中考數(shù)學(xué)《 與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題》2022年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編（全國通用）原卷

專題22與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題

解答題

1.Q022.湖北鄂州)某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究)，=加(4>0)型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如

圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點尸(0,1)的距離"尸，始終等于它到定直線/：〉=-3上

的距離MN(該結(jié)論不需要證明)，他們稱：定點尸為圖象的焦點，定直線/為圖象的準(zhǔn)線，y=-j叫做

4a

拋物線的準(zhǔn)線方程.其中原點。為“的中點，F(xiàn)H=2OF=例如，拋物線)，=；/,其焦點坐標(biāo)為尸

7/7N

(1)【基礎(chǔ)訓(xùn)練】請分別直接寫出拋物線>=*的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程：_

(2)【技能訓(xùn)練】如圖2所示，已知拋物線y=上一點尸到準(zhǔn)線/的距離為6,求點P的坐標(biāo)；

O

(3)【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線>=爾(?>0)的焦點廠的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線/于點A、

B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值；

(4)【拓展升華】古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將

Ar

一條線段A3分為兩段AC和圓，使得其中較長一段AC是全線段A8與另一段的比例中項，即滿足：二萬

AB

=~=與1.后人把早這個數(shù)稱為“黃金分割”把點C稱為線段AB的黃金分割點,

如圖4所示，拋物線的焦點P(0,1),檄/與y軸交于點H(0,-1),E為線段HF的黃金分割

4

點，點M為)'軸左側(cè)的拋物線上一點.當(dāng)僚="時，請直接寫出AHME的面積值.

2.Q022.江蘇無錫）已知二次函數(shù)版+。圖像的對稱軸與x軸交于點A（1,o）,圖像與），軸交

于點B（0,3）,C、。為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點（點C在點。的左側(cè)），且NCA￡>=9（T

（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）若點C與點B重合，求tanZCDA的值；（3）點C是否存在其他的位置，使得

tan/COA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

13

3.Q022.山西）綜合與探究：如圖，二次函數(shù)），=-丁*2+x+4的圖象與x軸交于A,8兩點（點4在點B

42

的左側(cè)），與y軸交于點C,點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為根.過點P

作直線PD1A-軸于點。，作直線BC交于點E

（1）求A,B,C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；（2）當(dāng)aCEP是以PE為底邊的等腰三角形

時，求點P的坐標(biāo)；（3）連接AC,過點P作直線/1|AC,交y軸于點F,連接DF.試探究：在點P運動的

過程中，是否存在點P,使得若存在，請直接寫出機的值；若不存在，請說明理由.

4.Q022?四川宜賓）如圖，拋物線），“++-43。）、8"1,?！笨?—、

bxc與x軸交于

C（0,3）DAC.（1）求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式及頂點D的坐標(biāo)；（2）在拋

,其頂點為點，連結(jié)

物線的對稱軸上取一點E,點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形為平

行四邊形，求點F的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將點D向下平移5個單位得到點M,煎P為拋物線的對

3

稱軸上一動點，求+的最小值.

5.Q022.湖北恩施）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=-Y+（）

。與y軸交于點P0,4

（1）直接寫出拋物線的解析式.

（2）如圖，將拋物線y=-/+c向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點為。，平移后的拋物線與x軸

交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與），軸交于點C.判斷以8、C、。三點為頂點的三角形是否為直角

三角形，并說明理由.

(3)直線8c與拋物線y=-f+c交于M、N兩點(點N在點M的右側(cè))，請?zhí)骄吭趚軸上是否存在點T,使

得以8、N、T三點為頂點的三角形與VABC相似，若存在，請求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(4)若將拋物線y=--+c進行適當(dāng)?shù)钠揭?，?dāng)平移后的拋物線與直線3c最多只有一個公共點時，請直接寫

出拋物線y=-/+c平移的最短距離并求出此時拋物線的頂點坐標(biāo).

6.Q022?廣西玉林)如圖，已知拋物線：y=-2/+bx+c與x軸交于點A,8(2,0)(A在B的左側(cè))，與)，

備用圖

⑴求拋物線的解析式；⑵若點D為線段OC的中點，貝WPO。能否是等邊三角形？請說明理由；

⑶過點尸作x軸的垂線與線段8c交于點垂足為點”，若以P,M,C為頂點的三角形與VBM”相似,

求點P的坐標(biāo).

7.Q022?廣西)已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))

(1)求點A,點8的坐標(biāo)；(2)如圖，過點A的直線/:y=-x-1與拋物線的另一個交點為C,點P為拋物線對

稱軸上的一點，連接用、PC,設(shè)點尸的縱坐標(biāo)為肛當(dāng)以=PC時，求〃?的值；

(3)將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN,若拋物線

y=a(-x2+2x+3)(〃工0)與線段MN只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍.

8.Q022?福建)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，已知拋物線經(jīng)過A(4,0),B(1,4)兩點.P是

拋物線上一點，且在直線A8的上方.

(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△%B面積的2倍，求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖，0P交48于點C,PD||BO交A8于點。.記△CDP,ACPB,ACB。的面積分別為S“S,2

邑.判斷”+:是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

9.Q022.貴州黔東南）如圖，拋物線y=“/+2x%?的對稱軸是直線x=l,與x軸交于點A,8（3,0）,與y

軸交于點C,連接AC.

（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點。作。MJ.x軸，垂足為點M,

交直線BC于點N,是否存在這樣的點N,使得以A,C.N為頂點的三角形是等腰三角形.若存在,

請求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在

點尸，使以點B、C、E、產(chǎn)為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

10.Q022.湖南長沙）若關(guān)于x的函數(shù)x當(dāng)+；時，函數(shù)），的最大值為最小值為M令函

M-N

數(shù)〃=——,我們不妨把函數(shù)人稱之為函數(shù)了的“共同體函數(shù)”.

⑴①若函數(shù)y=4044x,當(dāng)，=1時，求函數(shù)），的“共同體函數(shù)'%的值；

②若函數(shù)），=丘+萬晨工0,k,b為常數(shù)），求函數(shù)），的“共同體函數(shù)”〃的解析式；

（2）若函數(shù)y=±（x>l）,求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”〃的最大值；

x

（3）若函數(shù)y=-2+4x+3是否存在實數(shù)匕使得函數(shù)1，的最大值等于函數(shù)y的，共同體函數(shù)”/?的最小值.若

存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

11.Q022.湖北武漢）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=/-2x-3的頂點為A,與y軸交于點

C,線段C例x軸，交該拋物線于另一點8.

（備用圖）

⑴求點B的坐標(biāo)及直線AC的解析式：（2）當(dāng)二次函數(shù)y=y2-2x-3的自變量x滿足"與機+2

時，此函數(shù)的

最大值為P，最小值為名且。-夕=2.求根的值：（3）平移拋物線），=X2-2X-3,使其頂點始終在直線

AC

上移動，當(dāng)平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點時，設(shè)此時拋物線的頂點的橫坐標(biāo)為兄請直接寫出

n的取值范圍.

12.Q022.內(nèi)蒙古通遼）如圖，拋物線y=-/+打+。與x軸交于A,8兩點，與y軸交于。點，直線8C方

程為y=x-3.

⑴求拋物線的解析式；⑵點P為拋物線上一點，若Sv-gSvA*請直接寫出點P的坐標(biāo)；

（3）點。是拋物線上一點，若NACQ=45。，求點。的坐標(biāo).

4

13.Q022?山東煙臺)如圖，已知直線曠=§x+4與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線ynaf+fer+c經(jīng)

過AC兩點，且與x軸的另一個交點為8,對稱軸為直線x=-l.

；"

(1)求拋物線的表達式；(2)0是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m,求四邊形ABCD面積S

的最大值及此時。點的坐標(biāo)；(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點尸，＜2,使以點A,C,P,。為頂

點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P,。兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

14.Q022?山東聊城)如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)＞=-/+法+。的圖象與》軸交于人B兩點，與y

軸交于點C(0,3)x=-\,頂點為點。.

,對稱軸為直線

圖①圖②

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)連接D4,DC,CB,CA,如圖①所示，M：ZDAC=^BC0；

(3)如圖②，延長力C交x軸于點M,平移二次函數(shù)＞=-/+笈+。的圖象，使頂點。沿著射線方向平

移到點。且CD=2CD,得到新拋物線y,y交軸于點N.如果在y的對稱軸和)，上分別取點P,。，使

1111

以MN為一邊,點M,N,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點Q的坐標(biāo).

15.Q022?黑龍江齊齊哈爾)綜合與探究

y=x2+，nr+〃的圖象交點為A(-1,0),B(4,5).

如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)

(1)求拋物線的解析式；(2)點C為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)AC與BC的和最小時，點C的坐標(biāo)為

(3)點。為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點，過點。作。軸，交線段AB于點E,求線段OE長

度的最大值；(4)在(2)條件下，點M為y軸上一點，點尸為直線AB上一點，點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)

一點，若以點C,M,F,N為頂點的四邊形是正方形，請直接寫出點N的坐標(biāo).

16.Q022?湖南)如圖，已知拋物線了=以2+法+3(〃#0)的圖像與x軸交于A。，。)8(4,0)

y

兩點，與軸交

于點C,點。為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點。的坐標(biāo)；(2)若四邊形8CE尸為矩形，CE=3.點、M以每秒1個單位的速度

從點C沿CE向點E運動，同時點N以每秒2個單位的速度從點E沿EF向點尸運動，一點到達終點，另一

點隨之停止.當(dāng)以M、E、N為頂點的三角形與ABOC相似時，求運動時間，的值；

⑶拋物線的對稱軸與x軸交于點P,點G是點P關(guān)于點。的對稱點，點皿小2四心右

是軸下方拋物線圖像上的動

o

Q/：丫=m+皿網(wǎng)＜：)與拋物線只有一個公共點，且分別與線段、

點.若過點的直線4GAGB相交于點4、K

求證：GH+GK為定值.

17.Q022?內(nèi)蒙古包頭)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=0?+以“/0)與1軸交于4,8兩點，點8

的坐標(biāo)是(2,0),頂點C的坐標(biāo)是(0,4),M是拋物線上一動點，且位于第一象限，直線AM與)，軸交于點

G.

圖1圖2

(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1,N是拋物線上一點，且位于第二象限，連接。M,記VAOG'MOG的

面積分別為5,5,.當(dāng)S=2S時，求證：點與點關(guān)于軸對稱；

1,且直線CN||AMNMy

12

(3)如圖2,直線與)，軸交于點H,是否存在點使得2?！?OG=7.若存在，求出點M的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

4

18.Q022?廣西梧州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-gx-4分別與x,)，軸交于點4,B,拋物線

2

)+法+。恰好經(jīng)過這兩點.

⑴求此拋物線的解析式；⑵若點C的坐標(biāo)是(0,6),將△AC。繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△氏/，點A

的對應(yīng)點是點E.訪出點E的坐標(biāo)，并判斷點E是否在此拋物線上；霞點P是)，軸上的任一點，求赳史P

取最小值時，點P的坐標(biāo).

19.Q022?遼寧錦州)如圖，拋物線y=/+6x+c與x軸交于A,B(4,0)兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于

點C(0,U),點「在拋物線上，連接

BC,BP.

⑴求拋物線的解析式；(2)如圖1,若點P在第四象限，點。在線段BC上，連接并延長交x軸于點瓦

連接CE,記VOCE的面積為S,VO8P的面積為邑，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；

1S=SP

(3)如圖2,若點P在第二象限，點F為拋物線的頂點，拋跖蝮的對稱軸/與線段BC交于點G,當(dāng)

NPBC+aCFG=90。時，求點P的橫坐標(biāo).

20.Q022?遼寧)如圖，拋物線＞=以2+以+3交x軸于點A(3,0)和8(-1,0),交)，軸于點C.

備用圖

DN

⑴求拋物線的表達式；⑵。是直線AC上方拋物線上一動點，連接“交AC于點N,當(dāng)次的值最大時,

3

求點力的坐標(biāo)；（3）P為拋物線上一點，連接CP,過點P作R2JLCPQtan/PCQ=：

交拋物線對稱軸于點，當(dāng)4

時，請直接寫出點尸的橫坐標(biāo).

21.Q022.遼寧營口）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=-尸2+法+。經(jīng)過點AJ］?。?（4,0）

2I2盯和點，與y

軸交于點G點P為拋物線上一動點.

（1）求拋物線和直線AB的解析式；（2）如圖,點P為第一象限內(nèi)拋物線上的點，過點P作尸。垂足為

S49

，作PE_Lx軸，垂足為E,交A8于點f設(shè)VP。產(chǎn)的面積為岳，V8EF的面積為邑，當(dāng)戲=行時，求點

P坐標(biāo)；（3）點N為拋物線對稱軸上的動點，是否存在點N,使得直線BC垂直平分線段PN?若存在，請直

接寫出點N坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

22.Q022?四川廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（存0）的圖象與x軸交于A、C

兩點，與）'軸交于點以其中點B坐標(biāo)為（0,-4），點C坐標(biāo)為（2.0）.

（1）求此拋物線的函數(shù)解析式.（2）點。是直線AB下方拋物線上一個動點，連接A。、BD,探究是否存在點

僅使得AA8O的面積最大？若存在，請求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）點P為該拋物線對稱軸上的動點，使得△以8為直角三角形，請求出點P的坐標(biāo).

23.Q022.海南）如圖1,拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點"「IM'并交x軸于另一點8,點P（x,y）

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）當(dāng)點P的坐標(biāo)為（1,4）時，求四邊形80cp的面積；（3）點。在拋物線上，

PD

當(dāng)二萬的值最大且VAPQ是直角三角形時，求點。的橫坐標(biāo)；（4）如圖2,作CG1CRCG交x軸于點

AD

G（〃,0）,點H在射線CP上，且CH=CG.過GH的中點K/管/?軸，交拋物線于點/,連接出，以出

為邊作出如圖所示正方形”/MN,當(dāng)頂點〃恰好落在y軸上時，請直接寫出點G的坐標(biāo).

24-Q°22?內(nèi)蒙古呼和浩特）如圖，拋物線…/+云+c經(jīng)過點仇4,。）和點C（0,2）,與x軸的另一個交

點為A,連接AC、BC.

（1）求拋物線的解析式及點A的坐標(biāo)；（2）如圖1,若點。是線段AC的中點，連接8。，在y軸上是否存在點

E,使得V8OE是以8。為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2,點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，過點?作「。||），軸，分別交BC、軸于點M、，當(dāng)

N

△PMC中有某個角的度數(shù)等于NOBC度數(shù)的2倍時，請求出滿足條件的點P的橫坐標(biāo).

25.Q022?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=Y+bx+c（b,c是常數(shù)）經(jīng)過點A（1,O）

,點

8（0,3）.點尸在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為％.

（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)點P在x軸上方時，結(jié)合圖象，直接寫出，〃的取值范圍；（3）若此拋物線在點P

左側(cè)部分（包括點P）的最低點的縱坐標(biāo)為2-機.①求，〃的值；②以附為邊作等腰直角三角形力Q,當(dāng)

點。Q

在此拋物線的對稱軸上時，直接寫出點的坐標(biāo).

26.Q022?黑龍江哈爾濱）在平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，拋物線卜=以2+人經(jīng)過點

J__3

點B

2，-8,與軸交于點c.

⑴求4b的值；（2）如圖1,點。在該拋物線上，點D的橫坐標(biāo)為-2,過點。向y軸作垂線，垂足為點

E.點P為.V軸負(fù)半軸上的一個動點，連接。P、設(shè)點P的縱坐標(biāo)為f,VOEP的面積為S,求S關(guān)于/的函

數(shù)解析式（不要求寫出自變量，的取值范圍）；（3）如圖2,在（2）的條件下，連接0A,點尸在0A上，過

點尸向軸作垂線，垂足為點H連接。尸交y軸于點G,點G為。尸的中點，過點A作），軸的平行線與過

點P所作的x軸的平行線相交于點M連接CN,PB,延長P8交AN于點M,點次在PM上，連接RN,

若3cp=5GE,/PMN+/PDE=2ZCNR,求直線的解析式.

RN

27.Q022.湖北宜昌）已知拋物線＞=++法-2與x軸交于（）y

B4,0-C

線/由直線BC平移得到，與，軸交于點E（0,〃）.四邊形MNPQ的四個頂點的H嬴另插豳樂第+3）直

(+),(+),Q(m+5,m+3).

⑴填空："=b=；（2）若點M在第二象限，直線/與經(jīng)過點M的雙曲線y=

X

有且只有一個交點，求“2的最大值；(3)當(dāng)直線/與四邊形MNPQ、拋物線丫=以2+反-2

都有交點時，存在

直線/,對于同一條直線/上的交點，直線/與四邊形例NPQ的交點的縱坐標(biāo)都不