非理性低通濾波器對(duì)采樣速率的影響

非理性低通濾波器對(duì)采樣速率的影響*胡鐘建（陸壽茂）1.前言在時(shí)分信息傳輸系統(tǒng)中，對(duì)信號(hào)振幅均勻采樣的重復(fù)頻率fs應(yīng)高于信號(hào)截止頻率fc的兩倍，即fs>2fc。這便是人們熟知的采樣定理。導(dǎo)出上述結(jié)論的根據(jù)是，采樣后的離散脈沖序列，應(yīng)該包含原時(shí)間連續(xù)信號(hào)中的全部頻譜成分（或全部信息）。該定理要求信號(hào)的頻譜嚴(yán)格限制在0?fc的范圍內(nèi)。對(duì)于頻譜較寬的信號(hào)，只有經(jīng)過一個(gè)理想的矩形低通濾波器（LPF）,然后進(jìn)行采樣，方能滿足上述要求。這時(shí)采樣頻率便取決于低通濾波器的上限頻率。理想的低通濾波器是難以實(shí)現(xiàn)的。目前常用的非理想低通濾波器，通帶上限fc系由3dB衰減確定，通帶外的平均衰減斜率一般做到大于20dB/0ct和40dB/0ct,要求高些的可達(dá)60dB/0ct甚至80dB/0ct以上，但遠(yuǎn)未達(dá)到理想境界的矩形衰減水平，如圖1所示。圖1非理性LPF幅頻特性S(f)Sm0圖1非理性LPF幅頻特性S(f)Sm0 fs/2 fm f圖2頻率混疊圖解為了避免頻率混疊，采樣頻率必須大于信號(hào)最高頻率的兩倍，否則，高頻信號(hào)將以fs/2為中心“折疊”為低頻分量，與低頻信號(hào)相混淆，從而引起誤差，詳見圖2。鑒于混疊相位不確定，最嚴(yán)重情況出現(xiàn)在同相或反相時(shí)刻，即混疊分量與低頻信號(hào)直接相加或相減，于是形成圖2虛線所示的混疊誤差帶的上下包絡(luò)?；殳B頻率fa按式（1）計(jì)算：f-Pf$kf-Pf$kf/2,p=1,2,3,…1)式中f為信號(hào)頻率；p為整系數(shù)。非理想低通濾波器（簡(jiǎn)稱濾波器）的技術(shù)指標(biāo)一經(jīng)確定，采樣頻率應(yīng)取多高為宜，成為專業(yè)人員必須考慮的重要問題。采樣頻率取高了，即采樣點(diǎn)過密，將增加測(cè)量設(shè)備的容量，造成計(jì)算和處理上的浪費(fèi)；取低了，會(huì)丟失信息，引起頻率混疊，增大數(shù)據(jù)處理誤差。為此，我們結(jié)合理論分析進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，企圖找到采樣頻率和濾波器特性之間的合適關(guān)系?；乜磮D1縱軸K是電壓傳遞系數(shù)的相對(duì)百分比，它是頻率f的函數(shù)。一般情況下，通帶內(nèi)的K值盡量恒定，K隨f的變化接近水平直線。按通帶定義，K衰減到平坦段的1/込時(shí)的頻率，謂之截止頻率fc。名為“截止”實(shí)際上在f>fc的范圍內(nèi)，K并不“截止”，而是逐漸衰減，形成一個(gè)過渡段。濾波器的這一特點(diǎn)，對(duì)采樣率的選定影響很大，不可忽視。2.實(shí)驗(yàn)信號(hào)采集實(shí)驗(yàn)框圖如圖3所示，在此模擬了速變參數(shù)采集器。正弦信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生頻率和幅度可變的信號(hào)輸入。輸入濾波器A（亦稱抗混疊濾波器）帶外衰減斜率有大于40dB/Oct和60dB/Oct的兩種，系由R-C元件組成的布特華斯有源濾波器和雙T陷波級(jí)串聯(lián)而成。采樣器由脈沖信號(hào)發(fā)生器驅(qū)動(dòng)，頻率可調(diào)。保持器的功用是增大恢復(fù)信號(hào)的幅值，提升信噪比。輸出濾波器B的用途在于將離散的脈沖信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)的時(shí)間信號(hào)，以便從示波器上直接觀察混疊現(xiàn)象；對(duì)它要求較高，通帶外的衰減斜率應(yīng)大于60dB/Oct；濾波器B的構(gòu)成與A相近。由于篇幅所限，各級(jí)原理圖從略。

選定濾波器A和B的截止頻率接近3kHz,固定采樣頻率fs=6.06kHz二Const.。頻率混疊實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，幅值大者為輸入信號(hào)，小者為輸出信號(hào)。圖4(a)、(b)的fiVfs/2,故輸出頻率等于輸入頻率；但圖4(b)的輸入頻率接近采樣頻率之半，輸出波形出現(xiàn)寄生調(diào)幅。圖4(c)因fi>fs/2，出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，輸出混疊頻率服從式(1)規(guī)律。a)f=f=2.5kHzoi圖4(b)f=f=2.9kHz^fs/2a)f=f=2.5kHzoi圖4(b)f=f=2.9kHz^fs/2oic)f=4.33kHz,f=1.73kHzio頻率混疊試驗(yàn)圖片(fs=6.06kHz)3經(jīng)驗(yàn)公式一般低通濾波器多用R-C元件構(gòu)成有源電路。它在通帶內(nèi)外的傳遞函數(shù)模量反映在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上近似為兩條直線：帶內(nèi)為水平線，帶外為斜線，如圖5所示?？v軸K為相對(duì)模量，定義為K=|K(f)|/K(0)|。左式K(f)|、|K(0)|分別為f頻率及零頻時(shí)增益模量。我們對(duì)通帶外的特性曲線感興趣，因?yàn)轭l率混疊現(xiàn)象往往在此區(qū)間發(fā)生。圖5LPF幅頻特性的近似畫法圖5表明帶外衰減特性近似一條斜線，便可寫出擬合方程為logK=logA圖5LPF幅頻特性的近似畫法圖5表明帶外衰減特性近似一條斜線，便可寫出擬合方程為logK=logA一Blogf (2)式中A、B為待定系數(shù)；f為頻率，暫且限定在fc?2fc之間變化。已知條件：式(3)代入式(2)得f=f時(shí)，K=1/込c 1f=2f時(shí)，K=0c2(3)=logA一Blogfc4)log0=logA一Blog解得A=fCB/學(xué)解得將式(5)代入式(2)有令比值x=f/fc，則<f將式(5)代入式(2)有令比值x=f/fc，則<f<2fcx—B,1<x<2(6)(7)現(xiàn)以分貝單位表示通帶外的衰減斜率，即Lm=—20logK=—20logP(dB/oct)，故得p=10-Lm/20 ⑻將式(8)代入式(5),獲得用Lm表示的B值：B=]Lm—log逅]/log2=0.166Lm—0.5 (9)式(10)表明，B與Lm成正比關(guān)系。表1列出不同Lm對(duì)應(yīng)的B值。至此，完成了濾波器帶外過渡曲線回歸方程的推演，如式(6)、(9)所示，俗稱經(jīng)驗(yàn)公式。表1不同Lm對(duì)應(yīng)的B值Lm(dB/oct)10203040506070B1.162.824.486.147.809.4611.14.誤差估算實(shí)際信號(hào)頻譜S(f)雖然較寬，但主要信息通常集中于低頻段如圖2的0?fm區(qū)間，只保留幅值S(f)三Sm的成分。因此可有條件地選用適當(dāng)帶寬(fc)及帶外衰減斜率(Lm)的低通濾波器抑制不需要的高頻分量，以降低混疊誤差，此舉謂之“抗混疊”圖5(a)為L(zhǎng)PF幅頻特性g(f)，fc(-3dB)為通帶帶寬；經(jīng)LPF處理的信號(hào)S(f)=S(f)弋(f)，高頻分量被衰減，(a)LPF幅頻特性 (b)經(jīng)LPF處理的信號(hào)頻譜圖5用LPF抑制混疊誤差fc成了有用信號(hào)最高頻率。在同一采樣速率下，進(jìn)入通帶的混疊誤差明顯減小，見圖5(b)。由于低通濾波器帶外的衰減特性，頻率混疊延續(xù)至fc處的平均幅值可視為最大混疊誤差Yc，于是借助式(6)不難估算Y「的大小。關(guān)鍵參數(shù)是確定經(jīng)驗(yàn)公式的頻率f；ccf=f/2+(f/2—f)=f—f (10)sscsc/f)B—— c丿(11)將式（10/f)B—— c丿(11)—巫〔f-fscN=f/f,B=0.166L—0.5

sc m為方便查詢，根據(jù)表2所列典型數(shù)據(jù)，繪制常用LPF的六種衰減斜率所對(duì)應(yīng)的Yc—N曲線，如圖6所示。對(duì)帶寬10Hz的緩變參數(shù)而言，設(shè)定N=4,欲控制混疊誤差在5%以內(nèi)，應(yīng)圖6圖6混疊誤差Y（與N、Lm的關(guān)系曲線表2混疊誤差y=f（nl）典型數(shù)據(jù)表cm2.02.53.03.54.04.55.05.56.0100.7070.440.320.240.200.170.140.120.11200.7070.230.100.0530.0320.0210.0140.0100.0076300.7070.110.0320.0120.00520.00260.00140.000840.00052400.7070.0590.0100.00250.00083500.7070.0300.00320.00056600.7070.0150.001選Lm>20dB/oct的濾波器。而對(duì)f三1kHz速變參數(shù),為節(jié)省采樣速率開銷，比如選取N=2.5，這時(shí)唯有提升Lm>50dB/oct,方可達(dá)到混疊誤差小于5%的目標(biāo)。圖6表明，一階或二階的無源LPF抗混疊的效果甚微，不予推薦；提倡采用通帶幅頻特性較為平坦、且?guī)釲m>20dB/oct的有源LPF,承擔(dān)緩變參數(shù)抗混疊重任。下面介紹一款性能優(yōu)異的LPF設(shè)計(jì)方案。5.優(yōu)化設(shè)計(jì)的三階LPF圖7（a）展現(xiàn)的車比雪夫3階有源LPF電路圖未見特殊之處，但經(jīng)正交優(yōu)化設(shè)計(jì)獲得的兩組最佳參數(shù)組合非同一般，如表3所列。優(yōu)化參數(shù)組合的亮點(diǎn)在于，濾波器內(nèi)蘊(yùn)維持長(zhǎng)期穩(wěn)定性的潛能，且一次組裝成功概率（按規(guī)定阻容偏差）不低于80%。濾波器幅頻及相頻特性如圖7（b）、（c）所示。該型濾波器主要性能指標(biāo)如下：

(a) 3階LPF電路原理圖b)3階LPF幅頻特性(a) 3階LPF電路原理圖b)3階LPF幅頻特性圖73階LPF電路拓?fù)鋱D及其頻率特性表33階LPF正交優(yōu)化最佳參數(shù)組合優(yōu)化組號(hào)允許阻容偏差最艮佳參數(shù)組合電阻電容P1P2P3k1±0.5%±2%2.268.980.1110.9212±4%2.279.110.1110.908通帶平坦段展寬為0?0.85fc。按常規(guī)查表構(gòu)建的的LPF平坦段高端不大于0.7fc,fc表帶寬。通帶波動(dòng)可控：A=(0.1?0.5)dB。帶外衰減斜率L>20dB/Oct，相當(dāng)于4階布特華斯濾波器的衰減效果。m通帶fc(_3dB)=1Hz?10kHz，容納基本遙測(cè)參數(shù)帶寬，特別適于超低頻應(yīng)用。建議選用高阻抗精密運(yùn)放構(gòu)建有源電路。表2中P=C/C,P=C/C,P=C/C；定義參考電容C=(2兀fRr)-1；參考電1 1r2 2r3 3r r cr阻Rr最好選為R整數(shù)倍，建議取R產(chǎn)R；k=R/R；R不宜過大，兼顧約翰遜噪聲的影響。rr0此外，R還受制于濾波器的輸入阻抗。例：設(shè)計(jì)一個(gè)fc=10Hz的3階有源LPF(圖7)。按表3兩組參數(shù)組合，在輸入阻抗分別不低于0.5M。和1M。條件下，估算4組阻容參數(shù)值。反歸一化處理：旨在將歸一化數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成具體的阻容值。首先選定參考電阻Rr和參考電容Cr。設(shè)Rr=R=530k。，則c=(2兀fRr”=30nF。取表3第1組數(shù)據(jù)，算得電容C=PC=r cr 1 1r2.26X30=67.8nF；C=PC=&98X30=269nF；C=pc=0.111X30=3.33nF。電阻2 2r 3 3rR0=kR=0.921X0.530=0.488MO。以此類推，四組計(jì)算結(jié)果列入表4。表中數(shù)據(jù)是理論值，實(shí)際取值必須顧及誤差因素。譬如：電阻R=0.530MO±0.5%；電容C1=67.8nF±2%等。輸入阻抗乙=r+X//「R+X//（R+X）］qR+X//R，因在fc點(diǎn)X2VVR，且X2Vio123o1X3。式中XI、X2、X3分別為Cl、C2、C3的容抗，即X.=（2兀fC.）-i。符號(hào)'7/”表并聯(lián)。ici驗(yàn)證：按表3四組阻容值搭建LPF,檢測(cè)技術(shù)性能均符合預(yù)定指標(biāo)，證明設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)合理可信。表4不同阻容偏差下10Hz通帶3階LPF的最佳阻容組合表一序號(hào)允許阻容偏差最佳阻容組合輸入阻抗Zi（MQ）電阻電容R(MQ)R0(MQ)C1(nF)C2(nF)C3(nF)1±2%0.5300.48867.82693.330.702±0.5%1.091.0038.01301.621.43±4%0.5300.48168.12733.330.7041.101.0032.91321.611.4結(jié)語時(shí)分多路系統(tǒng)以及模數(shù)變換采樣部件均離不開抗混疊濾波器的有力支持?？够殳B濾波以LPF為主。非理想LPF的帶外衰減斜率做不到無窮大,只能是有限值，即存在一個(gè)過渡區(qū)域，其幅頻特性的變化規(guī)律可用經(jīng)驗(yàn)公式描述，如式（6）和式（9）所示?？够殳B濾波器的技術(shù)指標(biāo)既取決于有用信號(hào)帶寬，也受制于采樣速率及許可的混疊誤差對(duì)遙測(cè)緩變參數(shù)而言，在采樣速率為4倍信號(hào)頻率的條件下，濾波器的帶外衰減斜率大于