2024屆福建省福清市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題含解析

2024屆福建省福清市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義域是R，，對任意的，都有成立，則不等式的解集為()A． B． C． D．2．已知f(x-1x)=A．f(x+1)=(x+1)2C．f(x+1)=(x+1)23．為了了解我校今年準(zhǔn)備報考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1：2：3，第2小組的頻數(shù)為12,則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是（）A．12 B．24 C．48 D．564．已知，直線過點，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知a=tan(-π5)A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a6．已知是定義在上的函數(shù)，且對任意的都有，，若角滿足不等式，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）附：隨機(jī)變量，則有如下數(shù)據(jù)：，，.A． B． C． D．8．已知回歸方程，而試驗得到一組數(shù)據(jù)是，，，則殘差平方和是（）A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.049．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．10．“k>1”是“函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．若命題“使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為()A． B．C． D．12．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高和底面邊長均為，則該球的體積為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€：，則直線的方程為__________．14．在平面凸四邊形ABCD中，，點M，N分別是邊AD，BC的中點，且，若，，則的值為________.15．已知直線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，橢圓的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，若它們總有公共點，則取值范圍是___________．16．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．若P∪Q＝Q，求實數(shù)a的取值范圍__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若，求的最小值．18．（12分）已知圓圓心為，定點，動點在圓上，線段的垂直平分線交線段于點．求動點的軌跡的方程；若點是曲線上一點，且，求的面積．19．（12分）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，，且為線段的中點.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知，定義.（1）求的值；（2）證明：.21．（12分）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知集合，集合是集合S的一個含有8個元素的子集.（1）當(dāng)時，設(shè)，①寫出方程的解（）；②若方程至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值；（2）證明：對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

結(jié)合已知條件分析,需要構(gòu)造函數(shù),通過條件可得到,在R上為增函數(shù),利用單調(diào)性比較,即可得出答案．【題目詳解】∵任意的,都有,即,又要解,∴設(shè)則∴在R上為增函數(shù),而,即,.故選：A.【題目點撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.2、C【解題分析】

將等式變形為fx-1xfx+1【題目詳解】∵x-1x∵fx-1x因此，fx+1=【題目點撥】本題考查函數(shù)的解析式，屬于中等題，求函數(shù)解析式常見題型由以下幾種：（1）根據(jù)實際應(yīng)用求函數(shù)解析式；（2）換元法求函數(shù)解析式，利用換元法一定要注意換元后參數(shù)的范圍；（3）待定系數(shù)法求解析式，這種方法既適合已知函數(shù)名稱的函數(shù)解析式；（4）消元法求函數(shù)解析式，這種方法適合求自變量互為倒數(shù)或相反數(shù)的函數(shù)解析式．3、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意可知，第組的頻數(shù)為，前組的頻率和為，所以抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，故選C.考點：頻率分布直方圖與頻數(shù)．4、A【解題分析】

先得a+3b=1，再與相乘后，用基本不等式即可得出結(jié)果.【題目詳解】依題意得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；故選A【題目點撥】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，熟記基本不等式即可，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

首先通過誘導(dǎo)公式，化簡三個數(shù)，然后判斷它們的正負(fù)性，最后利用商比法判斷a,c的大小，最后選出正確答案.【題目詳解】a=tan而ac=【題目點撥】本題考查了誘導(dǎo)公式、以及同角三角函數(shù)關(guān)系，以及商比法判斷兩數(shù)大小.在利用商比法時，要注意分母的正負(fù)性.6、A【解題分析】

構(gòu)造新函數(shù)，由可得為單調(diào)減函數(shù)，由可得為奇函數(shù)，從而解得的取值范圍.【題目詳解】解：令因為，所以為R上的單調(diào)減函數(shù)，又因為，所以，即，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故，即為，化簡得，即，即，由單調(diào)性有，解得，故選A.【題目點撥】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是由題意構(gòu)造出新函數(shù)，研究其性質(zhì)，從而解題.7、B【解題分析】

先將、用、表示，然后利用題中的概率求出的值.【題目詳解】由題意可知，，則，，，因此，，故選B.【題目點撥】本題考查利用正態(tài)分布原則求概率，解題時要將相應(yīng)的數(shù)用和加以表示，并利用正態(tài)曲線的對稱性列式求解，考查計算能力，屬于中等題.8、C【解題分析】

因為殘差，所以殘差的平方和為（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故選C.考點：殘差的有關(guān)計算.9、B【解題分析】

求得，即可求得，再求得，利用交集運(yùn)算得解.【題目詳解】由得：或，所以，所以由可得：或所以所以故選：B【題目點撥】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，還考查了補(bǔ)集、交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】分析：求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），若函數(shù)f(x)=kx-lnx在(1,+∞)單調(diào)遞增，可得f'（x）詳解：f'（x）=k-1x，

∵若函數(shù)函數(shù)f(x)=kx-lnx在(1,+∞)單調(diào)遞增，

∴f'（x）≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立．

∴k≥1x，而y=1x在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，

∴點睛：本題考查充分不必要條件的判定，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，屬中檔題．11、B【解題分析】

若原命題為假，則否命題為真，根據(jù)否命題求的范圍．【題目詳解】由題得，原命題的否命題是“，使”，即，解得．選B.【題目點撥】本題考查原命題和否命題的真假關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】分析：設(shè)球的半徑為R,再根據(jù)圖形找到關(guān)于R的方程，解方程即得R的值，再求該球的體積.詳解：設(shè)球的半徑為R,由題得所以球的體積為.故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查球的內(nèi)接幾何體問題和球的體積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和空間想象能力.(2)解題的關(guān)鍵是從圖形中找到方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：用相關(guān)點法求解，設(shè)直線上的點為直線上的點為，所以，，代入直線的方程詳解：設(shè)直線上的點為直線上的點為，直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下所以：，代入直線的方程整理可得直線的方程為。點睛：理解矩陣的計算規(guī)則和相互之間的轉(zhuǎn)換。14、【解題分析】

通過表示，再利用可計算出，再計算出可得答案.【題目詳解】由于M，N分別是邊AD，BC的中點，故，，所以，所以，所以，而，所以，即，故，故答案為【題目點撥】本題主要考查向量的基底表示，數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生的空間想象能力，運(yùn)算能力，邏輯分析能力，難度較大.15、【解題分析】

把參數(shù)方程化為普通方程，若直線與橢圓有公共點，對判別式進(jìn)行計算即可.【題目詳解】直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去t化為普通方程為ax﹣y﹣1＝0，且,橢圓C的參數(shù)方程為：（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為．聯(lián)立直線與橢圓，消y整理得，若它們總有公共點，則，解得且,故答案為．【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的互化，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

由題可知，，分和兩種情況分類討論，解不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】P∪Q＝Q，（1），即，解得（2），即，解得綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故答案為.【題目點撥】本題考查集合包含關(guān)系中的參數(shù)問題，解題時要注意分類討論思想的合理運(yùn)用，含參集合問題常采用數(shù)軸法，借助集合之間的包含關(guān)系得到參數(shù)的范圍，一定要注意的情況.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).【解題分析】分析：（1）利用分段討論法去掉絕對值，解a=﹣2時對應(yīng)的不等式即可；（2）由f（x）≤a|x+3|得a≥，利用絕對值三角不等式處理即可.詳解：（1）當(dāng)時，的解集為：（2）由得：由，得：得（當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立），故的最小值為.點睛：絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．18、；.【解題分析】

由已知，故，即點軌跡是以、為焦點的橢圓，根據(jù)，，得出橢圓方程；由知，又因為，得出，進(jìn)而求出，算出面積即可.【題目詳解】由已知，故點軌跡是以、為焦點的橢圓.設(shè)其方程為則即，又，故．點的軌跡的方程為：．由知.又.有，．【題目點撥】本題考查橢圓得方程求法，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.19、(1)見解析；（2）.【解題分析】分析：（1）由題意得，又，從而即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，即可運(yùn)用空間向量的方法求得答案.詳解：（1）證明：因為，為線段的中點，所以.又兩兩垂直，且所以平面，則.因為，所以平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.∵，∴可設(shè)，則，∴，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.平面的一個法向量為，則.故平面與平面所成二面角的正弦值為.點睛：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．20、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）先根據(jù)定義代入求求的值；（2）根據(jù)定義可得，則左邊化簡得，利用等式化簡,并利用二項式定理可得結(jié)果.詳解：（1），．（2）當(dāng)n＝1時，,等式成立．當(dāng)n≥2時，，由于，所以，綜上所述，對n∈N*，成立．點睛：有關(guān)組合式的求值證明，常采用構(gòu)造法逆用二項式定理.常應(yīng)用組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化：，.21、(1)；(2)【解題分析】

(1)當(dāng)時，，求導(dǎo)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可求出的值域；(2)根據(jù)已知可得，對分類討論：當(dāng)時，不等式恒成立；當(dāng)時，，令，只需即可，求導(dǎo)可得，令，則，即可得，從而可得，從而可得．【題目詳解】(1)當(dāng)時，，所以所以在上單調(diào)遞增，最小值為，最大值為，所以的值域為．(2)由，得，①當(dāng)時，不等式恒成立，此時；②當(dāng)時，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以綜上可得實數(shù)的取值范圍．【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，同時考查恒成立及分類討論的思想，屬于中檔題．22、（1）①②4，6.（2）證明見詳解.【解題分析】

（1）①根據(jù)兩個元素之差為3，結(jié)合集合的元素，即可求得；②根據(jù)題意要求，寫出集合X中從小到大8個數(shù)中所有的差值（限定為正數(shù)）的可能，計算每個差值出現(xiàn)的次數(shù)，即可求得；（2）采用反證法，假設(shè)不存在滿足條件的k，根據(jù)差數(shù)的范圍推出矛盾即可.【題目詳解】（1）①方程的解有：.②以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1,3,2,4,2,3,1；中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4,5,6,6,5,4；中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6,9,8,9,6；中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：1