2024屆福建省福清市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2024屆福建省福清市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義域是R，，對(duì)任意的，都有成立，則不等式的解集為()A． B． C． D．2．已知f(x-1x)=A．f(x+1)=(x+1)2C．f(x+1)=(x+1)23．為了了解我校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1：2：3，第2小組的頻數(shù)為12,則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是（）A．12 B．24 C．48 D．564．已知，直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知a=tan(-π5)A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a6．已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意的都有，，若角滿足不等式，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）附：隨機(jī)變量，則有如下數(shù)據(jù)：，，.A． B． C． D．8．已知回歸方程，而試驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)是，，，則殘差平方和是（）A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.049．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．10．“k>1”是“函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．若命題“使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B．C． D．12．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高和底面邊長(zhǎng)均為，則該球的體積為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€：，則直線的方程為_(kāi)_________．14．在平面凸四邊形ABCD中，，點(diǎn)M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，且，若，，則的值為_(kāi)_______.15．已知直線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，橢圓的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，若它們總有公共點(diǎn)，則取值范圍是___________．16．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．若P∪Q＝Q，求實(shí)數(shù)a的取值范圍__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若，求的最小值．18．（12分）已知圓圓心為，定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；若點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，且，求的面積．19．（12分）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，，且為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知，定義.（1）求的值；（2）證明：.21．（12分）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知集合，集合是集合S的一個(gè)含有8個(gè)元素的子集.（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，①寫(xiě)出方程的解（）；②若方程至少有三組不同的解，寫(xiě)出k的所有可能取值；（2）證明：對(duì)任意一個(gè)X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

結(jié)合已知條件分析,需要構(gòu)造函數(shù),通過(guò)條件可得到,在R上為增函數(shù),利用單調(diào)性比較,即可得出答案．【題目詳解】∵任意的,都有,即,又要解,∴設(shè)則∴在R上為增函數(shù),而,即,.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.2、C【解題分析】

將等式變形為fx-1xfx+1【題目詳解】∵x-1x∵fx-1x因此，fx+1=【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的解析式，屬于中等題，求函數(shù)解析式常見(jiàn)題型由以下幾種：（1）根據(jù)實(shí)際應(yīng)用求函數(shù)解析式；（2）換元法求函數(shù)解析式，利用換元法一定要注意換元后參數(shù)的范圍；（3）待定系數(shù)法求解析式，這種方法既適合已知函數(shù)名稱的函數(shù)解析式；（4）消元法求函數(shù)解析式，這種方法適合求自變量互為倒數(shù)或相反數(shù)的函數(shù)解析式．3、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意可知，第組的頻數(shù)為，前組的頻率和為，所以抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，故選C.考點(diǎn)：頻率分布直方圖與頻數(shù)．4、A【解題分析】

先得a+3b=1，再與相乘后，用基本不等式即可得出結(jié)果.【題目詳解】依題意得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，熟記基本不等式即可，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

首先通過(guò)誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)三個(gè)數(shù)，然后判斷它們的正負(fù)性，最后利用商比法判斷a,c的大小，最后選出正確答案.【題目詳解】a=tan而ac=【題目點(diǎn)撥】本題考查了誘導(dǎo)公式、以及同角三角函數(shù)關(guān)系，以及商比法判斷兩數(shù)大小.在利用商比法時(shí)，要注意分母的正負(fù)性.6、A【解題分析】

構(gòu)造新函數(shù)，由可得為單調(diào)減函數(shù)，由可得為奇函數(shù)，從而解得的取值范圍.【題目詳解】解：令因?yàn)?，所以為R上的單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)?，所以，即，即，所以函?shù)為奇函數(shù)，故，即為，化簡(jiǎn)得，即，即，由單調(diào)性有，解得，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是由題意構(gòu)造出新函數(shù)，研究其性質(zhì)，從而解題.7、B【解題分析】

先將、用、表示，然后利用題中的概率求出的值.【題目詳解】由題意可知，，則，，，因此，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正態(tài)分布原則求概率，解題時(shí)要將相應(yīng)的數(shù)用和加以表示，并利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性列式求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8、C【解題分析】

因?yàn)闅埐?，所以殘差的平方和為?.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故選C.考點(diǎn)：殘差的有關(guān)計(jì)算.9、B【解題分析】

求得，即可求得，再求得，利用交集運(yùn)算得解.【題目詳解】由得：或，所以，所以由可得：或所以所以故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，還考查了補(bǔ)集、交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】分析：求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），若函數(shù)f(x)=kx-lnx在(1,+∞)單調(diào)遞增，可得f'（x）詳解：f'（x）=k-1x，

∵若函數(shù)函數(shù)f(x)=kx-lnx在(1,+∞)單調(diào)遞增，

∴f'（x）≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立．

∴k≥1x，而y=1x在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，

∴點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判定，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，屬中檔題．11、B【解題分析】

若原命題為假，則否命題為真，根據(jù)否命題求的范圍．【題目詳解】由題得，原命題的否命題是“，使”，即，解得．選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查原命題和否命題的真假關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】分析：設(shè)球的半徑為R,再根據(jù)圖形找到關(guān)于R的方程，解方程即得R的值，再求該球的體積.詳解：設(shè)球的半徑為R,由題得所以球的體積為.故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查球的內(nèi)接幾何體問(wèn)題和球的體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象能力.(2)解題的關(guān)鍵是從圖形中找到方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：用相關(guān)點(diǎn)法求解，設(shè)直線上的點(diǎn)為直線上的點(diǎn)為，所以，，代入直線的方程詳解：設(shè)直線上的點(diǎn)為直線上的點(diǎn)為，直線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下所以：，代入直線的方程整理可得直線的方程為。點(diǎn)睛：理解矩陣的計(jì)算規(guī)則和相互之間的轉(zhuǎn)換。14、【解題分析】

通過(guò)表示，再利用可計(jì)算出，再計(jì)算出可得答案.【題目詳解】由于M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，故，，所以，所以，所以，而，所以，即，故，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的基底表示，數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生的空間想象能力，運(yùn)算能力，邏輯分析能力，難度較大.15、【解題分析】

把參數(shù)方程化為普通方程，若直線與橢圓有公共點(diǎn)，對(duì)判別式進(jìn)行計(jì)算即可.【題目詳解】直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去t化為普通方程為ax﹣y﹣1＝0，且,橢圓C的參數(shù)方程為：（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為．聯(lián)立直線與橢圓，消y整理得，若它們總有公共點(diǎn)，則，解得且,故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的互化，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

由題可知，，分和兩種情況分類討論，解不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】P∪Q＝Q，（1），即，解得（2），即，解得綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合包含關(guān)系中的參數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用，含參集合問(wèn)題常采用數(shù)軸法，借助集合之間的包含關(guān)系得到參數(shù)的范圍，一定要注意的情況.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2).【解題分析】分析：（1）利用分段討論法去掉絕對(duì)值，解a=﹣2時(shí)對(duì)應(yīng)的不等式即可；（2）由f（x）≤a|x+3|得a≥，利用絕對(duì)值三角不等式處理即可.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，的解集為：（2）由得：由，得：得（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立），故的最小值為.點(diǎn)睛：絕對(duì)值不等式的解法：法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．18、；.【解題分析】

由已知，故，即點(diǎn)軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)，，得出橢圓方程；由知，又因?yàn)?，得出，進(jìn)而求出，算出面積即可.【題目詳解】由已知，故點(diǎn)軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)其方程為則即，又，故．點(diǎn)的軌跡的方程為：．由知.又.有，．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓得方程求法，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.19、(1)見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】分析：（1）由題意得，又，從而即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，即可運(yùn)用空間向量的方法求得答案.詳解：（1）證明：因?yàn)椋瑸榫€段的中點(diǎn)，所以.又兩兩垂直，且所以平面，則.因?yàn)?，所以平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.∵，∴可設(shè)，則，∴，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.平面的一個(gè)法向量為，則.故平面與平面所成二面角的正弦值為.點(diǎn)睛：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】分析：（1）先根據(jù)定義代入求求的值；（2）根據(jù)定義可得，則左邊化簡(jiǎn)得，利用等式化簡(jiǎn),并利用二項(xiàng)式定理可得結(jié)果.詳解：（1），．（2）當(dāng)n＝1時(shí)，,等式成立．當(dāng)n≥2時(shí)，，由于，所以，綜上所述，對(duì)n∈N*，成立．點(diǎn)睛：有關(guān)組合式的求值證明，常采用構(gòu)造法逆用二項(xiàng)式定理.常應(yīng)用組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化：，.21、(1)；(2)【解題分析】

(1)當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可求出的值域；(2)根據(jù)已知可得，對(duì)分類討論：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，令，只需即可，求導(dǎo)可得，令，則，即可得，從而可得，從而可得．【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，所以所以在上單調(diào)遞增，最小值為，最大值為，所以的值域?yàn)椋?2)由，得，①當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，同時(shí)考查恒成立及分類討論的思想，屬于中檔題．22、（1）①②4，6.（2）證明見(jiàn)詳解.【解題分析】

（1）①根據(jù)兩個(gè)元素之差為3，結(jié)合集合的元素，即可求得；②根據(jù)題意要求，寫(xiě)出集合X中從小到大8個(gè)數(shù)中所有的差值（限定為正數(shù)）的可能，計(jì)算每個(gè)差值出現(xiàn)的次數(shù)，即可求得；（2）采用反證法，假設(shè)不存在滿足條件的k，根據(jù)差數(shù)的范圍推出矛盾即可.【題目詳解】（1）①方程的解有：.②以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個(gè)數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1,3,2,4,2,3,1；中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4,5,6,6,5,4；中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6,9,8,9,6；中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：1