉法(對(duì)象有限)數(shù)學(xué)歸納法(對(duì)象無(wú)限)不完全歸納法★★枚舉法舉例例16證明在圓內(nèi)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的兩倍.證明(略)：(分三種情況進(jìn)行枚舉歸納，即圓心在圓周角的一條邊上，圓心在圓周角內(nèi)，圓心在圓周角外)(作出圖形進(jìn)行分析說(shuō)明)精選ppt★數(shù)學(xué)歸納法舉例例17圓上一點(diǎn)至內(nèi)接偶數(shù)多邊形相間各邊距離之積,等于該點(diǎn)至其余各邊的距離之積.：是圓內(nèi)接邊形,圓上一點(diǎn)P到各個(gè)邊所在直線……的距離依次記為.求證：=精選ppt證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，即可述為如下命題：從圓上一點(diǎn)到內(nèi)接四邊形ABCD各邊做垂線PE、PF、PG、PH,那么.(如圖)易證,從而易得.即當(dāng)n=2時(shí)命題成立.PP精選ppt(2)設(shè)定理對(duì)于n成立,證明它對(duì)于n+1也成立.如圖,由歸納假設(shè)對(duì)于2n邊形有=.而對(duì)于四邊形有.兩式相乘約去因子p.即得求證.故,對(duì)取任意自然數(shù)命題都成立.Pp精選ppt★不完全歸納舉例例18凸n邊形內(nèi)角和為.3.演繹推理★演繹推理是從一般到特殊的思維方法.★演繹推理中最常見(jiàn)的形式是三段論三段論由三個(gè)局部組成:大前提(全稱(chēng)判斷),小前提(特殊判斷),結(jié)論(最后的判斷).例如：凡矩形對(duì)角線相等，(大前提)

正方形是矩形,(小前提)

所以,正方形對(duì)角線相等.(結(jié)論)精選ppt三段論式推理可以用公式表示為：所有的M都是B〔大前提〕S是M〔小前提〕故S是M〔結(jié)論〕★數(shù)學(xué)證明中演繹推理舉例數(shù)學(xué)中的三段論,為了表達(dá)簡(jiǎn)便,常常略去一個(gè)前提(多半是大前提),有時(shí)甚至略去小前提只寫(xiě)出結(jié)論.例19(如圖)D是線段BC的中點(diǎn),過(guò)D引射線,A是射線上任一點(diǎn).求證:∠ACB,∠ABC的大小順序不變,與A的位置無(wú)關(guān).(以下對(duì)證明過(guò)程進(jìn)行剖析)精選ppt證明：不妨設(shè)∠ACB

＞∠ABC,在射線DA上任意取一,即需證明.因?yàn)椤螦CB＞∠ABC所以,AB＞AC(三角形中大角對(duì)大邊)那么∠ADB＞∠ADC(兩三角形假設(shè)有兩邊對(duì)應(yīng)相等,那么第三邊大者對(duì)角也大)因而〔兩三角形假設(shè)有兩邊對(duì)應(yīng)相等,那么夾角大者對(duì)邊也大)那么〔三角形大邊對(duì)大角〕精選ppt4．類(lèi)比推理★什么是類(lèi)比推理?根據(jù)兩個(gè)對(duì)象在某些屬性上的相同而得出這兩個(gè)對(duì)象在其他屬性上也可能相同的結(jié)論.如對(duì)象A有屬性a、b、c、d,對(duì)象B有屬性a、b、c,那么就可以得出對(duì)象B也有屬性d這一結(jié)論.類(lèi)比推理是一中或然性的推理,它只能給人們提供線索、啟發(fā)人們思考和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,結(jié)論是否正確,還必須借助其他方法驗(yàn)證.精選ppt★類(lèi)比推理舉例例20在直角三角形中,有勾股定理.相應(yīng)的,取空間中這樣的四面體:它的三個(gè)面是直角三角形,把這四面體的這三個(gè)面看成直角三角形的直角邊,而把第四面看作斜邊.又把這四面體的面積看作直角三角形相應(yīng)的各邊長(zhǎng).于是猜測(cè)命題〞……那三面的面積的和等于第四面的平方〞該問(wèn)題留給同學(xué)們自己研究.精選ppt5.合情推理★什么是合情推理?

★論證推理與合情推理的關(guān)系

★幾何問(wèn)題中的合情推理——猜測(cè)例21過(guò)O外兩點(diǎn)P、Q，作一圓與此圓相切。精選ppt分析：首先設(shè)想圓已經(jīng)作出……作法：〔略〕證明：〔略〕精選ppt例22由等邊三角形內(nèi)任一點(diǎn)，向三邊作垂線，那么三垂線段長(zhǎng)之和為定值。分析：〔如圖，略〕證明：〔略〕精選ppt作業(yè)：1．三角形兩邊之積等于第三邊上的高于外接圓之積.(運(yùn)用此結(jié)論可以證明例20而不用數(shù)學(xué)歸納法)用普通歸納法證明2-3題2.設(shè)圓O與O’交于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)Q任作一直線交圓于A、B，那么∠APB＝∠OPO’.3.在⊿ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中點(diǎn)，求證.用數(shù)學(xué)歸納法證明4-5題4．圓內(nèi)接偶數(shù)多邊形相間各角之和等于其余各角之和.精選ppt5.從一點(diǎn)M作多邊形A1A2、A2A3、…、AnA1的垂線MH1、MH2、…、MHn，那么.6.證明：從圓上一點(diǎn)到其內(nèi)接四邊形一雙對(duì)邊的距離之積，等于從該店到兩條對(duì)角線的距離之積.7.設(shè)A、B、C、D為直線上順次四點(diǎn)，證明歐拉定理：.假設(shè)使用有向線段，那么不管四點(diǎn)順序如何，上式總成立.8.兩邊求作三角形，使這兩邊上的中線互相垂直.精選ppt9.在中，，求在此三角形內(nèi)部且到底邊的距離等于兩腰的距離的幾何平均值的點(diǎn)的軌跡.精選ppt2.1.5幾何證明的其他方法——面積法、代數(shù)法、三角法、解析法、復(fù)數(shù)法、向量法等1.面積法★面積法解題的根本依據(jù)(1)幾個(gè)面積公式設(shè)在⊿ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊依次為a、b、c，ha為a邊上的高，R為外接圓的半徑，r為內(nèi)切圓的半徑，p為三邊之長(zhǎng)的一半，S⊿ABC表示⊿ABC的面積，那么有①②

精選ppt③

④

⑤

⑥設(shè)凸四邊形ABCD的邊長(zhǎng)為a、b、c、d，兩對(duì)角線長(zhǎng)為e、f，兩對(duì)角線夾角為，表示四邊形ABCD的面積，那么有⑦⑧

精選ppt假設(shè)記為一雙對(duì)角和，那么⑨⑩

⑩

(2)幾個(gè)常用的等積變形定理①面積分割原理：一個(gè)圖形的面積等于它的各個(gè)局部面積之和；②兩個(gè)全等形的面積相等；③等底〔含同底〕等高的兩個(gè)三角形面積相等；反之假設(shè)兩三角形等高〔或等底〕且等積，那么它們等底〔或等高〕；精選ppt④等積平行定理：；且點(diǎn)在BC的同側(cè)∥.①相似圖形的面積比等于其相似比的平方；②兩個(gè)同〔等〕底的三角形〔平行四邊形〕的面積比等于這邊上對(duì)應(yīng)高的比；③兩個(gè)同〔等〕高的三角形〔平行四邊形〕的面積比等于它們底邊的比；

(3)幾個(gè)常用的面積比定理精選ppt④夾在兩條平線間的兩個(gè)平面圖形，被平行于這兩條平行線的任意直線所截，如果截得兩條線段之比總等于一個(gè)常數(shù)，那么這兩個(gè)平面圖形的面積之比為；⑤共邊比例定理：假設(shè)與的公共邊所在的直線與直線PQ交于M，那么；⑥共角比例定理：假設(shè)在與中，或，那么；精選ppt⑦內(nèi)接于同一圓的兩個(gè)三角形的面積比等于三邊乘積的比.(4)幾個(gè)重要結(jié)論①三角形的三條中線將該三角形分成等面積的六個(gè)小三角形.②平行四邊形的兩條對(duì)角線將平行四邊形分成面積相等的四個(gè)小三角形.③平行四邊形一邊上任一點(diǎn)與對(duì)邊兩端點(diǎn)的連線將該平行四邊形分成等積的兩局部.④平行四邊形內(nèi)任一點(diǎn)與四頂點(diǎn)的連線將其分成四個(gè)三角形，那么對(duì)頂?shù)膬蓚€(gè)三角形面積之和相等.⑤任意凸四邊形兩對(duì)角線將該四邊形分成四個(gè)三角形，對(duì)頂?shù)膬扇切蚊娣e之積相等.精選ppt★面積法解題舉例例23用面積法證明勾股定理.BACDEFGHI精選pptABCPDEF

例24設(shè)P是⊿ABC的∠A平分線上的任意一點(diǎn)，過(guò)C引CE∥PB交AB延長(zhǎng)線于E，過(guò)B引BF∥PC交AC的延長(zhǎng)線于F，求證：BE＝CF.精選ppt

2.代數(shù)法

例25在同底的一切周長(zhǎng)相等的三角形中，面積最大的是哪一種三角形？

證明：(可用代數(shù)法證)借助于代數(shù)式的計(jì)算而獲得幾何命題的證明方法叫做代數(shù)法.

用代數(shù)法證幾何題，關(guān)鍵是把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)其數(shù)量關(guān)系的討論.也就是說(shuō)，把幾何問(wèn)題代數(shù)化.精選ppt例26正方形ABCD，在BC邊上任取一點(diǎn)E，過(guò)E作AE的垂線交角C的外角平分線于F.求證：AE=EF.

3.三角法

利用圖形已有的三角形(或添加輔助線，出現(xiàn)三角形)和題中給出的某些線段和角的特定關(guān)系，通過(guò)構(gòu)成三角函數(shù)式，結(jié)合三角知識(shí)通過(guò)三角運(yùn)算，從而使命題獲證的方法稱(chēng)為三角法.它是幾何證明中的一種常用方法.證明一：(純幾何法)精選ppt

證明二：(三角法)精選ppt例27證明三：(用解析法證)4.解析法解析法也稱(chēng)坐標(biāo)法，就是把平面幾何圖形通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，把平面上的點(diǎn)和直線與數(shù)或方程對(duì)應(yīng)，化為代數(shù)式或方程，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算或解方程到達(dá)論證的目的.解析法的關(guān)鍵是恰中選擇坐標(biāo)系，此外還要熟練掌握和藹于使用解析幾何有關(guān)公式、定理.精選ppt

5.向量法

在幾何學(xué)中，把幾何圖形看作點(diǎn)的集合，而平面上的點(diǎn)、線段、可表示為向量.因此可以把作為點(diǎn)的集合的幾何圖形看作是向量的集合.這樣，平面幾何中涉及的度量關(guān)系和位置關(guān)系，都可以表示為某種向量代數(shù)的運(yùn)算.這種借助于向量代數(shù)的運(yùn)算來(lái)證幾何題的方法稱(chēng)為向量法.向量法具有書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，便于運(yùn)算等優(yōu)點(diǎn).但往往難點(diǎn)在于選擇媒介向量，在解題時(shí)，要善于把條件與結(jié)論的關(guān)系或中間向量聯(lián)系起來(lái)，溝通與未知的聯(lián)系.精選ppt

例28證明三角形重心定理AGEDCB

[分析]如圖，D,E是⊿ABC邊AC,AB的中點(diǎn)，BD,CE交于G.

易知精選ppt

6.復(fù)數(shù)法復(fù)數(shù)x+yi(x,y為實(shí)數(shù))與復(fù)平面上的點(diǎn)可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.把幾何圖形的點(diǎn)看作對(duì)應(yīng)于復(fù)平面的復(fù)數(shù)，借助于復(fù)數(shù)的運(yùn)算，獲得幾何命題證明的方法稱(chēng)為復(fù)數(shù)法.用復(fù)數(shù)法證明幾何題，首先將題目給出的條件“翻譯〞成復(fù)數(shù)的假設(shè)干關(guān)系式，然后經(jīng)過(guò)一系列的復(fù)數(shù)運(yùn)算，得出一批新的關(guān)系式，最后把它們?cè)佟胺g〞所需要的幾何結(jié)論.幾何條件復(fù)數(shù)關(guān)系新的復(fù)數(shù)關(guān)系幾何結(jié)論轉(zhuǎn)化幾何推理復(fù)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化精選ppt

例29如圖，在矩形OABC中，MN＝OA，AN＝1，AB＝5，OD＝DE

＝EA

＝

.求證：O