山東省聊城市茌平縣第二中學2022-2023學年數(shù)學高一年級上冊期末含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.)

1.已知定義在R上的奇函數(shù)“X)滿足：當xe[0,1]時，/(%)=3、一帆.貝!|/(-1)=()

A.2B.1

C.-lD.-2

2.設(shè)〃x)=sin,x+，|(①>0).若存在OKxa/W、，使得〃西)一〃占)=-2,則。的最小值是O

7

A.2B.-

3

13

C.3D.—

3

3.給定min{a,0}=<已知函數(shù)/(幻=01由卜,%2-4%+4}+4.若動直線》=m與函數(shù)y=/(x)的圖象有3

I，,I，,

個交點，則實數(shù)，”的取值范圍為

A.(0,4)B.(4,5)

C.(5,8)D.(8,+O>)

2V+1,x<l

4.已知函數(shù)f(x)={,若f(f(0))=4a,則實數(shù)a等于

x~+ax,x>l

i4

A.萬B.y

C.2D.9

5.在四面體A-BCD中，已知棱AC的長為0,其余各棱長都為L則二面角A-CD-B的平面角的余弦值為()

11

A.—B.-

23

C.立D.史

33

6.“密位制”是用于航海方面的一種度量角的方法，我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周角分為6000

等份，每一個等份是一個密位，那么200密位對應(yīng)弧度為。

27r7C

A.—B.—

315

7171

C.—D.-----

25150

7.設(shè)向量落5不共線，向量〃+6?與2M-防共線，則實數(shù)4=()

A.-2B.-1

C.1D.2

1

8.已知0<a<—,x=lOg“2,y=則》,y,z的大小關(guān)系是()

2(2Z——CI

A.z<y<xB.x<z<y

C.z<x<yD.x<y<z

9.下圖記錄了某景區(qū)某年3月至12月客流量情況:

根據(jù)該折線圖，下列說法正確的是()

A.景區(qū)客流量逐月增加

B.客流量的中位數(shù)為8月份對應(yīng)的游客人數(shù)

C.3月至7月的客流量情況相對于8月至12月波動性更小，變化比較平穩(wěn)

D.4月至5月的客流量增長量與8月至9月的客流量回落量基本一致

10.在平面直角坐標系中，直線x+JJy-3=0的斜率是()

B巫

33

C.—GD.也

二、填空題(本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

X

11.已知函數(shù)/(?=，一(。＞0,“W1)是偶函數(shù)，則。=,則/(x)的最大值為.

3"+1

12.已知點3(.2,-2),若直線1：*+研必=0與線段協(xié)相交(包含端點的情況)，則實數(shù)必的取值范圍

是.

13.對于定義在區(qū)間口〃］上的兩個函數(shù)/(x)和g(x),如果對任意的尢目機,〃］,均有不等式/(x)-g(x)歸1成

立，則稱函數(shù)“X)與g(x)在卜小〃］上是“友好”的，否則稱為“不友好”的

⑴若〃尤)=尤,g(x)=x2-x,則“X)與g(x)在區(qū)間［1,2］上是否“友好”；

(2)現(xiàn)在有兩個函數(shù)/(x)=k?ga(x-3a)與g(x)=loga——(a>O,a*1),給定區(qū)間［a+2,a+3］

X—Cl

①若/(X)與g(x)在區(qū)間［a+2,a+3］上都有意義，求。的取值范圍；

②討論函數(shù)/(x)與g(x)與在區(qū)間［a+2M+3］上是否“友好”

14.若函數(shù)/(x)=ex+ln(x-a)在(0,+。)上存在零點，則實數(shù)。的取值范圍是

15.給出下列五個論斷：①6<0；②。>0；③a<0；?a>b-,⑤.以其中的兩個論斷作為條件，一個論斷作

ab

為結(jié)論，寫出一個正確的命題：.

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16.(1)化簡與求值：Ig5+lg2+J(e-3)2+21n(乃?2)°；

sin(-3萬一a)+cos(2?+a)

(2)已知tana=3.求二5)+sing+a)的值.

17.已知函數(shù)/(%)=1084(2%+3--).

(1)求的定義域及單調(diào)區(qū)間；

(2)求/(*)的最大值，并求出取得最大值時x的值；

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=log4［(a+2)x+4］,若不等式/(x)Wg(x)在xG((),3)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

18.已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且XW(YO,0)時，/(x)=—(x—

(1)求函數(shù)〃x)的解析式；

(2)若/(心27)+/(-2-2*)<0任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，PC_L底面ABC,AB1BC,D,七分別是A6,尸3的中點.

p

B

(1)求證：DE〃平面PAC；

(2)求證：AB±PB.

20.設(shè)函數(shù)/(x)=2j^sinxcosx-2sin?x+1

(1)求函數(shù)〃x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求函數(shù)Ax)在0,()上的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值.

21.在長方體力5s4歷GZA中，求證：

(1)〃平面4歷G

(2)平面Z班i4_L平面43c

參考答案

一、選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.)

1、D

【解析】

由奇函數(shù)定義得/(0)=0,從而求得〃?，然后由/(-1)=一/(1)計算

【詳解】由于函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(0)=0,而當XG［0,1］時,f(x)=3x-m,

所以7(0)=3°-機=0,m=l,

所以當XG［0,1］時，"x)=3'-1,

故/(1)=3'-1=2.

由于/(x)為奇函數(shù)，

故/(-1)=-川)=-2.

故選：D.

【點睛】本題考查奇函數(shù)的定義，掌握奇函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵.

2、D

TTTT3乃57r

【解析】由題設(shè)/“)在［0,,］上存在一個增區(qū)間，結(jié)合/(不)=-1、/(X2)=i且有［萬,3］必為

［工，竺+工］的一個子區(qū)間，即可求。的范圍.

323

7T

【詳解】由題設(shè)知：./1(%)=-1,/(馬)=1，又04%＜々＜耳，

所以/(X)在［0,1］上存在一個增區(qū)間，又［2，絲+2］,

23323

.,3兀5萬、、，、，7t(0717t人r一I??37t71、5萬

所以，根據(jù)題設(shè)知：［二"，二-］必為r［不一「+；］的一■個子區(qū)間，即二-+二2二-,

22323232

所以13即0的最小值是1二3.

33

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：結(jié)合題設(shè)條件判斷出［手，等］必為［。,掌+。］的一個子區(qū)間.

3、B

【解析】畫出函數(shù)/(x)的圖像以及直線y=k的圖像，根據(jù)條件和圖像求得k的范圍。

【詳解】設(shè)g(x)=min{x,f_4x+4},由題可知，當一標+人即或途4時，g(x)=x；當

22

X>X-4X+4.即1cx<4時，g(x)=x-4x+4,因為f(x)=g(x)+4,故當XG(Y>,1]D[4,+OO)時,

/(x)=x+4,當xe(1,4)時，f(x)=x2-4x+8,

做出函數(shù)/(x)=min{x,x2—4x+4}+4的圖像如圖所示，直線y=m與函數(shù)有3個交點，可得k的范圍為(4,5).

故選：B

【點睛】本題考查函數(shù)圖像與直線有交點問題，先分別求出各段函數(shù)的解析式，再利用數(shù)形結(jié)合的方法得到參數(shù)的取

值范圍。

4、C

【解析】/(/(0))=/(2)=4+2a=4a:.a=2,選C.

點睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)

/(/(?))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,

然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.

由已知可得AD_LDC

又由其余各棱長都為1得正三角形BCD,取CD得中點E,連BE,則BE_LCD

在平面ADC中，過E作AD的平行線交AC于點F,則NBEF為二面角A-CD-B的平面角

VEF=-(三角形ACD的中位線)，BE=—(正三角形BCD的高)，BF=—(等腰RT三角形ABC,F是斜邊中點)

222

131

EF2+BE2-BF24+4~2x/3

???8S4EF=五BE至F-=T7TT=T

2x—x-

22

故選C.

6、B

【解析】根據(jù)弧度制公式即可求得結(jié)果

【詳解】200密位對應(yīng)弧度為2萬?型.=2

600015

故選：B

7、A

【解析】由向量共線定理求解

【詳解】因為向量&+E與21-防共線，所以存在實數(shù)2,^2a-kb=A(a+b)^^a+Ab>

’2=4

又向量,B不共線，所以:,，解得％=—2

—k=A

故選：A

8、B

【解析】根據(jù)題意不妨設(shè)。=,，利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡X,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出y的取值范圍，利用指數(shù)幕

4

的運算求出z,進而得出結(jié)果.

【詳解】由不妨設(shè)

24

則x=log〃2=log12=log『2=-'<0,

72

所以x<z<y,

故選：B

9、C

【解析】根據(jù)折線圖，由中位數(shù)求法、極差的意義，結(jié)合各選項的描述判斷正誤即可.

【詳解】A：景區(qū)客流量有增有減，故錯誤；

B：由圖知：按各月份客流量排序為｛4,9,5,6,3,7,8,12,II,10｝且是10個月份的客流量，因此數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3月份和

7月份對應(yīng)客流量的平均數(shù)，故錯誤；

C：由3月至7月的客流量相對于8月至12月的客流量：極差較小且各月份數(shù)據(jù)相對比較集中，故波動性更小，正確;

D：由折線圖知：4月至5月的客流量增長量與8月至9月的客流量回落量相比明顯不同，故錯誤.

故選：C

10、A

【解析】將直線x+JJy-3=0轉(zhuǎn)化成斜截式方程，即得得出斜率.

【詳解】解：由題得，原式可化為y=斜率人—今

故選：A.

二、填空題(本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

11、①②

【解析】根據(jù)偶函數(shù)八一x)=/(x)即可求。值；分離常數(shù)，根據(jù)單調(diào)性即可求最大值，或利用基本不等式求最值.

【詳解】???/(幻是偶函數(shù)，

/(-%)=/(%),

_a-''_3xg-x_ax

則3-+1-14-1+3*-1+3*，

3V

xx

則ya-=a,

即3'=產(chǎn)，

則/=3,貝！Ia=，

F(x)=?=_!____________!______=1

則3"㈣*忐:護豆2,

當且僅當(6)*=品7,即3、=1，則x=0時取等號，

即/(x)的最大值為

故答案為：上)—

12、|~°09—口［2,+8)

【解析】本道題目先繪圖，然后結(jié)合圖像判斷該直線的位置，計算斜率，建立不等式，即可.

【詳解】

要使得x+my+m=o與線段AB相交,則該直線介于1與2之間,1號直線

的斜率為k=上㈢=-2,2號直線的斜率為k=-1-2)=,建立

-1-00-22

不等式關(guān)系x+my+tn=0轉(zhuǎn)化為y=x—1，所以---《—2或---->—解得m范圍為(-℃,—］u［2,+°o)

mmm22

【點睛】本道題考查了直線與直線的位置關(guān)系，結(jié)合圖像，判斷直線的位置，即可.

13、(1)是；(2)①(0,1)；②見解析

【解析】⑴按照定義，只需判斷|/(x)-g(x)卜卜-1)2-1卜1在區(qū)間［1,2］上是否恒成立；

(2)①由題意解不等式組“+2“〉0即可;②假設(shè)存在實數(shù)%使得/(x)與g(x)與在區(qū)間［a+2,a+3］上是“友

好”的，即/(X)—g(x)|=Mg“(f_4奴+3。2)|<1,即—"log“(尤2-4以+31)41,只需求出函數(shù)

y=log。，—4依+3/)在區(qū)間［a+2,。+3］上的最值，解不等式組即可.

【詳解】⑴由已知，|f(x)-g⑸=卜2-2［=h-1)2一“,因為xe［l,2］時，

y=(x—1)2—1,0］,所以〃。)一8(力|=卜-1)2-1歸1恒成立，故

/(x)與g(x)在區(qū)間［1,2］上是“友好”的.

(2)①/(x)與g(x)在區(qū)間［a+2,a+3］上都有意義，

［a+2-3a>0

則必須滿足<.八，解得。<1,又a>0且

a+2—a>0

所以。的取值范圍為(0,1).

②假設(shè)存在實數(shù)。，使得與g(x)與在區(qū)間［a+2,a+3］上是“友好”的,

22

則|/(力一8(%)=1。8(1(f-4"+3。2)歸1,Bp-l<log(/(x-44u+3a)<l,

因為ae(O,l),則2ae(0,2),a+2>2,所以［。+2M+3］在x=2。的右側(cè)，

又復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得y=log”(x2-4ax+3a2)在區(qū)間+2,a+3］上為減函數(shù),

從而x=a+2,ymax=log?(4-4a),x=a+3,ymjn=loga(9-6a),

logu(4-4?)<l

所以log49-6a)"l,解得o<a4吃"I,

?,12

0<?<l

所以當0<a4”豆時，與g(x)與在區(qū)間［a+2M+3］上是“友好”的；

當9,仔<a<l時,/(力與g(x)與在區(qū)間［4+2M+3］上是“不友好”的.

【點睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，主要涉及到不等式恒成立的問題，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)學運算求解

能力，是一道有一定難度的題.

14^(--,+oo)

e

【解析】分a.O和“<。并結(jié)合圖象討論即可

【詳解】解：令f(x)=e'+ln(x-a)=O,則有-e"=In(x-a),

原命題等價于函數(shù)y=-e'與y=ln(x—a)在(0,+oo)上有交點，

又因為y=-e'在(0,+8)上單調(diào)遞減，且當x=0時，y=T,

y=ln(x-a)在(a,-H?)上單調(diào)遞增，

當a?0時，作出兩函數(shù)的圖像，

則兩函數(shù)在(0,+8)上必有交點，滿足題意;

當。<0時，如圖所示，只需ln(-a)<-l,

解得—a<—,即a>——?

綜上所述實數(shù)a的取值范圍是(--,+?)).

e

故答案為：(—,+℃)

e

15、②③4⑤k③④④t@@=<5)

【解析】利用不等式的性質(zhì)和做差比較即可得到答案.

【詳解】由②③n⑤

因為/?>(),a<0>則■—>—.

ba

由③④

由于a<0,a>b,則0>。>力，所以‘一!=^~~-<0.

abab

由頷)一

由于匕>0,且a>b,則a>Z?>0,所以‘一,=^~~-<0.

abab

故答案為：②???@=<5)②

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16、(1)4-e；(2)-2

【解析】(1)利用根式和對數(shù)運算求解；

(2)利用誘導(dǎo)公式和商數(shù)關(guān)系求解.

【詳解】解：(1)Ig5+lg2+J(e—3)2_21n(%—2)°，

=lg!0+|e--3|-0,

=1+3—e,

=4—e；

sina+cosa

(2)原式=

一sina+cosa

tan2+1

一tana+1

因為tana=3,

所以原式=d-=-2.

-3+1

17、(1)定義域為(-1,3)；f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,1］,/(x)的單調(diào)減區(qū)間為［1,3)；(2)當x=l時，函

數(shù)/(x)取最大值1;(3)a^-2.

【解析】(1)利用對數(shù)的真數(shù)大于零即可求得定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”即可求得單調(diào)區(qū)間;

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解;

(3)將/(x)Wg(x)轉(zhuǎn)化為*2+好+120在xG(0,3)上恒成立，即a》-(x+—)在xG(0,3)上恒成立,

X

即X+—即可，結(jié)合基本不等式即可求解.

max

【詳解】解：(1)令證+3-d>0,

解得：xG(-1,3),即/(X)的定義域為(-1,3),

令］=1￥+3-/,則y=iogj,丁y=iogj為增函數(shù)，

xG(-1,1］時，￡=21+3-工2為增函數(shù)；

x￡［l,3)時，￡=2x+3-x2為減函數(shù)；

故/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,1］；/(X)的單調(diào)減區(qū)間為［1,3)

(2)由(1)知當x=l時，E=2x+3-x2取最大值%此時函數(shù)/G)取最大值1；

(3)若不等式/(X)Wg(x)在(0,3)上恒成立，

則2X+3-/W(。+2)工+4在工￡(0,3)上恒成立，

即好+4工+120在(0,3)上恒成立，即-(x+—)在(0,3)上恒成立,

x

當(0,3)時，x-\—22,則-(xd—)W-2,故a2-2

xx

(x+l)",x>0

18、(1)/(x)=<0,x=0；(2)(-oo,0］.

_(x-1)，元<0

【解析】⑴由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出/(o)=o,設(shè)1￡(0,”)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出/(x)=—/(—x)可得出/(X)

的表達式，綜合可得出結(jié)果；

(2)分析可知函數(shù)/(x)為E上的增函數(shù)，由原不等式變形可得出2T<2*+2,利用參變量分離法結(jié)合二次函數(shù)

的基本性質(zhì)可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)因為函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,且/(x)=-/(—x).

設(shè)xe(O,a),則—XC(F,O),所以/(x)=-/(-x)=(x+l『，

(jc+1)',x>0

所以/(x)=<0,光=0；

-(x-1)2,x<0

(2)因為/(a?2-*)+/(-2-2')<0對任意x恒成立，所以/[aN-Bv—/(—2—2'),

又/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(入2-*)</(2*+2),

作出函數(shù)/(X)的圖象如下圖所示：

1<

1

y=f(x).

由圖可知，〃x）在H上單調(diào)遞增，所以小27<2'+2,即a<（2'『+2x2'恒成立，

令團=2*〉0，y=加？+2加,m>0,

則函數(shù)v=m2+2機在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以y〉0,

所以。40,即實數(shù)”的取值范圍（—8,0].

19、（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析.

【解析】（1）利用三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進行證明即可；

（2）利用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進行證明即可.

【詳解】（1）因為O,E分別是A3,PB的中點,所以DE//PA,又因為PAu平面PAC,

OEZ平面PAC,所以。E〃平面PAC；

（2）因為PC,底面ABC,ABI底面ABC,所以PC_LA3,又因為AB_LBC,

BCcPC=C,8C,PCu平面PBC,所以ABJ_平面P8C,而QBu平面P8C,

所以A3_LPB.

JIJI

20、(1)最小正周期7=〃，單調(diào)遞增區(qū)間為一二+k兀兀,k&